Решение в квадратурах расширенного уравнения распространения импульсов в оптических волокнах при произвольной нелинейности Текст научной статьи по специальности «Математика»

РЕШЕНИЕ В КВАДРАТУРАХ РАСШИРЕННОГО УРАВНЕНИЯ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ИМПУЛЬСОВ В ОПТИЧЕСКИХ ВОЛОКНАХ ПРИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ

Алименков И.В., Пчёлкина ЮЖ. Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет)

Аннотация

Найдено в квадратурах решение расширенного уравнения распространения оптических импульсов в волоконных световодах для произвольной функции отклика нелинейной среды на внешнее гармоническое возмущение.

Ключевые слова: волоконный световод, расширенное уравнение распространения, решение в квадратурах, произвольная нелинейность, солитонное решение.

Введение

Для огибающей оптического импульса, распространяющегося в одномодовом волоконном световоде, поддерживающем состояние линейной поляризации, выведено [1] уравнение

'М + ь ЭА^ + ЭМ ^ ЭМ

уЭх +Ь1 Э,\ + 2р: Эх2 2 Э,2

+

(1)

+др(| А\ ) А = 0,

названное расширенным уравнением распространения. Здесь А(х, ,)- комплексная огибающая импульса, юо - несущая частота, р: = ю:п(ю:) / с - волновое число, Р1 = 1/ V - величина, обратная групповой скоро-

I |2

сти, Р2 - дисперсия групповой скорости, др( А ) - нелинейная поправка к постоянной распространения моды в линейном приближении.

В области прозрачности волновода Др является вещественной функцией.

Это уравнение существенно отличается от общепринятого [2]-[4] уравнения распространения

ЭА 0 ЭА р

— + Р, — +1— Эх 1 дt 2

2 Э2 А = 1(ДР)А

Э(2

наличием второй производной по координате. Если в (1) отбросить вторую производную по координате, то получим последнее уравнение.

При известном [2]-[4] выводе этого уравнения отбрасывание второй производной по координате происходит ещё на начальном этапе решения волнового уравнения в спектральном представлении. Это сделано в предположении, что фурье-образ огибающей является медленно меняющейся функцией.

Не считая данную аргументацию убедительной, авторы провели полный вывод [1] уравнения (1) и исследовали его решение в случае керровской нелинейности для кварцевого волокна. Результат получился прямо противоположный - скорее следует отбросить вторую производную по времени.

Грубую сравнительную оценку вклада вторых производных для кварца можно провести в самом уравнении (1), не обращаясь к решению.

Действительно, в области минимальных оптических потерь кварца: 1» 1,55 мкм; Р2 =-20 пс2/км; п = 1,45, полагая 2=ст, получим, что коэффициенты при вто-

рых производных различаются на два порядка не в пользу второй производной по времени

Для допированных кварцевых волокон с многослойной оболочкой, газонаполненных волокон, полупроводниковых волокон, стёкол, допированных полупроводниками и органическими полимерами, вклад вторых производных может быть сравним.

Целью настоящей работы является точное решение уравнения (1) в квадратурах при произвольной функции нелинейного отклика.

Основной формализм

Функция ДР(|А|2), характеризующая нелинейный отклик среды на внешнее гармоническое возмущение, принадлежит к одному из трёх классов: конкурирующие, насыщающиеся и переходные нелинейности [5]. Очевидным её свойством является то, что в нуле она обращается в ноль. Керровскую нелинейность можно считать частным случаем конкурирующей нелинейности.

Будем искать решение уравнения (1) в солитонном виде

А( х, 0 = Я( х, 0 ехр {±1цх}, (2)

где Я - действительная функция, а ц - произвольный неотрицательный параметр, связанный с пиковым значением напряжённости поля.

Подставляя (2) в (1) и приравнивая к нулю мнимую и вещественную части полученного уравнения, приходим к системе двух уравнений с одной неизвестной функцией:

(

1 ± ±\ ЭЯ+ЭЯ=0.

р0; Эх

э,

(3)

1

Э2 Я Р2 Э2 Я

2Ро Эг 2 Э. ^+£

Уравнение (3) является линейным однородным уравнением первого порядка.

Как известно из теории таких уравнений, общим решением является любая дифференцируемая функция Я=Я(з(х,£)), где

5(х,,) = х - V,, (5)

V = ^ (1 ± ц / р:). (6)

Таким образом, огибающая представляет собой бегущую волну неизменного профиля, движущуюся с постоянной скоростью (6) (при -ц/р,т=1 возникает стоячая волна).

Я.

(4)

1

Профиль этой волны определяется уравнением (4), которое превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение

1

ж

ру

2

d2 R

ds1

±q + ---Db( R2)

^ 2Ро )

R,

(7)

разрешимое в квадратурах. Действительно, умножая (7) на dR/ds, находим первый интеграл

(£^ ^ -,

-{ Ар^2)d (R2) + С где С1 - произвольная постоянная. Обозначая

Б^) = | Ар( R2)d (R2), разделяя переменные и интегрируя, получим

dR

i-PoPV

I 2Р:

^/(±q + q2/2po)R2 - B(R2) + Ci

(8)

(9)

(10)

= z - z - vt,

где в качестве второй произвольной постоянной интегрирования принято (-г0). Формула (10) является общим решением уравнения (7), которое определяется двумя квадратурами. Выполняя интегрирование в (9) и (10), найдём z-z0-vt=f(R,C1).

Обращая данное выражение (если это, конечно, возможно) получим явный вид огибающей R=R(z-z0-vt, С1). Постоянная С1 определяется поведением огибающей на бесконечности. Отметим, что параметр ц по сути является поправкой к волновому числу р0.

Заключение

Таким образом, найдено решение уравнения (1) в виде волнового пакета с неизменным профилем. Формула (10) является основным результатом данной

работы. Решение задачи о распространении оптических импульсов в одномодовых волоконных световодах, поддерживающих состояние линейной поляризации, сводится к вычислению первообразной в левой части (10), что, несомненно, технически проще решения уравнения в частных производных. Даже если эта первообразная не выражается в элементарных функциях, формула (10) определяет общее решение в специальных функциях.

Литература

1. Алименков, И. В. Решение расширенного уравнения распространения импульсов в оптических волокнах / И.В. Алименков, Ю.Ж. Пчёлкина // Компьютерная оптика. - 2014. - Т. 38, №. 1. - С. 28-30.

2. Агравал, Г.П. Нелинейная волоконная оптика. - М.: Мир, 1996. - 324 с.

3. Agrawal, G.P. Nonlinear Fiber Optics. - Academic Press, 2007. - 478 p.

4. Agrawal, G.P. Nonlinear Fiber Optics. - Academic Press, 2013. - 629 p.

5. Кившарь, Ю.С. Оптические солитоны. От волоконных световодов к фотонным кристаллам / Ю.С. Кившарь, Г.П. Агравал. - М.: Физматлит, 2005. - 648 с.

References

1. Alimenkov, I.V. Solution of expanded pulse-propagation equation for optical fiber/ I.V. Alimenkov, Y.G. Pchelkina // Computer Optics. - 2014.-V. 38(1). - P. 28-30.

2. Agrawal, G.P. Nonlinear Fiber Optics. - Moscow: "Mir" Publisher, 1996. - 324 p. - (In Russian).

3. Agrawal, G.P. Nonlinear Fiber Optics. - Academic Press, 2007. - 478 p.

4. Agrawal, G.P. Nonlinear Fiber Optics. - Academic Press, -2013. - 629 p.

5. Kivshar, Y.S. Optical solitons. From Fibers to Photonic Grystals / Y.S. Kivshar, G.P. Agrawal - Moscow: "Fizmat-lit" Publisher, 2005. - 648 p. - (In Russian).

2

SOLUTION IN QUADRATURES OF EXPANDED PULSE - PROPAGATION EQUATION FOR OPTICAL FIBERS FOR AN ARBITRARY NONLINEARITY

I. V. Alimenkov, Yu.G. Pchelkina Samara State Aerospace University

Abstract

We found in quadratures the solution of expanded pulse - propagation equation for optical fibers for an arbitrary nonlinearity.

Key words: optical fiber, expanded pulse - propagation equation, the solution in quadratures, an arbitrary nonlinearity, solitonic solution.

Сведения об авторах

Алименков Иван Васильевич, 1949 года рождения. В 1977 году с отличием окончил Куйбышевский государственный университет по специальности «Физика». Кандидат физико-математических наук, работает в должности доцента кафедры прикладной математики СГАУ. Область научных интересов - нелинейная физика. E-mail: [email protected] .

Ivan Vasilyievich Alimenkov, 1949 year of birth. In 1977 has graduated with honours from Kuibyshev State University on a speciality "Physics". Candidate in Physics and Mathematics, works as associated professor of Applied Mathematics sub-department SSAU. Research interests - nonlinear physics.

Пчёлкина Юлия Жшаишсвиа, 1980 года рождения. В 2002 году окончила Ульяновский государственный университет по специальности «Прикладная математика». Кандидат физико-математических наук, работает в должности доцента кафедры прикладной математики СГАУ. Область научных интересов - нелинейные уравнения. E-mail: [email protected] .

Uliya Giganshevna Pchelkina, 1980 year of birth. In 2002 has graduated from Ulyanovsk State University on a speciality "Applied Mathematica". Candidate in Physics and Mathematics, works as associated professor of Applied Mathematics sub-department SSAU. Research interests - nonlinear equations.

Поступила в редакцию 31 марта 2014 г.