Метод микроволновой томографии для решения обратной задачи на телах цилиндрической формы Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

doi: 10.21685/2072-3040-2024-1-9

Метод микроволновой томографии для решения обратной задачи на телах цилиндрической формы

А. О. Лапич1, М. Ю. Медведик2 1,2Пензенский государственный университет, Пенза, Россия [email protected], [email protected]

Аннотация. Актуальность и цели. Цель работы - решение обратной задачи дифракции на телах цилиндрической формы, расположенных в свободном пространстве. Применение рассматриваемой задачи может быть актуально при диагностике рака молочной железы. Материалы и методы. Исходную краевую задачу для уравнения Гельмгольца предлагается свести к решению интегрального уравнения. Данное уравнение будет решаться численным методом. Используется двухшаговый алгоритм для решения обратной задачи. Результаты. Представлены графические изображения, иллюстрирующие значение диэлектрической проницаемости внутри тела для исходной задачи и восстановленных значений. Выводы. Предложен и реализован численный метод нахождения волновой функции, позволяющей идентифицировать структуру объекта без нарушения его целостности.

Ключевые слова: интегральное уравнение Липпмана - Швингера, краевая задача для уравнения Гельмгольца, численный метод, обратная задача, двухшаговый метод, объединенные расчетные сетки, метод Галеркина

Финансирование: работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации в рамках государственного задания на проведение научно-исследовательской работы, регистрационный номер 124020200015-7.

Для цитирования: Лапич А. О., Медведик М. Ю. Метод микроволновой томографии для решения обратной задачи на телах цилиндрической формы // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2024. № 1. С. 107-117. doi: 10.21685/2072-3040-2024-1-9

The microwave tomography method for solving the inverse problem on cylindrical bodies

A.O. Lapich1, M.Yu. Medvedik2

1,2Penza State University, Penza, Russia [email protected], [email protected]

Abstract. Background. The main purpose of this study is finding of solution the inverse problem of diffraction. The application of this problem may be relevant in the diagnosis of breast cancer. Materials and methods. The initial boundary value problem for the Helm-holtz equation is reduced to integral equation. This equation is solved numerically. A two-step algorithm is used to solve the inverse problem. Results. The graphic images which illustrate the value of the dielectric constant inside the body for the initial problem and for reconstructed one are presented. Conclusions. A numerical method for finding the wave function is proposed and implemented, which makes it possible to identify the structure of an object without damaging or destroying them.

© Лапич А. О., Медведик М. Ю., 2024. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

Keywords: Lippmann-Schwinger integral equation, boundary value problem for the Helm-holtz equation, numerical method, inverse problem, two-step method, combined computational grids, Galerkin method

Financing: the work was carried out with the support of the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation within the framework of the state assignment for research, registration number 124020200015-7.

For citation: Lapich A.O., Medvedik M.Yu. The microwave tomography method for solving the inverse problem on cylindrical bodies. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2024;(1):107-117. (In Russ.). doi: 10.21685/20723040-2024-1-9

Введение

В последнее время все более актуальным становится изучение методов неразрушающего контроля для определения параметров внутри объектов различной формы. Это связано с развитием науки и техники, а также с тем, что неразрушающие методы контроля позволяют определить параметры объектов без повреждения или разрушения их структуры, что особенно важно для сохранения целостности и функциональности многих объектов и тел.

В работе изучается обратная задача дифракции на цилиндрических диэлектрических телах. В таких задачах требуется определить форму и характеристики объекта внутри него на основе данных о распределении интенсивности отраженной или рассеянной волны от стороннего источника излучения. Решение этой задачи имеет важное практическое значение во многих областях, включая медицину, геофизику, томографию, радиолокацию и другие области, где требуется восстановление скрытых или недостающих данных на основе доступной информации или измерений. Имеются многочисленные публикации авторов, занимающихся подобными исследованиями [1-6].

Методы решения обратной задачи дифракции включают численные алгоритмы и модельные эксперименты, которые позволяют получить информацию о структуре объекта и оптимизировать процесс идентификации.

Задача решается как для однородного, так и для неоднородного случая. С высокой степенью детализации определяется функция неоднородности цилиндрического тела.

Задача может решаться на различных частотах в широком диапазоне радиочастотного спектра, включающем длинные волны (ДВ) с частотами 30-300 кГц, средние волны (СВ) с частотами 300-3000 кГц, короткие волны (КВ) с частотами 3-30 Мгц, а также ультракороткие волны.

Исследуемая задача также может найти свое применение в медицинских измерениях. Отсюда следует необходимость указать факт негативного влияния высоких частот на человеческий организм. СанПиН [7] устанавливают предельно допустимые уровни (ПДУ) воздействия на людей электромагнитных излучений в диапазоне частот 30 кГц - 300 ГГц и указывают, что максимальная продолжительность воздействия электромагнитного излучения напрямую зависит от частоты данного излучения. Увеличение частоты неизбежно ведет к уменьшению времени нахождения человека около источника.

Кроме частоты излучения, эффект электромагнитного излучения на объект зависит от интенсивности, продолжительности, характера и режима облучения, комбинированного действия других факторов и свойств тканей.

Наибольшее влияние на организм оказывает диапазон сверхвысоких частот (СВЧ), затем ультравысоких частот (УВЧ), а менее активными являются высокие частоты (ВЧ). Биологическая активность обычно возрастает с уменьшением длины волны.

Интенсивность электромагнитного поля различна в разных диапазонах: при сверхнизких, низких, средних, высоких, очень высоких частотах интенсивность излучения определяется напряженностью электрического и магнитного полей. В диапазонах УВЧ, СВЧ и КВЧ мы находимся в волновой зоне, где воздействие оценивается плотностью потока энергии (ППЭ).

При данной диагностике требуется, чтобы объект находился на близком расстоянии к устройству. Соответственно нужно либо уменьшить длительность влияния излучения (что в некоторых случаях не представляется возможным), либо уменьшить излучаемые частоты от прибора анализа. В работе предлагается уменьшение значения частоты, которое не будет ухудшать точность вычисления.

Для достижения данной цели необходимо разработать алгоритм численного решения нелинейного интегрального уравнения. В процессе работы используются методы численного интегрирования, аппроксимации функций и решения систем линейных алгебраических уравнений. Также требуется провести анализ полученных результатов и сравнить их с экспериментальными данными или с решениями других моделей. Важно учитывать физические особенности задачи, такие как граничные условия, свойства материала тела и характеристики электромагнитных волн. Данный метод имеет ряд преимуществ и является перспективным подходом при решении подобных задач [8-11].

Решение реальных физических задач требует все больших объемов вычислений, которые зачастую невозможно провести на персональном компьютере. Это заставляет исследователей использовать суперкомпьютерные технологии для получения результатов и приводит к необходимости создания новых методов решения задач. Используя субиерархический подход [12-15], можно избежать повторных вычислений для решения задачи на телах, описываемых геометрией уже рассчитанной фигуры.

1. Постановка задачи

Рассмотрим задачу дифракции на теле Q , расположенном в свободном пространстве Я . Пусть дано неоднородное уравнение Гельмгольца

Ли + к2 (х)и = /(х), (1)

где / (х) - известная функция с компактным носителем; к2 (х) - непрерывная функция.

Будем предполагать, что на границе раздела двух сред выполняются условия сопряжения

ди

[u ]dQ =

dn

= 0, (2)

dQ

а также необходимо учесть условия излучения Зоммерфельда

— = гки + о | 1 |, г := |х| ^^ . (3)

дг ^ г )

Представим уравнение (1) в виде

Ли + ко и = ( - к2 (х))и + /(х). (4)

На рис. 1 представлено тело Q , к° является волновым числом вне тела,

к(х) - функция, характеризующая волновое число внутри тела; Е - поле,

исходящее от точечного источника и его направление. Данная задача сводится к интегральному уравнению вида

и(х) = /° (х) + к1 ¡С(х,у)и(у)4у , (5)

Q

или

u (x ) = f0 (x) + J G (x, y)( - k2 (y ))u (y )dy , (6)

Q

здесь уравнение (5) описывает однородный случай k (x ) = const, а уравнение (6) - неоднородный случай и содержит волновую функцию k(x).

Рис. 1. Геометрическая постановка задачи 2. Численный метод

Обозначим Аи := |G(х,у)(к° - к2 (у))и (у)ёу, и := и (х), ^ := /° (х)

Q

запишем данное уравнение в операторном виде:

Ьи := и - Аи := ^ .

Решение уравнений (5)-(6) производится методом Галеркина. Рассмотрим «-мерное пространство Уп . Проведем аппроксимацию элементов у элементами уп еУп и найдем уп из системы уравнений

(Уп, V ) = (/, V). (7)

Эти уравнения определяют конечномерный оператор Цп : Уп ^ Уп, где Уп есть антидуальное пространство к Уп . В качестве базисных функций выберем функции Vk .

В общем случае можно ожидать сходимость метода только тогда, когда подпространства Уп предельно плотны в У :

^ ||у - ф|| ^ 0, п ,

УеУп

для всех фе У . Эту оценку также называют свойством аппроксимации. Введем равномерную расчетную сетку. Для удобства работы с объемным телом введем трехиндексную нумерацию элементов сетки Пк[т . Базисные функции

Vklm , 1 = 1,2,3, определяются следующим образом:

V = I1, ХеПк1т,

I0, х « Пк1т.

Построенное множество базисных функций удовлетворяет необходимому условию аппроксимации в пространстве ¿2 .

В терминах операторов сходимость проекционного метода означает, что для всех п > N конечномерные операторы Ап := РпА: Уп ^ У^ являются

обратимыми и что поточечная сходимость А- 1РпАф ^ ф, п имеет место при всех фе У .

Поскольку Ап := РпА - оператор, действующий в конечномерных пространствах, применение проекционного метода сводится к решению конечномерной системы линейных алгебраических уравнений. Для заполнения матрицы преобразуем трехиндексный вектор в одноиндексный, аналогичную процедуру произведем и с матрицей. Правая часть матричного уравнения задается формулой /^ = ^ fVjdy . Каждый элемент матрицы получается путем

П у

вычисления шестикратного интеграла, имеющего слабую особенность в области интегрирования

Цу = - | | х, у ж (х) • Vj (y)dxdy,

П у П1

где фу (х) и Vj (у) - тестовые и базисные функции соответственно.

Процедура избавления от особенности представляет собой разнесение точек интегрирования. Интегрирование производится по двум элементарным параллелепипедам Пкт.

Далее мы приступаем к процедуре обнаружения неоднородностей внутри объекта. Для этой цели мы применяем двухшаговый алгоритм [8-11]. Определим значение тока J (х) через поле:

Л (х) = [к0 - к2 (х)]и (х) .

Далее решаем уравнение относительно тока Л (х):

ит (хоЬ )= к0 | °Е (хоЬ,У)Л(УхоЬ * Q, (8)

<2

где ит (хоЬ) является моделируемым полем в точках хоь .

Из уравнения (8) находим Л (х) и определяем волновую функцию тела к(х) в каждой ячейке, используя формулу пересчета:

( -k2 (х)) =-

x е е. (9)

'(х) +

J Ge (х, y )J (y )dy

Q

В связи с тем, что уравнение (8) является уравнением первого рода, полученная в ходе вычисления матрица является плохо обусловленной. Поэтому будем использовать объединенные расчетные сетки для эффективной реализации вычислительного процесса и снижения числа обусловленностей матрицы [12].

3. Численные результаты

Поскольку все рассматриваемые тела будут иметь цилиндрическую форму, удобно производить вычисления в цилиндрической системе координат, которая позволяет описывать трехмерное пространство с помощью радиуса, азимутального угла и высоты (или расстояния от начала координат). Это удобно для описания объектов с цилиндрической симметрией, таких как цилиндры, конусы и т.д. Кроме того, цилиндрическая система координат позволяет упростить некоторые математические вычисления и уравнения в определенных задачах.

Будем считать, что объемное тело Q является цилиндром:

Q = {х :0 <р< R, 0 <ф< 2п, c1 < z < c2},

где положение точки задается радиусом р, углом ф и координатой z . Процесс перехода к декартовым координатам записывается следующей системой:

xj = р cos ф; х = \ Х2 = р sin ф;

. х3 = z.

Далее разобьем тело Q на блоки n¿/ra, представленные на рис. 2 справа, следующим образом:

П klm = {x : Pk <P<Pk+1, Ф/ <Ф<Ф/+1, zm < z < zm+l},

n n n

где k,l,m = 0,...,n -1.

Рис. 2. Элементарная ячейка сетки для декартовой и цилиндрической систем координат

Расстояние в цилиндрической системе координат определяется по формуле

Приведем результаты расчета для нескольких фигур цилиндрической формы. Для наглядности приведем результаты в виде рис. 3-5. Внутри тела цилиндрической формы был введен объект вида «кольцо» с равномерно распределенной неоднородной структурой в диапазоне от 80 до 240 единиц. Размер расчетной сетки составлял 15 х 15 х 15 ячеек, и была выбрана с учетом технической возможности вычисляющего персонального компьютера. Источником поля является волна, исходящая от точечного источника с частотой

Как можно наблюдать, результаты исходной и восстановленной задач на рис. 3, 4 имеют схожие значения. Отсюда следует, что метод решения обратной задачи работает и показывает приемлемые результаты.

В качестве эксперимента для проверки метода при значениях «с шумом» была введена погрешность 5 и 15 %, которая показана на рис. 5, 6. Видны некоторые изменения в значениях неоднородности, однако форма объекта отчетливо просматривается в каждом результате. При больших значениях шума требуется использование дополнительных методов фильтрации данных.

Описанный выше метод позволяет моделировать рассеяние волны на телах различной формы (в данной работе цилиндрической) и тем самым позволяет описывать процесс восстановления волновой функции объектов на

1,3 Ггц.

Заключение

вычислительных сетках. Объекты могут иметь внутри как линейную, так и нелинейную структуру.

Рис. 3. Значение исходной волновой функции

Рис. 4. Значение восстановленной волновой функции

Рис. 5. Значение восстановленной волновой функции с внесенной погрешностью 5 % на этапе моделирования поля

2.9e+02

200

100

1.6e+01

Рис. 6. Значение восстановленной волновой функции с внесенной погрешностью 15 % на этапе моделирования поля

Использование объединенных расчетных сеток позволяет эффективно решать задачу на низких частотах, допустимых в [7].

1. Романов В. Г. Устойчивость в обратных задачах. М. : Научн. мир, 2005. 296 с.

2. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск : Сибирское научное изд-во, 2009. 457 с.

3. Горюнов А. Л., Сасковец А. В. Обратные задачи рассеяния в акустике. М. : Изд-во МГУ, 1989. 152 с.

4. Алексеенко Н. В., Буров В. А., Румянцева О. Д. Решение трехмерной обратной задачи акустического рассеяния. Модифицированный алгоритм Новикова // Акустический журнал. 2008. Т. 54, № 3. С. 469-482.

5. Буров В. А., Вечерин С. Н., Морозов С. А., Румянцева О. Д. Моделирование точного решения обратной задачи акустического рассеяния функциональными методами // Акустический журнал. 2010. Т. 56, № 4. С. 516-536.

6. Буров В. А., Румянцева О. Д. Обратные волновые задачи акустической томографии: Обратные задачи акустического рассеяния Ч. 2. М. : УРСС, 2019. 760 с.

7. СанПиН 2.2.4/2.1.8.055-96. Санитарные правила и нормы. Электромагнитные излучения радиочастотного диапазона (ЭМИ РЧ): утвержден Постановлением Государственного комитета санитарно-эпидемиологического надзора Российской Федерации от 8 мая 1996 г. № 9. 1996. 20 с.

8. Лапич А. О., Медведик М. Ю. Метод восстановления параметров неоднородно-стей тела по результатам измерений электромагнитного поля // Модели, системы, сети в экономике, технике, природе и обществе. 2023. № 4. С. 142-153.

9. Smimov Y. G., Tsupak A. A., Medvedik M. Y. Non-iterative two-step method for solving scalar inverse 3D diffraction problem // Inverse Problems in Science and Engineering. 2020. Vol. 28. P. 1474-1492.

10. Smirnov Y. G., Tsupak A. A. Diffraction of Acoustic and Electromagnetic Waves by Screens and Inhomogeneous Solids: Mathematical Theory. M. : RU-SCIENCE, 2018. 212 p.

11. Лапич А. О., Медведик М. Ю. Итерационная схема решения нелинейного интегрального уравнения типа Липпмана - Швингера методом Галеркина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки.

Список литературы

2023. № 3. С. 66-73.

12. Лапич А. О., Медведик М. Ю. Решение скалярной двумерной нелинейной задачи дифракции на объектах произвольной формы // Ученые записки Казанского университета. Серия: Физико-математические науки. 2023. Т. 165, № 2. С. 166-176.

13. Медведик М. Ю. Субиерархический метод решения интегрального уравнения Липпмана - Швингера // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2010. № 4. С. 82-88.

14. Медведик М. Ю. Субиерархический метод решения интегрального уравнения Липпмана - Швингера на телах сложной формы // Радиотехника и электроника. 2012. Т. 57, № 2. С. 175-180.

15. Медведик М. Ю. Решение интегральных уравнений субиерархическим методом на обобщенных расчетных сетках // Математическое моделирование. 2015. Т. 27. № 4. С. 81-96.

References

1. Romanov V.G. Ustoychivost' v obratnykh zadachakh = Stability in inverse problems. Moscow: Nauchn. mir, 2005:296. (In Russ.)

2. Kabanikhin S.I. Obratnye i nekorrektnye zadachi = Inverse and ill-posed problems. Novosibirsk: Sibirskoe nauchnoe izdatel'stvo, 2009:457.

3. Goryunov A.L., Saskovets A.V. Obratnye zadachi rasseyaniya v akustike = Inverse scattering problems in acoustics. Moscow: Izd-vo MGU, 1989:152. (In Russ.)

4. Alekseenko N.V., Burov V.A., Rumyantseva O.D. Solution of the three-dimensional inverse problem of acoustic scattering. Modified Novikov algorithm. Akusticheskiy zhurnal = Acoustic magazine. 2008;54(3):469-482. (In Russ.)

5. Burov V.A., Vecherin S.N., Morozov S.A., Rumyantseva O.D. Modeling the exact solution of the inverse problem of acoustic scattering using functional methods. Akustich-eskiy zhurnal = Acoustic magazine. 2010;56(4):516-536. (In Russ.)

6. Burov V.A., Rumyantseva O.D. Obratnye volnovye zadachi akusticheskoy tomografii: Obratnye zadachi akusticheskogo rasseyaniya Ch. 2 = Inverse wave problems of acoustic tomography: Inverse problems of acoustic scattering. Part 2. Moscow: URSS, 2019:760. (In Russ.)

7. SanPiN 2.2.4/2.1.8.055-96. Sanitary rules and regulations. Electromagnetic radiation in the radio frequency range: approved by the Resolution of the State Committee for Sanitary and Epidemiological Surveillance of the Russian Federation from May 8, 1996 No.. 1996:20. (In Russ.)

8. Lapich A.O., Medvedik M.Yu. Method for restoring parameters of body inhomogenei-ties based on the results of electromagnetic field measurements. Modeli, sistemy, seti v ekonomike, tekhnike, prirode i obshchestve = Models, systems, networks in economics, technology, nature and society. 2023;(4):142-153. (In Russ.)

9. Smirnov Y.G., Tsupak A.A., Medvedik M.Y. Non-iterative two-step method for solving scalar inverse 3D diffraction problem. Inverse Problems in Science and Engineering. 2020;28:1474-1492.

10. Smirnov Y.G., Tsupak A.A. Diffraction of Acoustic and Electromagnetic Waves by Screens and Inhomogeneous Solids: Mathematical Theory. Moscow: RU-SCIENCE, 2018:212.

11. Lapich A.O., Medvedik M.Yu. An iterative scheme for solving Lippmann-Schwinger nonlinear integral equation by the Galerkin method. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2023;(3):66-73. (In Russ.)

12. Lapich A.O., Medvedik M.Yu. Solution of a scalar two-dimensional nonlinear problem of diffraction by objects of arbitrary shape. Uchenye zapiski Kazanskogo universiteta. Seriya Fiziko-matematicheskie nauki = Proceedings of Kazan University. Series: Physical and mathematical sciences. 2023;165(bk.2):166-176. (In Russ.)

13. Medvedik M.Yu. The subhierarchical method for solving the Lippmann-Schwinger integral equation. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2010;(4):82-88. (In Russ.)

14. Medvedik M.Yu. The subhierarchical method for solving the Lippmann-Schwinger integral equation on bodies of complex shape. Radiotekhnika i elektronika = Radio engineering and electronics. 2012;57(2):175-180. (In Russ.)

15. Medvedik M.Yu. Solving integral equations using the subhierarchical method on generalized computational grids. Matematicheskoe modelirovanie = Math modeling. 2015;27(4):81-96. (In Russ.)

Информация об авторах / Information about the authors

Андрей Олегович Лапич ассистент кафедры математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

Andrey O. Lapich Assistant of the sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

E-mail: [email protected]

Михаил Юрьевич Медведик

кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

Mikhail Yu. Medvedik Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, associate professor of the sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received 11.11.2023

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 27.12.2023 Принята к публикации / Accepted 13.02.2024