CC BY
53
РЕШЕНИЕ РАСШИРЕННОГО УРАВНЕНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСОВ
В ОПТИЧЕСКИХ ВОЛОКНАХ
Алименков И.В., Пчёлкина Ю.Ж. Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет)
Аннотация
Выведено расширенное уравнение распространения оптических импульсов в кварцевых волоконных световодах. Найдено его локализованное решение.
Ключевые слова: волоконный световод, расширенное уравнение распространения, соли-тонное решение.
Введение
Поле оптического импульса, распространяющегося в одномодовом волоконном световоде, поддерживающем состояние линейной поляризации, имеет вид [1]-[3]
E(r,t) = exF(x,y)A(z,t)exp{/(p„z-w0t)} , (1) где F(x, y) - обычно гауссовская функция вида exp {-(x2 + y2) / w2} с характерным размером моды w,
A(z,t) - комплексная огибающая импульса, ш0 - несущая частота, р0=ш0и(ш0)/с - волновое число. Предполагается, что огибающая A(z,t) является медленно изменяющейся функцией своих аргументов, что означает малость её относительных изменений на интервалах времени порядка 1/ш0 и расстояниях порядка 1/po.
Для этой функции выведено уравнение [1]-[3]
ЭА а дА р2 Э2A — + Р,— + / ——г- = /(АР)A , dz dt 2 dt2 H
(2)
называемое уравнением распространения. Правая часть этого уравнения описывает оптические потери и нелинейные эффекты посредством функции
I 12
ДР( Л ), которая выражается через нелинейную
часть показателя преломления Дп с помощью формулы
ко Л дп|е (х, у)|2йх йу
АР = -
(3)
([| Е ( X, у)|2ах йу где ко = шо / с. Коэффициенты в (2) имеют простой физический смысл: Р; = 1/ V^ - величина, обратная групповой скорости, а р2 - дисперсия групповой скорости. В области прозрачности волновода Ар является вещественной функцией от \Л\2. Уравнение (2) справедливо
для импульсов длительностью >0,1 нс, что соответствует квазимонохроматическому приближению.
1. Постановка задачи
Для кварца нелинейность имеет керровский тип
I |2
Дп = п2 Е и из (2) и (3) следует уравнение
dA 1 dA /р2 d2A , .12 „
— +--+ ——- = /g A A,
dz v dt 2 dt2 11
(4)
где у - коэффициент нелинейности. Для одномодовых кварцевых волокон все приведённые выше параметры
известны и их численные значения приведены в [1]-[3]. Уравнение (4) часто называют основным уравнением распространения. Его решение в лабораторной системе отсчёта с исходными параметрами имеет вид [4]
Ео ехр {/^/2}
A = -
ch
Eojg(z - z„ - vgt)
(5)
где Е0 и - произвольные постоянные, имеющие физический смысл пикового значения напряжённости и начального положения импульса.
Выражение (5) ущербно потому, что распределение импульсов по скоростям имеет вид Дельта-функции и что эта фиксированная для всех импульсов скорость не зависит от пикового значения напряжённости импульса. Физическая интуиция подсказывает, что чем больше пиковое значение напряжённости, тем больше величина скорости. Вызывает недоумение и отсутствие волнового числа ро.
Понимая серьёзность высказанных выше критических замечаний, авторы приведут подробный вывод расширенного уравнения распространения и его развёрнутое решение.
2. Вывод расширенного уравнения распространения
Исходным пунктом служит уравнение для напряжённости поля в спектральном представлении [1]
V2E(r, w- wo) + е(ю)&2E(r, w- wo) = 0 ,
(6)
где Е(г,ю-ю0) = | Е(г,¿)ехр{/'[ю-ш0]/}й, е(ш) -
диэлектрическая проницаемость, представимая в виде е = (п + Дп)2 @ п2 + 2пДп .
Уравнение (6) решается стандартным методом разделения переменных:
Е(г,ш-Юо) = Е(х,у)Л(2,ш-Юо)ехр{/ро^} . (7) Подставляя (7) в (6) и обозначая постоянную разделения как р2, получим два уравнения:
f+[«■*-Р2 ] F = 0, f + 2'Po dA+(Р2-Р2)A = 0.
(8)
(9)
Уравнение (8) определяет распределение поля моды Е(х,у) и поправку Ар к постоянной распространения
в линейном приближении Р(ю) = Р(ю) + А», о которых говорилось выше. Нашей дальнейшей задачей является рассмотрение уравнения (9). Мы не станем следовать указанию [1]-[3] пренебречь второй производной в (9) в силу предположения о медленной изменяемости функции А(г, ю-ю.), а получим решение
полного уравнения, следующего из (9), и все сравнительные оценки проведём в решении. Начнём с множителя при последнем слагаемом:
(Р2 -Р2) = (Р-Ро )(Р + Ро ) = = (Р + АР-Ро )(Р + АР + Ро).
Разложим функцию Р(ю) в ряд Тейлора в окрестности точки ю.:
Р(ю) = Ро + РДЮ-Ю„ ) + 2 Р2(Ю-Ю„ )2 +....,
где степенями выше второй пренебрегаем, что соответствует квазимонохроматическому приближению. Подставляя это разложение в предыдущее выражение и обозначая ю- ю. = Аю, имеем:
(Р2 -Р2) = (Р1АЮ+2Р2(Аю)2 +АР)х х ^ 2р. +Р1АЮ+1Р2 (Аю)2 +АР ^ @
@ ^Р1АЮ+ 2Р2(Аю)2 +АР^2»..
Здесь во второй скобке оставлен главный член 2».. Подстановка этого приближённого выражения в (9) даёт
д2 А ?>А ( 1
+ 2Р + 2Ро ^Р1 Аю+ -Р2(Аю)2 + АР | А = 0.
Обратное Фурье-преобразование приводит к следующему уравнению для огибающей А(г,/):
д2А
дА
дА
д 2А
+ 2/Р — + 2/РД — - Р„Р2 + 2р. (АР) А = 0
дг2 "дг или с учётом (3)
дг
дг2
.(дА + р ЭА^ + дА-Р2 11 дг +Р1 дг) + 2р. дг2 2 дг2
+ у А А = 0 . (10)
Так как в области прозрачности кварца (1» 1,55 мкм) величина Р2 =-20 пс2/км, то (10) является уравнением эллиптического типа. Представляет интерес нахождение его решения и исследование различных предельных случаев.
3. Решение расширенного уравнения
Формально (10) переходит в (4) в пределе Р. ® ¥ . Учитывая этот факт и формулу (5), решение уравнения (10) можно искать в виде
А(г, Г) = в(г, /) ехр {1гуЕ.2 /2}, (11)
где 0(г, /) - вещественная функция.
Подставляя (11) в (10) и приравнивая к нулю вещественную и мнимую части полученного уравнения, находим:
дв дг
- +
\у, (1+уе<2 / 2Ро)]
/2В ) I 1 — = 0
дг
дв-м. ^í 2».'
дг
дг
2
2
в +
(12)
(13)
+2уР.в3 = 0.
Таким образом, получена система двух уравнений на одну неизвестную функцию. Уравнение (12), будучи линейным однородным уравнением первого порядка, имеет своим общим решением любую дифференцируемую функцию в = в(5(г,/)), где s(г, 0 = г - г. - уГ , (14)
V = у, (1 + уЕ2/2Р.) . (15)
Т.е. уравнение (12) определяет аргумент искомой функции, оставляя её вид произвольным. С учётом сказанного, уравнение (13) превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение
в'^) = ав(^) - 2Ьв3(х), (16)
где
Ь = -
уЕ2 (2Р. +уЕ.2 /2)
2 (1 + |Р2| РУ ) У».
1+ Р2 РУ
(17)
(18)
Так как быстрые пространственные осцилляции уже отделены, то величина уЕ. /2 в формуле (11) является малой добавкой к волновому числу Р.. Поэтому вторым слагаемым в скобках числителя формулы (17) можно пренебречь по сравнению с 2ро:
УЕ2Р.
а @ -
(19)
1+1р21 ру
Автономное уравнение (16) легко решается, и его локализованное решение имеет вид:
С = . а-
1
' Ь ск () Подставляя сюда (14), (18) и (19), находим
в = - Е
ск
(г - г. - у
I УЕ2Р. 1+Р21РУ
Подставляя это выражение в (11), получим Е. ехр{ 1гуЕ. / 2}
А( г, Г) = -
ск
(г - г. - у ).
УЕ.2Р. 1 +Р2 I РУ
(20)
Это решение представляет собой волновой пакет, движущийся с постоянной скоростью, зависящей от пикового значения напряжённости согласно формуле (15), и в нём присутствует центральное волновое чис-
а=
ло Р0, что коренным образом отличает его от формулы (5). В пределе Р0 ® ¥ формула (20) переходит в (5), т.е. является более общей. Учитывая, что для кварца 1»1,55 мкм; Р2 = -20 пс2/км; п = 1,45, V = с / п , находим, что |Р2 |РУ » 0,005. Так как эта величина стоит под знаком радикала, то ею можно пренебречь по сравнению с единицей и получить из (20) более простое приближённое решение уравнения (10):
Ео ехр {/гуЕ2/2}
A( z, t) = -
(21)
ск [(г - 70 - V) ]'
Формула (21) получается из (20) при Р2 ® 0 . Таким образом, решение (20) уравнения (10) пертурбатив-но как по ро, так и по р2.
Заключение
В заключение отметим, что, хотя (21) и (5) являются различными предельными случаями решения (20), формула (21) более физична, чем (5).
Литература
1. Агравал, Г.П. Нелинейная волоконная оптика. - М.: Мир, 1996. - 324 с.
2. Agrawal, G.P. Nonlinear Fiber Optics. - Academic Press, 2007. - 478 p.
3. Agrawal, G.P. Nonlinear Fiber Optics. - Academic Press, 2013. - 629 p.
4. Алименков И.В. Решение в квадратурах уравнения распространения импульсов в оптических волокнах / И.В. Алименков, Ю.Ж. Пчёлкина // Компьютерная оптика. - 2013. - Т. 37,№. 3. - С. 294-296.
References
1. Agrawal, G.P. Nonlinear Fiber Optics. - Moscow: "Mir" Publisher, 1996. - 324 p. - (In Russian).
2. Agrawal, G.P. Nonlinear Fiber Optics. - Academic Press, 2007. - 478 p.
3. Agrawal, G.P. Nonlinear Fiber Optics. - Academic Press, 2013. - 629 p.
4. Alimenkov, I.V. Solution of pulse- propagation equation for optical fiber in quadratures / I.V. Alimenkov, Y.G. Pchelkina // Computer Optics. - 2013.-Vol. 37, N 3.-P. 294- 296.
SOLUTION OF EXPANDED PULSE - PROPAGATION EQUATION FOR OPTICAL FIBERS
I.V. Alimenkov, Yu.G. Pchelkina S.P. Korolyov Samara State Aerospace University (National Research University)
Abstract
It is found the solution of expanded pulse - propagation equation for optical fibers. Key words: optical fiber, expanded pulse - propagation equation, solitonic solution.
Сведения об авторах
Алименков Иван Васильевич, 1949 года рождения. В 1977 году с отличием окончил Куйбышевский государственный университет по специальности «Физика». Кандидат физико-математических наук, работает в должности доцента кафедры прикладной математики СГАУ. Область научных интересов - нелинейная физика.
E-mail: i-alimenkov@mail.ru .
Ivan Vasilyievich Alimenkov, (1949 b.) majoring in Physics. In 1977 he graduated with honours from Kuibyshev State University. Candidate in Physics and Mathematics, works as associated professor of Applied Mathematics sub-department SSAU. Research interests -nonlinear physics.
Пчёлкина Юлия Жиганшевна, 1980 года рождения. В 2002 году окончила Ульяновский государственный университет по специальности «Прикладная математика». Кандидат физико-математических наук, работает в должности доцента кафедры прикладной математики СГАУ. Область научных интересов - нелинейные уравнения.
E-mail: musina@,yandex.ru .
Yuliya Giganshevna Pchelkina, (1980 b.) majoring in Applied Mathematica. In 2002 she graduated from Ulyanovsk State University. Candidate in Physics and Mathematics, works as associated professor of Applied Mathematics sub-department SSAU. Research interests -nonlinear equations.
Поступила в редакцию 10 декабря 2013 г.
