CC BY
43
РЕШЕНИЕ РАСШИРЕННОГО УРАВНЕНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСОВ
В ОПТИЧЕСКИХ ВОЛОКНАХ ДЛЯ КОНКУРИРУЮЩЕЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ
Алименков И.В., Пчёлкина ЮЖ. Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет) (СГАУ)
Аннотация
Найдены в элементарных функциях решения расширенного уравнения распространения оптических импульсов в волоконных световодах для конкурирующих функций отклика нелинейной среды на внешнее гармоническое возмущение.
Ключевые слова: волоконный световод, расширенное уравнение распространения, точное решение, конкурирующая нелинейность, солитонное решение.
Введение
Поле оптического импульса, распространяющегося в одномодовом волоконном световоде, поддерживающем состояние линейной поляризации, имеет вид [1].
Е(г, ^ = еЛа; у)А(г, Оехр{;(Р„2-ю/)] , (1)
где Р(х, у) - гауссовская функция вида ехр
-( а2 + у2)
с радиусом моды ш, А(г, ?) - комплексная огибающая импульса, юо - несущая частота, Ро = юоп(юо) / с -центральное волновое число.
Для огибающей оптического импульса выведено [2] уравнение
' (¥1+
1 Э2А р2 Э2А
Эг
Э1) 2р0 Эг 2 Э?
(2)
+АР( А| ) А = 0,
названное расширенным уравнением распространения, которое существенно отличается от традиционного, называемого основным уравнением распространения [1], наличием второй производной по координате. Здесь Р1 = 1/ V - величина, обратная групповой скорости, р2 - дисперсия групповой скорости,
I 12
АР( А ) - нелинейная поправка к постоянной распространения моды в линейном приближении, которая выражается через нелинейную часть Ап показателя преломления:
АР =
ко л ап|^ ( а, у)|2аму
Ц\р ( а, у)|2аму
(3)
где ко = юо / с.
В области прозрачности волновода Ар является вещественной функцией. Так как р2 в области прозрачности отрицательно, то тип уравнения (2) -эллиптический. Если в уравнении (2) отбросить одну из вторых производных, то полученное уравнение параболического типа сводится к нелинейному уравнению Шрёдингера, которое является на сегодняшний день самым изученным из нелинейных уравнений, допускающих солитонные решения. Сводку различных его решений можно посмотреть, например, здесь: http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/npde/npde1402.pdf, http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/npde/npde1403.pdf.
Полные уравнения второго порядка рассматривались и ранее. Так, в [3] выведено уравнение гиперболического типа для неограниченной керровской среды в упрощённой модели поля, не зависящего от поперечных координат, но затем это уравнение упрощается до нелинейного уравнения Шрёдингера. Следует упомянуть и статью [4], в которой методом секанса и tanh-методом решаются некоторые полные уравнения второго и даже третьего порядка, однако полученные решения сингулярны. Решения же в статьях [2], [5] являются гладкими локализованными функциями, как и в данной работе.
При небольших пиковых значениях интенсивности вводимого излучения нелинейную часть показателя преломления представляют степенным рядом
Ап = п2 |Е2 + п4 |Е4 +•••, (4)
что согласно (3) приводит к степенному разложению функции Ар:
АР = у| А2 +т| А|4 +•••, (5)
где параметры у и ^ зависят от характеристик световода. При достаточно малых интенсивностях оптического поля вторым слагаемым в (5) пренебрегают.
Полученная нелинейность называется керровской, и солитонное решение уравнения (2) для этого случая найдено в [5].
С ростом интенсивности вводимого излучения наблюдается [6] отклонение от керровской зависимости показателя преломления и необходимо учитывать второе слагаемое в формуле (5). Такая нелинейность называется конкурирующей (иногда этот термин применяют только в случае, если слагаемые в (5) различаются знаком).
Экспериментальные исследования в нелинейной оптике [6] подтверждают такую зависимость нелинейного показателя преломления от интенсивности оптического поля в полупроводниковых волноводах, стёклах, допированных полупроводниками, и органических полимерах.
Целью настоящей работы является нахождение локализованных решений уравнения (2) в элементарных функциях для конкурирующего нелинейного отклика среды на внешнее гармоническое возмущение.
Основной формализм
В [5], [7] показано, что если искать локализованное решение уравнения (2) в виде
А( г, О = Я( г, О ехр {iqz} , (6)
где Я - действительная функция, а q - произвольный параметр, являющийся поправкой к центральному волновому числу Р0, то функция Я определяется двумя квадратурами:
i
Ryj 1 - B( R2)/ pR2
R2
B(R2) = J ДР(/)dI
■ = X,
Здесь
X = J (- - *„ - *)
(1 -PJV
p = q(1 + q /2po ), v = (1 + q / Р0 ),
(7)
(8)
(9)
(10) (11)
где г0 - произвольная постоянная, определяющая начальное положение импульса. Полагая в (8)
ДР = у/+|л!2 (12)
и подставляя полученное выражение в (7), имеем
J
dR
Rj 1 -(gR2 /2p+ mR/3p)
=x.
(13)
Интеграл в левой части (13) с помощью подстановки и=ИЯ сводится к известному [8] интегралу, и в результате получим
=x.
-1 Arch 1R-g/4 p
2 vt2/16 p2+m/3 p
Обращая это выражение, находим
R=
2^/p7g
+ yj 1 +16 pm /3g2 ch2X
(14)
(15)
Формула (15) описывает вещественную огибающую волнового пакета, локализованного вдоль направления г = го + у1 и движущегося с постоянной скоростью (11).
С учётом (6), солитонное решение уравнения (2) имеет вид:
A( z, i) =
2^1 p / g exp(jqz) + yj 1 +16 pm /3g2 ch2X
(16)
В том, что (16) является решением уравнения (2), можно убедиться прямой подстановкой. Последняя формула представляет собой однопараметрическое семейство решений, в котором свободным параметром является ^
От свободного параметра q (а вместе с ним и от р) удобно перейти к новому свободному параметру [9] амплитудного характера. Действительно, из соображений размерности и из формулы (15) следует, что
пиковое значение напряжённости выражается следующим образом:
Е„„ =
2>/p/g
1+ 1
1+16 pm/3g2 Отсюда находим
p=-
gEmax . М-Ег
4
'max
2
3
Теперь из формулы (10) выражаем
q= РС
-1 ±. 1+
2p Р0
(17)
(18)
(19)
или, подставляя сюда (18), окончательно получим
q= РС
-1 + 1 + 2
( gE2 mЕ4 л
I max + г^ max
2Р0 3Ро
(20)
Формулы (16), (9), (11), (18), (20) решают поставленную задачу.
Заключение
Таким образом, в явной аналитической форме найдено солитонное решение уравнения (2) для конкурирующей нелинейности. Каждый солитон характеризуется своей амплитудой и постоянной скоростью, зависящей от амплитуды.
Благодарности
Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках реализации мероприятий Программы повышения конкурентоспособности СГАУ среди ведущих мировых научно-образовательных центров на 2013-2020 годы.
Литература
1. Агравал, Г.П. Нелинейная волоконная оптика. - М.: Мир, 1996. - 324 с.
2. Алименков, И.В. Решение расширенного уравнения распространения импульсов в оптических волокнах / И.В. Алименков, Ю.Ж. Пчёлкина // Компьютерная оптика. - 2014. - Т. 38. - В. 1. - С. 28-30.
3. Lin, C. Foundations for Guided-Wave Optics / Lin Chen. -Wiley, 2007. - 462p.
4. El-Wakil, S.A. New periodic and soliton solutions of nonlinear evolution equations //Applied Mathematics And Computation - 2008. - Vol. 197, - P. 497-506.
5. Chen, L. Foundations for Guided-Wave Optics / Lin Chen // Wiley. - 2007. - 462 p.
6. El-Wakil, S.A. New periodic and soliton solutions of nonlinear evolution equations // Applied Mathematics and Computation. - 2008. - Vol. 197. - P. 497-506.
7. Алименков, И.В. Решение расширенного уравнения распространения импульсов в оптических волокнах / И.В. Алименков, Ю.Ж. Пчёлкина // Компьютерная оптика. - 2014. - Т. 38, № 1. - С. 28-30.
8. Алименков, И.В. Интегрирование в элементарных функциях двунаправленного уравнения распространения импульсов в оптических волокнах для степенной нелинейности / И.В. Алименков, Ю.Ж. Пчёлкина // Компьютерная оптика. - 2014. - Т. 38, №. 3. - С. 377-379.
0
9. Кившарь, Ю.С. Оптические солитоны. От волоконных световодов к фотонным кристаллам / Ю.С. Кившарь, Г.П. Агравал. - М.: Физматлит, 2005. - 648 с.
10. Алименков, И.В. Решение в квадратурах расширенного уравнения распространения импульсов в оптических волокнах при произвольной нелинейности / И.В. Алименков, Ю.Ж. Пчёлкина // Компьютерная оптика. -2014. - Т. 38, № 2. - С. 204-206.
11. Двайт, Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. - М.: Наука, 1977. - 224 с.
12. Тахтаджян, Л.А. Гамильтонов подход в теории соли-тонов / Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев. - М.: Наука, 1986. - 528 с.
References
1. Agrawal, G.P. Nonlinear Fiber Optics. - Moscow: " Mir" Publisher, 1996. - 324 p. - (In Russian).
2. Alimenkov, I.V. Solution of expanded pulse-propagation equation for optical fiber / I.V. Alimenkov, Y.Z. Pchelkina // Computer Optics - 2014.-V. 38(1). - P. 28 - 30.
3. Lin, C. Foundations for Guided-Wave Optics / Lin Chen // Wiley. - 2007. - 462 p.
4. El-Wakil, S.A. New periodic and soliton solutions of nonlinear evolution equations // Applied Mathematics And Computation. - 2008. - V. 197. - P. 497-506.
5. Chen, L. Foundations for Guided-Wave Optics / Lin Chen. - Wiley, 2007. - 462 p.
6. El-Wakil, S.A. New periodic and soliton solutions of nonlinear evolution equations // Applied Mathematics and Computation. - 2008. - Vol. 197. - P. 497-506.
7. Alimenkov, I.V. Solution of expanded pulse-propagation equation for optical fiber / I.V. Alimenkov, Y.Z. Pchelkina // Computer Optics. - 2014. - Vol. 38(1). - P. 28-30.
8. Alimenkov, I.V. Integration in elementary functions of two-way pulse-propagation equation in optical fiber for power nonlinearity / I.V. Alimenkov, Y.Z. Pchelkina // Computer Optics. - 2014. - Vol. 38(3). - P. 204-206.
9. Kivshar, Y.S. Optical solitons. From Fibers to Photonic Grystals / Y.S. Kivshar, G.P. Agrawal. - Moscow: "Fizmat-lit" Publisher, 2005. - 648 p. - (In Russian).
10. Alimenkov, I.V. Solution in quadratyres of expanded pulse-propagation equation for optical fiber for an arbitrary nonlinearity / I.V. Alimenkov, Y.Z. Pchelkina // Computer Optics. - 2014. - Vol. 38(2).- P. 204-206.
11. Dwight, H.B Tables of integrals and other mathematical data. - Moscow: "Nauka" Publisher, 1977. - 224 p. - (In Russian).
12. Takhtajan, L.A. Hamilton approach in theory of solitons / L.A. Takhtajan, L.D. Faddeev. - Moscow: "Nauka" Publisher, 1986. - 528 p. - (In Russian).
THE SOLUTION OF AN EXPANDED PULSE - PROPAGATION EQUATION IN OPTICAL FIBERS FOR COMPETING NONLINEARITY
I. V. Alimenkov, Y.Z. Pchelkina Samara State Aerospace University
Abstract
Solutions of the expanded pulse-propagation equation are derived in elementary functions in optical fibers for competing nonlinearit.
Key words: optical fiber, expanded pulse - propagation equation, the exact solution, competing nonlinearity, solitonic solution.
Сведения об авторах
Алименков Иван Васильевич, 1949 года рождения. В 1977 году с отличием окончил Куйбышевский государственный университет по специальности «Физика». Кандидат физико-математических наук, работает в должности доцента кафедры прикладной математики СГАУ. Область научных интересов - нелинейная физика.
E-mail: i-alimenkov@mail.ru .
Ivan Vasilyievich Alimenkov, 1949 year of birth. In 1977 graduated with honours from Kuibyshev State University on a speciality "Physics". Candidate in Physics and Mathematics, works as associated professor Applied Mathematics sub-department of SSAU. Research interests - nonlinear physics.
Пчёлкина Юлия Жиганшевна, 1980 года рождения. В 2002 году окончила Ульяновский государственный университет по специальности «Прикладная математика». Кандидат физико-математических наук, работает в должности доцента кафедры прикладной математики СГАУ. Область научных интересов - нелинейные уравнения.
E-mail: musina@yandex.ru .
Yuliya Zhiganshevna Pchelkina, 1980 year of birth. In 2002 graduated from Ulyanovsk State University on a speciality "Applied Mathematics". Candidate in Physics and Mathematics, works as associated professor Applied Mathematics sub-department of SSAU. Research interests - nonlinear equations.
Поступила в редакцию 26 сентября 2014 г.
