О регулярности силовских p -подгрупп симплектических и ортогональных групп над кольцом Z/pmZ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.54

О регулярности силовских р -подгрупп симплектических и ортогональных групп над кольцом Ъ/ртЪ

Сергей Г. Колесников*

Институт математики, Сибирский федеральный университет, Свободный 79, Красноярск, 660041,

Россия

Николай В. Мальцев^

Институт фундаментальной подготовки, Сибирский федеральный университет, Киренского 26, Красноярск, 660074,

Россия

Получена 31.05.2011, окончательный вариант 25.08.2011, принята к печати 10.09.2011

Для симплектических Яр2п(Х/ртХ) и ортогональных 0++п(Х/ртХ) групп над кольцом классов вычетов целых чисел Ъ/ртЪ, р — простое число, т ^ 1, исследуется аналог вопроса 8.3 Верфрица из Коуровской тетради: при каких п,т,р силовские р -подгруппы групп Вр2п(Ъ/ртЪ) и 0+п(Ъ/ргаЪ) регулярны?

Ключевые слова: регулярная р-группа, симплектическая группа, ортогональная группа, силовская подгруппа.

Введение

Понятие регулярной р-группы (р — простое число) было введено Ф. Холлом в [1], как обобщение понятия абелевой р -группы, которые легко классифицируются. Согласно [1] конечная р -группа G называется регулярной, если для любых a, b £ G и любого натурального n существует натуральное число k и элементы ci,..., £ (a, b,)' такие, что

(ab)Pn = aPnbPncf ... cf.

В этой же статье (см. также [2, теорема 12.4.2]) был доказан следующий критерий регулярности: конечная р-группа G регулярна тогда и только тогда, когда для любых a, b £ G существует элемент c £ (a, b)' такой, что (ab)p = apbpcp. Примеры регулярных групп дают р-группы порядка < рР а также р-группы ступени нильпотентности < р.

В 1982 г. Верфриц поставил в Коуровской тетради вопрос [3, вопрос 8.3]: для каких n, m, р силовская р-подгруппа общей линейной группы GL^Z^™^) над кольцом классов вычетов целых чисел Z/р™Z по р-примарному модулю является регулярной? Ответ на него получен в [4] для случая m =1 и в [5], [6] во всех случаях, за исключением следующих: m, n > 2 и 2n — 1 <р ^ min{nm, n2}. В [6] также рассматривался аналогичный вопрос для силовских р-подгрупп групп Шевалле над этим же кольцом.

*sklsnkv@mail.ru t nvmatsev@mail.ru © Siberian Federal University. All rights reserved

В настоящей статье аналог вопроса Верфрица рассматривается для симплектических Яра^/р^) и ортогональных О+П^/р™^) групп. Более точно доказаны следующие две теоремы.

Теорема 1. Силовская р -подгруппа симплектической группы ¿ргп^/р™^) нерегулярна при любом т ^ 1, если р < 2п, и при любом т ^ 2, когда р < 4п.

Теорема 2. Силовская р -подгруппа ортогональной группы О+«^/ртZ) нерегулярна при любом т ^ 1, если р < 2п — 2, и при любом т ^ 2, когда р < 4п — 4.

1. Вспомогательные результаты

Определим последовательность функций fn, n = 1, 2,..., от целочисленных аргументов i,j,k, полагая /n(i,j,k) = — [(j — i—k)/n], здесь [ж] —целая часть числа ж. Для всякого целого неотрицательного числа I через J1 будем обозначать идеал кольца Z/pmZ, порождённый элементом p1. Множество идеалов a!! = {Jj = Jfn(ij’fc) | 1 ^ i, j ^ n} кольца Z/pmZ образует ковер [7, стр. 195]. Положим M^A^) = |||cij|| | cij Є Jj} и обозначим через Г(йтт)) = {En + C | C Є M^A^)} конгруэнц-подгруппу группы GLn(Z/pmZ) по модулю ковра идеалов й! (En — единичная матрица порядка n). Множество квадратных матриц порядка n, все элементы которых лежат в фиксированном идеале J1, будем обозначать через Mn(Jг).

Нетрудно видеть, что имеют место следующие включения Мп(й!^ ) з ) d ....

Следующая лемма доказана в [6].

Лемма 1. Пусть ki,...,ks — произвольные натуральные числа и A Є M^a!^), i = 1,...,s. Тогда Ai • A2 • ... • As Є M„(a^1+"'+fcs).

Далее нам потребуется следующий теоретико-числовой факт.

Лемма 2. Для всякого целого простого числа p > 2 и целого k, 1 ^ k < p, сумма биномиальных коэффициентов

(—1)‘(p+k—0+(p

делится на p2.

Доказательство. При k = 1 сумма равна нулю. Пусть k > 1. Имеют место следующие равенства: (p +(k — 1))... (p +1) = sp +(k — 1)!, (p — (k — 1))... (p — 1) = tp +( — 1)fc-i(k — 1)!,

для некоторых s,t Є Z. Поэтому число

( —1)fc (p + k — 1)!+ p!(p — k + 1)... (p — 1) =

= p!(( —1)k(p + (k — 1))... (p + 1) + (p — (k — 1))... (p — 1)) =

= p!(( —1)fc sp + ( —1)fc (k — 1)! + tp + ( — 1)fc-i(k — 1)!) = p!p(t + ( —1)fcs)

делится на p2. Оно также делится на взаимно простое с p число k!(p — 1)!. Значит, сумма

( —1)fc f k А + fkA =( —1)fc (p + k — 1)! + p!(p — k + 1)... (p — 1)

\p + k — 1/ \p) k!(p — 1)! k!(p — 1)!

делится на p2. □

2. Симплектические группы

Пусть р > 2 — простое число и /

О„

н

н

-н О„

/ 0 0 0 0

0 1 V 1 0

, где

01 10

00 00

— квадратная матрица порядка п, О„ — нулевая матрица порядка п. Множество матриц {ж Є СЬ2п(^/рт^) | ж/ж4 = /} образуют группу относительно умножения матриц, которая называется симплектической группой и обозначается ¿^„(^/р™^). Пересечение

П ^„(й!^), где — ковер, определенный выше, является си-

ловской р-подгруппой в ¿^„(^/р™^) (см., например, [8]).

Предложение 1. Для всякого простого числа р ^ 3 силовская р -подгруппа симплектической группы £рр+і^/р Z) не является регулярной.

Е„ + С О„

О„ Е„ + О

диагональная матрица с клетками

Доказательство. Положим п = (р +1)/2 и пусть а :

— клеточно-

/ 1 1. . . 1 1 \ / 1 -1 0. .0 0 \

0 1. . . 1 1 0 1 -1 . .0 0

, Е„ + О =

0 0. . . 1 1 0 0 0. .1 -1

V 0 0. . . 0 1 / \ 0 0 0. .0 1 /

Е„ + С

Пусть также Ь = Е2п + еп,„+1 (через обозначаем матрицу, у которой на пересечении г -й строки и -го столбца стоит единица и нули на остальных местах; порядок матрицы е^-всегда ясен из контекста). Матрицы а и Ь лежат в силовской р-подгруппе £р2п(А]1)).

Вычислим ар и Ьр. Имеем Ь? = Е2П + ре„„+1 = Е2П. Далее, Ср = = Оп, так как С и

О нильпотентны степени п < р. Биномиальные коэффициенты (?), г = 1,... ,р — 1, кратны

р—1

р, поэтому (£„ + С)р = Еп + ^ (?) С¿ + Ср = Еп и, аналогично, (£„ + О)Р = £„. Значит,

¿=1

а? = ^2„.

Найдем (аЬ)Р. Пусть ф = аЬ —Е2п = е1,2 + . . . + еп,п+1—еп+1,п+2 —. . . —е2п —1,2п + ^ е*^ .

¿—¿>1

р— 1

Тогда (аЬ)Р = (^2„ + ф)р = £2« + ^ (?)Q¿ + Ф? = ^2„ + ф?. Для того чтобы вычислить

¿=1

произведение ф?, подставим в него вместо матрицы Q ее разложение в сумму элементарных матриц. После раскрытия всех скобок мы получим сумму произведений элементарных матриц, где каждое произведение содержит ровно р = 2п—1 сомножителей. Теперь заметим, что произведение элементарных матриц e¿1 ^ ^¿2•.. .^ ^ отлично от нулевой матрицы только, если ^ = г^+1, к = 1,..., в — 1. В случае, когда указанное произведение отлично от нулевой матрицы, оно равно e¿lJjs, а сумма разностей ^ — г^, к = 1,..., в, равна ^ — г1. Так как максимальное значение разности ] — г для верхней нильтреугольной матрицы e¿j порядка 2п равно 2п—1, а число 2п —1 раскладывается в сумму 2п—1 натуральных чисел единственным способом (только в сумму единиц), то существует единственное ненулевое произведение р

элементарных верхних нильтреугольных матриц порядка 2п, а именно, е^2 • е2,з • • • • •е2п-1,2п, и равно оно е1,2„. Поэтому = е12 • ... • е„1П+1(-е„+11П+2) • ... • (-е2„-1,2п) = (-1)п-1е1,2п

и, значит, (а6)р = + (-1)" 1eii2n-

Вычислим теперь G/p, где G = (а, 6). Согласно [8, стр. 647] [¿>p2n(Ai1)), Sp2n(A^'))] =

f(1)U —

^р2„(а(12)). Так как ^„(А^) С Г(Я^) и по лемме 1 г(аі/;) ' с Г(а^р;) = |Е2„} (/2п(г, і, 2р) > 1 для всех г, і), то С/р = {Е2п}. Однако, 6-ра-р(а6)р = Е2п, поэтому группа 5р2„(АІ1)) нерегулярна. □

Предложение 2. Для всякого простого числа р > 3 такого, что число п = (р + 1)/4 — целое, силовская р -подгруппа симплектической группы 5р2„^/р^) не является регулярной.

Доказательство. Прежде чем приступить к доказательству предложения, слелаем два замечания. Во-первых, из равенства 2п = (р + 1)/2 и леммы 1 следует, что произведение любых (р + 1) -й матрицы из М2П(а21) ) равно нулевой матрице. Во-вторых, произведение числа, кратного р на любую матрицу из М2П( Т), тоже равно нулевой матрице.

/С О

Пусть а = ^2„ + А, где А = ( ^ ^

порядка п:

■i(2h

j(2)

,(2Ь

|(2Р)\

и C, D, Q следующие квадратные матрицы

C -

( 0 1 1. . . 1 1 1 0. .0 \

0 0 1. . . 1 1 1 0. .0

, Q =

0 0 0. . . 0 1 1 0. .0

\ 0 0 0. . . 0 0 1 0. .0 /

D = — e12 — e23 — ... — e„ — 1,"

Матрицы a и b = E2n + B = E2n + ре2„д лежат в силовской p-подгруппе Sp2n(A2 ^).

Р

Вычислим (ab)p. Имеем (ab)p = (E2n+A+B+AB)p = E2n + ^ (fc) (A+B+AB)k. Матрица

fc=i p

B лежит в нильпотентном ступени 2 идеале M2n(J) кольца M2n(Z/p2Z). Поэтому любое произведение, составленное из матриц A или B, содержащее не менее двух сомножителей, равных B, равно нулевой матрице. Отсюда при k > 1 следует

(A + B + AB)k = ((A + B) + AB)... ((A + B) + AB) =

= (A + B)k + AB(A + B)k-1 + (A + B)AB(A + B)k-2 + ... + (A + B)k-1AB =

= (A + B)k + ABAk-1 + A2BAk-2 + ... + Ak B

и, значит,

^ (A + B + AB)k = [(A + B)k + ABAk—1 + A2BAk—2 + ... + AkB] =

^ (A + B)k = f^Afc pj \pj

для k = 2,... ,p — 1. Поэтому

(a6)p = E2n + f1) (A + B + AB) + ^ (k\ Ak + (A + B + AB) Vp/ k=2 ^k^

p

£-1 /А

Е2п + (А + В)Р + Е (р)А.

хРу к=1 ч^у

Вычислим а р и Ь р. Имеем Ь р = (Е2п + р2е2пд) 1 = Е2 . = Е2п. Для вычисления а р воспользуемся разложением в ряд Маклорена функции (1 + ж)- р :

^1 / к \

(Е2п + А)-Р = ®2„ + £<_^р + к _ ^ А•

Ряд конечный, поскольку Ар = 02п (матрица А является верхней нильтреугольной и ее степень нильпотентности равна 2п < р.

Используя полученные равенства, находим

Ь--а-Р(аЬ)р = ^2„ + £<_^ + I _ ^ А‘) (Е2„ + (А + в)Р + £ (к) А‘) = в,. + <А + в>р + |( (-1)^ р + ^ ^ - + (к)А‘).

Ввиду леммы 2 для к = 1,... , р — 1 имеют место равенства

<-1>‘(р+к _ ОА+©■А*=(<-1)к С+к—0+0)А=а2-

следовательно, Ь-ра-р(аЬ)р = Е2п + (А + В)р.

Найдемр-ю степень произвольной матрицы ^ 1| € М2„(й21)). По лемме 1 элемент

матрицы лежит в идеале ТЛп(г^’р). Значение функции /2п(*,.?’, р) равно единице

• ■ (Р)

при * = 1, = 2п и больше единицы в остальных случаях. Поэтому 2^1,2. Для

(р) ?

вычисления элемента ^1 2п представим матрицу ^ в виде суммы элементарных матриц и

воспользуемся формулами их умножения. Так как все элементы матрицы ^, лежащие на

главной диагонали и ниже нее, принадлежат идеалу Т, то любое произведение, содержащее

не менее двух матриц е^- с *>.?’, равно нулю. Ненулевым будет только единственное

произведение

(2п-1 \ /2п-1 \

]^[ ^^+^^+1 I I ]^[ ^^ + ^^ + 1 I .

к=1 / \й=1 )

2п-1

. , I V X

Стало быть, 'Ш(р2п = ^2п,1 П ^2

2

й.й+Г

к=1

Используя последнее равенство, находим Ь-ра-р(аЬ)р = Е2п + (А + В)р = Е2п + ре^п = Е2п. Однако, элемент Ь, а, следовательно, и коммутант подгруппы (а, Ь), лежат в нормальной подгруппе Н = (Е2п + || | € Т, 1 ^ *, ^’ ^ 2п) П 5р2п(й21)). Так как Н является

элементарной абелевой р-группой, то р-я степень любого элемента из (а, Ь)' равна единице. Поэтому элемент Е2п + р е^п не представим в виде произведения р-х степеней элементов из (а, Ь)'. Значит, группа £р2п(&21)) нерегулярна. Предложение доказано. □

Поскольку подгруппы и фактор группы регулярной группы тоже регулярны, то из предложений 1 и 2 вытекает теорема 1.

Заметим также, что согласно [8] ступень нильпотентности группы ^Р2П(а11)) равна 2пт — 1, а р-группы ступени нильпотентности меньше, чем р регулярны [2, стр. 205]. Поэтому из теоремы 1 следует полное решение вопроса о регулярности силовской р-группы группы йр^^/р™^) при т = 1, 2.

3. Ортогональные группы

Пусть р > 2 — простое число и

/00 0 0

0 1 \ 1 0

01 10

00 00

— квадратная матрица порядка 2п. Множество матриц

{ж е СЕ2п^/р™^) | ж/ж* = /, ёе^ж) = 1}

образуют группу относительно умножения матриц, которая называется унимодулярной ортогональной группой и обозначается О+п^/р™^). Пересечение

о2+п(а11)) = О+^/р^) п ^(а^),

где — ковер, определенный в п.1, является силовской р-подгруппой в О+П^/р™^) (см., например, [9, §1.2]).

Предложение 3. Пусть р > 2 — простое число. Силовская р -подгруппа ортогональной группы О++3^/р Z) не является регулярной.

Доказательство. Положим 2п = р + 3. Рассмотрим матрицы

Е„ + С Оп

Оп

Еп + О

где

/ 0 1 1. .1 1 \ / 0 -1 0. .0 0 \

0 0 1. .1 1 0 0 -1 . .0 0

С= , О =

0 0 0. .0 1 0 0 0. .0 -1

\ 0 0 0. .0 0 / \ 0 0 0. .0 0 /

Ь = Е2п + еп—1,п+1 — еп,п+2.

Так как произведение еп-1,п+1 • еп,п+2 равно нулевой матрице, то

ЬР = Е2п + реп-1,п+1 — р еп,п+2 = Е2п.

Далее, степень нильпотентности матриц С и О равна п < р, поэтому

р-1 ^

аналогично, (Еп + О)р = Еп. Отсюда

(Еп + С )Р Оп

Оп (Еп + О)Р

Еп Оп

Е2п

а =

и

и

р

а

Оп Еп

Вычислим (аЬ)р. Имеем

аЬ =

£„ + С Оп

д

Еп + О

где

д

Пусть

(1 —1 0 ..

1 —1 0 ..

1 —1 0 ..

0 —1 0 ..

— Ь а Е2п = Е

¿—¿>2

0 \

0

. 0

+е1,2 + ... + еп— 1 ,п — еп+1,п+2 — ... — е2п —1,2п + е1,3 + ... + еп —1,п+1 — еп,п+2.

Тогда

£—,■ ґк\

(аб)р = (Е2п + д)р = Е2п + ^ дк + др = ^ . к=1 \Р/

Из леммы 1 следует, что все элементы матрицы кроме, быть может,

?1^2п и ?2^2п, равны нулю. Вычислим ?1^2п-1- Число 2п — 2 представляется в виде суммы из р = 2п — 3 натуральных чисел единственным образом 2п — 2 = 2 + 1 + ... + 1. Поэтому элементарную матрицу е^п- можно представить в виде произведения (2п — 3) -х верхних треугольных элементарных матриц только, если разность между вторым и первым индексом одной из матриц произведения равна 2, а у остальных 1. Учитывая, что коэффициент при еп п+1 в разложении Q равен нулю, как и коэффициенты при е^+2, * = п +1,..., 2п — 2, получим

^1р2п—1е1,2п—1 = е1,2 . . . е„-11П( —е„1П+2)( — е„+2,п+з) . . . ( —е2п-2,2п-1) +

+е1,2 . . . еп-2,п-1 еп - 1,п+1 ( еп+1,п+2) . . . ( —е2п-2,2п-1) = 2( — 1)П 1 е^п-Ь

Таким образом,

Ъ ра р(а6)р = Е2п + 2( —1)П 1 е1,2п-1 + ?2р2пе2,2п + ?1?2пе1,2п = Е2п.

Вычислим теперь О/р, где О = (а, Ъ). По теореме 1.2.4. из [9] имеем

[°+„(А(11)),о+„(а(11))] с о2+„(а(12)).

Так как О+Дй^) С Г(А12)) и по лемме 1

(2К

г(а(12)^Р с г(а12р)) = {Е2п},

то С/р = {Е2п}. Однако, Ь ра р(аЬ)р = Е2п, поэтому группа О+Дй^) нерегулярна. □

Предложение 4. Для всякого простого числа р такого, что число п = (р + 5)/4 — целое, силовская р-подгруппа ортогональной группы О+^/р^) не является регулярной.

Доказательство. Простые вычисления с матрицами

а = Е4 + Є13 — Є24, Ь = Е4 + ЗЄ31 — ЗЄ42.

показывают, что силовская 3 -подгруппа группы 0+^/3^) не является регулярной. Пусть р > 3. Положим

А =

С Q Оп О

где С, О, Q следующие квадратные матрицы порядка п :

С

/ 0 1 1 ... 1 1 \ 1 —1 0. .0 \

0 0 1 ... 1 1 1 —1 0. .0

, Q =

0 0 0 ... 0 1 1 —1 0. .0

V 0 0 0 ... 0 0 / 0 —1 0. .0 /

О = — 615 — - е23 —... — еп- 1,^

В = р в2п-1,1 — Р е2п'

Матрицы а = Е2п + А и Ъ = Е2п + В лежат в силовской р-подгруппе О+П (а21)). Дословно повторив рассуждения из предложения 2, получим равенство

Ъ-ра-р(аЪ)р = Е2п + (А + В)р.

По лемме 1 имеем (А + В)р € М2П(а2р)). Так как /2п(*,.7,р) ^ 2 для всех пар (*,_?), отличных от (1, 2п — 1), (1, 2п), (2, 2п), то

(А + В)Р = ае1,2п-1 + ве1,2п + 7е2,2п.

Вычислим коэффициент а. Для этого, как обычно, разложим А + В в сумму элементарных матриц и выберем те произведения, которые дают е12П-1 :

^е1,2 . . . еп-2,п-1 (еп-1,п+1( еп+1,п+2) + еп - 1,п( еп,п+2 )) ( еп+2,п+3) . . . ( —62п-1,2п)^ X

х(—рв2п,2)х

х ^е2,3 . . . еп-2,п -1 (еп- 1,п+1 ( еп+1,п+2) + 6п-1,п( —еп,п+2)) (—еп+2,п+3) . . . ( —б2п-2,2п-1)^ +

^е1,2 . . . еп-2,п-1 (еп-1,п+1 ( еп+1,п+2 ) + еп- 1,п( еп,п+2)) ( еп+2,п+3) . . . ( —б2п-2,2п-1)^ х

х(рв2п-1,1)х

^е1,2 . . . еп-2,п-1 (еп-1,п+1( еп+1,п+2) + еп - 1,п ( еп,п+2 )) ( еп+2,п+3) . . . ( —б2п-2,2п-1 ^ =

= 8рв112п-1.

Таким образом, а = 8р = 0 и, следовательно, Ъ-ра-р(аЪ)р = £^п. Завершают доказательство предложения рассуждения, аналогичные тем, что и в заключении доказательства предложения 2. □

Из предложений 3 и 4 следует теорема 2. Как и в случае симплектических групп заметим, что ступень нильпотентности группы О+дА,^) согласно [10, следствие 1] равна (2п—2)т —1. Поэтому из теоремы 2 вытекает полное решение вопроса о регулярности группы О+Д&г^) при т = 1, 2.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 09-01-00717)

и

Список литературы

[1] P.Hall, A conribution to the theory of groups of prime-power order, Proc. London Math. Soc., s2-36(1934), №1, 29-95.

[2] М.Холл, Теория групп, М., ИЛ, 1962.

[3] Коуровская тетрадь, Нерешенные вопросы теории групп, ред. Мазуров В.Д., Хухро Е.И.,16-е издание, 2006, http://www.math.nsc.ru/

[4] А.В.Ягжев, О регулярности силовских p-подгрупп полных линейных групп над кольцами вычетов, Матем. заметки, 56(1994), №6, 106-116.

[5] С.Г.Колесников, О регулярности силовских p-подгрупп групп GLn(Zpm), Иссл. по матем. анализу и алгебре, 3(2001), 117-124.

[6] С.Г.Колесников, О регулярных силовских p-подгруппах групп Шевалле над кольцом Zpm, Сиб. матем. журнал, 46(2006), №6, 1289-1295.

[7] М.И.Каргаполов, Ю.И.Мерзляков Основы теории групп, М., Наука, 1977.

[8] Ю.В.Сосновский, Коммутаторное строение симплектических групп, Матем. заметки, 24(1978), №5, 641-648.

[9] Ю.В.Сосновский, Коммутаторное строение и изоморфизмы классических групп, Диссертация на соискание уч. степ. к.ф.-м.н., Новосибирск, 1980.

[10] В.М.Левчук, Коммутаторное строение некоторых подгрупп групп Шевалле, Укр. мат. журнал, 44(1992), №6, 786-795.

On the Regularity Sylow’s p -subgroups of Symplectic and Orthogonal Groups over Ring Z/pmZ

Sergey G. Kolesnikov Nikolay V. Maltsev

For symplectic Sp2n(Z/pmZ) and orthogonal O+n(Z/pmZ) groups over residue ring of integers Z/pmZ,

p — prime integer, m ^ 1, we investigate analog Wehrfritz’s question 8.3 from Kourovka notebook: for

which n,m,p Sylow p -subgroups of groups Sp2n(Z/pmZ) and O+n(Z/pmZ) are regular?

Keywords: regular p -group, symplectic group, orthogonal group, Sylow subgroup.