РЕШЕНИЕ СКАЛЯРНОЙ ДВУМЕРНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ НА ОБЪЕКТАХ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

2023, Т. 165, кн. 2 С. 167-177

ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)

ОРИГИНАЛЬНАЯ СТАТЬЯ

УДК 517.9 10.26907/2541-7746.2023.2.167-177

РЕШЕНИЕ СКАЛЯРНОЙ ДВУМЕРНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ НА ОБЪЕКТАХ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ

А. О. Лапич, М. Ю. Медведик

Пензенский государственный университет, г. Пенза, 440026, Россия

Аннотация

Цели данного исследования - разработка, построение и программная реализация методов решения нелинейной задачи дифракции. В работе рассмотрено влияние нелинейной среды, заданной по закону Керра к2 (х) = к2 + а\п (х)\2 , на распространение волны, проходящей через объект. Представлены дифференциальная и интегральная формы задачи, а также нелинейное интегральное уравнение. Получены результаты решения задачи на различных телах с использованием различных расчетных сеток, представлены графики сходимости итерационных процессов и графические результаты. Приведены сравнения явного и неявного методов решения соответствующего интегрального уравнения.

Ключевые слова: интегральное уравнение, скалярная нелинейная задача дифракции, метод коллокаций, итерационный процесс, численный метод

Введение

Решение задач дифракции на объектах произвольной формы имеет большое значение для многих отраслей науки и техники. В некоторых случаях дифракционные задачи могут рассчитываться при помощи двумерных моделей. Полученные результаты находят свое применение в таких областях, как радиофизика, медицинская диагностика.

Первым шагом в решении является построение на рассматриваемом теле расчетной сетки с использованием равномерного или неравномерного разбиения. Затем, применив различные математические методы, можно свести поставленную задачу к системе линейных алгебраических уравнений. Для решения подобных задач могут использоваться различные подходы, такие как методы конечных разностей, конечных элементов, сведения к интегральному уравнению и др. [1 ]—[7]. Мы используем метод сведения задачи к интегральному уравнению, так как он позволяет находить решение задачи, задав расчетную сетку только на объекте, что избавляет от построения больших расчетных сеток, построенных на теле и вне его, как это необходимо в других методах. Получив систему уравнений, можно решить ее численно, использовав различные существующие методы. Решение задачи в двумерной области имеет относительно небольшую вычислительную сложность и высокую скорость вычисления. Поэтому для тестирования и отладки можно использовать мелкое разбиение сетки, которое позволит получить более точные результаты.

1. Постановка задачи

Пусть неоднородный объект Q расположен в двумерном пространстве. Рассмотрим решение скалярной задачи дифракции для плоского тела (либо системы тел). Такая задача сводится к неоднородному уравнению Гельмгольца [2]

Дм + к2 (х) м = f (х), (1)

где к2 (х) - непрерывная вещественная функция, к2 (х) > 0, f (х) - известная функция с компактным носителем. Введем условия сопряжения на границе раздела двух сред

дм

Над = °

дп

= (2)

дя

где символ [•] определяет скалярную функцию на дQ, представляющую собой разность значений функции с разных сторон дQ. Функция должна удовлетворять условиям излучения на бесконечности (условия Зоммерфельда)

^ = гк0и + о ^^^ > >' '■= М 00• (3)

Утверждение 1. Решение задачи (1)-(3) единственно.

Любое решение задачи (1)-(3), удовлетворяющее условиям непрерывности, называется классическим решением прямой задачи рассеяния в дифференциальной постановке. Задача (1)-(3) может быть сведена к интегральному уравнению [2]

f0 (х) = м (х) - у С (х, у) (к2 - к2 (у)) м (у) ¿у, (4)

Я

где f0 (х) - функция, задающая падающее поле, к (у) - волновая функция внутри тела, и (х) - искомая функция, С (х, у) = (А~о|х — у|) - функция Ханкеля первого рода. Уравнение (4) называется уравнением Липпмана-Швингера.

Далее определим пространство Ь2 . В случае, когда Q является однородным объектом, интегральное уравнение (4) примет вид

f0 (х) = м (х) - к2 У С (х, у) м (у) ¿у. (5)

Я

Уравнения (4)-(5) являются уравнениями Фредгольма второго рода. Обозначим Ам = § С (х, у) (к2 — к2 (у)) м (у) ¿у, м := м (х), ^ := f0 (х) и запишем уравнение

Я

в операторном виде: Ьм := м — Ам := ^.

Утверждение 2. Оператор Ьм := м — Ам : Ь2 ^ Ь2 фредгольмов. Оператор А - это компактный оператор, так как является оператором со слабо сингулярным ядром, I - единичный оператор. Таким образом, оператор Ь := I — А является оператором Фредгольма.

Утверждение 3. Оператор Ь := I — А : Ь2 ^ Ь2 является непрерывно обратимым.

Решение задачи (1)-(3) требует разработки и использования современных численных методов. Для этих целей мы разработали модифицированные проекционные методы.

2. Расчетные сетки и матрицы

Рассмотрим построение модифицированного метода коллокаций. Проведем дискретизацию тела Q для решения интегрального уравнения (4), которая состоит в построении расчетной сетки на теле Q. Рассмотрим особенности построения расчетной сетки. Процесс дискретизации расчетной сетки подробно рассмотрен в [4]. Основной проблемой при конструировании расчетной сетки является правильное определение границ тела. Данная проблема может быть решена путем введения все более мелкоячеистой сетки. Однако существуют и другие подходы, связанные с введением более удобных носителей базисных функций. При построении любой расчетной сетки П^ должна учитываться специфика геометрии Q, в том числе для тел канонической формы.

Чтобы лучше описать края тела Q и улучшить граничную аппроксимацию дQ, введем в расчетную сетку ПN дополнительные носители вирр /к для базисных функций /. Здесь к - тип носителя, г - его порядковый номер. В этом случае выбор сеточных базисных функций может быть произведен путем применения субиерархического метода [7], [8].

Для улучшения аппроксимации тела Q, его границ дQ и минимизации числа носителей базисных функций /к при построении вектора геометрии можно ввести добавочные типы сеточных базисных функций вирр /к.

В случае, когда тело имеет гладкую границу (круг, эллипс и т. д.), возникает трудность в аппроксимации его границы прямоугольными носителями. Эту проблему можно решить путем добавления дополнительных треугольных носителей в расчетную сетку (рис. 1).

Рис. 1. Пример круга, построенного на прямоугольной и обобщенной сетках Расчетные сетки данного вида будем называть объединенными каноническими

о

расчетными сетками . Для рассматриваемых типов задач на плоских телах и

о

экранах можно использовать объединенную расчетную сетку ПN (рис. 2), которая представляет собой объединение треугольной и прямоугольной расчетных сеток.

о

Определение 1. Конечными элементами обобщенной расчетной сетки Пм являются прямоугольники или треугольники, параллельные одной из плоскостей декартовой системы координат и образованные горизонтальными, вертикальными или диагональными ребрами расчетной сетки.

Определение 2. Носитель сеточной базисной функции вирр для расчетной

о

сетки Пм - это два несовпадающих конечных элемента, примыкающих к одному ребру, каждый из которых ориентирован вдоль одной из плоскостей декартовой системы координат.

Рис. 2. Фигура сложной формы, построенная на объединенной сетке

о

Определение 3. Шаблон носителей для обобщенной расчетной сетки П^ -это совокупность всевозможных типов носителей базисных функций fk .

Иногда в ряде задач возникают случаи, когда явление искусственной анизотропии оказывает сильное влияние на решение задачи. Если носители базисных функций имеют выраженную ориентацию в определенном направлении, то возникает данное явление (рис. 3), что, в свою очередь, приводит к появлению еще одного вида погрешности. Эту проблему можно эффективно решить на этапе определения

о

геометрии тела Q путем введения объединенной расчетной сетки П^ •

Рис. 3. Фигура сложной формы, построенная на сетке, имеющей ориентацию по одному углу

о

Выбор геометрии Q и его границ дQ при использовании расчетной сетки П^ возможен различными путями. Одно и то же тело может быть описано разными комбинациями носителей Бирр . В большинстве случаев выбирают комбинацию, которая состоит из меньшего числа носителей, приводящую к уменьшению вычислительной сложности задачи. Также при выборе набора носителей учитывают точность аппроксимации границ фигуры. Однозначность определения формы фигуры гарантирует следующее утверждение.

о

Матрица А состоит из матричных элементов, включающих в себя всевозможные комбинации сеточных базисных функций fk. Требуется выполнение условий аппроксимации для каждого из типов сеточных базисных функций. Комбинация полного набора базисных функций различного типа также должна удовлетворять условию аппроксимации в выбранных пространствах.

Утверждение 4. Пусть матрица A включает в себя N > 2 типов базисных функций /k (k = 1,..., N) и пусть каждый из типов базисных функций /к удовлетворяет условию аппроксимации. Тогда любая комбинация из элементов базисных функций различного типа также удовлетворяет условию аппроксимации.

o

Теорема 1. Пусть A - матрица, полученная дискретизацией интегрального уравнения на фигуре канонической формы П = {0 < xi < dl,...,0 < xn < dn} проекционным методом, и пусть вектор геометрии W однозначно определяет фигуру сложной геометрической формы Q. Тогда решение интегрального уравнения, найденное субиерархическим методом на подматрице, определяемой вектором геометрии W, будет решением интегрального уравнения на фигуре Q.

Доказательство теоремы 1 и утверждений можно найти в работе [6]. Размер матрицы, составленный по конкретной расчетной сетке для тела Q, всегда значи-

o

тельно меньше размера матрицы A. Однако матрица, как правило, имеет специфическую структуру (является теплицевой, блочно-теплицевой, ганкелевой и т.д.). К обобщенным матрицам относятся так называемые переопределенные матрицы. Такая структура матрицы приводит к возможности хранения вместо целой матрицы нескольких ее строк, что значительно упрощает процессы, связанные с вычислениями, а также обработкой и хранением матрицы.

3. Решение прямой задачи (метод коллокаций)

Дополним Q до фигуры прямоугольного вида P = {x : ai <xi < a2, bi <x2 <b2, хз = c}. Построим на P равномерную обобщенную прямоугольную сетку. Будем нумеровать все элементарные прямоугольники Щ; G P. Это связано с тем, что нам неизвестно местоположение, размер и форма неоднородности. Площадь любого элементарного прямоугольника Щ; равна V. Будем называть элементарный прямоугольник носителем базисной функции.

Будем использовать кусочно-постоянные базисные функции и определим их на носителе следующим образом:

i 1, x G Пki, , ,

vk; = U x G П. (6)

Данная функция удовлетворяет условию аппроксимации в пространстве L2 (Q). В качестве метода решения выберем метод коллокации и рассмотрим его применение для уравнения

Au = /. (7)

Метод коллокации состоит в нахождении приближенного решения уравнения посредством приравнивания значений функций в левой и правой частях в конечном числе точек, называемых точками коллокации, которые обычно выбираются как центры носителей базисных функций: Xj = j ; 2,3+^2,3+1 ^ с| рассм0трим

линейный ограниченный оператор A : X ^ Y. Метод коллокации решения уравнения (7) состоит в нахождении приближенного решения u G Xn, удовлетворяющего уравнению

(Aun) (xj) = / (xj) ,j = 1 ...n.

Рассмотрим линейную оболочку Xn = span{vi ...vn}, состоящую из базисных функций (6). Выразим элемент un в виде линейной комбинации

n

un = YfcVfc. fc=i

В этом случае метод коллокации приводит к СЛАУ следующего вида

n

(Avfc) (xj) = f (Xj), j = 1 ...n. (8)

k=i

Приравнивание левой и правой частей уравнений (8) в конечном числе точек коллокации эквивалентно уравнению проекционного метода PnAun = Pnf с некоторым оператором интерполяции Pn, являющимся проекционным оператором.

4. Нелинейный случай

Рассмотрим нелинейное интегральное уравнение

f0 (x) = u (x) -J G (x, y) (k02 - k2 (y; u (y))) u (y) dy, (9)

Q

где волновая функция зависит от u (y). Данное уравнение описывает процесс дифракции волны внутри Q. Определим нелинейную структуру тела по закону Керра

k2 (x) = k0 + a|u (x)|2, (10)

где ki = const, a > 0 - коэффициент нелинейности. Будем моделировать процесс определения нелинейного поля при помощи итерационного процесса. Разобьем итерационный алгоритм на два этапа. На первом этапе положим, что тело однородно, т. е. волновая функция является константой: k2 ( x) = ki = const (запуск итерационного процесса также возможен при условии, что волновая функция является неоднородной).

Неявный алгоритм. Решим интегральное уравнение

uo (x) = f0 (x) + J G (x, y) (k°° - k2 (y)) uo (y) dy

Q

и рассчитаем поле uo (x). На последующих шагах пересчитаем значения волновой функции по следующей формуле:

kn+1 (x) = k2 + a|un (x)|2. (11)

Далее решим линейное уравнение

un+i (x) = f 0 (x) + J G (x y) (k° - kn+i (y; un (y))) un+i (y) dy. (12)

Q

Процесс (11)-(12) повторим до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность. Задачу рассмотрим в частотной области. Данный метод является неявным, поэтому на каждом этапе приходится решать нелинейное уравнение. Для решения уравнения используем метод коллокаций.

Явный алгоритм. Данный алгоритм заключается в построении явного итерационного процесса, который можно расписать по шагам. На первом этапе для задания начального приближения решим линейное объемное интегральное уравнение (9) и тем самым определим значение u0 (x) . На последующих шагах пересчитаем значения волновой функции по формуле Керра (11) и, использовав формулу пересчета

un+i (x) = f0 (x) + J G (x, y) (k° - kn+1 (y; un (y))) un (y) dy, (13)

Q

найдем решение на новом шаге. Процесс повторяем, пока не будет достигнута требуемая точность.

Данный метод имеет свои недостатки: необходим выбор достаточно точного начального приближения, иначе итерационный процесс не будет сходящимся.

Численное сравнение двух представленных алгоритмов показало, что неявный метод работает в более широком диапазоне значений к, однако уступает явному методу по скорости вычислений. Явный метод обоснован в работе [9] в случае трехмерного уравнения Липпмана-Швингера.

5. Численные результаты

Рис. 4. Модуль решения интегрального уравнения (5). Красный цвет соответствует волновому числу 0.5

Рис. 5. Модуль решения интегрального уравнения (13)

На рис. 4-6 показаны значения функций решения интегрального уравнения (слева) и волнового числа (справа) для линейной и нелинейной задач. Рис. 4 демонстрирует решение линейной задачи на однородном теле. Тело представляет собой круг, «вырезанный» из фигуры канонической формы (квадрат) путем применения субиерархического метода. Диаметр круга совпадает с длиной квадратной пластины, его центр находится в начале координат. Значения волнового числа внутри круга составляет 0.5 м-1. Рис. 5 демонстрирует решение нелинейной задачи на неоднородном теле в форме квадрата. Нелинейность задана по закону Керра. В качестве начального приближения итерационного процесса выбрано волновое число 0.4 м-1. Остальные параметры совпадают с предыдущим экспериментом. Рис. 6 демонстрирует решение нелинейной задачи для тела сложной формы в виде четырехлистного клевера. Для всех моделей выбраны следующие значения: размер

0

Рис. 6. Нелинейная задача для тела сложной геометрии

пластины 0.15 х 0.15 м., частота 1.1 ГГц. Размер обобщенной вычислительной сетки 100 х 100. Размер матрицы равен 50000 х 50000. В качестве падающего поля использовался точечный источник излучения, расположенный в центре плоскости тела на расстоянии 0.15 м. Расчеты подобных задач для линейного случая приведены в работах [5], [10].

Заключение

Предложен метод решения скалярной двумерной нелинейной задачи дифракции, который предполагает использование неоднородной структуры тела для определения нелинейности. Нелинейность определяется по закону Керра. Сравнение двух методов (явного и неявного) показало совпадение численных результатов с высокой точностью. Неявный метод имеет более широкую область сходимости. Представлены результаты решения задачи на неоднородных объектах произвольной формы. Решение задачи произведено с использованием объединенных расчетных сеток.

Литература

1. Kress R. Linear Integral Equations. Ser.: Applied Mathematical Sciences. Vol. 82. John F., Marsden J.E., Sirovich L. (Eds.). Berlin etc.: Springer-Verlag, 1989. xi, 299 p. URL: https://doi.org/10.1007/978-3-642-97146-4.

2. Smirnov Y.G., Tsupak A.A. Diffraction of Acoustic and Electromagnetic Waves by Screens and Inhomogeneous Solids: Mathematical Theory. Moscow: Ru-Science, 2023. 216 p.

3. Ильинский А.С., Кравцов В.В., Свешников А.Г. Математические модели электродинамики. М:. Высш. шк., 1991. 224 с.

4. Андреев М.Л., Заркевич Н.А., Исаков А.Н., Козырева О.И., Плохов И.В. Разбиение N-мерного куба на симплексы с сохранением симметрии // НТВП. 2011. № 3. С. 21-24.

5. Medvedik M.Yu., Smirnov Yu.G., Tsupak A.A. The two-step method for determining a piecewise-continuous refractive index of a 2D scatterer by near field measurements // Inverse Probl. Sci. Eng. 2020. V. 28, No 3. P. 427-447. URL: https://doi.org/10.1080/17415977.2019.1597872.

6. Medvedik M.Yu., Smirnov Yu.G., Tsupak A.A. Non-iterative two-step method for solving scalar inverse 3D diffraction problem // Inverse Probl. Sci. Eng. 2020. V. 28, No 10. P. 1474-1492. URL: https://doi.org/10.1080/17415977.2020.1727466.

7. Medvedik M.Yu. A subhierarchic method for solving the Lippmann-Schwinger integral equation on bodies of complex shapes //J. Commun. Technol. Electron. 2012. V. 57, No 2. P. 158-163. URL: https://doi.org/10.1134/S1064226912010123.

8. Medvedik M.Y. Solution of integral equations by the subhierarchic method for generalized computational grids // Math. Models Comput. Simul. 2015. V. 7, No 6. P. 570-580. URL: https://doi.org/10.1134/S207004821506006X.

9. Смирнов Ю.Г., Лабуткина Д.А. О решении нелинейного интегрального уравнения Липпмана-Швингера методом сжимающих отображений // Изв. высш. учебн. завед. Поволжск. рег. Физ.-матем. науки. 2023. № 3. С. 3-10. URL: https://doi.org/10.21685/2072-3040-2023-3-1.

10. Smirnov Y.G., Tsupak A. A. Direct and inverse scalar scattering problems for the Helmholtz equation in // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2022. V. 30, No 1. P. 101116. URL: https://doi.org/10.1515/jiip-2020-0060.

Поступила в редакцию 1.09.2023 Принята к публикации 18.09.2023

Лапич Андрей Олегович, аспирант, ассистент кафедры «Математика и суперкомпьютерное моделирование»

Пензенский государственный университет

ул. Красная, д. 40, г. Пенза, 440026, Россия E-mail: lapich.a@yandex.ru Медведик Михаил Юрьевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Математика и суперкомпьютерное моделирование» Пензенский государственный университет

ул. Красная, д. 40, г. Пенза, 440026, Россия E-mail: medv@mail.ru

ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online) UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI (Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)

2023, vol. 165, no. 2, pp. 167-177

ORIGINAL ARTICLE

doi: 10.26907/2541-7746.2023.2.167-177

Solution of a Scalar Two-Dimensional Nonlinear Diffraction Problem for Objects of Arbitrary Shape

A.O. Lapich*, M.Y. Medvedik**

Penza State University, Penza, 440026 Russia E-mail: *lapich.a@yandex.ru, **_medv@mail.ru

Received September 1, 2023; Accepted September 18, 2023 Abstract

In this study, the development, design, and software implementation of the methods for solving the nonlinear diffraction problem were performed. The influence of nonlinear medium defined by the Kerr law k2 (x) = k2 + a\u (x)\2 on the propagation of a wave passing through an object was examined. The differential and integral formulations of the problem and the nonlinear integral equation were considered. The problem was solved for different bodies with the use of various computational grids. Convergence graphs of the iterative processes were generated. The obtained graphical results were presented. The explicit and implicit methods for solving the integral equation were compared.

Keywords: integral equation, scalar nonlinear diffraction problem, collocation method, iterative process, numerical method

Figure Captions

Fig. 1. A circle on the rectangular and generalized grids. Fig. 2. A figure of irregular shape on the combined grid. Fig. 3. A figure of irregular shape on the grid oriented by one angle.

Fig. 4. Integral equation solution module (5). The red color indicates the wave number 0.5.

Fig. 5. Integral equation solution module (13).

Fig. 6. Nonlinear problem for a body with complex geometry.

References

1. Kress R. Linear Integral Equations. Ser.: Applied Mathematical Sciences. Vol. 82. John F., Marsden J.E., Sirovich L. (Eds.). Berlin etc., Springer-Verlag, 1989. xi, 299 p. URL: https://doi.org/10.1007/978-3-642-97146-4.

2. Smirnov Y.G., Tsupak A.A. Diffraction of Acoustic and Electromagnetic Waves by Screens and Inhomogeneous Solids: Mathematical Theory. Moscow, Ru-Science, 2023. 216 p.

3. Il'inskii A.S., Kravtsov V.V., Sveshnikov A.G. Matematicheskie modeli elektrodinamiki [Mathematical Models of Electrodynamics]. Moscow, Vyssh. Shk., 1991. 224 p. (In Russian)

4. Andreev M.L., Zarkevich N.A., Isakov A.N., Kozyreva O.I., Plokhov I.V. Symmetry-conserving triangulation of an N-dimensional cube. Nauchno-Tekh. Vestn. Povolzh'ya, 2011, no. 3, pp. 21-24. (In Russian)

5. Medvedik M.Yu., Smirnov Yu.G., Tsupak A.A. The two-step method for determining a piecewise-continuous refractive index of a 2D scatterer by near field measurements. Inverse Probl. Sci. Eng., 2020, vol. 28, no. 3, pp. 427-447. URL: https://doi.org/10.1080/17415977.2019.1597872.

6. Medvedik M.Yu., Smirnov Yu.G., Tsupak A.A. Non-iterative two-step method for solving scalar inverse 3D diffraction problem. Inverse Probl. Sci. Eng., 2020, vol. 28, no. 10, pp. 1474-1492. URL: https://doi.org/10.1080/17415977.2020.1727466.

7. Medvedik M.Yu. A subhierarchic method for solving the Lippmann-Schwinger integral equation on bodies of complex shapes. J. Commun. Technol. Electron., 2012, vol. 57, no. 2, pp. 158-163. URL: https://doi.org/10.1134/S1064226912010123.

8. Medvedik M.Y. Solution of integral equations by the subhierarchic method for generalized computational grids. Math. Models Comput. Simul., 2015, vol. 7, no. 6, pp. 570-580. URL: https://doi.org/10.1134/S207004821506006X.

9. Smirnov Yu.G., Labutkina D.A. On the solution of the nonlinear Lippmann-Schwinger integral equation by the method of contracting maps. Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Povolzh. Reg. Fiz.-Mat. Nauki, 2023, no. 3, pp. 3-10. URL: https://doi.org/10.21685/2072-3040-2023-3-1. (In Russian)

10. Smirnov Y.G., Tsupak A.A. Direct and inverse scalar scattering problems for the Helmholtz equation in . J. Inverse Ill-Posed Probl., 2022, vol. 30, No 1. P. 101-116. URL: https://doi.org/10.1515/jiip-2020-0060.

Для цитирования: Лапич А.О., Медведик М.Ю. Решение скалярной двумер-/ ной нелинейной задачи дифракции на объектах произвольной формы // Учен. \ зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2023. Т. 165, кн. 2. С. 167-177. URL: https//doi.org/10.26907/2541-7746.2023.2.167-177.

For citation: Lapich A.O., Medvedik M.Y. Solution of a scalar two-dimensional nonlinear / diffraction problem for objects of arbitrary shape. Uchenye Zapiski Kazanskogo Univer-\ siteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2023, vol. 165, no. 2, pp. 167-177. URL: https//doi.org/10.26907/2541-7746.2023.2.167-177. (In Russian)