Два итерационных метода решения объемного сингулярного уравнения для нелинейной задачи дифракции в полубесконечном прямоугольном волноводе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

doi: 10.21685/2072-3040-2023-4-5

Два итерационных метода решения объемного сингулярного уравнения для нелинейной задачи дифракции в полубесконечном прямоугольном волноводе

А. О. Лапич1, М. Ю. Медведик2 1,2Пензенский государственный университет, Пенза, Россия [email protected], [email protected]

Аннотация. Актуальность и цели. Цель работы - расчет нелинейного электромагнитного поля внутри волновода. Мы предполагаем, что тело расположено в полубесконечном прямоугольном волноводе. Внутри тела распространяется электромагнитное поле. Предложены и описаны итерационные алгоритмы, основанные на решении объемного нелинейного сингулярного интегрального уравнения. Представлены численные результаты. Материалы и методы. Краевая задача для системы уравнений Максвелла сводится к объемному сингулярному интегральному уравнению. Построен итерационный метод создания нелинейной среды внутри тела с диэлектрической структурой. Результаты. Поставленная задача решается численно. Размер получаемой при расчете матрицы - порядка 15000 элементов. Показана внутренняя сходимость итерационного метода. Представлены графики, иллюстрирующие распределение поля внутри нелинейного тела. Выводы. Предложен и реализован численный метод нахождения волновых чисел, позволяющих создать нелинейное поле.

Ключевые слова: краевая задача, система уравнений Максвелла, нелинейное объемное сингулярное интегральное уравнение, численный метод, метод коллокаций

Финансирование: работа выполнена при поддержке гранта РНФ в рамках научного проекта 20-11-20087.

Для цитирования: Лапич А. О., Медведик М. Ю. Два итерационных метода решения объемного сингулярного уравнения для нелинейной задачи дифракции в полубесконечном прямоугольном волноводе // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2023. № 4. С. 49-59. doi: 10.21685/20723040-2023-4-5

Two iterative methods for solving the volumetric singular equation for a nonlinear diffraction problem in a semi-infinite rectangular waveguide

A.O. Lapich1, M.Yu. Medvedik2

1,2Penza State University, Penza, Russia [email protected], [email protected]

Abstract. Background. The purpose of the study is to construct a nonlinear electromagnetic field inside the waveguide. We assume that the body is located in a semi-infinite rectangular waveguide and that an electromagnetic field propagates inside the body. Iterative algorithms based on solving a volumetric nonlinear singular integral equation are proposed and described. Numerical results are presented. Materials and methods. The boundary value problem for the system of Maxwell's equations is reduced to a volume singular integral

© Лапич А. О., Медведик М. Ю., 2023. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

equation. An iterative method for creating a nonlinear medium inside a body with a dielectric structure is constructed. Results. The problem is solved numerically. The size of the matrix obtained in the calculation is about 15,000 elements. The internal convergence of the iterative method is shown. Graphs are shown illustrating the field distribution inside a nonlinear body. Conclusions. A numerical method for finding wave numbers that make it possible to create a nonlinear field is proposed and implemented.

Keywords: boundary value problem, Maxwell's system of equations, nonlinear volumetric singular integral equation, numerical method, collocation method

Financing: the research was financed by the RSF within the research project 20-11-20087.

For citation: Lapich A.O., Medvedik M.Yu. Two iterative methods for solving a volumetric singular equation for a nonlinear diffraction problem in a semi-infinite rectangular waveguide. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2023;(4):49-59. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3040-2023-4-5

Введение

Статья посвящена численному решению нелинейной задачи дифракции на теле, расположенном в прямоугольном волноводе. Пусть тело Q расположено в прямоугольном полубесконечном волноводе с идеально проводящими стенками. Мы предлагаем оригинальный метод расчета нелинейного поля внутри волновода по закону Керра. Заметим, что в случае использования иного закона для задания нелинейности поля метод принципиально не изменится. В рассматриваемой задаче источником электромагнитного поля является падающая волна H10 . Тело Q может быть как однородным, так и неоднородным, а также может иметь композитную структуру. Такая задача может найти свое применение в нанотехнологиях и нано-электронике.

Необходимо отметить, что существуют разные подходы для решения этой проблемы [1-4]. Наиболее очевидный подход - создание некого итерационного процесса на основе метода конечных элементов. Однако такой подход имеет различные недостатки, такие как появление расчетных сеток, имеющих очень большой размер, недостаточная точность вычисления, поиск хороших начальных приближений и т.д. Мы будем разрабатывать свой метод, основываясь на сведении исходной задачи к объемному интегральному сингулярному уравнению. Сведение дифференциальной формы задачи к интегральному уравнению подробно рассмотрено в [5]. Задача определения неод-нородностей внутри тела рассмотрена в работах [6-9].

Предложенный метод также будет иметь итерационную структуру, поэтому мы обязаны задать начальное приближение решения. В качестве начального приближения возможно использование решение задачи с постоянной диэлектрической проницаемостью. Далее используем закон Керра

е(х) = e1 +а | E |2 (1)

для нахождения новых параметров тела. Будем повторять процедуру до тех пор, пока не достигнем требуемой точности. Этот метод основан на сведении системы уравнений Максвелла к объемному сингулярному интегральному уравнению. Для решения объемного сингулярного интегрального уравнения

применен проекционный метод. Вычисления задачи производились на расчетных сетках с количеством ячеек 17 элементов по длине одной из сторон. Поэтому возникает потребность в использовании параллельных вычислений для решения задачи с более мелкоячеистой расчетной сеткой.

1. Постановка задачи

Пусть P = {x: 0 < x1 < a,0 < x2 < b,0 < x3 < - прямоугольный полубесконечный волновод с однородной структурой. Поверхность волновода дР идеально проводящая. Параметры волновода должны удовлетворять следующим условиям: п / a < k0 < п / b, где a и b не только размеры тела Q , но и параметры волновода. В этом случае внутри P может распространяться только одна мода поля.

Мы рассматриваем проблему распространения электромагнитных волн внутри тела Q , где Q находится внутри Р . Тело имеет постоянную магнитную проницаемость = const и диэлектрическую проницаемость, представленную функцией е(x). Тело представляет собой прямоугольный параллелепипед Р = {x :0 < Х1 < a,0 < Х2 < b,0 < X3 < c}. Источником поля является волна

Ню с компонентами E0, H0 [10], где полное поле Еполн = E0 + E,

Нполн = H0 + H, где E, H - рассеянное поле. Задача рассматривается в частотной области, т.е. зависимость всех полей и источников от времени принимается в виде exp(-irot) .

Поле E, H удовлетворяет системе уравнений Максвелла

Г rot H = -iroeE, \ (2) [rot E = iro^0 H,

где ro - круговая частота.

Поле должно удовлетворять следующим граничным условиям на стенках полубесконечного волновода:

EJdP = 0, (3)

где Т - касательная составляющая электрического поля.

Решения E уравнения (2) должны удовлетворять условию на бесконечности. Пусть — д - двумерный Оператор Лапласа в прямоугольнике

П = {(х1,Х2):0 <X1 <a,0 < X2 <b}. Обозначим П(X1,X2) и Xp^,^(x1,X2) как полную систему собственных значений и ортогональных нормированных в ^2(П) собственные функции упомянутого выше оператора Лапласа с Дирихле и Нейманом условия на границе П соответственно.

Тогда для > C с достаточно большим C > 0 поля E и H имеют представления

E1 ГE"1 ■ I<>exp(irP)|x3|)i^P'3-^Пp 1

H ,

H0 ,

+

P

-iroe0(V 2П p) x e3

+

0(±)ехр (у (,2)|хз|)

р)х eз

V^Р2)¥рeз - 7У'р2)^2¥р

(4)

где ур0 $ -Xр); 1ту(р) >0; ку<р) >0; ¿0 =®2е0^0; к0 является

волновым числом свободного пространства; V2 = elд / Эх^ + e2д / Эх2 . Для коэффициентов ряда (4) справедливы следующие оценки:

?(±) п(±) „т

^, прх;_ 0( рт), р

(5)

С физической точки зрения условия (4) означают, что рассеянное поле представляет собой суперпозицию нормальных волн и излучается от диэлектрического тела [5]. Условия (5) обеспечивают экспоненциальную сходимость рядов (4), а также возможность их почленного дифференцирования относительно х^ произвольное число раз.

Пусть тензор Грина имеет вид [11]:

(6)

((1 0 0 Л

(0 _ 0 (Е 0

0 0 (Е

с компонентами

те те I (

4 _ аИ ^

п _0 т_1

те те

ое _ а-ь ^

п_1 т_0

~1пт1 х3~Уз\ + е~1пт |х3 +Уз\

Упт (1 + 50п ) ~1пт \ х3 ~Уз\ + е~1пт\х3 +Уз\ У пт (1 + ^0т )

пп . пт пп . пт СОЭ-х1 Sln-х2 -У1 Э1П-У2,

а - а а

. пп пт . пп пт

Sln-х1 COS-х1 Sln-У1 -у2,

а - а -

те те

01 _ ^

п_1 т_1

пт \х3 -У3! + е~Упт \х3 +У3 \

X

. пп . пт . пп . пт X Sln-х1 Sln-х1 Sln-У1 Sln-У2.

а - а -

(7)

Здесь ветвь квадратного корня упт _

пп (пт ,2 — I +1-I - ¿0 выбрана

а ) I - )

так, что 1т упт > 0 .

Задача (2)-(7) сводится к интегро-дифференциальному уравнению относительно поля E [12]:

E _E0(х) + 10е(х,У)

п

(

£( У).

^0

1

E( У^У+grad d1v | Ое (х, у)

п

£( У).

^0

1

E( УШ

пт

2. Численный алгоритм

Рассмотрим подробнее алгоритм решения поставленной задачи. Можно выделить два основных подхода при решении задачи: явный и неявный. В обоих случаях на первом этапе мы предполагаем, что диэлектрическая проницаемость тела является постоянной величиной. Пусть диэлектрическая проницаемость е(х) = е^ и нелинейный параметр а = 0 . Поэтому определим электромагнитное поле внутри тела.

Второй этап в алгоритмах различается, но в обоих случаях включает в себя пересчет нового значения е( х) - функции поля. В этих методах для за-

2

дания нелинейности применяется нелинейный закон Керра е(х) = е^ + а | Е | . Параметр а представляет собой малую константу, стремящуюся к нулю.

Для решения задачи неявным способом решаем интегральное уравнение

E(0) (x) = E0 (x) + (( + graddiv))G(x, y)^M- 1IE(0) (y)dy

Q

(8)

при е(х) = е^ и вычисляем поле Е(0) (х) . На последующих шагах пересчитываем значения волновой функции по итерационной формуле Керра:

2

еи+1 (х) = е1 +а Е(п) (х)

Далее решаем уравнение

Е( и+1) (х ) = Е0 (х) +

( I ^(п), Л \

(9)

+

k0 + graddiv)) G (x, y)

Q

e(y, E(n)( y)) i

£0

E'

( И+1)

(y )dy •

(10)

Процесс повторяем до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность. В силу того, что метод является неявным, приходится решать нелинейное уравнение на каждом этапе. Для решения нелинейного уравнения можно использовать метод коллокаций.

Явный способ решения задачи заключается в построении явного итерационного процесса. Распишем процесс по шагам. На первом этапе для задания начального приближения решаем линейное объемное интегральное уравнение (8) и тем самым определяем значение Е(0) (х). На последующих шагах пересчитываем значения волновой функции по формуле Керра

2

еи+1 (x) = ei +а En (x)

(9) и, используя формулу пересчета

f

E( n+1) (x ) = E0 (x) + (( + graddiv)) G (x, y)

Q

e(y, E(n)( y)) 1

E(w) (y)dy ,(11)

находим решение на новом шаге. Процесс повторяется, пока не будет достигнута требуемая точность.

Данный метод имеет свои недостатки: необходим выбор достаточно точного начального приближения, иначе итерационный процесс не будет сходящимся.

3. Численные результаты

Перейдем к безразмерным величинам [13]:

к0х ^ х, ^ц0 / е0Н ^ Н, Е ^ Е; к^ = е0ц0ю2.

Рассмотрим прямоугольный полубесконечный волновод Р. Предположим, что диэлектрическое тело Q расположено внутри волновода П. Тело представляет собой прямоугольный параллелепипед следующих размеров: а = 2; Ь = 1; с = 2, где все расчеты произведены в нормированных величинах.

Рассмотрим изотропный случай, когда тело Q имеет постоянное значение диэлектрической проницаемости е(х) = е. Для устранения этой проблемы нам необходимо создать процедуру дискретизации и большую расчетную сетку. Подробно эта процедура описана в [8]. Получены решения задачи (2)-(7) для линейного случая а = 0 и нелинейного случая а = 0,5 для закона Керра.

На рис. 1, 2 показаны результаты сравнения этих двух решений. Нелинейный параметр оказывает существенное влияние на электрическое поле Е . Мы видим абсолютную разницу в значениях электрического поля второй компоненты Е для линейного и нелинейного случаев. Значения полей были представлены на первом и последнем слоях поля Е. Выбираем только вторую компоненту для демонстрации значений поля, поскольку значения других компонентов поля стремятся к нулю.

Рис. 1. Значение поля на первом, среднем и последнем слоях, в линейном случае

Рис.1. Окончание

Рис. 2. Значение поля на первом, среднем и последнем слоях, в нелинейном случае

Другие рисунки демонстрируют скорость сходимости нашего итерационного метода. Хорошо видно, что несколько итераций достаточно для сходимости процесса. Это продемонстрировано на рис. 3. Число итераций приближается к 25.

Рисунок 4 демонстрирует поведение нелинейного поля внутри тела, расположенного в волноводе. Параметр нелинейности а = 0,01.

Для решения объемного сингулярного интегрального уравнения применен метод коллокации. Это приводит нашу задачу к системе линейных ал-

гебраических уравнений. Систему можно решить одним из нескольких итерационных методов (например, методом сопряженных градиентов).

Рис. 3. График сходимости итерационного процесса

Рис. 4. Решение поставленной нелинейной задачи на теле в виде прямоугольного параллелепипеда, расположенного в волноводе

На рис. 5, 6 представлены графики сходимости итерационного процесса для явного и неявного методов. Сравнение результатов при одинаковых начальных данных показывает, что явный метод имеет более высокую скорость сходимости и меньшее количество итераций (в данном случае около 7). Для достижения требуемой точности при использовании неявного метода требуется повторить итерационный процесс около 20 раз. Однако экспериментально выявлено, что диапазон начальных параметров для сходимости неявным методом выше.

Рис. 5. График сходимости итерационного процесса для явного метода

Рис. 6. График сходимости итерационного процесса для неявного метода

Заключение

Рассмотрена задача построения нелинейных сред в теле внутри полубесконечного волновода. Рассматриваемая задача сведена к оригинальному итерационному методу. На первом этапе метода выбирается начальное приближение функции диэлектрической проницаемости и решается объемное сингулярное интегральное уравнение. Этот метод также позволяет нам выбрать большое количество неоднородностей (более 1000 элементов). Численные результаты решения задачи представлены методом построения нелинейных сред в прямоугольном волноводе. Метод может быть эффективно реализован для построения нелинейных сред в теле произвольной формы. Результаты могут быть применены на практике, например, при исследовании различных нанокомпозитных материалов и сложных наноструктур.

Список литературы

1. Beilina L., Klibanov M. Approximate Global Convergence and Adaptive for Coefficient Inverse Problems. New York : Springer, 2012. 407 с.

2. Romanov V. G. Inverse Problems of Mathematical Physics. Utrecht, 1986. 231 с.

3. Werner P. Resonance phenomena in local perturbations of parallel-plane waveguide // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 1996. Vol. 19. P. 773-823.

4. Eves E., Murphy K., Yakovlev V. Reconstruction of complex permittivity with neural-networkcontrolled FDTD modeling // Power Electromag. Energy. 2007. Vol. 4 (41). P.22-34.

5. Самохин А. Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии. М. : Радио и связь, 1998. 160 с.

6. Evstigneev R. O., Medvedik M. Yu. Problem of Determination of Inhomogeneity Parameters of Dielectric Body by Measurement of the Near Field // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2020. Vol. 41 (7). P. 1320-1324.

7. Medvedik M. Yu., Moskaleva M. A. Numerical Method for Reconstruction of Inhomogeneity Parameters of a Body Placed in a Semi-Infinite Rectangular Waveguide // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2020. Vol. 41 (7). P. 1371-1376.

8. Medvedik M. Yu., Smirnov Yu. G., Tsupak A. A. Non-iterative two-step method for solving scalar inverse 3D diffraction problem // Inverse Problems in Science and Engineering. 2020. Vol. 28 (10). P. 1474-1492.

9. Medvedik M. Yu., Moskaleva M. A. Numerical Method for Recovering Permittivity of an Inhomogeneous Dielectric Body Placed in a Semi-Infinite Rectangular Waveguide // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2022. Vol. 43 (5). P. 1245-1250.

10. Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. М. : Радио и связь, 1988. 435 с.

11. Медведик М. Ю., Смирнов Ю. Г. Обратные задачи восстановления диэлектрической проницаемости неоднородного тела в волноводе : монография. Пенза : Изд-во ПГУ, 2014. 76 с.

12. Смирнов Ю. Г., Медведик М. Ю., Васюнин Д. И. Метод коллокации решения объемного сингулярного интегрального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости материала // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2009. № 3. С. 71-87.

13. Смирнов Ю. Г. Математические методы исследования задач электродинамики : монография. Пенза : Инф.-изд. центр ПензГУ, 2009. 268 с.

1. Beilina L., Klibanov M. Approximate Global Convergence and Adaptive for Coefficient Inverse Problems. New York: Springer, 2012:407.

2. Romanov V.G. Inverse Problems of Mathematical Physics. Utrecht, 1986:231.

3. Werner P. Resonance phenomena in local perturbations of parallel-plane waveguide. Mathematical Methods in the Applied Sciences. 1996;19:773-823.

4. Eves E., Murphy K., Yakovlev V. Reconstruction of complex permittivity with neural-networkcontrolled FDTD modeling. Power Electromag. Energy. 2007;4(41):22-34.

5. Samokhin A.B. Integral'nye uravneniya i iteratsionnye metody v elektromagnitnom rasseyanii = Integral equations and iterative methods in electromagnetic scattering. Moscow: Radio i svyaz', 1998:160. (In Russ.)

6. Evstigneev R.O., Medvedik M.Yu. Problem of Determination of Inhomogeneity Parameters of Dielectric Body by Measurement of the Near Field. Lobachevskii Journal of Mathematics. 2020;41(7):1320-1324.

7. Medvedik M.Yu., Moskaleva M.A. Numerical Method for Reconstruction of Inhomogeneity Parameters of a Body Placed in a Semi-Infinite Rectangular Waveguide. Lobachevskii Journal of Mathematics. 2020;41(7):1371-1376.

8. Medvedik M.Yu., Smirnov Yu.G., Tsupak A.A. Non-iterative two-step method for solving scalar inverse 3D diffraction problem. Inverse Problems in Science and Engineering. 2020;28(10):1474-1492.

9. Medvedik M.Yu., Moskaleva M.A. Numerical Method for Recovering Permittivity of an Inhomogeneous Dielectric Body Placed in a Semi-Infinite Rectangular Waveguide. Lobachevskii Journal of Mathematics. 2022;43(5):1245-1250.

10. Vaynshteyn L.A. Elektromagnitnye volny = Electromagnetic waves. Moscow: Radio i svyaz', 1988:435. (In Russ.)

11. Medvedik M.Yu., Smirnov Yu.G. Obratnye zadachi vosstanovleniya dielektricheskoy pronitsaemosti neodnorodnogo tela v volnovode: monografiya = Inverse problems of reconstructing the dielectric constant of an inhomogeneous body in a waveguide: monograph. Penza: Izd-vo PGU, 2014:76. (In Russ.)

12. Smirnov Yu.G., Medvedik M.Yu., Vasyunin D.I. Collocation method for solving a volumetric singular integral equation in the problem of determining the dielectric constant of a material. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University rpoceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2009;(3):71-87. (In Russ.)

13. Smirnov Yu.G. Matematicheskie metody issledovaniya zadach elektrodinamiki: monografiya = Mathematical methods for studying electrodynamics problems: monograph. Penza: Inf.-izd. tsentr PenzGU, 2009:268. (In Russ.)

и суперкомпьютерного моделирования, of mathematics and supercomputer Пензенский государственный университет modeling, Penza State University

References

Информация об авторах / Information about the authors

Андрей Олегович Лапич ассистент кафедры математики

Andrey O. Lapich Assistant of the sub-department

(Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40) E-mail: [email protected]

(40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Михаил Юрьевич Медведик

кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: [email protected]

Mikhail Yu. Medvedik Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, associate professor of the sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received 14.09.2023

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 06.10.2023 Принята к публикации / Accepted 10.11.2023