CC BY
27
ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЯХ ДВУНАПРАВЛЕННОГО УРАВНЕНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСОВ В ОПТИЧЕСКИХ ВОЛОКНАХ ДЛЯ СТЕПЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ
Алименков И.В., Пчёлкина ЮЖ. Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательскийуниверситет)(СГАУ)
Аннотация
Найдены в элементарных функциях решения двунаправленного уравнения распространения оптических импульсов в волоконных световодах для степенных функций отклика нелинейной среды на внешнее гармоническое возмущение.
Ключевые слова: волоконный световод, двунаправленное уравнение распространения, решение в квадратурах, произвольная степенная нелинейность, солитонное решение.
Введение
Поле оптического импульса, распространяющегося в одномодовом волоконном световоде, поддерживающем состояние линейной поляризации, имеет вид [1]
Е(г, ?) = еЛ*, 7) А( г, Оехр {; (р^-ю/)} , (1)
где Р(х,у) - обычно гауссовская функция вида ехр{- (х2 + у2)/«2} с характерным размером моды и, А(г,1) - комплексная огибающая импульса, ю0 - несущая частота, ро = юп (ю0)/с - центральное волновое число. Для огибающей оптического импульса выведено [2] уравнение
(дА ЭА^ + ЭМ-Р1ЭМ 'I дг + Р1 д?) + 2ро Э/ 2 Э? '
+АР( А\2) А = 0,
(2)
названное расширенным уравнением распространения, которое существенно отличается от традиционного, называемого основным уравнением распространения [1], наличием второй производной по координате. Здесь р1 = \/vg - величина, обратная групповой скорости, р2 - дисперсия групповой скорости, Ар (| А |2) - нелинейная поправка к постоянной распространения моды в линейном приближении. В области прозрачности волновода Ар является вещественной функцией.
В [3] показано, что для солитоноподобных решений вида
А( г, ?) = Я( г, 0ехр{ц} .
(3)
где Я - действительная функция, а ц - произвольный параметр, функция Я определяется двумя квадратурами:
1 Р0Р2 V
2Р0
аЯ
ц + ц2/2ро) Я2 - В( Я2) + С
В (Я2) = | Ар (I)<и,
где (- ) и С1 - произвольные постоянные, а
V = (1 + ц / р0 ).
(4)
(5)
(6)
Отметим, что при ц/ р0 = -1 квадратуры (4) и (5) определяют стоячую волну.
Таким образом, формулы (3), (4), (5) определяют трёхпараметрическое семейство решений уравнения (2). Если требуется найти локализованные решения, то постоянную С1 следует положить равной нулю. Действительно, если потребовать, чтобы функция Я и её первые производные на бесконечности обращались в ноль, то по правилам дифференцирования неявных функций из (4) следует обращение произвольной постоянной в ноль.
Целью настоящей работы является нахождение локализованных решений уравнения (2) в элементарных функциях для степенного типа нелинейного отклика Ар ( Я2 ) среды на внешнее гармоническое возмущение.
Основной формализм
Если обозначить для краткости р = ц (1 + ц/2ро), то формулу (4) можно переписать в виде аЯ
1 1 - В(Я2)/ рЯ где Х =
2 рро
(г - - V?) .
(7)
(8)
(9)
(1 -РА^
Формула (8) в неявном виде определяет функцию Я(Х). Если интеграл в левой части (8) вычисляется в элементарных функциях и полученное выражение обратимо, то Я = Я(Х) выражается в элементарных функциях. Если же после интегрирования получаем необратимое (трансцендентное) уравнение, то имеем обратную функцию X = Х(Я). В теории дифференциальных уравнений решения, записанные в виде прямой или обратной функции, равноправны. Если же интеграл в левой части (8) не выражается в элементарных функциях, то имеем X, выраженное в специальных функциях.
Если интенсивность вводимого излучения I = Я2 невелика, то можно воспользоваться разложением функции нелинейного отклика Ар (I) в степенной ряд [1]
Ар(1) = Л11+ П212 +Пз 13 +
(10)
и ограничиться первым отличным от нуля членом. Нелинейность вида Ар = п11 называется керровской. Если же функция Ар (I), рассматриваемая на всей чи-
I
= г - - ™
0
словои оси, имеет в нуле экстремум, то разложение в степенной ряд начинается со второИ степени интенсивности. Нелинейность вида Ар = ц212 называется некерровской. И тот и другой типы нелинейности являются степенными функциями с целым показателем, и интеграл в (8) для этого случая вычисляется в явном виде. Более того, вычисляется интеграл для любой степенной зависимости I".
Итак, положим ДР(1) = Тогда по формуле (5) находим ДЯ2) = Сл/(а + 1))^2а+2. Подставляя это выражение в (8), получим
Г йЯ
я. 1--5— я2"
(а +1) р
= Х.
(11)
Интеграл в левой части этого выражения вычисляется подстановкой и = 1/Я. В результате имеем
—1 ЛгсЬ а
(
(а +1) р Я" V 5
Л
= Х.
Обращая последнее уравнение, находим
-]1/2а
^ (а + 1) р
(а +1) р
5
1
сЛ1'а (аХ)
(12)
(13)
Перейдём от параметра р, который формулой (7) связан со свободным параметром ц, к новому свободному параметру £тах, для чего обозначим
-|1/2"
(а +1) р
5
= К,
(14)
где Етах - пиковое значение напряжённости. Отсюда
лЕт
р=-
^2а
а +1
и формула (13) принимает вид
я = Етах/ сЛ1/" ("Х), где с учётом (9)
2Р„пЕ
'2 а 'тах
'(1 -р0р2^2)(а +1)
(^ - ^ - м).
(15)
(16)
(17)
Таким образом, формулы (16), (17), (3) и (1) в явном аналитическом виде решают задачу описания оптического поля в одномодовых волоконных световодах, поддерживающих состояние линейной поляризации. Примечательно, что это описание применимо в равной степени как к случаю керровской нелинейности, так и к случаю некерровской нелинейности.
Можно легко построить графики решений в относительных единицах для любых показателей степеней (рис. 1).
Для довершения полноты картины остаётся только выразить свободный параметр ц через пиковое значение напряжённости Етах.
Из (1) и (3) следует, что ц является поправкой к центральному волновому числу р0. Если эта поправка
пренебрежимо мала по сравнению с р0, то из (7) и (15) находим
ц » р = -
2а тах
а +1
(18)
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10
Рис. 1. Графики функции и = Я/Етах для различных показателей степени а
В противном случае следует решить квадратное уравнение, получающееся из (7) и (15):
Я + ПЕ
--+ Я--1
2Р0 " +1
Его решение
(
Я = Ро
<2а
'тах _о
2 лЕ2а -1 +, 1 + - 1 тах
Р0 (" +1)
(19)
(20)
в отличие от (18) может принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Заключение
Таким образом, в явном аналитическом виде решена задача описания оптического поля в одномодовых волоконных световодах, поддерживающих состояние линейной поляризации, при произвольной степенной нелинейности. Как частный случай сюда входит широко применяемая [4 - 6] модель с керровской нелинейностью.
Благодарности
Работа выполнена при государственной поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках реализации мероприятий Программы повышения конкурентоспособности СГАУ среди ведущих мировых научно-образовательных центров на 2013-2020 годы.
Литература
1. Агравал, Г.П. Нелинейная волоконная оптика. - М.: Мир, 1996. - 324 с.
2. Алименков, И.В. Решение расширенного уравнения распространения импульсов в оптических волокнах / И.В. Алименков, Ю.Ж. Пчёлкина // Компьютерная оптика. - 2014. - Т. 38, № 1. - С. 28-30.
3. Алименков, И.В. Решение в квадратурах расширенного уравнения распространения импульсов в оптических
волокнах при произвольной нелинейности / И.В. Алименков, Ю.Ж. Пчёлкина // Компьютерная оптика. -2014. - Т. 38, № 2. - С. 204-206.
4. Agrawal, G.P. Nonlinear Fiber Optics. - Academic Press, 2007. - 478 p.
5. Agrawal, G.P. Nonlinear Fiber Optics. - Academic Press, 2013. - 629 p.
6. Кившарь, Ю.С. Оптические солитоны. От волоконных световодов к фотонным кристаллам / Ю.С. Кившарь, Г.П. Агравал. - М.: Физматлит, 2005. - 648 с.
References
1. Agrawal, G.P. Nonlinear Fiber Optics. - Academic Press, 1989. - 324 p.
2. Alimenkov, I.V. Solution of expanded pulse-propagation equation for optical fiber / I.V. Alimenkov, Y.G. Pchelkina // Computer Optics. - 2014. -Vol. 38(1). - P. 28-30.
3. Alimenkov, I.V., Solution in quadratyres of expanded pulse-propagation equation for optical fiber for an arbitrary nonlinearity / I.V. Alimenkov, Y.G. Pchelkina // Computer Optics. - 2014. - Vol. 38(2).- P. 204-206.
4. Agrawal, G.P. Nonlinear Fiber Optics. - Academic Press, 2007. - 478 p.
5. Agrawal, G.P. Nonlinear Fiber Optics. - Academic Press, 2013. - 629 p.
6. Kivshar, Y.S. Optical solutions. From Fibers to Photonic Grystals / Y.S. Kivshar, G.P. Agrawal. - Moscow: "Fizmat-lit" Publisher, 2005. - 648 p. - (In Russian).
INTEGRATION IN ELEMENTARY FUNKTIONS OF TWO-WAY PULSE -PROPAGATION EQUATION IN OPTICAL FIBERS FOR POWER NONLINEARITY
I. V. Alimenkov, Yu.Zh. Pchelkina Samara State Aerospace University (SSAU)
Abstract
It is found in elementary functions the solutions of two-way pulse - propagation equation in optical fibers for power nonlinearity.
Key words: optical fiber, two-way pulse - propagation equation, the solution in quadratures, an arbitrary power nonlinearity, solitonic solution.
Сведения об авторах
Алименков Иван Васильевич, 1949 года рождения. В 1977 году с отличием окончил Куйбышевский государственный университет по специальности «Физика». Кандидат физико-математических наук, работает в должности доцента кафедры прикладной математики СГАУ. Область научных интересов - нелинейная физика.
E-mail: i-alimenkov@mail.ru .
Ivan Vasilyievich Alimenkov, 1949 year of birth. In 1977 has graduated with honours from Kuibyshev State University on a specialty "Physics". Candidate in Physics and Mathematics, works as associated professor of Applied Mathematics sub-department SSAU. Research interests - nonlinear physics.
Пчёлкина Юлия Жиганшевна, 1980 года рождения. В 2002 году окончила Ульяновский государственный университет по специальности «Прикладная математика». Кандидат физико-математических наук, работает в должности доцента кафедры прикладной математики СГАУ. Область научных интересов - нелинейные уравнения, математическое моделирование.
E-mail: musina@yandex.ru.
Yuliya Zhiganshevna Pchelkina, 1980 year of birth. In 2002 has graduated from Ulyanovsk State University on a speciality "Applied Mathematic". Candidate in Physics and Mathematics, works as associated professor of Applied Mathematics sub-department SSAU. Research interests - nonlinear equations, mathematical modeling.
Поступила в редакцию 19 июня 2014 г.
