Решение матричных уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

С.С. Мамонов

РЕШЕНИЕ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ

В работе рассматриваются матричные уравнения, для которых находятся условия их разрешимости. Вопросы, связанные с матричными уравнениями изложены в прилагаемом списке литературы [1].

матричные уравнения, прямое произведение, положительно определенные решения матричных уравнений

Рассмотрим матричное уравнение Ляпунова

АХ + ХА = С,

(1)

где А, С е Спхп, «*» - эрмитово сопряжение, X- неизвестная матрица. Для матричного уравнения Ляпунова (1) известны условия существования решения X, получены представления решения X в виде экспоненциальной функции [2] и в виде ряда.

Определение 1. Пусть заданы матрицы Апт е Мпхт п Апт = (а1 j ), i = 1, п, ] = 1, т . Кронекерово произведение матриц Апт, Вр ч есть матрица Спрт^ = Ап,т ® Вр q , имеющая структуру

Вр ч е Мрхд, где

р, q

' апВ сц 12 а1 • а1тВ

А ® В = ^хп,т ^ р,q а21В . 2 2 а • а2тВ

п1 55 а п 2 В • аптВу

Для произвольной матрицы Ап т е Мпхт образуем вектор \Ап т ]^ =

= (а11> а12, ■■■, а1т, a21, а22 ■’•••, а2т,—, an1, — апт ), при этом матрица А

является матрицей транспонированной для матрицы А .

Определение 2. Пусть A, В е мПХт , Ап,т = (ai, j ) , Вп,т = , j ) ,

i = 1, п, ] = 1, т, под Адамаровым произведением матриц А и В будем понимать матрицу С = А о В = (ауЬу ), i = 1, п, ] = 1, т .

Пусть Апхт, Втх£ - произвольные матрицы, для которых определено произведение, 1п - единичная матрица, тогда справедливы соотношения:

кX тВтхкСкх р ]= (аВ в 1 р )[С ] = (а в СТ ] ^ (2)

АпX,В,XСхр =(/п в [ВГ(ат в С ))([/,, ]в 1р ) =

= (1п в[1р№ вСТ)в]в 1р). (3)

В монографии [4] уравнение (1) сводится к уравнению

(А в I +1 в А )Х ]=[С ], (4)

где «в» — прямое произведение матриц, I — единичная матрица, А — матрица, сопряженная для матрицы А , [С] — вектор-столбец матрицы С . В работе с использованием соотношения (4) получены условия разрешимости уравнения (1) в случае матрицы общего вида, приведено решение X уравнения (1).

Теорема 1. Пусть матрица А имеет собственные значения, такие, что

Х (А) + (а ) ^ 0 , i, ] = 1, п, А — матрица, сопряженная для матрицы А , тогда

решение уравнения (1) имеет вид

X = (1 в[1]Т )0 в(1 в с)(ат в I+1 в к)—1 ^([1]в I). (5)

Если det(A в I +1 в А )= 0, Q = А в I +1 в А , Q +— обобщенно обратная матрица [3] для матрицы Q, QQ+[С] = [С], то решение уравнения (1) имеет вид

X = (I в (э+[С] + Y — Q+QY J ^]в I), (6)

где Y — произвольный вектор.

Доказательство. Используя соотношения (2), уравнение (1) запишем в виде

(А вф^ в АIX] = [С], (7)

уравнение (7) равносильно уравнению

(А в I +1 в А )^ ]=[С ].

(8)

В силу условий теоремы 1, для матрицы A выполняются неравенства X(A)+Xj(a0, i,j = 1,n, det(A®I +1®A)^ 0, следовательно, уравнение

(8) имеет единственное решение. Пусть H = (A ® I +1 ® A) 1, тогда [X ]= Нт [с ] . Используя (3), найдем решение

X = (/ ®[xJ)([/]® I) = ^I ®(нт[с]fj([l]® I) = (/ ®([сJh))([/]®

® I) = (i ®[с]т )(I ® H )([i]® I) = (I ®([I Г (I ®с )))(I ® H X[I ]® I )= (i 2 ® ®([I ]T (I ®с )))(I ® H )([I ]® I )= (i ®[I f)( I ® I ® с )(I ® H )([I ]® I) = (I ®

® [I]T)(I ® (I ® с)H)(i ® [I]T)= (i ® [I]T® (I ® с)(at ® I +1 ® A*)_1 j X

x(i ®[I ]T ). (9)

Если det(A ® I +1 ® A )= 0, ^ = A ® I +1 ® A , Q+ — обобщенно обратная матрица для матрицы Q, QQ+[с] = [с], то уравнение (8) имеет решение [X ] [4]

[X ] = 0+[с ] + Y — Q+QY, (10)

где Y — произвольный вектор. Применяя (3) к соотношению (10), найдем матрицу X = (/ ® (q+[с ] + Y — Q+QY J J([l ] ® I) . Теорема 1 доказана.

Рассмотрим совокупность уравнений

$

AX + XA = с, Xq = r , (11)

где A, с е спхп , q, r е сп , X - неизвестная матрица. Для случая с < 0 , необходимые и достаточные условия разрешимости уравнений (1), (11) определяются частотной теоремой Якубовича-Калмана [5].

Теорема 2. Пусть матрица A = diag(«1, «2,—«n ), Re(« + a j ) ^ 0,

___ f \

i, j = 1, n, et = colon

(Wy,0,... 0

V i J

E, = e, ® eJ, b, = (a,-/ + A) 1 = diag(*,ь

*,-2. bn ), i = 1, n, Q = E1 ®(B,q)' + £2 q )T + — + En ®(B,,q)' , 0+—

обобщенно обратная матрица для матрицы Э, тогда для того чтобы уравнения (1), (11) имели решение X, необходимо и достаточно, чтобы ЭЭ+г = г . Решение X имеет вид X = С о В , где В = (Ьу ), и ] = 1 п, С =

= ^ в(э+г + Y — Э+Э? ^ ]в I), У — произвольный вектор. Если С < 0 , В < 0, то X > 0 .

Доказательство. Используя условие теоремы А = diag(«1,«2,—«п ), найдем матрицу Н = (АТ в I +1 в А ) :

Н = (АТ в I +1 в А*)—1 = е1 в е[ в(арГ + А*)—1 + е2 в еТ в(«21 + А)—1 + +... + еп ве~п в(«п! + А ) = ^1 вВ1 + Е2 вВ2 + ... + Еп вВп . (12)

Соотношения (5), (12), (2), (3) позволяют найти решение уравнения (1)

X = (I «[I^ в(! в С)(Е1 вВ1 + Е2 вВ2 +... + Еп вВп))([/]вI) =(I в в[/ ]Т )ц в (Е1 в СВ1 ))([I ] в I) + (I в [I ]Т ^ в (е2 в СВ2 М/ ]в I)+...+(/ в

в [г ]Тв Еп в СВп )([I ]в I) = ЕТСВ1 + еТсВ2 +... + ЕТСВп = С о В. (13)

Подставим решение X в уравнение (11)

Е1СВ1д + ЕТСВ2д + . + Е1СВпд = г . (14)

Используя соотношение (3), получим, что уравнение (14) эквивалентно

уравнению

(еТ ®(В|?)Т + ЕТ в(B2qf + ... + еп ®(Вп?)Т)[С] = г . (15)

Для того чтобы уравнение (15) имело решение [С], необходимо и достаточно, чтобы ЭЭ+г = г , Э = Е1 в (В^)Т + Е2 в (B2q)Т +... + Еп в (Bnq)Т,

Э + — обобщенно обратная матрица для матрицы Э, при этом решение [С] имеет вид [6]

[С ]=Э+г+у—Э Э, (16)

где У — произвольный вектор. Применяя (2) к соотношению (16), найдем матрицу С = Г I в(Э+г + У — Э+ЭуПив I). Используя, теорему Шура [7] для

решения X = С о В получим, что если С < 0, В < 0, то X > 0. Теорема 2 доказана.

т

Теорема 3. Пусть А = «о I + ^ , а0 є С, а0 ^ 0, J - матрица, у которой верхняя наддиагональ состоит из единиц, а все остальные элементы равны нулю, I - един решение

у ___

I - единичная матрица, а = 2Reао, Р = А +«01, тогда уравнение (1) имеет

X = СР —1 — JTCP “2 + - + (— 1)п +1/—1Т СР—п. (17)

т т

Доказательство. Матрица А имеет вид А = «01 + /, где «0 е С, «0 ^ 0 . Следовательно, Х (А) + (а )^ 0, i, ] = 1, п . В силу теоремы 1 уравнение (1)

(Т Т 1 1

А в I +1 в А I .

у ___

Из условий теоремы 3, Р = А +«01 = (XI + J, « = 2Re«0, получим:

Н = (АТ в I +1 в А* )—1 = ((«,/ + J)« I +1 в(«01 + J))"1 = («„I в I + J в в I + a0I в I +1 в J)—1 =^ в (а/ + J) + J в I)—1 =(I в Р + J в ^—^ (18)

Из уравнения 18 следует, что Н 1 = I в Р + J в I. Покажем, что

Н = I вР_1 — J вР“2 + J2 вР“3 + ■■■ + (— 1)п+1 Jn—1 вР“п . (19)

Действительно, так как (/п )п = 0 е Мпхп, то из (18), (19) вытекает

Н — Н = (I в Р + / в I)Н = (I в Р)(т в Р_1) — (I в Р)(/ в Р“2 )+ (I в в Р)(/2 в Р_3)+ ■■■ + (— 1)п +1 (I в Р)(/п—1 в Р—п) + (/ в I^ в Р_1) — — (/вI)(/вР“2)+ ■■■ + (—1)п+1 (/вI)(/(п_1)вР~п)= IвI — /вР_1 + /2 в —2 + ■■■ + (—1)п+1 (/п—1 вР~п+1)+ /вР— — /2 вР~2 + ••• +(—1)п +1 (/п в

вР~п )= I вI = I.

Соотношения (9), (19), (3) позволяют найти решение уравнения (1).

X = (і 0[і]г )(і ® I ® С)(і 0 Н )([і]® I) = (і 0[і]г )(і 010 С)(і 010 0 Р-1 )([і]0 і) -(і 0[і]Г )(і 01 0 С Іі 0 J 0 Р ~2 ]іі ]01)+ - + (- 1)П+1 X х(і 0 [і] )(і 0 I 0 С )(і0 Jn-1 0 Р-п )([і]0 I) = (і 0 [і] )(і 0 I 0

0(СР _1 %[і]01) - (і 0[і Г )(і 0 J 0 (ср “2 ))([і]01) + - + (- 1)п+1(і 0 0[і Г І I 0 Jn-1 0(ср -п )) [і ]® і) = (і ® [і Г (і 0 (ср _1 1/1® і)-

- (і 0 [іГ 0 (ср -2)))([і]0 I) + - + (- 1 )п+1 (і 0 [іґ (їп-1 0

0 (ср-п )))([і]01) = СР_1 - JTCP-2 + - + (- 1)п +1 (/п-1Г СР-п.

Теорема 3 доказана.

Т

Теорема 4. Пусть А = а01 + J, а0 є С, а0 ^ 0, J - матрица, у которой верхняя наддиагональ состоит из единиц, а все остальные элементы

тТ

равны нулю, « = 2Яе «0, Р = «I + / , Э = I «(р V Т — /Т «(р 2д Т + +... + (— 1)п—1 (/п—1Т «(р—пдТ, Э+ — обобщенно обратная матрица для матрицы Э, ЭЭ+г = г, С = ^ I в Э+г+у - Э+ЭУ ^]«I), У — произвольный вектор. Тогда решение уравнений (1), (11) имеет вид

X = СР —1 — / ТСР ~2 + ■ + (— 1)п+1 (/п—1Т СР—п.

Доказательство. В силу теоремы 3 решение уравнения (1) определяется соотношением (17). Подставим X в уравнение (11)

СР“V — /ТСР—2д + ■■■ + (— 1)п+1 (/п—1ТСР~пд = г . (20)

Используя соотношение (3), получим уравнение (20), эквивалентное уравнению

^I «(р_1дТ— /Т «(р2дТ + ... + (— 1)п—1(/п—1 Т «(р“пдТ ^С] = г . (21)

Если Э = I в (р_1дТ — /Т в (р~2дТ +... + (— 1)п—1 (/п—1Т в (р—пд^, г = ЭЭ+г , то в силу соотношения (20) вектор [С] имеет вид

[С] = Э+г + У — Э+ЭУ , (22)

где У — произвольный вектор. Применяя (2) к соотношению (22), получим, что С = ГI« (э+г + У — Э+ЭУ Т ^(^ ]«I). Теорема 4 доказана.

Теорема 5. [8]. Пусть Т— АТ = В = «I + / , « ^ 0, /у(Х) = Х 4 е ^ ,

—ктЛ В_к = (ьк ), i, I = 1, п, ь!4 ; = Я] ) («),

к < п, к е #. Тогда А = ТВ~кТ~, В~к = ^ ], ‘, I = 1, п, =

КI—1 £____

(I—1)

(I—1).

I = 1, п , Ь(] = *|,( I—1)) , ‘ = 1, п , I = 1 п , Ьу = 0, ‘ = 1, п , I < ‘ , Д

О — 1 - производная функции Дк, /к°) = ./к .

Рассмотрим матрицу Вп = «In + /п и найдем вид коэффициентов матрицы В ~к = (ьгк!), i, I = 1, п, к е #, к < п .

Теорема 6. Пусть В = «I + /, « ^ 0. Тогда В к = (ьгк!), где

ьк = (— 1У—'С((к—(■’■—0—|)«—к-(-'-0■ i = Щ, I=Ш,

Ьк = 0, ( = 1, п, I < (. (23)

к / О'—1 («)

Доказательство. В силу теоремы 5 Ьу = ~у^-—, I = 1, п . Из вида

функции / (Х) = Х к найдем, что /к] 1 («)=(— 1)] 1 к(к + 1). ,.(к + + (/ — 1) —1«_ к—1), I = 1, п. Таким образом,

ь‘ = /к !)(«) = (— 1)/—1 к(к + ОЧМ^1)—!)«-к-(^-!) = «-к-(I—|) X

0 (I—1)' (I—1)

^ (— 1)7 1 (к + (7 — 1)— р! = (— 1)у—1 (к + 0 — 1)— !) «-к—(I—1) =

— 1)(к + (/ —1)— 1 — (I —1)) = (—1 (I — 1)(к —1) « =

= (— l)|-1«-k-(|-l)c^,l)-l), I =^. (24)

Из того, что Ьк = ЬцI—((—1)), ( = 1, п , I = 1, п, и соотношения (24), получим ^ = ь1к,(у—(,—1)) =(—1); -(c(/+()■-()-1)«'k-(■/—(), ‘ =1, п, У =1, п. Теорема 6

доказана.

Теорема 7. Матричное уравнение

$

AX + XA =— I, (25)

Т

где А = «01 + /, «0 е С , «0 ^ 0, имеет единственное решение

X = В + /Т В/ + ■ + /(п—1)Т В/(п—1), (26)

В = Ь ), Ь„- =(— 1)+^—1С((+—1^2)«——((—1), (27)

(,I = 1,п, X = XT > 0 при Re«o < 0, X = XT < 0 при Re«o > 0 .

Доказательство. Уравнение (25) является частным случаем уравнения (1) при С = — I. Согласно теореме 3 решение уравнения (25) имеет вид

X = —IP~l + /ТР~2 — /2 Р— + ••• + (— 1)п (/п—1Т Р~п, где Р = АТ + «о I = «I + /,

« = 2Re«o . Таким образом,

X = —(е1 «Р(1)1 + е2 «Р(2) + ■■■+ еп «Р(п))+ (е2 «Р(1)2 + е3 «Р(2^ + ■■■+ еп « врп—1)) — (е3 вР(13 + е4 вр—) +■+ еп вp—-2)) +■+ (—1)4(ек вР(1)к + ек+1 вр2) +■+

+ еп « Р(п—к +1))+ ■ + (— 1)п (еп « Р(1)п ). (28)

Сгруппируем слагаемые в соотношении (28)

X = е «(— Р(Т!)+ е2 «Р(Т)2 + е3«(— Р(Т)3)+--- + ек«(— 1)кР(!)к +■ + еп«(—1)пР(!)п)+

+ (е2 «(— Р( 2) )+ е3 « Р(22 + ■ + еп «(— 1)п 1 Р(2п 1 )+ ■ + (ек «(— Р( к1 ) +

+ ек+1 « Р(—2 + ■ + еп «(— 1)п к+1 р—п к+1 ) + ■ + еп « (— Р( п1)).

Обозначим

ВТ =Г— Р(1)Т ,Р(—)2Т ,(-1)kP(-)kT ,(-1)nP(-)nГ ]. (29)

Рассмотрим вектор-строки Р(\)/к , Р(—+\), 1 = 1, п , к = 1, п — 1. Согласно теореме 6 получим

(30)

где коэффициенты Р^- определяются, с одной стороны, соотношениями (23), но,

ч

с другой стороны, из теоремы 5 получим

Р~1

Р(к +1)

Г Л

оа^о,Р\1,Р\2,•••,Ри—к . (31)

V к )

Из равенств (30), (31) вытекает

Р(1 )1/к = Р(—\ п, к = 1, п — 1. (32)

Используя (32) и обозначение для матрицы В, решение уравнения (25) примет вид

X = В + (е2 «(— Р(!)!/)+ е3 «Р(!)2/ +... + еп «(— 1)п—!Р(!)п—1 /)+ ■■■ +

+ (еу «(— Р(!)\/к—1) + еу+1 «Р(!)2/к—! + ■ + еп «(— 1)п—к+!Р(!)п—к+1/к—1) + ••• +

+ еп «(— Р(1)1/п 1 )= В + (е2 « В(1)/ + е3 « В(2)/ + ■ + еп « В(п—1)/) + ••• + + (ек «В(1)/к 1 + ек +1 «(В(2)/к 1)+ ■ + еп «В(п— к+1)/к 1)+ ■ + еп «В(^ х

'п ^ ^(1)

X/п—! = В + («2 в(В/)(1) + е, в(В/)(2) + •••+ еп в(В/)п — 1) + ••• + (еу в

®(В/‘ — ! )(\) + ‘к +1 «(В/к — ! )(2) + + *п ®(В/к — ! )(п — к +1) ) +

+■+еп ®(в/"" 1 Ц\). (33)

Из (33) вытекает

X = В + /Т В/ + ••• + /(к—1)Т В/к—1 + /(п—1)Т В/п—1. (34)

Определим вид коэффициентов матрицы В = (Ь,^- ) и ее свойства.

к

Из соотношения (29) и теоремы 6 следует, что, с одной стороны,

Ьа=(— ОР;: 1=(—1)‘ (— 1У—1 4+ !|_1)_1)«-(—и~! =

= (— 1)(+>-IC((,1—!1—2)« ——(>—!), (,I = !" , (35)

с другой стороны,

Ь; =(— \) %(. =(— 1У (— 1П—1)—1)«—(('"!) =

= (—О*'—1С^)—2)« —(—(‘—1), (,I = 1," . (36)

Из (35), (36) и свойств сочетаний получим Ьц = Ьц , (, I = 1," . Таким об-

т

разом, В = В , матрица В - симметрическая.

Рассмотрим (" — 1) -матрицу $\, $2,..., Sn _\, где Sl = Sl 2 X

х $2,3 $п—1,п , $2 = $2,3 $п—1,п, —, $к = $к,к +1 $п—1,п , $п—1 = $п—1,п .

У матрицы $к у+1 = (^г! ) элементы sii = 1, ‘ = 1," Sk+1 к = « 1, а все остальные элементы равны нулю. Через матрицы Dk обозначим

Dk = Sn-1 - Sk+А, k = 1, п -1, Dn = I. (37)

Умножение матрицы В слева на матрицу Sk k +1 производит добавление к строке с номером (к +1) -строки с номером k, умноженной на а 1. Найдем вид

строки с номером k матрицы SlB, k = 2, п. В силу того, что , _ V ™-1 і о „ „ „

К k)

)(k) = В(^- 1)а 1 + В^), и с учетом соотношения (35) получим

(^В)(!-у = В к у + В( k- 1),а-1 = (- ^+'■ -1с <;-')_2)а <’--1) + (-1)‘--1+'-1 х

\ k- 1),і

х с(і-1) а_(k-1)-(і-1)а_1 = (_ l)k+(і-1)-1 (с(і-1) - С(і-1) \у~і-(к-1)

ХС(k-1+і-2) “ “V ^ С(k+і-3) С(k+і-2)г

= (_ ^+(і-1)-1 + і -3/ _ + і- 2/ |а -і-(k-1) = (_ 1)

(к+і-3) (к+і-2)

і-(k-1) = (__ l)k +(і-1)-1

V

(і -1)(к- 2 ) (і -1)! (Л -1)

(к +і - 3) ( к. +і - 2 + к. -1 Ча-і-(к-1) = (__ лк+(і-1)-1 (к +і - 3)

(і- 2)!(к -1)! ^ і -1 і -1 ,Г (і- 2)(к -1)

х

х

X (- «і-(к-1’ = -(- У+(і-1>-1С ((Г+2-3)а" к-(і-1) = -В (к), і-1а -1,

(к+і-3)м --"(к), і-1

к, і = 2, п, (38)

-1 - (-і)^ 0 -к а. (_і)к-1Гг0. _.™-(к-1)

($1В)(к),1 = В(к),1 + В(к-1),1а 1 = (- 1) С(к-1)а к + (- 1) С(к-2)

ха 1 = 0, к = 2,п . (39)

Из (38), (39) следует, что

(^В)(к) = -В(к)Jа 1, к = 2, п . (40)

Используя (40), матрицу SlB запишем в виде ^В)Т = ^- Р( 1)1 ,

-(Р(-)2Jа_1 )т,...,(- 1)к+1 (P(-)kJа_1 Г, — ,(- 1)п+1 {P(--)Ja_1 Г|, которая будет

иметь первый поддиагональный столбец, состоящий из нулей. Рассмотрим матрицу S2 ^іВ) и найдем вид строки с номером к матрицы S2 ^В), к = 3, п,

^2(SlB))(к) = &В)(к- 1)а- + (І-1В)(к) = - В(к-1).а-'а- - В(к).а= = (- Jа -1^-„а -1 + В(к))= В(к)Jа (Jа-1 )= (-1)2В(к)/2а-1 = (- 1)к+2 х

х Р^2 а “2, к = 3,п.

Матрица S 2 (SlB) имеет два первых поддиагональных столбца, состоящих из нулей. Окончательно получим

Шт=($, -1 ■ ■ «в}т=(-р-т, -рра-)7,..,(- 1)2кЧ (р-'Л )т,.

(- 1)2п-1 (pa)n/n_1a~(п-1)У ). (41)

Матрица DlB имеет верхний треугольный вид, и для матрицы Dl существует Dl 1. Найдем диагональ матрицы DlB

diag (ДВ) = (- а_1,-а_3,...,-а_ 2к+1,... ,-а _2п+1 У

Таким образом, Х (Р^) = -а 2к +1, к = 1, п, - собственные значения

матрицы DlB . Матрица В - симметрическая, следовательно, если а < 0, то

т

В > 0 , если а > 0 , то В < 0 . Аналогично соотношению (41) и матрица DlBDl имеет диагональный вид

diag{p1BDT)=(-а 1,-а 3,...,-а

2к+1 - 2п +1

,. ,

).

кТ к Т

Повторяя для матрицы Рк+1J BJ Рк+1 рассуждения, проведенные для

т

матрицы Р1ВР1 , получим

Рк+1'^ В'1к Рк+1 =

(

О,... ,0,-а"

V к

,- а

-2п + 2к+1

, к = 0, п -1. (42)

Тогда Рк +1 Jk BJI^ Рк+1 > 0 при а < 0 и Рк +1 Jk BJkРТ+1 ^ 0 при

------ т

а > 0, к = 1, п -1. Из вида решения X получим, что X = X > 0 при а > 0 ,

тТ

тк тлТ

тк1

тк тлТ

X = X < 0 при а < 0. Теорема 7 доказана.

Пример 1. Рассмотрим уравнение (25) при п = 3 . С помощью соотношений (27) определим элементы матрицы В = *), i, ] = ^3, В(1) =

= (*11,*12,*13), *11 =(-1)1 • С0-а"1 =-а-1, Ьи = (-1)2Са2 = а"2, ^

= (-1)3С2а 3 =-а 3. Получим В(1) = (-а 1,а 2,-а 3). В(2), В(3): В(2) =(а 2,2а 3,3а 4), В(3) =(- а 3,

Аналогично найдем

-3 ,, -4 , -5 \

■ ,3а ,- 6а ]. Для нахожде-

Т 2

ния решения X необходимо знать матрицу В и матрицы J BJ, Jz BJ

а = 2а0,

т-21

'-а _1 а -2 - 3 > - а ' 0 0 0 Л

В = а~ 2 -2а - 3 1 а со , JTBJ = 0 - а-1 а-2

-а _3 V 1 а со 1 а 1 V 0 а~ 2 го 1 а 1

1

'0 0 0 ^ |а0 1 0 ^

32 В32 = 0 0 0 , Ат = 0 а0 1

у0 0 - а-1 ^ V 0 0 а0у

Таким образом, решение уравнения (25) имеет вид

'-а_1 а-2 -3 > - а 10 0 0 > 10 0 0 Л

X = а” 2 т 1 а - 3 Й і + 0 -а-1 а-2 + 0 0 0

-а_3 V 3 Й і - 6а “5 V 0 а-2 - 2а” 3 V 0 0 -а_1,

Теорема 8. Матричное уравнение

$

АХ + ХА = L,

где Ат = а01 + 3, а0 еС, а0 ^ 0, L = diag(s1,s2, ное решение

(43)

,єп ), имеет единствен-

X = -І є1В + є23ТВ3 + - + єп3(п-1) В3п-1

(44)

и элементы матрицы В определяются соотношениями (35).

Доказательство. Уравнение (43) является частным случаем уравнения (1) при С = L . Согласно теореме 3 решение уравнения (43) имеет вид

X = LP-1 - 3TLP~2 + - + (- 1)п+1 (Зп-1 Т LP~

(45)

у ____

где Р = А +аоI = а1 + 3, а = 2Reаo. Аналогично теореме 7 в силу (45) получим

X = (є1Є1 ® р(1)1 + є2е2 ® Р(2І + — + єпеп ® Р(п) )- (є1е2 ® Р(і)2 + є2е3 ® Р(2)2 + ... + єп-1 еп ®Р(п21))+ — + (-1)к +1 (Єlek ®Р(1) + є2ek+1 ®Р2 k + — + єп^+1 х

х е„

® Р(п-k+1))+ ••• + (- 1)п+1 (є1еп ® Р(1)п )= -|є1В + є23В3 + — + 3

г(п-1)Т

хєпВ3п-1).

X

Теорема 8 доказана.

Теорема 9. Пусть Ат = аоI + 3, ао ^ 0, С = diag^^,sи), Е = co/on(s1,s2,...,sn), DE = -( s1Bq + s23тB3q + ... + sn (з(пВ3(п-1) х

х q), Е = D 1г , элементы матрицы В определяются соотношениями (35). Тогда решение уравнений (1), (11) определяется соотношением (44).

Доказательство теоремы 9 следует из того, что решение уравнения (1) определяется соотношением (44) и Xq = DE = г .

Рассмотрим уравнение (1), когда матрица А вещественная и имеет пару кратных собственных значений с действительными частями, отличными г лТ ^ т>2пх2п

от нуля. Будем рассматривать матрицу А2п е К , имеющую вид

( а 0 ^

■Ап = 1п ® В2 + 3п ® 12, где 1п, 3п е Кпхп , В2, 12 е К2х2 В2 =

I- 0 а

Т

то есть матрица А2п имеет кратные собственные значения X 2 = а+ i0 . Матрица А^п имеет собственные значения X (а2п)= Х(3п) + (в2) ^ 0, i = 1, п,

у = 1,2 при а ^ 0 . В силу теоремы 1 уравнение (1) имеет единственное решение вида (9), для нахождения которого необходимо знать матрицу

Н = (а2п ®12п + 12п ® А2п ) . Найдем н :

Н = (а2п ®12п +12п ® А2п ) = (3п ®12 ®12п + 1п ® В2 ® 12п + 12п ® 3п ®

® 12 +12п ® 1п ®В2)-1 = (1п ® (В2 ® 12п + 12 ® 3п ® 12 + 12 ® ^ ®В2) + + 3п ®14п) 1 =(1п ®(В2 ®12п + 12 ®(3п ®12 + 1п ®В2)) + 3п ®14п) 1 =

= (1п ® (В2 ®12п +12 ® А2п ) + 3п ®14п ) 1 = (1п ® Р4п + 3п ®14п ) 1, (46)

т

где Р4п = В2 ® 12п +12 ® А2п . Аналогично соотношению (19)

Н = 1п ® Р4-1 - 3п ® Р4-2 + - + (- 1)п +13пп-1 ® Р—. (47)

В силу (9), (47) решение уравнения (1) получим в виде

X = (12п ® [12пГК, ® 12п ® С2п#2п ® Н4п2 )([/2„]® /2„) = (/2„ ®

2п

®[12п]Т)(12п ®12п ®С2п)(/2п ® Л, ® Р- )^2п]® 12п)- (^п ®[12п]ТК. ®

® 12 п ® С 2п )(/2„ ® Jn ® Р,-,2 )[І2п ]® 12п )+ - + (- О"’ 2 п ® 2 п Г)х X ® 12п ® С2п ІІ2,, ® -1 ® Р-„ )([/2п ] ® 12п ) = (і2п ® ІІ2„ Г )і2п ®

® (12п ® С 2п )(/п ® Р}-1 ))([І2 п ]® 12п ) — (і 2п ® [І2п ] К, ®(І2п ® С2п )х

(л ® Р-2))([і2п]® 12п) + - + (- 1)п+’(і2п ® [І2пГ)і2„ ® (/2п ® С2„)х

М12п ]®12п ) • (48)

+ - + (-х{/„-1 ® р-

Матрица Р4„ имеет блочную структуру Р4„ =

Г ОІ^„ + Аг

12п' ^2п ~ р2п

Пользуясь формулой Фробениуса для блочных матриц [9] и вводя обозна-

Р2п

\

-1

аІ2п + А2 п У

т

чение G2n = ОСІ2п + А2п , получим

Р_1 = Р4п

Г С2п РІ 2п -1

п 2 1 С2п У

С?„ +I д2

72п 2п

0

Р2I-1

V

2пР

С2п + 12пр ) G2n

р(і2пР2 + С2

2п

2 + Сіп )-1 (С22п +12пР )-1С

2п У

0

72п + І2п

(с,2„ +і »2

Р2 )-1.

р2 )-1 У С2п -А Р12„ С2п У

Г С2

2п

2п

Л

РІ2” С

- Р12п 2п У

= ^2 ®(С2„ +12„Р2 )-1 К

= (і2 ® (с1„ + 12п х

(49)

4п ■

Матрицу У4„ можно представить в виде суммы двумя способами

І4„ = 12 ® С2„ + к2 ® рі2„

(50)

(51)

где К2 =

2Ч

Г о -

V1 0 У

. Обозначим К,„ =(р1„ + і2„Р2 2)1 С2„ , М 2„ =(с2„ +12„ х

X

р2) , #2п = р(^2п +12пр2) , Т2п = М2пА2п . ТогДа в силУ (49), (50), (51)

матрицу /4п^ можно представить в виде суммы двух матриц

Р4„ = 12 ® ^2п + К2 ® ^2п ’

(52)

Для матрицы Р4пП получим соотношения

Р- =(12 ® ^п + К2 ® ^2п )', (54)

Р4"пп = (в2 вМ2п +12 в Т2П )\ (55)

В силу (48), (54), (3) решение уравнения (1) примет вид

X = (кп в[/2„ГК в(/2„ вС2„)(/„ в(/2 в Г2„ + *2 в^2„)))([/2п]в в/2„)-(/2„ в[/2„Г)в(/2„ в(/2„ в Сг„/ в(/2 вУг„ + К в ^,,)2))*

х([/2 „]в/2 п) + ••• + (- 1Г+1 (/2п в[/2„]Г](/2 п в (/2п вС2,,/-1 в(/2 в в^2„ + К2 вN2,,)п))([/2п]в/2п) = (/2п в [/2„]Гв(/2п в С2,,)(/2„ в в У2„ +(/„ в К 2 )в N2,,))(/ 2п в [/ 2 п ])- (/ 2п в[/2п]Т К в (/2, в С2„ )х х((Л в /2 ) в У^п + (/ в К 2 )вГ2„ N 2„ +(Л в К 2 )в М2„У2„ +(Л в К22 )в

в N22п )( [/2п ]в /2п )+- + (- 1Г+1(/2п в [/2п Г )/ 2„ в(4, в С2п /,Ч в ^ )в в У?,, + - + (/п-1 в К'п )в Nпп))!/ 2п ]в / 2п )= С2пУ2п + ( /,, в К2 ^ х х N 2п - (Л в / 2 / С 2,,У22п - (Л в К 2 ) С 2пУ2п N 2, - (/, в К 2 / С 2,, х

х N2пУ2п -/ в К2 ^ С2^2п +--------------+ (- l]n+1^('/„ ' в /2 ^ С2пУ2п + — +

+ /-1 в К, ) (56)

Аналогично (56) в силу (48), (55), (3) решение уравнения (1) можно записать в виде

X = (/,, в В2 ]C2nM2n + С.2_,Г2п - (в В2 }С22,М1 -/п в ВГ ) С2,М 2п х

х Т2п - (/, вВ2Г}С2пГ2пМ2п - (/ в /2^С2,^, + - + (- 1)п+1 ((/Г1 в

® в„ Т с 2„м п„ + -+(/„'-1 ® 12 [ С2п Г2П

У У

В, =

Таким образом, доказана теорема 10.

Теорема 10. Уравнение (1) с матрицей а2„ = (і„ ® В2 + з„ ® I), а Р

\

- Р а

Сі„ = аі 2„ + Аі „, Ко =

, а Ф 0, имеет единственное решение вида (56) или (57), где

Г 0 -1'

2п 2п 2

V1 0 У

^п = (с2„ +12„Р ) С2п , N2п =

р(с

22п +

+12пР2 ) , М 2п = (с2„ + 12пР2 ) , Г2п = М2п ' А2„ .

лТ

Теорема 11. Уравнение (1) с матрицей Аі„ = і„ ® Ві, Ві = = а Ф 0 , имеет единственное решение

а Р - Р а

X = — Сі„ + 4а

„ / 21 „2\(і„ ® ВіСіп(і„ ® ВГ).

4а(а + Р ]

т

Доказательство. Рассмотрим уравнение (1) с матрицей А2п = і„ ® В2. Из (46) получим Н = (а

® 12„ +12„ ® і„ ® Ві )-1 = (і„ ® Р4„ )-1 = і„ ® Р4-1, где Р4п = (Ві ® 12„ +

+12„ ® В і). Матрица Р4„ имеет блочную структуру

Р4п =

2п + Іп ® В2

РІ2п

- РІ2п

2п

РІ2п

2п У

где а2п = а!2п + /п ® В2. Используя формулу Фробениуса обращения блочных матриц, получим

Р_1 = р4„

Г С2п РІ2

- РІ2п С

\

2п У

= [^І2 ® (С2п + і2„р2)

(Г12 ®Сі2п + 12пР2Г

Г1 У Сіп - РІ2п

\

V РІ2п

С

2п У

4п •

(58)

Y4n = Ві ® 12„ + 12„ ® Ві .

2п 2п 2

Используя (59), найдем Р4

-1

4п

РТп1 = в\ ® Міп +12 ®(Міп (і„ ® Ві)),

(60)

где

М2п = (с2п + 12пР2 У1 = (і„ ® (аі2 + В2 )2 + і„ ® 12Р2)1 = і„ ®

(61)

®(і2(а2 + Р2)+ 2аВі + Ві2)-1 = і„ ®(V,

г.

матрица V = (іі (а2 + Р2)+ 2аВі + В2 ) . Из (9), (60), (3) найдем решение уравнения (1)

X = (і2п ® [і2пґК ®12п ® Сіп)і

')([12п ]® 12п ) = (і 2п

® [ііп і Аііп ® ііп ® Сіп Лііп ® і„ ® Р4п

® [і 2 п Т )И 2п ® іііп ® С іп І! 2п ® іп ® (ВіГ ® і„ ® ^ + 12 ® і„ ® >'2 Ві ))>

х([і2„]®ііп) = (і2п ® [і2,,Т)і2„ ®(і2„ ®Сіп)(іп ®ВІ ®і„ ®VI))([і2п]®

® і 2 п )+ (і 2 п ® [і 2 п IXі 2 п ®(і 2 п ® С2п )(іп ® і2 ® іп ® Г2В2 )Х[і 2п ]®

® ііп )= (іп ® ВІ У Сіп (і„ ®Гі ) + Сіп (і„ ® ГіВі). (62)

Используя вид матрицы Ві, получим

V- =

= 4а

О2 + Р 0

а Р

0

а1 + Р2

+

2а 2аР

- 2аР 2а2

+

О2 - Р2 2аР

- 2аР а1 - Р2

= 4аВі, Гі =

1

ч- Р а В силу (62) найдем решение X :

В2\ Г2 В2 =

----7^-о\В2 , ГіВі

4а(а + Р ) 4а

(а2 + Р2)

О+Р) і 2'

Х = ±С + 1

4а' 2п 4а(а2 + Р2)

(і„ ® Ві)Сіп(і„ ® ВІ). (63)

Если С2п = С^, , то из (63) следует, что X = XГ. Теорема 11 доказана. Пример 2. В силу теоремы 11 решение уравнения (1) с матрицей

1

А2п = /п в В2 имеет вид (63). Если С2п = -/2п, то получим

(і„ ® Ві Ііп ® В\ )

4а (а2 + Р2 )''п

(іп ®

тЛ 1 11 1

вВ2В2 )^^_/2п = -“|—/2п -~/2п = -~/2п ■

4а 4а 4а 2а

Пример 3. Рассмотрим уравнение (1) с матрицей С2 = diag(^,£2), обозначим А = а2 + р2 . Тогда

X = -

4аА

^1(аі +а)+ ЄіРІ аР(- Є1 + Єі)

аР(- ^1 + Єі) Єі (а + а)+ Є1Р"

При Є1 = -Єі, а = Р получим

X = єТ 1 - '1 ЖГ = ЄІ1 0'Г 1 -1у 1 1'_ Є1 Г1 0 '

4а V-1 - 1у

4а у1 1 Уу-1 -1 У\ 0 1 у

4а V 0 - 2 у

ЯСі =

11 УЄ1 Є1У

+

V0 - Є1У

< 0

УЄ1 Є1У

при Є1 < 0, ЯВ2Я 1 = =

Г 2а -а'

у 2а 0 у

. Таким образом, матричное уравнение

(2а - а' Г 2а 2а' Гє1 є1 ' Г0 0 ^

а

у 2а 0 у

X + X

у- а 0 у

+

1 Ь1У

V0 - Є1У

V £1

имеет решение X =---------

4а ^ 0 - 2 у

жительное собственное значение.

имеющее одно отрицательное и одно поло-

1

1

Теорема 12. Пусть матрица А = diag(А,А2,...Ап), а. =

V

(

\

е Яп, Е; = е. в ет е Япхп, К2 =

- а-

Г о - Л

у

V1 0 у

Gl =

О^д-^0,1.,0,.0 е ^ , Е- = е ® е- е ^ , К 2

V - У

= а^2п + А2п , У- =(р? + р-12п ) Gi, Ni = р ^ + Р-!2п ) , - = 1, п . Тогда

решение уравнения (1) будет иметь вид

X = I (е в /2 )СУ +1 (е в К2т )с^.

(64)

/■=1

Пусть б = I (е- в /2 ®(У-#+ Е- в К2т ®(^#), Ш+г = г,

/' =1

С = (/2п в (б+г + У - б+0ГГ У([/2п ] в /2, ), (65)

У - произвольный вектор. Тогда решение уравнений (1), (11) имеет вид (64), матрица С определяется соотношением (65).

Доказательство. Используя условие теоремы А = diag (А1, А2,.,

Г:

* г 1т т

А = А , найдем матрицу Н4 2 = \А2п в /2п + /2п в А2,

Н4п2 = Е1 ®(А1 ®12п +12 ®А2п) + Е2 ®(а2 ®/2п + ^2 ®А2п) + ■■■ +

(66)

Г 0 -Л

+ Е2 ® И, ® 12, + 12 ® А2п

=(А

Обозначим В = (А ® + /о ® АГ) , Gi = а;/2п + А2,, К =

12п^ 12^/±2п) > 2п ^ Л2п> Л2

Используя соотношения (49), (51), найдем матрицу в.

в, =Г /2 ®(а

V1 0 У

^2 ®(G2 + Д2/2п )-1 )(/2 ® Gl + К 2 ®рг/2п ) = /2 ®(^2 + Р / 2п ^ +

+ К2 ®р. (G2 + Р2/2,)-1, / = 1, п .

(67)

Пусть г. =(Gг2 + Р?12п ) ^ , Ni = р- (Gг2 + р?12п ) , i = 1, п . Тогда в силу соотношений (66), (67) получим, что В- = /2 ® V- + К2 ® N., матрица

Н „ 2 имеет вид 4п

Н4п2 = 1Е ® /2 ® V-. + Це- ® К2 ® N. . (68)

-=1 -=1

Соотношения (9), (68), (2), (3) позволяют найти решение уравнения (1):

X = I (/2п ®[/2п Г)(/2п ®(/2п ® С)(Е- ® /2 ® Vi))([/2п ]® /2п ) + I (/2п ®

-=1 -=1

в

[/ 2п Г> 2п в(/ 2, в С)(Е( в К 2 в N..))([/ 2п ]в /2, ) = I (Е, в /2 )Т СТ- +

- =1

+ 1(е в к Г .

- =1

Подставив решение X в уравнение (11), получим

I (Е ® /2 )СУ^ +1 Е ® К2т С-^ = г . (69)

-=1 - =1

Используя соотношение (3), получим, что уравнение (69) эквивалентно уравнению

(е ®/2 + Е ®К2т ®(^)Т)][с] = г . (70)

V-=1

Обозначим б = I (е ® /2 ® (^)Т + Е ® КГ ® (#^)Т ). Для того

-=1

чтобы уравнение (70) имело решение, необходимо и достаточно, чтобы бб+г = г . При этом решение [с ] имеет вид

[С] = б+г + У - б+бУ,

(71)

где У - произвольный вектор. Применяя (3) к соотношению (71), найдем вид матрицы С = Г/2, ® (б+г + У - б+бУ Г ]([/2, ] ® /2, ). Теорема 12 доказана.

1. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М. : Наука, 1969. 368 с. ; Гантмахер Ф.Р. Тео-

рия матриц. М. : Наука, 1988. 552 с. ; Гелиг А.Х., Леонов Г.А. , Якубович В.А. Устойчивость систем с неединственным состоянием равновесия. М. : Наука, 1978. 400 с. ; Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. М. : Наука, 1984. 192 с. ; Ланкастер П. Теория матриц. М. : Наука, 1978. 280 с. ; Мальцев А.И. Основы линейной алгебры. М. : Наука, 1975. 400 с. ; Маркус М., Минк Х. Обзор по теории матриц

и матричных неравенств. М. : Наука, 1972. 232 с. ; Маршалл А., Олкин И. Неравенства: теория мажоризации и ее приложения. М. : Мир, 1983. 576 с. ; Прасолов В.В. Задачи и теоремы линейной алгебры. М. : Наука, 1996. 304 с. ; Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М. : Мир, 1989. 655 с.

2. Ланкастер П. Теория матриц.

3. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.

4. Прасолов В.В. Задачи и теоремы линейной алгебры.

5. Гелиг А.Х., Леонов Г.А. , Якубович В.А. Устойчивость систем с неединственным состоянием равновесия.

6. Прасолов В.В. Задачи и теоремы линейной алгебры.

7. Там же.

8. Мальцев А.И. Основы линейной алгебры.

9. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Беллман, Р. Введение в теорию матриц. - М. : Наука, 1969. - 368 с.

2. Гантмахер, Ф.Р. Теория матриц. - М. : Наука, 1988. - 552 с.

3. Г елиг, А.Х. Устойчивость систем с неединственным состоянием равновесия / А.Х. Г е-лиг, Г.А. Леонов, В.А. Якубович. - М. : Наука, 1978. - 400 с.

4. Икрамов, Х.Д. Численное решение матричных уравнений. - М. : Наука, 1984. - 192 с.

5. Ланкастер, П. Теория матриц. - М. : Наука, 1978. - 280 с.

6. Мальцев, А.И. Основы линейной алгебры. - М. : Наука, 1975. - 400 с.

7. Маркус, М. Обзор по теории матриц и матричных неравенств / М. Маркус,

Х. Минк. - М. : Наука, 1972. - 232 с.

8. Маршалл, А. Неравенства: теория мажоризации и ее приложения / А. Маршалл, И. Олкин. - М. : Мир, 1983. - 576 с.

9. Прасолов, В.В. Задачи и теоремы линейной алгебры. - М. : Наука, 1996. - 304 с.

10. Хорн, Р. Матричный анализ / Р. Хорн, Ч. Джонсон. - М. : Мир, 1989. - 655 с.