CC BY
39
РЕШЕНИЕ В КВАДРАТУРАХ УРАВНЕНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСОВ
В ОПТИЧЕСКИХ ВОЛОКНАХ
Алименков И.В., Пчёлкина Ю.Ж. Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет)
Аннотация
Найдено в квадратурах решение уравнения распространения оптических импульсов в волоконных световодах.
Ключевые слова: волоконный световод, уравнение распространения, решение в квадратурах, оптический импульс, солитонное решение.
Введение
Поле оптического импульса, распространяющегося в одномодовом волоконном световоде, поддерживающем состояние линейной поляризации, имеет вид [1]
E(r,t) = exF(x,y)A(z,t)exp{i(p„z-w0t)} , (1) где F(x, y) - обычно гауссовская функция вида exp{-(x2 + y2)/w2} с характерным размером моды w , A(z,t) - комплексная огибающая импульса, wo - несущая частота, - центральное волновое число.
Огибающая A(z, t) является медленно изменяющейся функцией своих аргументов, что означает малость её относительных изменений на интервалах времени порядка 1/ wo и расстояниях порядка 1/ .
Для этой функции выведено уравнение [1], [2]
ЭА 0 ЭА р2 Э2A ,/ка^Л —+В, — + i——г- = i(AB)А, dz dt 2 dt2 H
(2)
называемое уравнением распространения. Правая часть этого уравнения описывает оптические потери и нели-
I 12
нейные эффекты посредством функции ДР( Л ), которая выражается через нелинейную часть показателя преломления Дп с помощью формулы
АВ =
ко jj Aw|F (x, y)|2dx dy jjj| F (x, y)|2 dx dy
(3)
где кО = юо / с . Коэффициенты в (2) имеют простой
физический смысл: = 1/ V^ - величина, обратная
групповой скорости, а р2 - дисперсия групповой скорости. В области прозрачности волновода Др являет-
I |2
ся вещественной функцией от Л . Уравнение (2) справедливо для импульсов длительностью > 0,1пс, что соответствует квазимонохроматическому приближению.
Стандартный метод решения
Уравнение (2) обычно решают следующим образом. При малых пиковых значениях интенсивности вводимого излучения нелинейную часть показателя преломления представляют степенным рядом
I |2 I |4
Дп = п2 Е + п4 Е +—,
что согласно (3) приводит к степенному разложению функции Др:
др = у| л| 2+ц| л\4+•••, (4)
где параметры у и т зависят от характеристик световода. При малых интенсивностях оптического поля вторым слагаемым пренебрегают; с помощью нестандартной замены переменных [1]: т = (/ - г / vg) / То, где То -
начальная длительность импульса; Л( г, /) = ^¡РОи (г, т), где РО - пиковая мощность начального импульса; Х = г / Ьв , где Ьв = Т2 / |Р2| - дисперсионная длина, уравнение (2) обезразмеривается и принимает вид
1 ^ - N 2 Ы2 Ы,
где
Наконец, после замены
ЭХ 2 Эт2 N2 =УРЛ2/ р21 и = и / N получается «перевёрнутое» безразмерное нелинейное уравнение Шрёдингера с кубической нелинейностью
Эи 1 Э2и | |2
I--I---- + и и = 0 ,
ЭХ 2 Эт2 11
которое решается методом обратной задачи рассеяния. Фундаментальный солитон имеет вид
<(X, t) =
exp {iX /2}
cht
После всех обратных подстановок находим одно-параметрическое семейство решений
А = .
В2 exp {iz /2Ld }
T
Альтернативный метод решения
Целью данной работы является решение уравнения (2) в квадратурах. Решение будет проводиться в лабораторной системе отсчёта без конкретизации функции нелинейного отклика Др , т. е. в максимально общем виде. Подстановка
Л(г, ¿) = 41 ехр {/дг} , (5)
где д - малая поправка к центральному волновому числу РО, в (2) приводит после отделения веществен-
ной и мнимои частей к следующим двум уравнениям
для
оптической интенсивности огибающей
I(г,г) = |Л(г)| :
^+ Р ^ = 0.
д2 Н1 дг
Р2
21II -
= -8чI2 + 812ДР(!) .
(6)
(7)
Таким образом. на одну функцию получено два уравнения. Уравнение (6) является линейным и однородным. что позволяет написать его общее решение. являющееся произвольной дифференцируемой функцией I = I (я). где
5(г. г) = г - - V/ .
Здесь учтено. что Р1 = 1/1
(8)
Иными словами.
уравнение (6) определяет аргумент искомой функции. оставляя её вид произвольным. Так как
И = аИ? = - ^ •
дг & дг ® а?' I/ =
дг2 "^ а?2'
то (7) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение:
2/ ^ - - =
812
2
2Vg
P2V;
[Др( I) - ч].
(9)
Уравнение второго порядка (9) эквивалентно системе двух уравнений первого порядка:
а!=мр. а?
ар=-2р2 -
а? ^
ч + ДР(I)
2
2^
Р2^в
Последняя система является гамильтоновой с гамильтонианом вида
( \
Н (I. Р) =
2Р2 + 4
P2vg ,
I -
о( I) P2v2
где
О( I) = | др (I )<и
(10)
(11)
т.е. О(I) является первообразной функции нелинейного отклика.
Следовательно. для уравнения (9) существует частица-аналог. подчиняющаяся классическим уравнениям динамики. Иными словами. (9) является уравнением Эйлера-Лагранжа для механической частицы-аналога.
Хорошо известно [3]. [4]. что решения I (?). асимптотически стремящиеся к нулю на бесконечности. существуют (если они. конечно. существуют) при нулевой энергии механической частицы-аналога. т.е. при Н = 0. Подставляя в (10) выражение
Р = (а7/а?)/4I. являющееся следствием первого уравнения системы. и полагая Н (I. Р) = 0. получим
а7 2л/2
а? V,,
Ю^) - ^2 ) / р2 .
Интегрируя это выражение. найдём решение уравнения (9) в квадратурах:
1
а7
2^2
^(О(I)/1 - ч) / р2 vg
.
(12)
Аддитивная постоянная интегрирования в (12) учтена в значении из (8). Формула (12) в неявном виде определяет двухпараметрическое семейство решений.
Приложения альтернативного метода Применим полученный результат к кварцевому волноводу в случае керровской нелинейности: ДР = уI; О = у12 / 2 . Тогда из (12) имеем
I
<и
2л/ ч?
Вычисляя интеграл [5] и обращая полученное выражение. находим
2ч / у
I = -
ск2
Ж
Из (4) следует. что числитель в последней формуле имеет размерность Б2/т2 и является наибольшим значением функции I(s). Поэтому 2ч / у = Е0. где Е0 - пиковое значение напряжённости. Следовательно.
I = Е2/ ск
ЕоУУ?
По формуле (5) находим окончательный результат Ео ехр{/гуЕ2/2}
Л = -
ск
Е„УУ(г - го - ^г)
В допированных волокнах с многослойной оболочкой второй член в формуле (4) сравним с первым. а при достаточно больших интенсивностях вводимого излучения становится доминирующим. В этом случае имеем некер-ровскую нелинейность: ДР = т12; О = т13 / 3 . Вычисляя интеграл (12) для этого случая и обращая полученное
выражение. находим
Е 2
" , где Е0 = 3ч / т .
I = -
ск
vg
2
V
2
И,
наконец,
т-2.
для
7-2
смешанной нелинейности:
Ар = уI + mI ; G = у/ /2 + mI /3, вычисляя интеграл в (12) с помощью подстановки 1 / I = X, получаем
I = -
E2
1 +. 11 + 4mE^ ch
3у
У2у E0.
.Я Vg
где ЕО = 4д / у.
Отметим пертурбативность этого результата относительно т и непертурбативность относительно у.
Заключение
Таким образом, решение задачи о распространении оптических импульсов в одномодовых волоконных световодах, описываемой дифференциальным уравнением в частных производных (2), сводится к вычислению первообразной в левой части уравнения (12) и обращению полученного выражения, что является, несомненно, более простой задачей.
Для графического анализа обращение полученного выражения не требуется.
Литература
1. Агравал, Г.П. Нелинейная волоконная оптика / Г.П. Агравал. - М.: Мир, 1996. - 324 с.
2. Agrawal, G.P. Nonlinear Fiber Optics / G.P. Agrawal. -Academic Press, 2007. - 478 p.
3. Раджараман, Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля / Р. Раджараман. - М.: Мир, 1985. - 416 с.
4. Степанов, В. В. Курс дифференциальных уравнений / В.В. Степанов. - М.: ГИТТЛ, 1953. - 468 с.
5. Двайт, Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы / Г.Б. Двайт. - М.: Наука, 1977. - 224 с.
References
1. Agrawal, G.P. Nonlinear Fiber Optics / G.P. Agrawal. -Moscow: "Mir" Publisher, 1996. - 324 p. - (In Russian).
2. Agrawal, G.P. Nonlinear Fiber Optics / G.P. Agrawal. -Academic Press, 2007. - 478 p.
3. Rajaraman, R. Solitons and instantons in quantum field theory / R. Rajaraman. - Moscow: "Mir" Publisher, 1985. -416 p. - (In Russian).
4. Stepanov, V.V. Course of differential equations. - Moscow: "GITTL" Publisher, 1953. - 468 p. - (in Russian).
5. Dwight, H.B. Tables of integrals and other mathematical data / H.B. Dwight. - Moscow: " Nauka" Publisher, 1977. -224 p. - (In Russian).
SOLUTION OF PULSE - PROPAGATION EQUATION FOR OPTICAL FIBER IN QUADRATURES
I. V. Alimenkov, Yu.G .Pchelkina S.P. Korolyov Samara State Aerospace University (National Reseach University)
Abstract
It is found in quadratures the solution of pulse - propagation eauation for optical fiber by straight method.
Key words: optical fiber, pulse - propagation eauation, solution in quadratures, optical solitons.
Сведения об авторах
Алименков Иван Васильевич, 1949 года рождения. В 1977 году с отличием окончил Куйбышевский государственный университет по специальности «Физика». Кандидат физико-математических наук, работает в должности доцента кафедры «Прикладная математика» СГАУ. Область научных интересов - нелинейная физика. E-mail: i-alimenkov@mail.ru.
Ivan Vasilyievich Alimenkov, 1949 year of birth. In 1977 has graduated with honours Kuibyshev State University on a speciality "Physics". Candidate in Physics and Mathematics, works as associated professor of sub-department "Applied Mathematics" SSAU. Research interests - nonlinear physics.
Пчёлкина Юлия Жиганшевна, 1980 года рождения. В 2002 году окончила Ульяновский государственный университет по специальности «Прикладная математика». Кандидат физико-математических наук, работает в должности доцента кафедры прикладной математики СГАУ. Область научных интересов - нелинейные уравнения.
E-mail: musina@yandex. ru .
Yuliya Giganshevna Pchelkina, 1980 year of birth. In 2002 has graduated Ulyanovsk State University on a speciality "Applied Mathematica". Candidate in Physics and Mathematics, works as associated professor of sub-department "Applied Mathematics" SSAU. Research interests - nonlinear equations.
Поступила в редакцию 15 мая 2013 г.
