Об ограниченных на всей плоскости решениях гиперболических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _______________________________________2008, том 51, №1____________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.216

Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Э.Мухамадиев, С.Байзаев ОБ ОГРАНИЧЕННЫХ НА ВСЕЙ ПЛОСКОСТИ РЕШЕНИЯХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

1. В работе для гиперболического уравнения второго порядка

lu = Auxx + IBUy + CUyy + aiix + /Зиу +yu = f (x, y) (0)

с постоянными коэффициентами рассматривается задача о существовании ограниченных решений на всей плоскости. Эта задача исследуется методами функционального анализа и теории дифференциальных уравнений в бесконечномерных пространствах Банаха. Для простоты изложения будем изучать канонический вид уравнения (1), а именно уравнение

Lu = u + aux + buy + cu = f (x, y) . (1)

Предположим, что коэффициенты a, b и c - комплексные постоянные, а функция f (x,y) (в общем случае комплекснозначная) непрерывна и ограничена на всей плоскости R2. Под классическим решением уравнения (1) будем понимать решение u(x, y) , непрерывное и имеющее обычные непрерывные частные производные ux,u ,u^ в каждой точке плоскости.

Отметим, что вообще множество всех классических решений уравнения (1) значительно богаче, чем у уравнения (0); множество обобщенных решений этих уравнений совпадают.

Пусть C = C ~ банахово пространство непрерывных и ограниченных на всей плоскости функций с нормой

114 = sup |u(x, y)|,

(x,y)eR2

а С (соответственно О2 ) - банахово пространство функций u(x,y) такое, что u, ux, u еО (соответственно u,ux,u , u^u u gO). Нормы в пространствах О и О2 определяются формулами

14=||u||o+||u||0 \uy\\; iul=114+lKilo ^1kilo ^1к\о,

соответственно. Через 0(R) обозначим пространство ограниченных и непрерывных на всей оси комплекснозначных функций с нормой ||f|| , , = sup f (t)|.

( ) teR

Отметим, что дифференциальное выражение l порождает линейный ограниченный оператор М, непрерывно действующий из пространства О2 в пространство C . В то же время дифференциальный оператор L, порождаемый уравнением (1), действует в пространство О

со значительно широкого, чем О2, класса функций. Например, множество E = |u:u e Cj, u^ e c| оператором L переводится в пространство О . E будет банаховым пространством с нормой

Hull =| |u|l + и .

II We II 111 xy 0

Если для f e C уравнение (1) имеет решение, принадлежащее пространству Е, то, очевидно, оно будет классическим решением этого уравнения.

Ниже будут приведены условия на коэффициенты уравнения (1), обеспечивающие единственность решения уравнения и его разрешимость в пространстве Е.

2. Условия единственности. Через P(£,,rj) обозначим символ оператора L:

P(%,r) = -£r + ia^ + ibr + c, (£,r) e R2.

Теорема 1. Для того чтобы однородное уравнение

Lu = u + au + bu, + cu = 0 (2)

xy x y ^ '

не имело ненулевых решений в пространстве Е, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

P(£,r) * 0 V(£r) e R2. (3)

Условие (3) можно явно записать в терминах коэффициентов a = a + ia2, b = b + b,

с = с + ¿с2 символа.

Лемма 1. Условие (3) эквивалентно:

i) с2 * 0 при a = b = 0;

ii) Reac*0, Imab-c) = 0 при a1 * 0, bl = 0;

iii) Rebc * 0, Im ab - c) = 0 при a = 0, b * 0;

iv) |ab - c| < Re(ab + c) при afa * 0.

3. Условия разрешимости неоднородного уравнения. Несмотря на то, что условие отсутствия ненулевых решений однородного уравнения (2) в E необходимо для однозначной разрешимости неоднородного уравнения (1), оно не является достаточным.

Справедлива следующая

Теорема 2. Для того чтобы неоднородное уравнение (1) было однозначно разрешимо в E для всех правых частей f e C(R), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие

\ab — c| < Re(ab + c) . (4)

При доказательстве необходимости используется теорема Банаха об обратном операторе и лемма 1. Для доказательства достаточности уравнение (1) приводится к системе уравнений первого порядка

\и + au -у = 0, \ух+ Ьу + du = f,

(5)

и к уравнениям последней применяется теорема о представлении ограниченных на всей числовой оси решений дифференциальных уравнений вида

dz .

— + А = g (t)

И

в банаховом пространстве (см., например, [1]). Отметим, что в нашем случае для первого уравнения системы (5) оператор А является оператором умножения: Au = аи, а для второго уравнения имеет вид

(Av)( у) = (Ы + dTa)v( у) =

У

bv( у) + d |

—к

+х

bv(у) — d | е

У

—а ( У—7).

v(r)dr, если Re а >0,

(6)

-а ( у—7)

v(r)dr, если Re а <0,

причем этот оператор действует в пространстве С(Я). Заметим, что из условия (4) следует неравенство аЬ ф 0, где а = а, Ь = Ь- Для спектра оператора А справедливы следующие

утверждения.

Лемма 2. а) Спектр а(А) оператора А, определенного по формуле (6), состоит из точек окружности

£ ИЯ:

и И Л

Я — ь+—

V 2а1 У

_ И

2|а

б) Спектр ст(А) оператора А не пересекается с мнимой осью ¡Я тогда и только тогда, когда выполняется условие

|^| < |Яе (d + 2ахЬ)|. (7)

При условии (7) спектр а(А) лежит в полуплоскости ЯеЛ, > 0, если Яе Ь < 0 и в полуплоскости ЯеЛ, > 0, если Яе Ь > 0.

При выполнении условия (4) единственное решение уравнения (1) из пространства Е имеет вид

и(х,у) = / е-а'У—г) / 0(л—О/(Є,гИ

Иг,

да

где G(t) функция Грина оператора А, которая определяется так

G (t) =

| e при t > 0,

[ü при t < 0,

если Re b > ü и

f 0 при t > 0,

G(t) = \ ,

|-e" при t < 0,

если Reb < 0.

4. Анализ решения. Продолжим изучение уравнения (1). Рассмотрим вопрос о характере зависимости величины u(x, у) — - решения уравнения (1) из пространства Е от значений «внешней силы» f (x, y) . Положим

Ka,b ={(^): £Re a ^ 0, VReb ^ 0}

Пусть выполнено условие (4). В силу леммы 2 спектр с(А) оператора А лежит в одной из комплексных полуплоскостей ReA > 0 или ReA < 0, вместе с точкой b .

Тогда для функции u(x, у) при Re a > 0 справедлива формула

u (xy) =

Іe-a(y-r) je-1 x-!)Af(f,r)df

-J e-a(y-r) J e-<x-í)Af (¡,4)d¡

dr dr

при Re b > 0, при Re b <0,

а при Re a < ü - формула

u(x,y) =

+да

-J e

y

-a ( yГ

J e-<-lvf (f,r№

+да

J e~a(y-r) J e-(x-í)Af (¿,r¡)d£

dr dr

при Re b >0, при Re b < 0.

Из этих представлений решения и(х, у) легко видеть, что для определения величины и(х, у) в точке (х, у) используются значения «внешней силы» / (х, у) на сдвинутом конусе

(х, у) - К а, = {(х у - т):. , /7) е Ка, } .

Вологодский технический университет,

Н«

Таджикский госуниверситет права, бизнеса и политики

Поступило 14.01.2008 г.

-да

ЛИТЕРАТУРА

1. Ю.Л.Далецкий, М.Г.Крейн. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. - М.: Наука, 1970, 534 с.

Э.Мух,аммадиев, С.Байзоев ОИДИ Х,АЛХ,ОИ ДАР ТАМОМИ ^АМВОРИ МАВДУДИ МУОДИЛА^ОИ ГИПЕРБОЛЙ

Дар мак;ола масъала доир ба х,алх,ои дар тамоми хдмвори мавдуди муодилах,ои навъи гиперболй бо коэффисиентх,ои доимй баррасй карда шудааст. Шартх,ои зарурй ва кофии мавчудият ва ягонагии х,алх,ои номбаршуда ёфта шудаанд.

E.Muhamadiev, S.Baizaev ABOUT BOUNDED SOLUTIONS ON THE PLANE OF HYPERBOLIC EQUATIONS

In paper are considered the problem of bounded solutions on the plane of hyperbolic equations with constant coefficients. The necessary and successful conditions of existence and unicnis pointed solutions are founded.