Итерационная схема решения нелинейного интегрального уравнения типа Липпмана – Швингера методом Галеркина Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

doi: 10.21685/2072-3040-2023-3-5

Итерационная схема решения нелинейного интегрального уравнения типа Липпмана - Швингера методом Галеркина

А. О. Лапич1, М. Ю. Медведик2 1,2Пензенский государственный университет, Пенза, Россия 1lapich.a@yandex.ru, 2_medv@mail.ru

Аннотация. Актуальность и цели. Цель работы - решение нелинейного интегрального уравнения, описывающего распространение электромагнитных волн внутри тела, расположенного в свободном пространстве. Материалы и методы. Краевая задача для уравнения Гельмгольца сводится к решению интегрального уравнения. Построен итерационный метод создания нелинейной среды внутри тела с диэлектрической структурой. Результаты. Поставленная задача решается численно. Размер получаемой при расчете матрицы превышает 30000 элементов. Показана внутренняя сходимость итерационного метода. Показаны графики, иллюстрирующие распределение поля внутри нелинейного тела. Выводы. Предложен и реализован численный метод.

Ключевые слова: краевая задача, уравнение Гельмгольца, нелинейное объемное интегральное уравнение Липпмана - Швингера, численный метод, метод Галеркина

Финансирование: работа выполнена при поддержке гранта РНФ в рамках научного проекта 20-11-20087.

Для цитирования: Лапич А. О., Медведик М. Ю. Итерационная схема решения нелинейного интегрального уравнения типа Липпмана - Швингера методом Галеркина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2023. № 3. С. 66-73. doi: 10.21685/2072-3040-2023-3-5

An iterative scheme for solving a Lippmann - Schwinger nonlinear integral equation by the Galerkin method

A.O. Lapich1, M.Yu. Medvedik2

12Penza State University, Penza, Russia 1lapich.a@yandex.ru, 2_medv@mail.ru

Abstract. Background. The purpose of the work is to solve the nonlinear integral equation describing the propagation of electromagnetic waves inside a body located in free space. Materials and methods. The boundary value problem for the Helmholtz equation is reduced to the solution of the integral equation. An iterative method of creating a nonlinear medium inside the body with a dielectric structure is constructed. Results. The problem is solved numerically. The size of the matrix obtained in the calculation exceeds 30000 elements. The internal convergence of the iteration method is shown. The graphics illustrating the field distribution inside a nonlinear body are shown. Conclusions. A numerical method for finding the nonlinear field has been proposed and realized.

Keywords: boundary value problem, Helmholtz equation, Lippmann - Schwinger nonlinear volume integral equation, numerical method, Galerkin method

Financing: the research was financed by the RSF within the research project 20-11-20087.

© Лапич А. О., Медведик М. Ю., 2023. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

For citation: Lapich A.O., Medvedik M.Yu. An iterative scheme for solving a Lippmann -Schwinger nonlinear integral equation by the Galerkin method. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2023;(3):66-73. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3040-2023-3-5

Введение

Задачи распространения скалярных волн внутри тел описываются интегральными уравнениями типа Липпмана - Швингера. Такие задачи возникают при дифракции падающей волны от стороннего источника на диэлектрическое тело. Если излучаемое поле работает на высоких частотах, то задача может моделировать электродинамические процессы. Большинство подобных задач решается численными методами. Численные методы, применимые для решения данных задач, можно условно разделить на два класса: проекционные и итерационные. Одним из перспективных методов является метод объемных сингулярных интегральных уравнений [1]. С помощью него краевая задача сводится к решению объемного сингулярного интегрального уравнения. Решение таких задач с приемлемой для практики точностью требует очень большого объема вычислений. Представленный в статье метод позволяет решать подобные задачи на телах сложной геометрической формы, опираясь на результаты, полученные при решении задачи на теле базовой формы и генерировать неоднородное поле [2-4].

1. Постановка задачи

Рассмотрим задачу дифракции волны на теле Q, расположенном в сво-

3

бодном пространстве R [5, 6]. Пусть дано неоднородное уравнение Гельм-гольца

Au + k2 (x )u = f (x), (1)

где f (x) - известная функция с компактным носителем; k2 (x) - непрерывная функция.

Будем предполагать, что на границе раздела двух сред выполняются условия сопряжения:

du

[u ]9Q =

dn

= 0, (2)

dQ

также необходимо учесть условия излучения Зоммерфельда:

— = ¡ки + о| — |, г := |х| ^^ . (3)

дг ^ г )

Представим данное уравнение в виде (1):

Ли + к^и = (к0 - к2 (х))и + /(х), (4)

где к0 - волновое число в свободном пространстве; к (х) - функция, характеризующая волновое число внутри тела Q .

Данная задача сводится к интегральному уравнению вида

u(x) = /0 (x) + k2¡G(x,y)u(y)dy , (5)

Q

или

u(x) = /0 (x) + JG(x,y)(( - k2 (y))u(y)dy . (6)

Q

Здесь уравнение (5) описывает однородный случай k(x) = const, а уравнение (6) - неоднородный случай, и содержит волновую функцию k(x).

2. Численный метод

Обозначим

Au := J G (x, y)( - k2 (y ))u (y )dy, u := u (x), F := /0 (x)

Q

и запишем уравнение в операторном виде: Lu := u — Au := F . Решение уравнений (5), (6) производится методом Галеркина. Рассмотрим «-мерное пространство Vn . Проведем аппроксимацию элементов у элементами уn eVn и найдем уn из системы уравнений

(Ly« ,v) = (/,v). (7)

Эти уравнения определяют конечномерный оператор Ln :Vn ^ Vn, где Vn есть антидуальное пространство к Vn . В качестве базисных функций выберем функции Vk. Будем считать, что Q - параллелепипед, имеющий следующие размеры: Q = (x: aj < xj < a2,b < x2 < b2,c < x3 < C2). Разобьем Q на элементарные параллелепипеды:

Пklm = {x : xl,k < xl < xl,k+b x2,l < xl < x2,l+l, x3,m < x3 < x3,m+l}

a2 — ai , , b2 — bi , c2 — c

xl,k = al + ~-Lk, x2,l = bl +—-Ll, x3,m = cl +—-Lm,

n n n

где k,l,m = 0,...,n — l.

Объем любого параллелепипеда Пklm равен w .

В общем случае можно ожидать сходимость метода только тогда, когда подпространства Vn предельно плотны в V :

inf lly — ф|| ^ 0, n ^

VeVn

для всех фе V .

Эту оценку также называют свойством аппроксимации. Базисные функции Vklm определяются следующим образом:

v = I1' X eUklm'

vklm 1 n f=f

I0, * ^ nklm •

Построенное множество базисных функций удовлетворяет необходимому условию аппроксимации в пространстве L = L2 X L2 X L2 •

В терминах операторов сходимость проекционного метода означает, что для всех n > N конечномерные операторы An := PnA: Vn ^ V^ являются

обратимыми и что поточечная сходимость An ^PnAty ^ ф, n имеет ме-

сто при всех фе V .

Поскольку An := PnA - оператор, действующий в конечномерных пространствах, применение проекционного метода сводится к решению конечномерной системы линейных алгебраических уравнений. Для заполнения матрицы преобразуем трехиндексный вектор в одноиндексный, аналогичную процедуру произведем и с матрицей. Правая часть матричного уравнения задается формулой fj = J fVjds. Каждый элемент матрицы получается путем

Q

вычисления шестикратного интеграла, имеющего слабую особенность в области интегрирования Lj = w5j - J G(x,у)фг-(x) ■ Vj (y)ds , где фу (x) и Vj (y)

Q

тестовые и базисные функции соответственно. Процедура избавления от особенности представляет собой разнесение точек интегрирования. Интегрирование производится по двум элементарным параллелепипедам Пkim ■ Решение СЛАУ производится методом сопряженных градиентов.

Рассмотрим процесс построения нелинейного поля по закону Керра:

k2 (x ) = k2 +а|u (x )|2.

Рассмотрим нелинейное интегральное уравнение:

f0(x) = u(x)-JG(x,y)(ko2 -k2(y;u(y)))u(y)dy. (8)

Q

Для создания нелинейности поля внутри тела Q разобьем итерационный алгоритм на два этапа. На первом этапе полагаем, что тело однородно, т.е. волновая функция является константой k2 (x) = ki = const (итерационный

процесс может быть запущен и при условии, что волновая функция неоднородная). Решаем интегральное уравнение

uo (x) = f0 (x) + JG(x,y)(( - k2 (y))uo (y)dy (9)

Q

и вычисляем поле uo (x).

На последующих шагах пересчитываем значения волновой функции по формуле Керра

k2 (x) = k? (x) + a|un (x)2 (10)

и решаем уравнение

"и+1 (x) = f0 (x) + J^(x, У)( -k2n (y;un (y(y(11) Q

Данный процесс повторяем до тех пор, пока не будет достигнута требуемая точность.

Алгоритм расчета неоднородного поля внутри фигуры в форме прямоугольного параллелепипеда Q описан в [7]. Рассмотрим алгоритм расчета

нелинейного поля для тела сложной геометрической формы. Будем предполагать, что решение задачи тела Q получено и в нашем распоряжении находится матрица, составленная методом Галеркина. Для решения задачи дифракции волны на теле сложной формы необходимо, чтобы тело целиком вмещалось в параллелепипед Q и состояло из элементов сетки [3]. Субиерархический метод позволяет составить матрицу для определения полей внутри тела сложной формы, используя матрицу, составленную для параллелепипеда Q . В построенной фигуре введем новую нумерацию элементарных параллелепипедов. Произведя полный перебор всех элементарных параллелепипедов, принадлежащих фигуре сложной формы, получаем новую сетку. Эту сетку будем использовать для расчета поля на теле сложной формы. Решая СЛАУ для матрицы, составленной с использованием новой сетки, находим значения поля внутри фигуры сложной формы. Скорость построения новой матрицы будет напрямую зависеть от размера фигуры и размера сетки. Субиерархический подход позволяет избежать длительных расчетов, связанных с повторным вычислением матричных элементов.

Численные результаты

Рассмотрим решение поставленной задачи (8)—(11) на различных расчетных сетках и для разных значений а . Для нелинейного случая а = 0,01 и при размере расчетной сетки n = 15, n = 20, n = 25, n = 31 решение задачи на кубе со стороной ребра a = b = c = 5 см представлено на рис. 1-5. Линейный случай а = 0,0 представлен на рис. 6. Рисунки с решением демонстрируют сходимость и устойчивость итерационного метода. Рисунок 1,а представляет максимум модуля отклонения на соседних итерациях. График сходимости метода представлен на рис. 1,6. Итерационный процесс сходится за несколько шагов. Во всех экспериментах правая часть представляет собой точечный источник, расположенный в точке (0;0; -4,5 ), частота падающего поля равна

110 MHz . Волновое число свободного пространства (2,0п)/ c , где c является скоростью света. На первой итерации волновая функция является константой и равна 0,4. Куб расположен в пределах от -2,5 до 2,5 см по каждой из осей. Численный результат решения задачи показал нелинейную структуру поля. Значения волновой функции изменяются по слоям в зависимости от удаленности от источника.

На рис. 2-5: a - значение волновой функции, 6 - значение поля. На рис. 6 представлена сфера, построенная на основе результатов решения задачи на кубе n = 31. Начальное значение волнового числа равно k = 0,04 .

I/Oil 1C0G

а)

б)

Рис. 1. Изменение значений модуля поля в центральной ячейки тела Q в зависимости от итераций (п = 15) (а); максимум отклонения значения поля в зависимости от числа итераций (п = 15) (б)

Рис. 3. Решение задачи (8)-(11) при n = 25

а) б)

Рис. 4. Решение задачи (8)-(11) при п = 31

а) б)

Рис. 5. Линейный случай решения задачи (8)-(11) при n = 31, а = 0

а) б)

Рис. 6. Решение задачи (8)-(11) на фигуре сложной формы: а - значение волновой функции; б - поле при п = 31, а = 0,1

Эксперименты были проведены для различного разбиения сетки. Анализируя графики, можно понять, что точность и устойчивость метода сохраняются при более мелком разбиении расчетной сетки.

Заключение

Описанный метод позволяет моделировать нелинейное поле внутри тела Q, расположенного в свободном пространстве. При построении итерационной процедуры не возникает проблем с выбором начального приближения. Графики на рис. 1 иллюстрируют сходимость метода. Сравнение результатов решения задачи при а = 0 и а> 0 показывает отличия в линейной и нелинейной задачах (на рисунках приведены значения). Данный подход может быть использован для моделирования нелинейности в различных объектах.

Список литературы

1. Самохин A. Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии. М. : Радио и связь, 1998.

2. Медведик М. Ю. Субиерархический метод решения интегрального уравнения Липпмана - Швингера на телах сложной формы // Радиотехника и электроника. 2012. Т. 57, № 2. С. 175-180.

3. Medvedik M. Y. Solution of integral equations by means of subhierarchic method for generalized computational grids // Mathematical Models and Computer Simulations. 2015. P. 570-580.

4. Медведик М. Ю. Субиерархический метод решения интегрального уравнения Липпмана - Швингера // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2010. № 4. С. 82-88.

5. Ильинский А. С. Кравцов В. В., Свешников А. Г. Математические модели электродинамики. М. : Высшая школа, 1991.

6. Kress R. Linear Integral Equations. Springer-Verlag, New-York Inc., 1989. (Applied Mathematical Sciences. Vol. 82.)

7. Медведик М. Ю. Численное решение объемного сингулярного интегрального уравнения методом коллокации // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2009. № 4. С. 55-71.

References

1. Samokhin A.B. Integral'nye uravneniya i iteratsionnye metody v elektromagnitnom ras-seyanii = Integral equations and iterative methods in electromagnetic scattering. Moscow: Radio i svyaz', 1998. (In Russ.)

2. Medvedik M.Yu. Subhierarchical method for solving the Lippmann-Schwinger integral equation on complex-shaped bodies. Radiotekhnika i elektronika = Radio engineering and electronics. 2012;57(2):175-180. (In Russ.)

3. Medvedik M.Y. Solution of integral equations by means of subhierarchic method for generalized computational grids. Mathematical Models and Computer Simulations. 2015:570580.

4. Medvedik M.Yu. Subhierarchical method for solving the Lippmann-Schwinger integral equation. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2010;(4):82-88. (In Russ.)

5. Il'inskiy A.S. Kravtsov V.V., Sveshnikov A.G. Matematicheskie modeli elektrodinamiki = Mathematical models of electrodynamics. Moscow: Vysshaya shkola, 1991. (In Russ.)

6. Kress R. Linear Integral Equations. Springer-Verlag, New-York Inc., 1989. (Applied Mathematical Sciences. Vol. 82).

7. Medvedik M.Yu. Numerical solution of a volumetric singular integral equation by the collocation method. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2009;(4):55-71. (In Russ.)

Информация об авторах / Information about the authors

Андрей Олегович Лапич Andrey O. Lapich

ассистент кафедры математики Assistant of the sub-department

и суперкомпьютерного моделирования, of mathematics and supercomputer

Пензенский государственный университет modeling, Penza State University

(Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40) (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

E-mail: lapich.a@yandex.ru

Михаил Юрьевич Медведик

кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: _medv@mail.ru

Mikhail Yu. Medvedik Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, associate professor of the sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов / The authors declare no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received l8.05.2023

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 02.06.2023 Принята к публикации / Accepted ll.08.2023