О представлении ограниченных решений одного класса гиперболических уравнений на плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2016, том 59, №5-6_

МАТЕМАТИКА

УДК 517.95

А.Х.Сатторов

О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ОГРАНИЧЕННЫХ РЕШЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ НА ПЛОСКОСТИ

Институт экономики и торговли Таджикского государственного университета коммерции, г. Худжанд

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан М.Илоловым 18.03.2014 г.)

В статье доказано представление ограниченных на всей плоскости решений одного класса дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка гиперболического типа с постоянными коэффициентами.

Ключевые слова: ограниченное решение, представление ограниченного решения.

Основной результат. В настоящей статье рассматривается вопрос о представлении ограниченных на всей плоскости Я2 решений гиперболических уравнений вида:

Т д2ы ды ,ды П2 /1Ч

Ьы =--ъ а--ъ Ь--ъ сы = / (х, у), (х, у) е Я . (1)

дхду дх ду

Здесь комплексные числа а = а + ¡а2, Ь = Ь +1Ь, с = с + ¿с2 и комплекснозначная функция

У(х, у) , которая непрерывна и ограничена на всей плоскости Я2, считаются известными. Ограниченным решением уравнения (1) называем комплекснозначную функцию ы(х, у), непрерывную и

2 ды ды д2ы д2ы ограниченную на всей плоскости Я вместе с частными производными —, —, -, - и

дх ду дхду дудх

удовлетворяющую уравнению (1).

Существование ограниченных решений уравнения (1) исследовано в работе [1]. В данной работе, используя свойства обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве [2], доказано, что уравнение (1) для любой непрерывной и ограниченной функции /(х, у) имеет единственное ограниченное решение тогда и только тогда, когда коэффициенты а , Ь , с уравнения удовлетворяют условию

| аЬ - с | < |Яе(аЬ + с) |. (2)

Представление ограниченного решения уравнения (1) в работе [1] не рассматривается. Цель настоящей работы состоит в доказательстве следующей теоремы.

Теорема. Пусть а > 0 > Ь > 0 и выполнено условие (2). Тогда ограниченное решение ы(х, у) уравнения (1) представимо в виде:

Адрес для кореспонденции: Сатторов Ахмад Хасанович. 735700, Республика Таджикистан, гХуджанд, мкр.31, дом 6 а, Таджикский государственный университет коммерции. E-mail: [email protected]

u(х у) = J J G(х -g, у - r)f (g r)drdg , (3)

где функция G(x, у) определена формулой

G(x, у) = е--Ъх х'у" (4)

k=0 (k!)

и абсолютно интегрируема

ГШ Тш

J J | G(x, у) | dxdy <<x>. (5)

Такое же представление, как (3), имеет место, если выполнено условие (2) без предположения положительности а и Ь • Например, если выполнено условие (2) и а < 0 > Ь < 0, то и(х, у) будет ограниченным решением уравнения (1) только в том случае, когда и(—х, —у) является ограниченным решением уравнения

д w Dw , Dw

— — Ъ^-Т cw = f (—х, —у) , (х,у) е R .

дхду дх ду

Для и(—х, — у) , в силу теоремы, верно представление (3). Отсюда выводим, что для ограниченного решения и( х, у) уравнения (1) имеет место представление

u(ху) = J J Gi(g—x,r—у)f (g,r)drdg

где

G (x, у) = ^ V (аЪ f хкук . 1( ,у) h (к!)2 у

Аналогичным образом рассматриваются случаи а > 0 > Ъ < 0 и а < 0 > Ъ > 0 .

Доказательство. Обозначим через C0 банахово пространство непрерывных и ограниченных

на плоскости R2 комплекснозначных функций u(х,у) с нормой || u ||0 = sup {| u(x,у) |: (х,у) е R2} .

А через E обозначим банахово пространство функций u(х, у), принадлежащих C0, вместе с произ-

ди du d2u d2u водными —, —, -,-, где норма определяется формулой

дх ду дхду дудх

|| u —1| u ||q Г || Du / дх ||0 Г || Du / ду ||0 Г || д u / дхду ||0. В пространстве C0 рассмотрим оператор

х у

(Т/)(х,у) = | | ехр(-а(у -)) -Ь(х -£))/(£,. (6)

-ад -ад

Легко проверить, что Т действует из С0 в С0 и обладает следующими свойствами:

1°. Оператор Т: С0 I—> С0 является линейным, ограниченным, и его норма равна ||Т ||* = 1/(а1Ь1) .

20. Всякое ограниченное множество из С0 оператором Т отображается в ограниченное множество из Е.

30. Для степеней (Тк+1 /)(х,у), к = 1, 2,... оператора Т имеет место формула

1 х у

(Тк+/)(х,у) = | | е-а(у-))-Ь(х-!)(х-£)к(у-))к/(£,)))£ .

V ' у -ад -ад

40. Функция ы( х, у) из С0 будет ограниченным решением уравнения (1) только в том случае, когда она является решением интегрального уравнения

ы(х, у) - (аЬ - с)(Ты)(х, у) = (Т/)(х, у), (х, у) е Я2. (7)

Из свойств 10 и 40 вытекает, что если | аЬ - с |< аЬ, то ограниченное решение ы(х, у) уравнения (1) представимо суммой ряда Неймана ([3]):

ы(х, у) = 2 (аЬ - с)к (Тк+1/)(х, у) .

\к г грк+1

аЬ - с

к=0

0

Отсюда, в силу свойства 3 , получаем представление (3). Покажем, что представление (3) верно и в общем случае, когда выполнено условие (2). Этим самым теорема будет доказана.

Докажем следующую лемму.

Лемма. Существует положительное число у такое, что для любой функции ы(х, у) из Е справедливо неравенство || Ьы ||0 > у || ы ||0 .

Предположим, что лемма не верна. Тогда существует последовательность функций ыи (х, у) е Е, п = 1,2,... такая, когда при каждом п = 1,2,... имеют место равенства || ыи ||0 = 1 и

д 2ы ды„ 1 ди . . . . л2

+ а + Ь + сып = gn (х, у), (х, у) е Я2, (8)

дхду дх ду

где || ||0 < 1 / п . Не теряя общности, можно считать, что | ип (0,0) |> 1 -1 / п . Равенство (8), в силу свойства 40, равносильно интегральному равенству

ып (х, у) - (аЬ - с)(Тып )(х, у) = (Т^ )(х, у), (х, у) е Я2. (9)

х у

Из (9) следует, что последовательность функций ии (х, у) ограничена по норме пространства Е. Следовательно, последовательность функций ип (х, у) равномерно ограничена и равностепенно непрерывна на всей плоскости. Поэтому, в силу теоремы Арцела [3], можно считать, что последовательность функций ии (х, у) сходится к некоторой функции и0 (х, у) из С0 равномерно на каждой

ограниченной области О с Я2 . Отсюда легко можно показать, что в каждой точке (х, у) е К2 имеет место предел (Тип)(х, у) ^ (Ти0)(х, у) при п ^ад. В равенстве (9), переходя к пределу, получим:

и(х, у) — (аЬ — е)(Ти0)(х, у) = 0, | и0(х,у) | < | и0(0,0) |= 1 V (х,у) е К2.

Отсюда вытекает, что и0 е Е и и0 - ненулевое решение однородного уравнения

д 2и0 ди0 ди0 П2 -+ а—0 + Ь—0 + сиа = 0, (х, у) е Я .

дхду дх ду

Заметим, что всякая функция из С0 является обобщённой функцией медленного роста [4]. Поэтому к функции и0 можно применить преобразование Фурье в смысле обобщённых функций [5]. Тогда для образа Фурье ио функции и0 имеем: (—<Щ + г^а + щЬ + е)й0 = 0 при всех е Я. В работе [1] доказано, что условие (2) равносильно следующим двум условиям: ^ 0 и —Щ + а + щЬ + с ^ 0 при всех щ е Я . Значит, из условия (2) и равенства (—+ а + щЬ + с)й0 = 0 при всех щ е Я вытекает, что и0 = 0 . А это противоречить тому, что функция и0 ненулевая. Лемма доказана.

Если функция / (х, у) из С0 имеет компактный носитель, то легко проверить, что формулой (3) определена функция и( х, у), являющаяся ограниченным решением уравнения (1). Воспользуемся этим фактом и докажем (5).

Пусть Я > 1, £ е (0,1) . Рассмотрим функцию

и?,

г(ху) = 11 г(х—£у—щ)!к, (x,у)еЯ,

—ад —ад

где функцию / Е(х,у) из С0 с компактным носителем зададим формулой

/яЛху) = —77—РЯАх)(яАу). £+ | г(—x, — у)|

Здесь ( £( х) - непрерывная на Я функция, 0 <( £( х) < 1, ( £( х) = 1 при | х |< Я — £, ( £(х) = 0 при | х |> Я . Для функции ик е(х, у) имеем: иКе е Е, Ьик £ = /К£ , и, в силу доказанной леммы, || иКе ||0 < 1 / у. Отсюда

х у

UR,s

= J J ^f' ■ V sWvdÇ <1

R R S + 1 У

Переходя к пределу при s ^ 0, получим:

0 0 R R

J J|G{-£-v)WvdÇ < -, JJ|G(^)|d^ <-.

- R - R /00

У У

Теперь устремляя Я к получаем (5).

Пусть /(х, у) - любая функция из С0. Формула (3), в силу (5), определяет функцию и е С0 .

Покажем, что и является ограниченным решением уравнения (1). Рассмотрим последовательность функций

и.

x у

,(x,у) = J JG(xу-rj)f(Ç,i)¥ntf,rj)dvdÇ, n = 1,2,... :

где щп(х, у) = (п Х(х)(и у) , функция (рп Х(х) определена при доказательстве (5). При каждом п = 1,2,... имеем: ии е Е, ¿и = /щ, || ии ||0<|| /||0 У, и, в силу (5), в каждой точке (х,у) е Я2

- п - п

| ип (х, у) - и(х, у)| < || / ||0 | 110(х-£, у-Г), а, Ь, с) | ^ 0, п ^ю.

-ад -ад

С другой стороны, и — (аЬ — с)Тип = Т(/щп) и последовательность функций ип ограничена по норме пространства Е. Отсюда вытекает существование подпоследовательности и , сходящейся в каждой точке (х, у) е Я2 к функции и* е С0, которая является решением уравнения и * —(аЬ — с)Ти* = Т/. Следовательно, и* е Е и и* = и. Значит, и е Е и и - решение уравнения (1). Теорема доказана.

Поступило 18.04.2015 г.

ад -ад

ЛИТЕРАТУРА

1. Мухамадиев Э., Байзаев С. Об ограниченных на всей плоскости решениях гиперболических уравнений. - ДАН РТ, 2008, т. 51, №1, с.19-23.

2. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1970, 534 с.

3. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Физ-матлит, 2004, 572 с.

4. Мухамадиев Э. К теории дифференциальных уравнений в пространстве ограниченных обобщенных функций. - Известия АН Таджикской ССР. Отд. физ.-мат., хим. и геол. н., 1988. №4(110), с.77-80.

5. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. - М.: Наука, 1971, 512 с.

А.Х.Сатторов

ОИДИ тасвири хдлхри МАХДУДИ ЯК СИНФИ МУОДИЛА^ОИ

ГИПЕРБОЛЙ ДАР ^АМВОРЙ

Донишкадаи ицтисод ва савдои Донишго^и давлатии тицорати Тоцикистон, ш.Хуцанд

Дар макола тасвири далдои дар тамоми дамвори маддуди як синфи муодиладои дифференциали бо хосиладои хусусии тартиби дуюми навъи гиперболй исбот карда шудааст. Калима^ои калиди: уалли маудуд, тасвири уалли маудуд.

A.H.Sattorov

ON REPRESENTATION OF BOUNDED SOLUTIONS OF A CLASS OF HYPERBOLIC EQUATIONS IN THE PLANE

Institute of Economy and Trade Tajik State University of Commerce, Khujand

In this article we prove representation bounded on the whole plane of solutions of a class of partial differential equations of second order hyperbolic type with constant coefficients. Key words: bounded solution, representation of bounded solution.