Двухшаговый метод решения скалярной обратной трехмерной задачи дифракции на объемном неоднородном теле Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.968, 517.983.37

DOI 10.21685/2072-3040-2019-4-2

Р. О. Евстигнеев, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак

ДВУХШАГОВЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СКАЛЯРНОЙ ОБРАТНОЙ ТРЕХМЕРНОЙ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ НА ОБЪЕМНОМ НЕОДНОРОДНОМ ТЕЛЕ1

Аннотация.

Актуальность и цели. Цель работы - теоретическое обоснование и программная реализация двухшагового метода решения обратной трехмерной скалярной задачи дифракции на неоднородном препятствии, характеризующемся кусочно-непрерывным показателем преломления.

Материалы и методы. Краевая задача сводится к системе интегральных уравнений, для исследования этой задачи применяются элементы теории потенциала и преобразования Фурье.

Результаты. Предложена интегральная формулировка обратной задачи дифракции, установлена единственность решения интегрального уравнения Фредгольма первого рода в специальных классах функций; разработан двух-шаговый метод решения обратной задачи дифракции; предложены и программно реализованы процедуры уточнения приближенных решений задачи с за-шумленными данными.

Выводы. Предложенная двухшаговая процедура является эффективным методом решения трехмерных задач ближнепольной томографии.

Ключевые слова: трехмерная обратная задача дифракции, восстановление показателя преломления, интегральные уравнения, единственность решения, двухшаговый метод.

R O. Evstigneev, M. Yu. Medvedik, Yu. G. Smirnov, A. A. Tsupak

TWO-STEP METHOD FOR SOLVING THE SCALAR REVERSE THREE-DIMENSIONAL DIFFRACTION PROBLEM ON A VOLUME HETEROGENEOUS BODY

Abstract.

Background. The aim of this work is theoretical justification and implementation of the two-step method for solving the three-dimensional inverse scalar problem of diffraction by a heterogeneous obstacle characterized by a piecewise continuous refractive index.

Material and methods. The boundary value problem is reduced to a system of integral equations; the properties of this system are studied using potential theory and Fourier transform.

Results. The integral formulation of the inverse problem of diffraction is given; uniqueness of a solution to the Fredholm integral equation of the first type is established in special function classes; non-iterative two-step method for solving the in-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ 18-01-00219 A.

© Евстигнеев Р. О., Медведик М. Ю., Смирнов Ю. Г., Цупак А. А., 2019. Данная статья доступна по условиям всемирной лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International License (http://creativecommons.org/ licenses/by/4.0/), которая дает разрешение на неограниченное использование, копирование на любые носители при условии указания авторства, источника и ссылки на лицензию Creative Commons, а также изменений, если таковые имеют место.

verse problem is proposed and implemented; several procedures for solutions' refinement are described.

Conclusions. The proposed two-step method is an efficient tool for solving three-dimensional scalar problems of near-field tomography.

Keywords: three-dimensional inverse scattering problem, reconstruction of piecewise continuous refractive index, integral equations, uniqueness of solutions, two-step method.

Введение

Рассматривается неитерационный двухшаговый метод (ДМ) для решения скалярной обратной задачи дифракции на неоднородном теле,

расположенном в неограниченном однородном пространстве Ж .

Для решения обратной задачи дифракции используется интегральное уравнение первого рода, которое хорошо известно в зарубежной литературе как «source-type integral equation» (STIE). Наиболее распространенные методы численного решения STIE заключаются в минимизации специальных функционалов ошибок [1] и требуют хорошего начального приближения.

Идея предлагаемого авторами ДМ заключается в непосредственном численном решении интегрального уравнения первого рода с последующим явным вычислением искомой функции, описывающей неоднородность рассе-ивателя.

Статья состоит из четырех разделов.

В разд. 1 формулируется прямая задача дифракции и приводятся основные теоретические результаты ее исследования. Рассматривается квазиклассическая постановка краевой задачи для уравнения Гельмгольца; выписывается система интегральных уравнений (ИУ), включающая ИУ Липпмана - Швингера относительно неизвестного полного поля в области неоднородности. Доказывается, что дифференциальная и интегральные формулировки задачи дифракции эквивалентны, а сама задача имеет (и притом единственное) решение.

В разд. 2 рассмотрена интегральная постановка обратной задачи рассеяния. Мы предполагаем, что падающая волна - поле точечного источника, расположенного вне Q, а искомый показатель преломления k(x) -такая непрерывная или кусочно непрерывная функция, | k(x) |> k > kg в Q . Здесь kg >0 - заданное волновое число свободного пространства. Мы также предполагаем, что значения ближнего поля определены в некоторой ограниченной области D, Q п D = 0, а точка источника падающего поля находится вне D u Q.

Далее описывается ДМ решения обратной задачи [2, 3]. Первый шаг заключается в прямом решении STIE и нахождении тока 2 2

J(x) = (k (x) - kg )u (x). Второй шаг ДМ состоит в вычислении искомого решения k(x) через заданные функции J(x), u(x) и ug(x), входящие в ИУ Липпмана - Швингера.

Известно, что рассматриваемое ИУ первого рода не является однозначно разрешимым. Мы приводим пример гладкого нетривиального

решения однородного ИУ. Однако единственность решения этого ИУ можно доказать в специальных классах функций. В данной работе описываются такие классы решений.

Основным теоретическим результатом, представленным в разд. 3, является теорема о единственности решения STIE, впервые анонсированная в [4]. Как и в [5, 6], мы доказываем в данной работе, что для почти всех значений волнового числа ко >0 STIE имеет не более одного решения в определенных классах функций.

В разд. 4 мы описываем условия численных экспериментов, представляем графически результаты сравнения точных и приближенных решений, а также описываем алгоритм уточнения решений, полученных в задаче с за-шумленными данными.

1. Прямая задача дифракции: постановка и основные результаты

Рассмотрим ограниченное тело Q , расположенное в изотропном одно-

3 з —

родном пространстве Ж . Однородная среда без потерь Ж \ Q характеризуется заданным волновым числом ко >0. Область неоднородности Q может быть представлена объединением нескольких подобластей Ql

(I = 1,...,N),

Q=и^, пQr=0, I фV,

с кусочно-гладкой границей дQl, состоящей из конечного числа поверхностей класса С .

Мы рассматриваем неоднородности в Q двух типов. Неоднородности первого типа описываются непрерывными функциями, а неоднородности второго типа - кусочно-непрерывными функциями. В последнем случае

к(х) = к (х), х е Ql,

где к1 е Са(Ql) - непрерывные по Гельдеру функции.

Пусть EQ - объединение ребер областей Ql. Введем обозначения

Ql := аг \ EQ, Q' := Q \ EQ.

Полное поле V (х, ^) представим в виде суммы и(х, ^) = Vо(х, ^) + из (х, ^) падающей волны Vо и рассеянного поля из, гармонически зависящих от времени: ио (х, ^) = ио (х)е гШ, из (х, ^) = и3 (х)е гШ. Функция

/о1х-хо1 _ ио(х) = -Г-,-^ хо г Q, (1)

4п | х - хо |

задает падающую волну точечного источника.

Определение 1. Прямая задача дифракции в дифференциальной формулировке состоит в отыскании решения следующей краевой задачи:

(Я)

(A + k/( x))u (x) = 0, x е Ql, 5( x du

(A + kg )u( x) = -8( x -x0), x e!3\Q,

[u]| 9Ql =°>

dn

= 0,

u е я/ос (Ж3\{Х0>),

^ = ikoUs + о | - |, г =| х |Н дг ^ г )

Определение 2. Всякое решение задачи (Ц), удовлетворяющее условиям

uе С1 ({xg}))2(Ql)pC(Qu{xg})

(2)

l

называется ее квазиклассическим решением. Задача (Ц-) сводится [7] к системе ИУ:

i(x) - J(k2(y) -kgj)G(x,y)u(y)dy = ug(x), xе Q,

(3)

Q

ы(х) = uo(х) +1(^(у)-ko2)G(х,y)u(y)dy, хе и{хо}). (4)

Q

Определение 3. Система ИУ (3)-(4) представляет собой интегральную постановку (Ц>) прямой задачи дифракции.

Оператор ИУ (3) обозначим через X - Л .

Сформулируем известные [7, 8] результаты исследования задач (Ц-),

(Ц2).

3

Теорема. 1. Если Зk(х) > 0 в Ж , то задача (Ц-) имеет не более одного квазиклассического решения.

2. Если ы е ¿2.(3) - решение ИУ (3), то полное поле ы(х) , продолженное вне Q по формуле (4), удовлетворяет условиям (2).

3. Задачи (Ц-) и (Ц>) эквивалентны.

4. Оператор (X - Л): ¿2 Н ¿2 непрерывно обратим.

Таким образом, решение прямой задачи дифракции существует и единственно.

2. Постановка обратной задачи дифракции

Рассмотрим область

Q = {х = (х-, Х2, Х3): а- < х- < Ь-, а2 < Х2 < ¿2,03 < Х3 < 63} с неизвестным индексом преломления п(х) = k(х) / ^, который является непрерывной (или кусочно-непрерывной) функцией в Q. В последнем случае

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион к(х) - кусочно-гельдерова функция в Q такая, что к(х) е Са (Ql), где

с Q. _ _

Введем ограниченную область В, В п Q = 0, в которой известны значения полного поля

V (х, X) = Vо (х, X) + и5 (х, X), и5 (х, X) = и5в~Ш,

на заданной частоте ю.

Падающая волна имеет вид

Мх-хо\ .

Vо( х, Х) = —--е", (5)

4п | х - хо |

где хо й Q и В - произвольная точка.

В предлагаемой постановке обратной задачи используется система (7^2) интегральных уравнений.

Постановка обратной задачи. 1 Пусть к(х), х е Q, - неизвестная непрерывная (или кусочно-гельдерова) функция такая, что

| к(х) |> к > ко (6)

в Q. Обратная задача дифракции состоит в нахождении функции к(х) в области Q из уравнения

|(к2(у) - к1)в(х, у)и (у)ёу = и (х) - ио(х), х е В, (7)

Q

по заданным значениям поля и(х), х е В, с учетом уравнения

и(х)- |(к2(у)-ко)0(х,у)и(у)ёу = ио(х), хе Q. (8)

Q

Формулировка двухшагового метода

2 2

Вводя ток J(х) = (к (х) - ко )и(х) в Q , перепишем ИУ (7) и (8):

(х,у) J(у)ёу = и(х) - ио(х) = и5 (х), хе В, (9)

Q

J (х)

- Jg(х,y)J(y)dy = Uo(х), хe Q. (10)

к 2( х) - ко Q

Найдем функцию к (х) в два этапа:

1) по значениям полей ио(х) и и(х) в В найдем решение J(х) уравнения (9) в области Q;

2) вычислим к(х) при х е Q , используя уравнение (Ю).

3. Единственность решения ИУ первого рода в специальных классах функций

Покажем, что (9) имеет нетривиальные решения при любом ко. В области Q рассмотрим произвольную гладкую функцию у,

удовлетворяющую условиям у= = 0. Введем /(х) = -(Д + кО^у.

Тогда в силу граничных условий для у выводим

у(х) = (х, у)/(у)йу, х е Q. Q

Определим потенциал у(х) = х,у)/(у)ёу, хе Ж3. Тогда

Q

у(х) = у(х) при х е Q, однако

0=1 (у О^Г* - ^х-у)^ ) Ау =

= |(у(у)Ду2(Х, у) - 2(Х, у)Дуу(у)^у = х, у)/(у= у(х), х г Q.

Q Q

Ниже будут определены классы функций, в которых ИУ (9) имеет единственное решение. Введем узлы

Ь - а1 , Ь2 - а2 , Ь3 - а3

Х1/ = а1 + ~-к 1 Х2,/2 = а2 + ~--/2„Х3,/3 = а3 +-/3- 0 < /к < п

1 п 2 п 3 п

и подобласти

П1 = пЩН = {Х: Хк/к < Хк < Хк/к+1}k = 1,2,3, 0 </к < п-1-

где / - мультииндекс (/1/213).

Определение 4. Пусть г/ = (///,/2/2-/3/3), где % = Ь -ak)/п. Тогда

б = б(Q) = {П/}, 0 < /к < щ < п,

есть заданное разбиение области Q параллелепипедами П/, для которых выполняется условие

У/ п/ = п 0 + г/ - п 0 ={Х : Хк,0< Хк < Хк,1}. (11)

Определение 5. Пусть Q - ограниченная область с введенным выше разбиением Оп. Класс S (Оп) есть множество линейных комбинаций

3 ( х) = У/ ( х) (12)

I

функций у/, удовлетворяющих следующим требованиям:

• функция у о имеет компактный носитель Бирруо с По;

• у о непрерывна на Бирруо ;

• V/ у/ (х) = уо(х - г );

• те,. £: ^уо© = о} = о.

ко

Здесь теъ^ - стандартная мера на сфере радиуса ко >о

ко о

с центром в начале координат, а ^ у о - преобразование Фурье функции у. Теорема 2. Если

2 3 п п

ко > а = min 1 ь{ - а (13)

2а 1<г<з

то уравнение

|б(х, уУШу = и, (х), х е В, В п ё = 0, и, е С~ (В), (14)

ё

имеет не более одного решения Jе 8(Оп). Кроме того, решение J е 8(Оп) единственно для всех п е N и ко >о за исключением, быть может, конечного числа значений ко.

Доказательство. Покажем, что однородное уравнение

^(х, у) J(у)ау = о, х е В, ё

имеет в классе 8 (0,п) лишь тривиальное решение J = о. Введем потенциал

v(х) = (х,у)J(у)ау, хе Ж3. (15)

ё

Так как плотность J(х) непрерывна (или кусочно-непрерывна), то

1 3

у(х) е С (Ж ). Следовательно, выполняются условия сопряжения

[V] 1эп/ = [ дП ]Ц' =о.

2

В силу условий V е С (П/) уравнения Гельмгольца

(Д + ко>( х) = , х еП/, верны в каждой внутренней точке х е П/ (в классическом смысле). Вне ё имеем (Д + кдМх) = о и Vе С~(Ж3 \ О).

з —

По предположению теоремы V = о в В с Ж \ ё. Тогда в силу

3 —

принципа единственного продолжения [8] V = о всюду в Ж \ ё.

1 3

Включение у(х) е С (Ж ) влечет равенства

= =°.

_ e~ik0|x-У|

2. Рассмотрим фундаментальное решение 2(х,у) =- уравне-

4п | х - у |

ния Гельмгольца. Применяя вторую формулу Грина, получим с учетом условий на ЭП/:

0= J (v(y)-G(x,y)-G(x,y)—v(y))ds J on on

dQ

J (v(y) dn G(x, y) - G(x, y) dnv(y))dsy

l dnl

: Y J (v(y)AyG(x, y) - G(x,y)AyV(y))dy =

l nl

= v(x) + Y/l J G (x, y)dy, x е П^ l nl

Из последнего следует, что

v(x) = JG(x, y) J(y)dy, x е Q. (16)

Q

Вычитая (16) из (15), выводим

w(x)= J si"(k0|x - yl) J (y)dy = iG0(x, y)J(y)dy = 0, x е Q.

J 4п | x - y | J

Q 1 " Q

Заметим, что ядро G0(x,y) = G0(| x - y |) - аналитическая функция, удовлетворяющая однородному уравнению Гельмгольца. Тогда

(A + kg) w(x) = J (Ax +k02)G0( x, y) J (y)dy = 0.

Q

2 3

Таким образом, w е С (Ж ) есть классическое решение уравнения

3 3

Гельмгольца в Ж , равное нулю в Q. Следовательно, w = 0 в Ж .

3. Далее, преобразование Фурье Fw(^) = 0 в Ж3. Из условия Пi = П 0 + ri для всех l вытекает представление

w(x) = YJl J G0(| x - y |)dx = YJl J G0(| x - y - ri |)dx.

l П0+rl l П0

Вычисляя преобразование Фурье, находим

^ = (¿о (I х - г/I) * уо (х)) = Б/Е(во (| х - г/ |))Е(уо (х)) =

/ /

= Fуо©Fво©/'r/^ = Еуо(^)• -ко)• Б/е,Г/^.

/ /

Тогда получим тождество на сфере ^о радиуса ко:

о.

/

4. Покажем, что функции е""' ^ линейно независимы на «^о, проверив невырожденность соответствующей матрицы Грама Г. Обозначим единичные центрированные сферы в Жп (п > 2 ) через 8п-1. Имеем

ГД, = | е'Г= ко2 |е'ко1 Г»'К"Ц = 2пко2 }е'ко1 Г«'Ь. (17) «ко «2 -1

Здесь мы использовали возможность представления интегралов | п-1 /(ю • , не зависящих от переменной юе 8п-1, формулой [9]:

J f (ю-^ -| Sn—2|Jf (t)(1 -12)

Sn—1 —1

(n—3)/2

0 I rw |

4nk2, l - l'.

Из (17) следует, что

§т(ко 1""//'|)

4ЯЛо

Г//' =

^о

5. Представим матрицу Г в виде суммы

Г = 4пко(ко 1 + Г), где I - единичная матрица, и получим оценку

2 3

|| Г Щ = тах Б|Г//'|<П2^. (18)

/ у 2Н

Фиксируем мультииндекс /' = (о,о,о) и введем Н = тт(Н1,/22,^3} :

1 («—1,«—1,«—1) i

ElflH- Г " Z I-2-2-2

lфГ lФ1'\ rU I (¡1 ,¡2,¡2)=(0,0,1) V) + (¿2^2) + (?3Л3)

<

<

(

<1 6 + 0.5 Г

h J

^ 1<|х|<и

Итак, оценка (13) обеспечивает невырожденность матрицы Грама, так как ее диагональные элементы преобладают над внедиагональными при достаточно больших ко. Заметим еще, что det Г зависит от ко аналитически при всех п е N. Следовательно, det Г(ко) может иметь лишь конечное число нулей на сегменте ко е [0,ко]. Окончательно заключаем, что однородное уравнение (14) имеет лишь тривиальное решение в классе ^ (Оп) для всех п е N и ко >о, за исключением, быть может, конечного числа значений ко. □

Тестовые вычислительные эксперименты проводятся следующим образом. Мы рассматриваем куб Q с заданной функцией к(х), х е Q,

представляющей точное решение обратной задачи. Сначала мы решаем прямую задачу дифракции и находим полное поле и (х), х е Q, которое впоследствии используем для моделирования ближнего поля и (х), х е В, в обратной задаче дифракции (см. соотношение (9)).

По заданной волне щ и смоделированному полю и в В мы находим

решение J уравнения (9) в классе ^(Оп) кусочно-постоянных функций с прямоугольным носителем. Наконец, по формуле (Ю) восстанавливаем искомую функцию к (х).

Для решения уравнения (9) применяется метод коллокаций с узлами коллокаций хк в области В. Мы требуем, чтобы число этих узлов совпадало с числом неизвестных коэффициентов Jl в представлении (12) решения. Для приближенного вычисления интегралов применяется кубатурная формула прямоугольников, обеспечивающая достаточную низкую погрешность: так как области интегрирования суть П1 с Q, а узлы коллокации хк е В , причем

Q п В = 0, то ядро интегрального оператора бесконечно дифференцируемо.

3

Фактически, для достижения приемлемой точности достаточно взять 8 членов квадратурной суммы.

3

Мы рассматриваем куб Q = [-о.о75,о.о75] с длиной стороны, равной 15 см. Падающая волна задается соотношением (1), причем хо =(о,о,о.15), а частота волны варьируется в диапазоне 21 — 25GHz.

Волновое число в кубе равно 2о + 1о/ за исключением четырех подобластей, где к (х) изменяется в пределах от 33 +17/ до 38 +18/. На рис. 1 изображены вещественная и мнимая части точного решения обратной задачи.

4. Численные эксперименты

а)

Рис. 1. Вещественная (а) и мнимая (б) части точного решения модельной задачи с точными данными: уровень шума nl = 0%; частота волны ю = 23 GHz

Следующая серия рисунков показывает зависимость точности приближенного решения задачи от уровня шума в данных значениях поля.

Заметим, что в случае данных без шума коэффициент преломления восстанавливается очень точно (рис. 2).

Г!

б)

Рис. 2. Вещественная (а) и мнимая (б) части приближенного решения модельной задачи с точными данными: уровень шума nl = 0%; частота волны ю = 23 GHz

Зашумление ближнепольных данных приводит к снижению точности решения, появлению артефактов (новых неоднородностей), смещению или даже исчезновению истинных неоднородностей.

Мы моделируем зашумление данных следующим образом: сначала мы решаем прямую задачу с «чистыми» данными; затем вычисляем поле в области В по формуле (7), добавляя случайный шум к плотности и (х), х е Q, объемного потенциала. На рис. 3 показаны приближенные решения

обратной задачи с зашумленными данными. Уровень шума, обозначенный

через п1, изменяется в пределах от 0,5 до 2,5 % относительно амплитуды поля.

Рис. 3. Вещественная часть приближенного решения, полученного в задачах с разным уровнем зашумления данных. Значения уровня шума составляют: nl -0,5 %, nl - 1 %, nl -1,5 %, и nl -2,5 %; частота волны ю = 23 GHz

Для удаления артефактов и более точного обнаружения истинных неоднородностей мы используем несколько процедур.

Первая процедура (предварительная обработка данных) используется для фильтрации зашумленных данных ближнего поля в области В. Фиксируем узел коллокации хк е В и рассматриваем его небольшую окрестность диаметром й(их^) = 5, где 5 - минимальное расстояние до

других точек коллокации. Вычисляя среднее иа в их^, сравниваем и^

с заданным значением и, (хк). Если | иа - и, (хк) |> 5%, то полагаем

и, (хк ) = иаа, иначе значение и, (хк) не меняется. Такая же процедура усреднения может применяться и к экспериментально полученным данным.

Вторая процедура - процедура постобработки (уточнения приближенных решений). Мы проводим серию из нескольких экспериментов и находим приближенные решения на трех различных частотах (рис. 4).

Рис. 4. Приближенные решения тестовой задачи с зашумленными данными (nl = 1,5%) на различных частотах: 21, 23 и 25 GHz

Затем мы сравниваем приближенные решения к(1)(х), к(2)(х) и

к(3)( х) в точках подобластей П/, предполагая, что истинные однородности должны находиться в тех же положениях области неоднородности, а артефакты могут менять свое местоположение или даже исчезать. Решение

к(1)(х), соответствующее исходному значению частоты волны, является

уточняемым, тогда как к (2)( х) и к (3)( х) являются дополнительными решениями. Дальнейший анализ заключается в следующем: если разница между этими значениями составляет менее 5 % от среднего значения кау и

находится в пределах 10 % от фоновых значений, тогда мы говорим, что кау представляет волновое число фона. В противном случае мы полагаем к (х) := (к(1) (х) + к(2) (х) + к(3) (х)) / 3 и называем это значение искомым волновым числом. Кроме того, мы выполняем выравнивание фона в тех ячейках сетки, которые рассматриваются как фоновые подоблати. Эта процедура является своего рода усреднением значений в фоновых ячейках (подробное описание приведено в [10]). Результат уточнения решения представлен на рис. 5.

На рис. 6 представлены функции вещественной части искомого коэффициента преломления, полученные после применения процедур уточнения решения.

Рис. 6. Восстановленные решения модельной задачи при различных уровнях шума п1 = о, 5%, п1 = 1 %, п1 =1,5%, и п1 = 2,5%

Заключение

Теоретически обоснован и программно реализован двухшаговый метод решения трехмерной задачи восстановления показателя преломления по значениям ближнего поля. Предложенный неитерационный метод включает решение интегрального уравнения первого рода. Доказана единственность решения такого уравнения в классе линейных комбинаций функций специального вида с компактными носителями. Предложена и реализована эффективная двухэтапная процедура уточнения приближенных решений, позволяющая получить решение задачи с зашумленными ближнепольными данными при уровне шума, не превышающем 2,5 %.

Библиографический список

1. Bakushinsky, A. B. Iterative Methods for Approximate Solution of Inverse Problems / A. B. Bakushinsky, M. Yu. Kokurin. - New York : Springer, 2004.

2. Евстигнеев, Р. О. Обратная задача восстановления неоднородностей тела для ранней диагностики заболеваний с помощью микроволновой томографии / Р. О. Евстигнеев, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2017. - № 4 (44). - С. 3-17.

3. Евстигнеев, Р. О. Обратная задача восстановления неоднородностей тела для ранней диагностики заболеваний с помощью микроволновой томографии / Р. О. Евстигнеев, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2017. - № 4 (44). - С. 3-17.

4. Смирнов, Ю. Г. О единственности решения обратной задачи дифракции на неоднородном теле с кусочно-гельдеровым показателем преломления в специальном классе функций / Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак // Доклады Академии наук. -2019. - Т. 485, № 5. - С. 545-547.

5. Смирнов, Ю. Г. Двухмерная скалярная обратная задача дифракции на неоднородном препятствии с кусочно-непрерывным показателем преломления / Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2018. - № 3 (47). - С. 3-16.

6. Medvedik, M. Y. Two-step method for solving inverse problem of diffraction by an inhomogeneous body / M. Y. Medvedik, Y. G. Smirnov, A. A. Tsupak // Nonlinear and Inverse Problems in Electromagnetics - PIERS 2017 : Springer Proceedings in Mathematics and Statistics 38th. - St. Petersburg, Russia, 2018. - P. 83-92.

7. Смирнов, Ю. Г. Математическая теория дифракции акустических и электромагнитных волн на системе экранов и неоднородных тел / Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак. - Москва : РУСАЙНС, 2016. - 226 c.

8. Colton, D. Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory / D. Colton, R. Kress. - Berlin, Heidelberg : Springer-Verlag, 2013.

9. Наттерер, Ф. Математические аспекты компьютерной томографии / Ф. Натте-рер. - Москва : Мир, 1990. - 286 с.

10. Medvedik M. Yu. The two-step method for determining a piecewise-continuous refractive index of a 2D scatterer by near field measurements / M. Yu. Medvedik, Yu. G. Smirnov, A. A. Tsupak // Inverse Problems in Science and Engineering. - 2019. -DOI 10.1080/17415977.2019.1597872.

References

1. Bakushinsky A. B., Kokurin M. Yu. Iterative Methods for Approximate Solution of Inverse Problems. New York: Springer, 2004.

2. Evstigneev R. O., Medvedik M. Yu., Smirnov Yu. G., Tsupak A. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2017, no. 4 (44), pp. 3-17. [In Russian]

3. Evstigneev R. O., Medvedik M. Yu., Smirnov Yu. G., Tsupak A. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2017, no. 4 (44), pp. 3-17. [In Russian]

4. Smirnov Yu. G., Tsupak A. A. Doklady Akademii nauk [Reports of the Academy of Sciences]. 2019, vol. 485, no. 5, pp. 545-547. [In Russian]

5. Smirnov Yu. G., Tsupak A. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2018, no. 3 (47), pp. 3-16. [In Russian]

6. Medvedik M. Y., Smirnov Y. G., Tsupak A. A. Nonlinear and Inverse Problems in Electromagnetics - PIERS 2017 : Springer Proceedings in Mathematics and Statistics 38th. St. Petersburg, Russia, 2018, pp. 83-92.

7. Smirnov Yu. G., Tsupak A. A. Matematicheskaya teoriya difraktsii akusticheskikh i el-ektro-magnitnykh voln na sisteme ekranov i neodnorodnykh tel [The mathematical theory of diffraction of acoustic and electromagnetic waves by the system of screens and in heterogeneous bodies]. Moscow: RUSAYNS, 2016, 226 p. [In Russian]

8. Colton D., Kress R. Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2013.

9. Natterer F. Matematicheskie aspekty komp'yuternoy tomografii [Mathematical aspects of computed tomography]. Moscow: Mir, 1990, 286 p. [In Russian]

10. Medvedik M. Yu., Smirnov Yu. G., Tsupak A. A. Inverse Problems in Science and Engineering. 2019. DOI 10.1080/17415977.2019.1597872.

Евстигнеев Роман Олегович аспирант, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: Roman_cezar@mail.ru

Evstigneev Roman Olegovich Postgraduate student, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Медведик Михаил Юрьевич

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: math@pnzgu.ru

Medvedik Mikhail Yur'evich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Смирнов Юрий Геннадьевич

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: mmm@pnzgu.ru

Smirnov Yuriy Gennad'evich Doctor of physical and mathematical

sciences, professor, head of the sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University

(40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Цупак Алексей Александрович

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: math@pnzgu.ru

Tsupak Aleksey Aleksandrovich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling, Penza State University (40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Образец цитирования:

Евстигнеев, Р. О. Двухшаговый метод решения скалярной обратной трехмерной задачи дифракции на объемном неоднородном теле / Р. О. Евстигнеев, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2019. - № 4 (52). - С. 12-28. - DOI 10.21685/2072-3040-2019-4-2.