Научная статья на тему 'Фильтрация в линейных дискретных нестационарных системах с неизвестными возмущениями'

Фильтрация в линейных дискретных нестационарных системах с неизвестными возмущениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
355
73
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ЛИНЕЙНЫЕ ДИСКРЕТНЫЕ НЕСТАЦИОНАРНЫЕ СИСТЕМЫ / ФИЛЬТР КАЛМАНА / НЕИЗВЕСТНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ / DISCRETE LINEAR NONSTATIONARY SYSTEM / KALMAN FILTERING / UNKNOWN DISTURBANCES

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Смагин Валерий Иванович, Смагин Сергей Валерьевич

Рассматривается алгоритм синтеза оптимального фильтра, определяющего оценку вектора состояния дискретной линейной нестационарной динамической системы с аддитивными возмущениями, содержащими неизвестную постоянную составляющую. Приводятся результаты вычислительного эксперимента.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Смагин Валерий Иванович, Смагин Сергей Валерьевич

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Optimal filter, giving estimation state vector of the discrete linear dynamic system with additive disturbances with unknown constant mean, is considered. The results of the simulations are presented.

Текст научной работы на тему «Фильтрация в линейных дискретных нестационарных системах с неизвестными возмущениями»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2011 Управление, вычислительная техника и информатика № 3(16)

УДК 517.511

В.И. Смагин, С.В. Смагин

ФИЛЬТРАЦИЯ В ЛИНЕЙНЫХ ДИСКРЕТНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМАХ С НЕИЗВЕСТНЫМИ ВОЗМУЩЕНИЯМИ

Рассматривается алгоритм синтеза оптимального фильтра, определяющего оценку вектора состояния дискретной линейной нестационарной динамической системы с аддитивными возмущениями, содержащими неизвестную постоянную составляющую. Приводятся результаты вычислительного эксперимента.

Ключевые слова: линейные дискретные нестационарные системы, фильтр Калмана, неизвестные возмущения.

В работах многих авторов большое внимание уделяется разработке алгоритмов калмановской фильтрации для класса систем с неизвестными аддитивными возмущениями и параметрами, которые могут использоваться в качестве моделей реальных физических систем, моделей объектов с неизвестными сбоями.

Известные методы вычисления оценок вектора состояния базируются на алгоритмах, использующих оценки неизвестного возмущения [1 - 11]. В работах [1, 2] рассматриваются алгоритмы расширения пространства состояний (к основной модели объекта добавляется модель ненаблюдаемого возмущения) и алгоритм двухэтапной фильтрации, уменьшающий вычислительные затраты за счет декомпозиции задачи. В работах [3 - 11] изучены алгоритмы рекуррентной оптимальной фильтрации, использующие оценки неизвестного возмущения, имеющие достаточно жесткие условия их разрешимости.

В настоящей работе для дискретного нестационарного объекта с неизвестной постоянной составляющей возмущений предлагается метод оптимальной фильтрации, не использующий оценки неизвестного возмущения. Метод базируется на преобразовании модели и сведении к задаче линейной калмановской фильтрации [12 - 14]. В настоящей статье обобщаются результаты [15] на случай решения задачи для нестационарного дискретного объекта.

1. Постановка задачи

Рассматривается дискретная система, которая описывается следующими разностными уравнениями:

x(k +1) = A(k)x(k) + f + q(k), x(0) = x0 , (1)

где x(k) e Rn - вектор состояния; A(k) - nxn-матрица; f - неизвестный постоянный вектор; q(k) - белая гауссовская случайная последовательность с характери-

стиками

M {q(k)} = 0 , M{q(k)qT ( j)} = Q(k)bk ] . (2)

Канал наблюдений имеет вид

y(k ) = S (k ) x(k ) + v(k ), (3)

y(k) e R1 - вектор измерений; S(k) - матрица размерности l x n ; v(k) - белая гаус-

совская случайная последовательность ошибок измерений, с характеристиками:

М{у(к)} = 0 , М{д(к)ут (])} = 0, М{у(к)ут (у)} = V(к)81} ; (4)

для матриц (£(к), А(к)) выполняются условия наблюдаемости. Вектор х0 является случайным и не зависит от от процессов д(к) и у(к), при этом

М{х(0)} = хо, М {(х(0) - Хо )(х(0) - Хо)т } = Ро .

Для системы (1) и канала наблюдений (3) требуется синтезировать фильтр, вычисляющий оценку вектора состояния, не использующий оценки неизвестной постоянной составляющей возмущений.

2. Синтез фильтра

Преобразуем дискретную систему (1). Исключаем постоянную составляющую возмущений / из описания объекта посредством вычитания из уравнения (1) такого же уравнения, но со сдвигом на один такт:

х(к) = А (к -1) х(к -1) + / + q(k -1). (5)

В результате получаем следующее уравнение:

х(к +1) = (А (к) + Еп) х(к) - А (к -1) х(к -1) + q(k) - q( к -1). (6)

Расширим пространство состояний системы путем добавления к уравнению (6) тождества х(к) = х(к). Обозначим

X (к) = ( хГ„ ) • «к) = ( q'k)- ■>). ()

Систему (1) представим в векторно-матричной форме

X(к +1) = А (к)X (к) + д (к), X (0) = Х0, (8)

где А (к) - 2п х 2п -матрица имеет следующую блочную структуру:

-к) = ( А<кЕ+ Еп -А<0 - 0 ^. (

Случайный вектор X0 = (х^ х-1 )т имеет следующие характеристики:

М{X(0)} = X0, М {(X0 -X0)^0 -X0)т} = Р0, (10)

где X0 = (х0т х- )т . Отметим, что здесь дополнительно вводится п-мерный вектор х-1, который является независимым от д(к) и у(к), а характеристики (10) могут быть получены по априорной информации об объекте (1).

Отметим, что в рассмотренной модели (8) процесс д (к) не является белой гауссовской последовательностью, процессы д (к) и д (к -1) будут коррелированны:

Q(k), если у = к,

Q(k -1), если ] = к -1, (11)

0, если 0 < ] < к -1,

М{д (к) д т (у)} =

где Q{k) = |'«к> + «к-1) 0), Q<k-1) =(-«0-■> ¡¡). (12)

Представим канал наблюдений для расширенной системы (8) в виде

у(к) = 5 (к) X (к) + v(k), (13)

где 5 (к) = (5(к) 0), v(k) - случайная последовательность ошибок измерений с характеристиками (4).

В качестве уравнения для вычисления оценки вектора состояния расширенной системы выберем уравнение, по своей структуре совпадающее с фильтром Кал-мана:

Х(к +1) = Л(к )Х(к) + К (к )(y(k +1) - 5 (к +1) Л (к )Х(к)), Х(0) = Х0. (14)

Учитывая (8) и (14), получим следующее уравнение для ошибки е(к) = Х(к) - X(к):

е(к + 1) = (Л(к) - К (к) 5 (к +1) Л(к ))е(к) + К (к )м(к + 1) + (К (к) 5 (к + 1) - Е2п )д (к). (15)

В силу (11) и (15), матрица Р (к) = М{е(к )ет (к)} определится из следующего разностного уравнения:

Р(к +1) = (Л(к) - К (к)5(к +1)Л (к))Р(к)(Л(к) - К (к)5(к +1)Л (к))т +

+(К (к) 5 (к +1) - Е2п Йк)(К (к )5 (к +1) - Е2п )т + К (к) V (к +1) Кт (к) +

+(Л(к) - К (к )5 (к +1) Л(к))(К (к -1)5 (к) - Е2п) х

х0(к -1)( К (к) 5 (к +1) - Е2 п )т + (К (к )5 (к +1) - Е2п) х

х0(к - 1)(К (к -1) 5 (к) - Е2п )т (Л(к) - К (к)5 (к + 1)Л(к))т , Р(0) = Р0. (16)

Оптимизируемый критерий зададим в виде

3 (к +1) = ЪР (к +1). (17)

Оптимальные коэффициенты передачи фильтра К(к) определяются из условия

3 (к +1)

dK (к)

= 0. (18)

Учитывая (17) и правую часть уравнения (16), применяя правила матричного дифференцирования следа от матрицы [16], получим из условия (18) уравнение для определения матрицы К(к):

- Л (к) Р (к) Л(к )т 5 (к + 1)т + К (к) 5 (к +1) Л (к) Р (к) Л(к )т 5 (к + 1)т +

+К (к) 5 (к + 1)^(к )5 (к )т - &(к) 5 (к + 1)т - К (к) 5 (к + 1)0(к -1) х х5 (к )т К (к - 1)т Л(к )т 5 (к + 1)т + К (к) 5 (к + 1)0(к -1) Л(к )т 5 (к + 1)т -

-К (к) 5 (к +1) Л(к) К (к -1) 5 (к )0(к -1)5 (к + 1)т +

+К (к )5 (к +1) Л(к )0(к -1) 5 (к + 1)т + 0(к -1)5 (к )т К (к - 1)т х хЛ(к)т 5(к + 1)т - 0(к -1)Л(к)т 5(к + 1)т -Л(к)0(к -1)5(к + 1)т +

+Л( к) К (к -1) 5 (к)0(к -1) 5 (к + 1)т + К (к V (к +1) = 0. (19)

Решение последнего уравнения относительно К(к) дает следующий результат:

К (к) = Р(к)5(к + 1)т (5(к +1)Р(к)5(к + 1)т + V(к +1))-1, (20)

где P(к) = Л (к)P(к)Л(к)т + Q(k - 1)(E2n - S(к)т K(к - 1)т )Л(к)т +

+A(k)(Eln - K(к -1)5(к))Q(k -1) + Q(k). (21)

Отметим, что для вычисления коэффициентов передачи (20), в силу (21), необходимо задать начальные значения коэффициентов K(-1).

Подставив в уравнение (16) выражение для оптимального коэффициента передачи (20), получим уравнение

P(к +1) = (E2n - K (к)S (к +1))P(к), P(0) = Р0. (22)

Основной результат сформулируем в виде теоремы, учитывая симметричность и блочное представление матриц P(к) и P(к):

P(к) = f p (к) (к) 1, P(k) = f p1(к) p2T (к) 1, (23)

IР 2 (к) p з(к)) У Р2(к) Рз(к))

блочные структуры матриц Л(к), Q(k), Q(k), S(к) и представление матрицы K(к) в виде

k (к >=( K%). <24)

Теорема. Пусть процесс с неизвестным постоянным возмущением определяется уравнениями (1) и канал наблюдений имеет вид (3). Тогда оптимальный алгоритм фильтрации определится следующими разностными уравнениями: x(k +1) = (A (k) + En) x(k) - Л (к -1) x(k -1) + K1 (к)(y(k +1) -

- S (к +1)[( Л (к) + En) x(k) - Л (к -1) x(k -1)] (25)

с начальными условиями

x(0) = x0, x(1) = M{x(1)} = x . (26)

Матрица Kx (k) в (25) определяется по формуле

K (к) = рх (к) S (к + 1)т (S (к +1) Р (к) S (к + 1)т + V (к +1))-1, (27)

где матрица р (к) в^гчисляется из системы уравнений

Р(к) = (Л (к) + En)р1(к)(Л (к) + En )т - Л(к -1) Р2(к)(Л (к) + En )т -

-(Л( к) + En) рТ (к) Л( к - 1)т + Л (к -1) р3(к) Л (к - 1)т + Q( к -1) S (к )т Kj(k - 1)т х х( Л (к) + En )т - Q(k -1) S (к )т K2 (к - 1)т Лт (к -1) +

+(Л( к) + En) Kj (k -1) S (k) Q( k -1) - Л( k -1) K2 (k -1) S (k) х xQ (k -1) - (Л(к) + En )Q(k -1) - Q(k -1)( Л(к) + En )T + Q(k) + Q(k -1),

Р2 (к) = #(k)(Л(к) + En )T - p2 (к)Л(к - 1)T +

+K1 (k - 1)S(k)Q(k -1) - Q(k -1), ^3 (k) = p1 (k),

Р1 (k +1) = (En - K (k)S(k +1))p (к), Р1 (0) = Р10,

Р2 (k +1) = - K 2 (k) S (k +1) P (k) + p 2 (к), Р2 (0) = Р20,

Р3 (k +1) = -K2 (k)S(k +1) p2 (к) + Р3 (к), Р3 (0) = p^ ,

K2 (k) = p 2 (k )S (k + 1)T (S (k +1) p (k) S (к + 1)T + V (к +1))-1. (28)

В (28) начальные условия р10, р2 0, р3 0, являются соответствующими блоками матрицы Р0. Отметим, что для выполнения расчетов в (28) необходимо задать начальные условия для КД-1) и К2(-1).

Замечание. Управляемый объект

х(к +1) = А(к)х(к) + В(к)и(к) + / + д(к), х(0) = х0, (29)

при исключении неизвестного постоянного возмущения / объекта, необходимо преобразовать к виду, который будет отличаться от (8) одним слагаемым:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

X (к +1) = А (к) X (к) + В(к )(и(к) - и(к -1) + д (к), X (0) = Х0, (30)

где матрица А(к) приведена в формуле (9), д (к) имеет характеристики (11), (12). В (30) матрица В (к) имеет вид

В(к) =(В0к)). (31)

Тогда уравнения фильтра будут следующими:

Х(к +1) = (А (к) + Еп) Х(к) - А (к -1) Х(к -1) + В(к )(и(к) - и (к -1)) + К1 (к)(у(к +1) --Б(к +1)[(А(к) + Еп)Х(к) - А(к -1)Х(к -1) + В(к)(и(к) -и(к -1))], (32)

с начальными условиями (26), а матрица К1(к) определяется в соответствии с (27) и (28).

3. Результаты вычислительного эксперимента

Рассмотрим применение алгоритма фильтрации для модели второго порядка вида (1) и канала наблюдений (3) со следующими значениями параметров:

( 0 1 А _ (0,01 0 А ТЛ

() = ^0,05 0,925 + 0,Ыи(0,01к)) ’ ® = [ 0 0,02} ’ = , ’

х = (1 1); Х0 =(иР0 =(100 100} (

Вычисление оценок вектора Х(к) можно выполнить, используя двухэтапный алгоритм фильтрации [2]. Модель измерений в этом случае с учетом (1) представляется в виде

у(к +1) = 5Х(к +1) + у(к +1) = £А(к)Х(к) + Б/ + 5д(к) + у(к +1). (34)

Рекуррентные уравнения оценивания неизвестного вектора / имеют вид /(к +1) = /(к) + К/ (к)(у(к +1) - £А(к)Х(к) - Б/(к)), Д0) = /0,

Кг (к) = Рг (к) Бт (БРГ (к) Бт + ^т + V )-1,

Р/ (к +1) = (Е2 - К/ (к)Б)Р/ (к), Р/ (0) = Р/0, (35)

где М{/} = /0, М{(/ - /0)(/ - /0)т } = Р/0. (36)

Оценка вектора состояния для объекта с неизвестным постоянным входом задается уравнением:

х(к +1) = Л(к)х(к) + /(к) + Кх (к)(у(к +1) - БЛ(к)х(к) - Б/(к)) , (37)

где матрица Кх (к) определяет коэффициенты передачи фильтра Калмана. При моделировании используем

(01 Р =Г1,0 01 ,0 ] , Л { 0 1,0 ].

/ =

(38)

Применение расширенного фильтра Калмана [1] для данного примера (в этом случае уравнение (1) расширяется путем добавления уравнения /(к+1) = /(к)) приводит к необходимости построения фильтра Калмана для дискретной системы со следующими матрицами динамики, канала наблюдений и интенсивностей аддитивных возмущений:

( Л (к) К21 ( (б 01

0 Е2

0 0

(39)

Использование в данном примере методов, описанных в работах [4, 5, 8, 9], невозможно в силу невыполнения условий существования оптимальных оценок неизвестного входного вектора [4, 5, 8, 9]:

п > т и I > т . (40)

В [4, 5, 8, 9] неизвестное возмущение определяется в виде / = Ой, где й - неизвестный т-мерный вектор, О - п х т -известная матрица. В рассмотренном примере О = Е2, п = 2, т = 2, I = 1, а это означает, что условия (40) не выполняются.

Применение алгоритма фильтрации исследовалось также для неизвестного переменного возмущения с тремя возможными значениями компонент вектора /:

1, если 0 < к < 9,

/1(к) = /2(к) = < -1, если 9 < к < 25,

1, если 25 < к < 50.

На рис. 1 приведены реализации процессов и их оценок для трех сравниваемых фильтров. Отметим, что при реализации алгоритма фильтрации (25), начальные значения К1(-1) и К2(-1) задавались нулевые.

-10

0

10

20

30

40

-10

к 0

10

20

30

40

к

Рис. 1. Реализации процессов и оценок (1 - реализация х(к); 2 - оценка, построенная по алгоритму (25); 3 - оценка, построенная по двухэтапному алгоритму; 4 - оценка для расширенного фильтра Калмана)

На рис. 2 приведены ошибки оценивания компонент вектора состояния.

Рис. 2. Графики ошибок фильтрации (1 - ошибка для оценки, построенной по алгоритму (25); 2 - ошибка для оценки, построенной по двухэтапному алгоритму; 3 - ошибка для расширенного фильтра Калмана)

Как видно из рисунков для рассмотренного примера, качество оценок, полученных с помощью фильтра (25), лучше, чем для двухэтапного алгоритма фильтрации и расширенного фильтра Калмана, использующих оценки неизвестного возмущения. Отметим также, что для алгоритма фильтрации (25) не нужно задавать априорную информацию о характеристиках распределения начальных значений 7 и Р/0 .

Ниже, в таблице, приведены средние значения среднеквадратических ошибок оценивания для трех рассматриваемых методов, рассчитанных по 50 реализациям. Как видно из таблицы, предложенный метод фильтрации (25) обеспечивает среднюю ошибку в 3 - 4 раза меньшую, чем другие методы.

Средние значения среднеквадратических ошибок для компонент вектора состояния

Алгоритм (25) Двухэтапный алгоритм Расширенный фильтр Калмана

е1>Ср = 0,0912 е1,ср = 0,3128 Єі,ср = 0,4103

Є2,ср = 0,0945 е2,ср = 0,2917 е2,ср = 0,4296

Заключение

Разработан алгоритм синтеза дискретного оптимального нестационарного фильтра для объекта, возмущения которого содержат неизвестную постоянную составляющую. Алгоритм построен на основе расширения пространства состояния и исключения из модели неизвестной составляющей. В отличие от классического фильтра Калмана, предложенный фильтр использует рекуррентные оценки, построенные на двух предыдущих тактах. Как показали результаты вычислительного эксперимента, алгоритм может быть применен для кусочно-постоянной неизвестной аддитивной составляющей возмущений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Astrom K., EykhoffP. System identification. A survey // Automatica. 1971. V. 7. P. 123-162.

2. FriedlandB. Treatment of bias in recursive filtering // IEEE Trans. on Automat. Contr. 1969. V. AC-14. P. 359-367.

3. Chen J., Patton R. J. Optimal filtering and robust fault diagnosis of stochastic systems with unknown disturbances // IEE Proc. Control Theory Appl. 1996. V. 143. P. 31-36.

4. Darouach M., Zasadzinski M. Unbiased minimum variance estimation for systems with unknown exogenous inputs // Automatica. 1997. V. 33. P. 717-719.

5. Darouach M., Zasadzinski M., Xu S. J. Full-order observers for linear systems with unknown inputs // IEEE Trans. on Automat. Contr. 1999. V. AC-39. P. 606.

6. Gillijns S., Moor B. Unbiased minimum-variance input and state estimation for linear discrete-time systems // Automatica. 2007. V. 43. P. 111-116.

7. Hou M., Patton R. Optimal filtering for systems with unknown inputs // IEEE Trans. on Automat. Contr. 1998. V. AC-43. P. 445-449.

8. Hsieh C.-S. A unified solution to unbiased minimum-variance estimation for systems with unknown inputs // Proc.17th World Congress The International Federation of Automatic Control. Seoul. Korea. July 6 - 11, 2008. P. 14502-14509.

9. Hsieh C.-S. Robust two-stage Kalman filters for systems with unknown inputs // IEEE Trans. on Automat. Contr. 2000. V. AC-45. P. 2374-2378.

10. Hsieh C.-S. Extension of the optimal unbiased minimum-variance filter for systems with unknown inputs // Proc. 15th IEEE International Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems. Tokushima. Japan. 2007. P. 217-220.

11. Hsieh C.-S. Robust parameterized minimum variance filtering for uncertain systems with unknown inputs // Proc. American control conference. New York. 2007. P. 5118-5123.

12. Kalman R.E., Busy R. A new results in linear filtering and prediction theory // Trans. ASME J. Basic Engr. 1961. V. 83. P. 95-108.

13. Браммер К., ЗиффлингГ. Фильтр Калмана - Бьюси. М.: Наука, 1972. 200 с.

14. Пугачев В.С., Синицин И.Н. Стохастические дифференциальные уравнения М.: Наука, 1990. 630 с.

15. Смагин С.В. Фильтрация в линейных дискретных системах с неизвестными возмущениями // Автометрия. 2009. Т. 45. № 6. C. 29-37.

16. Амосов А.А., Колпаков В.В. Скалярно-матричное дифференцирование и его применение к конструктивным задачам теории связи // Проблемы передачи информации. 1972. № 1. С. 3-15.

Смагин Валерий Иванович

Смагин Сергей Валерьевич

Томский государственный университет

E-mail: [email protected]; [email protected] Поступила в редакцию 6 декабря 2010 г.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.