Решение системы матричных уравнений при наличии линейной связи Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 90-102 = Математика

УДК 512.83

Решение системы матричных уравнений при наличии линейной связи

С. С. Мамонов, И. В. Ионова

Аннотация. Для матричного уравнения Ляпунова в случае кратного мнимого собственного значения установлены необходимые и достаточные условия его разрешимости, получено решение такого уравнения.

Ключевые слова: матричное уравнение, прямое произведение, положительно определенная матрица.

Введение

В работе рассматривается матричное уравнение Ляпунова при наличии линейной связи, имеющее прикладное значение при определении условий существования предельных циклов системы дифференциальных уравнений [1-6], исследовании асимптотической устойчивости состояний равновесия системы дифференциальных уравнений [1, 2, 7], нахождении областей притяжения для состояний равновесия [7, 8].

Рассмотрим систему матричных уравнений [1, 2]

АХ + ХАТ = Ь, (1)

Хц = г, (2)

где А, X, Ь € д2пх2п, ц, г ^ ^2п, ^» _ транспонирование, X, Ь — неизвестные матрицы. Для матричного уравнения Ляпунова (1) известны условия существования решения X [9]. Если А ¿(А), г = 1, 2 п — собственные значения матрицы А и А ¿(А) + А^ (А) = 0, г, ] = 1,2п, то уравнение (1) однозначно разрешимо для любой матрицы Ь. Для случая Ь < 0 необходимые и достаточные условия разрешимости системы (1), (2)

определяются частотной теоремой Якубовича-Калмана [1]. При определении условий существования предельных циклов и нахождении областей фазового пространства, содержащих циклы, возникает необходимость в нахождении всех решений системы (1), (2). В работе рассматриваются матричные уравнения, когда матрица А имеет мнимые собственные значение. Для уравнения (1) с матрицей А, для которой Ак(А) = ±гв, к = 1,2п

сформулированы необходимые и достаточные условия его разрешимости и получены решения системы уравнений (1), (2).

1. Матричное уравнение Ляпунова

Пусть Anxm, BmXfc, Ckxp — произвольные матрицы, «0» — прямое произведение матриц [9], [Anxm] = Со1оп(ац, Й12, . . . , aim, Й21, . . . , a2m, • • •

... ,an1, an2,... anm), «T» — операция транспонирования, En — единичная матрица En € Rnxn, тогда справедливы соотношения:

[ABC] = (A 0 CT) [B], (3)

Anxm = (En 0 [Em]^ ([A] 0 Em) , (4)

AnxmBmxkCkxp = (e^ 0 [Ep]T) ((A 0 CT) [B] 0 Ep) . (5)

Для уравнения (1) справедливо утверждение.

Теорема 1. Пусть для матрицы A выполняется соотношение Q = = A 0 E + E 0 A, det Q = 0, Q+ — обобщенно обратная матрица [10] для матрицы Q, тогда для того чтобы уравнение (1) имело решение необходимо и достаточно чтобы QQ+ [L] = [L]. Решение уравнения (1) имеет вид X = X1 + X2, [X1] = Q+ [L], [X2] = (E — Q+Q) [Y], где Y — произвольная

матрица.

Доказательство. Используя соотношение (3), уравнение (1) запишем в виде

(A 0 E) [X] + (E 0 A) [X] = [L]. (6)

Пусть Q = A 0 E + E 0 A, Q+ — обобщенно обратная матрица для матрицы Q, тогда необходимым и достаточным условием разрешимости уравнения (6) является выполнение соотношения QQ+ [L] = [L] [11, с. 268], уравнение (6) имеет решение [X]

[X] = Q+ [L] + (E — Q+Q) [Y] = [X1] + [X2], (7)

где Y — произвольная матрица. Применяя (4) к соотношению (7), решение X можно записать в виде X = ^Е 0 [E]Tj ((Q+ [L] + [Y] — Q+Q[Y]) 0 E).

Рассмотрим уравнение (1) с матрицей A = e(En 0 J), где в € R,

в = 0, En € Rnxn, матрица En является единичной, J = ^ 0^ € R2x2.

Матрица A имеет мнимые собственные значения ±*в. Для матрицы Q4n2 = A 0 E2n + E2n 0 A = e(En 0 J 0 E2n) + в(E2n 0 En 0 J) найдем скелетное разложение [10]. Пусть Q4n = e(E2n 0 J) + в (J 0 E2n^ тогда Q4n2 = En 0 Q4n. Скелетное разложение матрицы Q4n2 определяется скелетным разложением матрицы Q4n, для которой rang(Q4n) = 2n. Пусть

В4пх2п = в ^0) ® Еп 0 3 + в ^0^ 0 Еп 0 Е2, тогда гапд(В4пх2п) = 2п. Для

10 0

матриц 3, 3Т справедливы соотношения

3Т = -3, 3Т 3 = 33Т = Е2, 33 = 3Т 3Т = -Е2. (8)

Используя (8), найдем В^пх4пВ4пх2п:

В2пх4пВ4пх2п = 2в2(Еп 0 Е2)- (9)

Коэффициенты разложения столбцов матрицы ^п по линейно независимым столбцам матрицы В4пх2п определяют матрицу

С2пх4п = (1; 0) 0 Еп 0 Е2 + (0; 1) 0 Еп 0 3. (10)

В силу (8), (10) для матриц С2пх4п, В4пх2п выполняются равенства

С2пх4пС4пХ2п = 2Еп 0 Е2, (11)

В4пх2пС2пх4п = в(Е2п 0 3) + в(3 0 Е2п) = ^4п- (12)

Таким образом, матрицы В4пх2п, С2пх4п определяют скелетное разложение матрицы ^4п. С помощью матриц В4пх2п, С2пх4п определим матрицы

В4п2 х2п2 — Еп 0 B4nx2n, (13)

С2п2х4п2 — Еп 0 С2пх4п- (14)

Используя (12), (13), (14), для матриц В4п2х2п2, С2п2х4п2 получим

соотношение

В4п2х2п2С2п2х4п2 — Еп 0 В4пх2пС2пх4п — Еп 0 ^4п — ^4п2 • (15)

Из (15) следует, что матрицы В4п2х2п2, С2п2х4п2 определяют скелетное разложение матрицы ^4п2. Для матрицы ^4п2 определим обобщенно обратную матрицу ф+п [10]. Применяя соотношения (9), (11), (13), (14), получим

^4п2 С4п2х2п2 (С2п2х4п2 С4п2х2п2) (В2п2х4п2 В4п2х2п2) В2п2х4п2 (лп\

1 Т Т (16) = (4в) (Еп 0 3 0 Е2п + Е2п 0 Еп 0 3 ) •

В силу (8), (12), (15), (16) для матриц ^4п2, ^+п2 выполняется равенство

^4п2 ^4п2 — Е4п2 = —2 ^Е4п2 — 2 1Еп 0 3 0 Еп 0 3. (17)

Из теоремы 1, матрица Ь уравнения (1) определяется соотношением

(Е4п2 + Еп 0 3 0 Еп 0 3)[Ь] = 04п2 • (18)

Для нахождения решения [Ь] уравнения (18) используем теорему 2 [11, с. 268]. Пусть £4п2 = Е4п2 + Еп 0 3 0 Еп 0 3, = 4-1Еп 0 3Т 0 Еп 0

0 3Т + 4-1Е4п2, тогда применяя (8), получим

^4п2^+2 = 2-1Е4п2 + 2-1Еп 0 3Т 0 Еп 0 3Т, (19)

£4п2 ^4п2 £4п2 — Е4п2 + Еп 0 3 0 Еп 0 3 — £4п2 , (20)

^4п2^4п2£+2 = 4-1Е4п2 + 4-1Еп 0 3Т 0 Еп 0 3Т = £>+2, (21)

£+п2£4п2 = 2-1Е4п2 + 2-1Еп 0 3 0 Еп 0 3. (22)

Из соотношений (20), (21) следует, что матрица £+п2 является обобщенно обратной для матрицы £4п2. Так как £4п2 £+4г2 04п2 = 04п2, то для уравнения (18) выполнены необходимые и достаточные условия разрешимости. В силу теоремы 2 [11, с. 268] и (22) решение [Ь] уравнения (18) имеет вид

[Ь] = (Е4п2 — £4п2 £4п2 )[^] = (2 1Е4п2 — 2 1 Еп 0 3 0 Еп 0 3)[^], (23)

где Z — произвольная матрица размерности 2п х 2п. Используя (4), (5), (8), (23) получим

Ь = (Е2п 0 [Е2п]Т)([Ь] 0 Е2п) =

= 2 1Z — 2 1(Е2п 0 [Е2п]Т)((Еп 0 3 0 Еп 0 3)^] 0 Е2п) = (24)

= 2“^ — 2-1(Еп 0 3^(Еп 0 3Т) = 2“^ + 2-1(Еп 0 3)Z(Еп 0 3).

Таким образом, доказана теорема.

Теорема 2. Для того чтобы уравнение (1) с матрицей А = в(Еп 0 3),

3 = (? "01) имело решение необходимо и достаточно, чтобы матрица

Ь имела вид Ь = 2“^ + 2-1(Еп 0 3^(Еп (0 3), где Z произвольная матрица размерности 2п х 2п.

Пусть для уравнения (1) выполнены условия теоремы 2, найдем решение

X уравнения (1). В силу соотношения (7) для матрицы X справедливо равенство [X] = ^] + X], где

[X!]— £+2 [Ь], (25)

X ]=(Е4п2 — д+2 £4п2 )[П (26)

Y — произвольная матрица размерности 2n х 2n. Используя (25), (4), (16) (5), найдем X1

(27)

(29)

X1 = (E2n 0 [E2n] )([X1] 0 E2n) = (E2n 0 [E2n] )(Q4n2 [L] 0 E2n) =

= (4в)-1(Е2„ 0 [E2„]t)((E„ 0 JT 0 E2n)[L] 0 E2„) +

+ (4в)-1(Е2„ 0 [E2n]T)((E2n 0 E„ 0 JT)[L] 0 E2n) =

= (4в)-1(Е„ 0 JT)L + (4e)-1L(En 0 J).

В силу (8), (15), (16) для матриц Q4n2, Q4n2 выполняется равенство

E4n2 — Q+2 Q4n2 = 2 1E4n2 + 2 1 Era 0 J 0 Era 0 J. (28

Используя (26), (28), (4), (5), найдем матрицу X2:

X2 = (E2n 0 [E2n]T)([X2] 0 E2n) = 2-1Y + 2-1(E2n 0 [E2n]T)x x((E„ 0 J 0 En 0 J)[Y] 0 E2n) = 2-1Y + 2-1(E„ 0 J)Y(Era 0 JT).

Таким образом, доказана теорема.

Теорема 3. Пусть для уравнения (1) выполнены условия теоремы 2, тогда уравнение (1) имеет решение X

X = (4в)-1(E„ 0 JT)L + (4e)-1L(E„ 0 J)+2-1Y+

1 r-n (30)

+ 2 (E„ 0 J)Y(Era 0 JT),

где Y — произвольная матрица размерности 2n x 2n.

Пример 1. Рассмотрим уравнение (1) в случае n = 1, A = ^J, J =

= , в > 0. Пусть Z = (Z11 ^12^ , тогда в силу (24), матрица L имеет

вид L = 2-1 ГZ11 ! Z22 Z12 + Z21%). Обозначим 111 = 2-1(z11 — z22), 112 =

\Z21 + Z12 Z22 — ¿11^ 11 V 11 227’ 12

= 2-1(z12 + z21). Для матрицы L = I ,11 12 ), где 111, 112 € R, выполняются

l12 -l11

условия теоремы 2. Уравнение (1) имеет решение X = X1 + X2. Матрица

X1 определяется соотношением (27) и имеет вид X1 = (4в)-1(LJ + JTL) =

= (2в)-1 ( !11%) . Пусть Y = (У11 У1^ , тогда в силу (29), матрица X2

\—¿11 — ¿12/ \У21 У22/

имеет вид X2 = 2-1Y + 2-1 JYJT = 2-1 fy11 + У22 У12 — У2Л . Обозначим

\У21 — У12 У22 + У11J

¿11 = 2-1(yn + У22), ¿12 = 2-1 (У12 — У21). Для матрицы X2 получим X2 =

¿11 ¿12

, , , , где ¿11, ¿12 € Л. В силу теоремы 3 решение X имеет вид

—¿12 ¿11/

х=(2в)-1 =1:2)+(-¿¿¡2 ¿12) • (34

где ¿11, ¿12 — произвольные значения из Л. В силу (31) в классе симметрических матриц решение X определяется соотношением

X = (2в)-^=;;)♦(¿у (32)

Используя (32), найдем ёе!X = (4в2)-1(4в— ¿22 — ^21). Если выполнено

неравенство

4в^п — ¿22 — ¿и < ° (33)

то матрица X имеет одно отрицательное и одно положительное собственное

значение. Из (33) следует, что если справедливы неравенства 112 + 2(Ш11 >

> 0, 4в^?1 — ¿22 — 121 > 0, то матрица X = XT является положительно

определенной X > 0.

2. Решение системы матричных уравнений

Рассмотрим систему матричных уравнений (1), (2) относительно

неизвестных матриц X, Ь. Пусть для уравнения (1) выполнены условия теоремы 3, тогда его решение определяется соотношением (30). В силу равенств (24), (8), (27), (29), (30) для матрицы X справедливо соотношение

X = (4в)-1((Е„ 0 3Т )Я + Я (К 0 3)) + X2, (34)

где Я — произвольная матрица. Используя (24), (8), получим

2(ЕП 0 3Т)Ь = (Еп 0 3т)Я + Я(Еп 0 3). (35)

Соотношения (34), (35) позволяют определить матрицу X

X = (2в)-1(Е„ 0 3Т)Ь + X2. (36)

Из уравнения (2) получим

(£„ 0 3Т)Ьд = 2в(г — X2q). (37)

В силу (8), (37) матрица Ь определяется соотношением

Ьд = 2в(Е„ 0 3)(г — X2q). (38)

Используя (3), (24), найдем [Ьд]

[Ьд] = (е2„ 0 дт)[Ь] = 2-1(Е2„ 0 дт)(Е4га2 + £„ 0 3т 0 £„ 0 3)[Я]. (39)

Введем обозначения

Ь = 2в(К 0 3)(г — X2g), (40)

К = 2-1Е„ 0 (Е 0 дт + 3т 0 (дт(Е„ 0 3))), (41)

дт = дт(Еп 0 3), (42)

М = 2-1(Е2 0 дт + 3т 0 дт), (43)

А = дт д. (44)

Из уравнения (38) и соотношений (39), (40), (41) получим

К [Я] = [Ь], (45)

где матрица К удовлетворяет равенству

К = £„ 0 М. (46)

Рассмотрим матрицу

К + = 2А-1(£„ 0 Мт) = А-1(£„ 0 £ 0 д + £„ 0 3 0 д). (47)

В силу соотношений (46), (43), (47), (8), (42), (44) справедливы равенства

КК + = (2А)-1(£„ 0 £ 0 дтд + £„ 0 3 0 дтд + £„ 0 3Т 0 дтд+

т _т_ч (48)

+ £„ 0 3т 3 0 дт д) = £2«.

К+К = 2А-1£„ 0 МтМ = (2А)-1£„ 0 (£ 0 ддт + 3Т 0 ддт + 3 0 ддт+

+ £2 0 ддт) = (2А)-1 £„ 0 (£2 0 (ддт + ддт) + 3 0 (ддт — ддт)).

(49)

Из (48), (49), (8) следует, что матрица К + является обобщенно обратной для матрицы К. Введем обозначения

Т = 4-1(ддт + ддт), (50)

Т = 4-1(ддт — ддт). (51)

Используя (49), (50), (51), для матрицы К+К получим соотношение

К+К = 2А-1£га 0 (£2 0 Т + 3 0 Т). (52)

Так как КК + [Ь] = £2П[Ь] = [Ь], то для уравнения (45) выполнены

необходимые и достаточные условия разрешимости. В силу теоремы 2 [11,

с. 268] решение [Я] уравнения (45) имеет вид

[Я ] = К +[Ь] + (£4п2 — К+К )[Ш ], (53)

где Ш — произвольная матрица размерности 2п х 2п. Введем обозначения

[Я1]= К +[Ь], (54)

[Я2] = (£4п2 — К+К )[Ш ]. (55)

Используя (4), (54), (47), (5), (42), (40), (8), найдем Я1

Я1 = (£2п 0 [£2п]Т)([Я1] 0 £2п) = (£2п 0 [£2п]Т)(К +[Ь] 0 £2га) =

= А-1(£2п 0 [£2п]Т)((£п 0 £2 0 д)[Ь] 0 £2п) +

+А-1(£2п 0 [£2п]Т)((£п 0 3 0 д)[Ь] 0 £2п) =

= А-1Ьдт + А-1(£„ 0 3)Ьдт = А-1Ьдт + А-1(£„ 0 3)Ьдт(£„ 0 3) =

= 2вА-1(£„ 0 3)(гдт — Х2ддт) — 2^А-1гдт(£„ 0 3) +

+2вА-1 Х2ддт(£„ 0 3) = 2вА-1((£„ 0 3)гдт — гдт(£« 0 3)) —

—2вА-1((£„ 0 3)Х2ддт — Х2ддт(£„ 0 3)). (56)

В силу соотношений (4), (55), (52), (5), (50), (51), (41) матрица Я2

определяется равенством

^2 = Ш — 2А 1(£2га 0 [£2га]Т)((£«, 0 £2 0 Т)[Ш] 0 £2«,) —

—2А 1(£2п 0 [£2га]Т)((£« 0 3 0 Т)[Ш] 0 £2«) =

= Ш — 2А-1ШТт — 2А-1(£« 0 3)ШТТ =

= Ш — (2А)-1Ш(ддт + (£« 0 3Т)ддт(£« 0 3)) —

—(2А)-1(£„ 0 3)Ш(ддт(£« 0 3) — (£« 0 3Т)ддт). (57)

Используя (36), (35), (53), (56), (57) и соотношение Я = Я1 + Я2, найдем

матрицу Х. Введем обозначения

Хю = (40)-%(£„ 0 3) + (40)-1(£„ 0 3т)^1 =

= (2А)-1((£„ 0 3)гдт(£« 0 3) + гдт) —

— (2А)-1((£„ 0 3)Х2ддт(£„ 0 3) + Х2ддт) + (2А)-1(гдт—

— (£« 0 3Т)гдт(£« 0 3)) — (2А)-1(Х2ддт — (£„ 0 3Т)Х2ддт(£„ 0 3)) =

= А-1((£„ 0 3)гдт(£« 0 3) + гдт) — А-1((£„ 0 3)Х2ддт(£« 0 3) + Х2ддт),

(58)

Х1ж = (40)-1^2(£п 0 3) + (40)-1 (£« 0 3Т)3г = (40)-1Ш(£« 0 3) —

— (80А)-1Ш(ддт(£„ 0 3) — (£„ 0 3Т)ддт) + (80А)-1(£„ 0 3)Ш(ддт+ +(£« 0 3т)ддт(£« 0 3) + (40)-1(£„ 0 3Т)Ш — (80А)-1(£„ 0 3Т)Ш(ддт+

+(£„ 0 3т)ддт(£« 0 3)) — (80А)-1Ш(ддт(£„ 0 3) — (£„ 0 3Т)ддт) =

= (40)-1(Ш(£« 0 3) + (£« 0 3т)Ш) — —(40А)-1Ш(ддт(£« 0 3) +

+(£„ 0 3)ддт) + (40А)-1 (£« 0 3)Ш(ддт + (£« 0 3Т)ддт(£« 0 3)), (59)

где матрица Х2 определяется соотношением (29), Ш — произвольная матрица размерности 2п х 2п. Таким образом, матрица Х имеет вид

Х = Х10 + Х1ж + Х2, (60)

где матрица Х10 определяется соотношением (58), матрица Х1^ — соотношением (59), матрица Х2 — соотношением (29).

Используя равенства (36), (8), найдем матрицу Ь

Ь = 20(£„ 0 3)(Х — Х2) = 20(£« 0 3)(Хю + Х^). (61)

Справедливо утверждение.

Теорема 4. Для того чтобы система матричных уравнений (1), (2) имела решение необходимо и достаточно чтобы выполнялись условия теоремы 2. Матрицы Х, Ь системы уравнений (1), (2) определяются равенствами Х = Х10 + Х1^ + Х2, Ь = 20(Еп 0 3)(Х10 + Х1^), где матрица Х10 удовлетворяет соотношению (58), матрица Х1^ —

соотношению (59), матрица Х2 — соотношению (29).

ПРИМЕР 2. Рассмотрим систему уравнений (1), (2) при п = 1. Матрицу Х определим в классе симметрических матриц Х = Хт. В силу примера 1 матрица Х2 удовлетворяет равенству Х2 = £Е2, где £ € Д, Е2 € Д2х2, Е2 — единичная матрица. Используя (58), найдем Хю

Применяя соотношение (64) к равенству (62) определим матрицу Хю

Таким образом, в силу (60), (61), (66), и того, что Х2 = £Е2, получим

где £ € Д. Справедливо утверждение.

Теорема 5. Система матричных уравнений (1), (2) с матрицей А =

Х10 = А 1(гдт + 3гдт 3) — £А 1 (ддт + 3ддт 3). Матрица Х^ определяется соотношением (59) и имеет вид

(62)

Х1ж = (40)-1(Ш3 + 3Т Ш) — (40А)-1Ш (ддт 3 + 3ддт) + +(40А)-13Ш (ддт + 3Т ддт 3).

(63)

ддт + 3Т ддт 3 = АЕ2, (64^

ддт 3 + 3ддт = А3. (65^

Используя (63), (64), (65) , 3 = —3Т, найдем матрицу Х1^ = 02 € Д2х2

(64)

(65)

Х10 = А 1(гдт + 3гдт 3)+ £А 1(АЕ2 — 2ддт).

(66)

Х = Хт = А-1(гдТ + 3гдт 3) + 2£(Е2 — А-1ддТ), (67)

Ь = Ьт = 20А-1(3гдТ + гдт 3Т) + 20£(3 — 2А-13ддт), (68)

/ о — в \ Т т

= р3 = I в о ) имеет решение Х = Х , Ь = Ь , матрицы Х, Ь, определяются равенствами (67), (68).

Определим свойства матриц Х, Ь. Обозначим Аг = гтг. Непосредственными вычислениями находятся ёе! Х, ёе! Ь

ёе! Х = А 1 (2£дт г — Аг), ёе! Ь = —40 2А-1(£2А — 2£гт д + Аг).

(69)

(70)

Для соотношения (70) получим 5 = (гтд)2 — ААГ = —(г1д2 — г2д1)2 ^ 0. Если Г1 д2 = Г2д1, то ёе! Ь < 0, матрица Ь имеет одно положительное и одно отрицательное собственное значение.

ПРИМЕР 3. Пусть Аа = ^ = —а£2 + 03 = —а£2 + А, а >

"—а —

—а

> 0, 0 > 0, £2 — единичная матрица, матрицы Ь, Х удовлетворяют системе уравнений (1), (2), тогда справедливы равенства

АаХ + ХА^ = Ь — 2аХ, Хд = г. (71)

Рассмотрим соотношения (71) в случае ёе! Х < 0. В силу (69) выполняется равенство 2£дтг — Аг < 0. Непосредственными вычислениями находится

ёе!(Ь — 2аХ) = —4А-1(£202А — 2£(02 + а2)гт д + (02 + а2)Аг). (72)

В силу неравенства 2£дтг — Аг < 0 и соотношения (72) получим

ёе^Ь — 2аХ) = —4А-1(£202А — (02 + а2)(2£гтд — Аг)) < 0.

Таким образом, для уравнений (71) с матрицей Х, для которой ёе! Х < < 0, матрица (Ь — 2аХ) имеет одно отрицательное и одно положительное собственное значение при любом а > 0. Пусть матрица Ь удовлетворяет системе уравнений (1), (2). Рассмотрим матрицу Ь£ = (1^) = Ь — 2е0А-1ггТ, г, ] = 1, 2, е > 0, для которой !11 = 2£д1д2 — (г1д2 + г2д1) — ег2. Определитель матрицы Ь£ удовлетворяет соотношению

ёе! Ь£ = —402 А-2(е(2£гТ д — Аг )(гт 3д) + £2А2 — А(2£гт д — Аг)). (73)

Пусть выполнены неравенства

2£дтг — Аг < 0, (74)

2%д2 — (пд2 + г2д1) — ег2 < 0, (75)

е(2£гтд — Аг)(гт3д) + £2А2 — А(2£гтд — Аг) < 0, (76)

тогда в силу (73) и критерия Сильвестра, матрица Ь£ является отрицательно определенной Ь£ < 0, матрица Х имеет одно положительное и одно отрицательное собственное значение. Для соотношений (74-76) выполняются условия £ € Д, е > 0, которые позволяют найти ет;п такое, что при е > ет;п справедливы неравенства (74-76). Используя (76), определим функцию

/1(£) = (аг-2^л?2)(гТ+ тт. Пусть т =гТ3д > 0 дтг <0, тогда в силу

(74) неравенство (76) примет вид е > /1(£). Для функции /1 (£) на интервале (^А^т ’ +то) существует точка минимума £0 = 0, /1(0) = ^Ат^. Обозначим /2(£) = г-2(2£д1д2 — (г1д2 + г2д1)), соотношения (74-76) примут вид

£> Аг(2дтг)-1, е > /2(£), е > /1 (£).

Рассмотрим случай а = 0.325, в = 0.066, #1 = -3.138, #2 = 0.327, т1 = 0.325, т2 = -0.934. На рисунке 1 изображены графики функций £ = /2(£), £ = /1 (£) при этом £т1П = /1 (0) = А(тТ«7#)-1 = 2.474, £2 = Аг(2#тт) = -0.489. Таким образом, при £ > 2.474, £ = 0 выполняются соотношения (74-76).

Рис. 1. Графики функций /1 (£), /2(£) Справедливо утверждение.

Теорема 6. Система матричных уравнений

ЛаX + = Ье + 2£вА-1 ттт - 2аХ, X# = т,

—а -, д т г _ г о,йЛ-и„т

где Аа = ^ в а^ = -аЕ2 + в^, Ь = Ь - 2£вА тт , £ удовлетворяет

неравенствам (74-76) имеет решение X = Хт, Ь = Ьт, матрицы X, Ь определяются равенствами (67), (68), матрица X имеет одно отрицательное и одно положительное собственное значение, матрица Ь£ является отрицательно определенной.

ПРИМЕР 4. Рассмотрим систему матричных уравнений (71) в случае т = -с, X > 0. Используя (69), получим detX = -А-1 (2£#тс + Ас), Ас = = с\ + с2. Пусть выполнены неравенства

2£#2 > С1 #1 - С2#2, (77)

—2£#тс > Ас, (78)

тогда в силу критерия Сильвестра, матрица X является положительно определенной X = Xт > 0.

Обозначим Ь^ = Ь - 2^X, определим условия, при которых матрица Ь^ является отрицательно определенной Ь^ = Ь^ < 0. Используя (72) найдем det Ьм = -4А-1(£2в2А + (в2 + ^2)(2£ст# + Ас)). Пусть выполнены неравенства

-^(2£#2 - (с1 #1 - С2#2)) + 2£в#1#2 + в(с1#2 + С2#1) < 0, (79)

£2в2А + (в2 + ^2)(2£ст# + Ас) < 0, (80)

тогда в силу критерия Сильвестра, матрица Ь^ является отрицательно определенной Ьм = Ь^ < 0.

Теорема 7. Система матричных уравнений

ЛaX + ^ = Ь^ - 2(а - Xq = -с)

где Аа = ( в ) = -аЕ2 + в3, Ьм = Ь - 2^X, ^ удовлетворяет

"-а -в% в -ау

неравенствам (77-80) имеет решение X = Xт > 0, Ь = Ьт, матрицы X, Ь определяются равенствами (67), (68) при т = -с, матрица Ьм является отрицательно определенной.

Список литературы

1. Гелиг А.Х., Леонов Г.А., Якубович В.А. Устойчивость систем с неединственным состоянием равновесия. М.: Наука, 1978. 400 с.

2. Леонов Г.А., Буркин И.М., Шепелявый А.И. Частотные методы в теории колебаний. СПб.: СПбГУ, 1992. 368 с.

3. Буркин И.М., Соболева Д.В. О многомерных системах с неединственным циклом и методе гармонического баланса // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып. 3. С. 5-21.

4. Буркин И.М., Соболева Д.В. О структуре глобального аттрактора многосвязных систем автоматического регулирования // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып. 1. С. 5-16.

5. Буркин И.М., Соболева Д.В. О колебаниях в модели Тьюринга // Изв. ТулГУ. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2008. Вып. 1. С. 3-10.

6. Мамонов С.С. Седловые предельные циклы второго рода поисковой системы фазовой автоподстройки частоты // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2010. Вып. 2. С. 195-207.

7. Мамонов С.С. Глобальная устойчивость системы частотно-фазовой автоподстройки // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып. 2. С. 174-183.

8. Мамонов С.С. Динамика системы частотно-фазовой автоподстройки частоты с фильтрами первого порядка // Вестн. Новосиб. гос. ун-та. Сер. Математика, механика, информатика. 2011. Т. 11. Вып. 1. С. 70-81.

9. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука, 1984. 192 с.

10. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. 552 с.

11. Прасолов В.В. Задачи и теоремы линейной алгебры. М.: Наука, 1996. 304 с.

Мамонов Сергей Станиславович ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, кафедра математики и МПМД, Рязанский государственный университет им. С.А. Есенина.

Ионова Ирина Викторовна, аспирант, кафедра математики и МПМД, Рязанский государственный университет им. С.А. Есенина.

Solution of the system of matrix equations with a linear

relationship

S. S. Mamonov, I.V. Ionova

Abstract. For the matrix Lyapunov equation in the case of multiple imaginary eigenvalues necessary and sufficient conditions for its solubility, the solution of this equation.

Keywords : matrix equation, the direct product, positive definite matrix.

Mamonov Sergey ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of mathematics and MTMD, Yesenin Ryazan State University.

Ionova Irina, postgraduate student, department of mathematics and MTMD, Yesenin Ryazan State University.

Поступила 02.12.2013