Локально-оптимальное управление дискретными системами с запаздыванием в канале управления при неполной информации о состоянии и возмущениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2016 Управление, вычислительная техника и информатика № 1 (34)

УДК 681.5.01:62-50 DOI: 10.17223/19988605/34/2

К.С. Ким, В.И. Смагин

ЛОКАЛЬНО-ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ДИСКРЕТНЫМИ СИСТЕМАМИ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В КАНАЛЕ УПРАВЛЕНИЯ ПРИ НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИИ

О СОСТОЯНИИ И ВОЗМУЩЕНИЯХ

Работа выполнена в рамках государственного заказа Минобрнауки РФ на проведение научных исследований в Национальном исследовательском Томском государственном университете на 2014-2016 годы.

Рассматривается решение задачи управления в условиях неполной информации о состоянии объекта и модели возмущений с учетом запаздывания по управлению. Предполагается, что модель, описывающая возмущение, действующее на объект, содержит неизвестные параметры. Для определения оптимального управления используется метод локально-оптимального слежения, реализованный с использованием алгоритмов калмановской фильтрации и экстраполяции с неизвестным входом.

Ключевые слова: дискретные системы; локальный критерий; запаздывание по управлению; неполная информация.

Локально-оптимальные дискретные системы управления являются частным случаем дискретного прогнозирующего управления (Model predictive control) с прогнозом на один такт. Задачи управления для объектов с запаздываниями в канале управления исследовались в работах [1-7]. В [1-4] рассматривались задачи управления на основе метода расширения пространства состояний. В работах [5-7] изучались задачи синтеза управлений для объектов с запаздыванием в канале управления и с неполной информацией о возмущениях. В [5, 6] эта задача решалась на основе принципов адаптации, при этом в [6] модель объекта задавалась в непрерывном времени. В работе [7] рассматривалась задача синтеза управления в дискретных стохастических системах с использованием методов калмановской фильтрации с учетом оценок неизвестного входа (возмущений).

В настоящей работе решается задача управления в условиях неполной информации о состоянии объекта с запаздыванием по управлению при косвенных наблюдениях за возмущениями. Предполагается, что модель возмущений содержит неопределенные параметры.

1. Постановка задачи

Модель объекта с запаздыванием по управлению описывается дискретным уравнением

x(k +1) = Ax(k) + Bu(k - h) + Fs(k),

x(0) = X0, u(j) = yr(j), j = -h,-h +1,...,(1) где x(k) e Rn - вектор состояния; u(k - h) e Rm - вектор управления; h - количество тактов запаздывания; s(k) e Rn1 - вектор возмущений, y(j) (j = -h,-h +1,...,-1) - заданный вектор; A,B,F - заданные постоянные матрицы. Предполагается, что наблюдению доступен вектор wx (k) e R1 :

Wx (k) = HxX(k) + Tx (k), (2)

где Hx - матрица канала наблюдений, xx (k) - гауссовская случайная последовательность.

Модель возмущений содержит неизвестные переменные параметры и определяется следующим разностным уравнением:

s(k +1) = (R(k) + M(k))s(k) + f (k) + Af (k) + q(k) , s(0) = S0, (3)

где Я(к) - известная матрица, /(к)- известный вектор, АЯ(к) и А/(к) - некоторые неизвестные матрица и вектор, которые можно интерпретировать как ошибки определения параметров модели (3). Модель (3) представим как динамическую модель с неизвестным входом

s(k +1) = Я(к)я (к) + /(к) + г (к) + д(к), 5 (0) = 50, (4)

где г (к) = АЯ(к)я(к) + А/(к) - вектор неизвестного входа.

Косвенные наблюдения за вектором возмущений описываются следующим соотношением:

ш(к) = Ф5 (к) + т(к), (5)

где ю(к) е Я"1 - вектор наблюдений; Ф - т1х«-матрица; т(к) - случайные ошибки наблюдений. В (1) и

(3) х0, 50 - случайные векторы начальных условий, независимые от д(к), т(к) и тх(к) (М{ х0} = х0,

М{( Х0 - Х0)( Х0 - Х0)Т} = Р0, М{ 50} = 50, М{(50 - 50)(50 - 50 )Т} = р0); я(к), т(к), Тх(к) - независимые

гауссовские случайные последовательности с характеристиками:

М{ д(к) } = 0, М{ т(к) } = 0, М{ тх(к) } = 0,

М{ д(к)дт(,)} = ^, М{т(к)т(,)т} = 15,,., М{Тх(к)тх(,)т } = Тх5„,, (6)

5^ - символ Кронекера, Т - символ операции транспонирования.

Требуется построить такое управление, чтобы вектор выхода системы ^(к) е Я"1, ^(к) = Нх(к) отслеживал значение заданного вектора г(к) е Я "1.

2. Синтез локально-оптимального управления

Сначала определим управление, отслеживающее заданный вектор г(к). Предположим, что все компоненты вектора х(к) и 5(к) измеряются точно. Тогда оптимизируемый локальный критерий будет иметь вид

I(к) = М{(м>(к +1) - г(к))т С(м>(к +1) - г(к)) + ит (к - к)Би(к - к)/50к,Х0к}, (7)

где С > 0, В > 0 - весовые матрицы; г(к) - заданный отслеживаемый вектор; 5"0к = {5(0),5(1),...,5(к)}, X 0к = {х(0), х (1),..., х (к)}.

Вычислим значение критерия (7):

I(к) = и т (к - к)(ВтНтСНВ + В)и (к - к) + и т (к - к)ВтНтС(НАх(к) +

+Н^(к) - г (к)) + (НАх (к) + Н^(к) - г (к ))т СНВи (к - к). (8)

Оптимальное управление определим из условия

Д(к) = 0. (9)

ёи(к - к)

Тогда, в силу (9), получим уравнение

(ВтНтСНВ + В)и(к - к) + ВтНтС(НАх(к) + Нй(к) - г(к)) = 0. (10)

Выражая и(к - к) из (10), получаем управление в следующем виде:

и(к - к) = -(ВтНтСНВ + В)-1 ВтНтС(НАх(к) + Нй(к) - г(к)). (11)

Далее, учитывая (1), имеем равенства

х(к) = Ах(к -1) + Ви(к - к -1) + й(к -1),

х(к -1) = Ах(к -1) + Ви(к - к -1) + й(к -1),

х(к - к +1) = Ах(к - к) + Ви(к - 1к) + й(к - к). (11)

Тогда для вычисления вектора х(к) из системы (11) получим следующую формулу:

х(к) = Акх(к - к) + ]Г А'-1 Ви (к - к -') + ]Г А'-1^5(к - '). (13)

Учитывая (13), локально-оптимальное управление (11) представим в виде

и(к - к) = -(ВТ НТСНВ + Б)1 ВТНТС(ИЛк+1 х(к - к) + к к +£НЛ'Ви(к - к - О + £НЛ^£(к -1) - z(k)). (14)

1=1 1=0

Управление (14) формируется в момент времени к - к , и для его реализации необходимо знать состояние х(к - к), возмущение s(k - к) и прошлые значения управлений и(к - к - 1), а также необходимо вычислять прогноз возмущений для моментов времени к, к - 1,..., к - к + 1.

Построим управление для случая неполной информации об аддитивном возмущении и о состоянии объекта х(-). Управление в этом случае определим на основе принципа разделения, используя оценки фильтрации компонент х(-) и и оценки прогноза для вектора . В результате для текущего времени (к - к) получим

к

и(к - к) = -(ВтНТСНВ + Б)-1 ВтНТС(НЛк+1 Ху (к - к) + £НЛ1Ви(к - к -1) +

1=1

к-1

+HЛкFsf (к - к) + £р (к -1) - г(к)), (15)

1=0

где £ г (к - к) и Х, (к - к) - оценки фильтрации, которые определяются с помощью алгоритма оптималь-

ной калмановской фильтрации:

sf (к - h) = R(k - h -1)sf (k - h -1) + f (k) + r(k - h -1) + Kf (k - h)[o(k - h) -

-Ф(Я(к - h-1)sf (k - h-1) + f (k) + r(k - h-1))], sf (0) = s0, (16)

Kf (k - h) = P(k - h / k - h - 1)ФТ (ФР(к - h / к - h - 1)ФТ+ T)-1, (17)

P(k - h / k - h -1) = R(k - h -1)P(k - h - 1)R(k - h -1)T+ Q, (18)

P(k-h) = -Kf (k-h)Ф)P(k-h/k-h-1), P(0) = PSo. (19)

xf (k - h) = Axf (k - h -1) + Bu (k - 2h -1) + Fsf (k - h -1) + rx (k - h -1) + Kx (k - h)[w(k - h) -

-Hx (Axf (k - h -1) + Bu(k - 2h -1) + Fsf (k - h -1) + rx (k - h -1))], x(0) = x0, (20)

Kx (k - h) = Px (k - h / k - h -1) H T (HPx (k - h / k - h -1) H T + Tx )-1, (21)

Px(k - h/k -h -1) = APx(k - h -1)AT, (22)

Px (k - h) = (E^- Kx (k - h)H)Px (k - h / k - h -1), P (0) = P,, (23)

где Ещ - единичная матрица размерности щ. В (19) введена оценка вектора неизвестного входа гх(к); так как в исходной модели (1) £(к) точно не наблюдается, то введение в модели (1) аддитивного неизвестного вектора (вектора ошибок) гх (к) и последующая его оценка позволят обеспечить компенсацию ошибок, возникающих в модели объекта (1) из-за использования оценок £(к) при формировании управления. При определении управления (14) требуется вычислять также оценки и в моменты, большие, чем (к - к) (оценки прогноза), поэтому здесь воспользуемся экстраполятором, который позволит найти оценку возмущения с прогнозом на один такт £р (к - к +1):

£р (к - к +1) = Я(к - к)£р (к - к) + / (к - к) + г(к - к) +

+Кр (к - к)(ш(к - к) - Ф§р (к - к)), §р (0) = £0, (24)

Кр (к - к) = Я(к - к)Рр (к - к)ФТ (ФРр (к - к)ФТ + Т)-1, (25)

Рр (к - к +1) = (Я(к - к) - Кр (к - к)Ф)Рр (к - к)(Р(к - к) - Кр (к - к)Ф)Т +

+б + Кр (к - к)ТКТ (к - к), Рр (0) = р0 , (26)

а оценки 5р (к - к + ,) для , > 1 определятся по формулам

$р (к - к + ,) = Я(к - к + , -1)5^ (к - к + , -1) + /(к - к + , -1) + г(к - к + , -1). (17)

В (16) и (14) оценка г() вычисляется по методу наименьших квадратов на основе минимизации критерия [8]:

•л=1 {{+1|г (' -1)£ (18)

'=1

где х(') = ©(') -Ф(Я(' -1)5/ (' -1) + /(' -1)), р = к - к -1, V > 0, Ж> 0 - весовые матрицы соответствующих размерностей, ||х(')|¡У = Хт (')Ух('). В этом случае оценка имеет вид

г (к - к -1) = [ФтУ Ф + Ж ]-1 ФтУ {га( к - к) - Ф[Я (к - к -1) 5 (к - к -1) + / (к - к -1)]}, (19) которая учитывается при определении оценок 5/ и 5р, вычисляемых по формулам (16), (14).

Отметим, что в (14) используется оценка г(к - к), которая вычисляется по оценке (19) с использованием прогноза на один такт, здесь можно воспользоваться, например, методами прогнозирования временных рядов.

По аналогии с (19) находится оценка неизвестного входа гх (к), минимизируя следующий критерий:

•=!{{ (€х +1Г (' - €х (30)

'=1

где хх (') = м/х (') -Ф(Ах(' -1) + Ви(' - к -1) + М/ (' -1)), Ух > 0, Жх > 0 - весовые матрицы, получим оценку

г (к - к -1) = £ [м>х (к - к) - Нх (Ахс/ (к - к -1) + Ви(к - 1к -1) + (к - к -1)], (31)

5 = (НТУН + Ж)-1 НГУ .

Л: ^дгдгд: Л: ^ ХХ

Отметим, что для построения оценок неизвестных входов можно также использовать методы, предложенные в работах [9-11].

3. Результаты моделирования

Рассмотрим модель объекта для следующих исходных данных: (0,75 0 ^ ( 0 1 ^

А =

0,1 0,79

, Я(к) = Я =

V 0,1 0,6 ,

б = ^{0,05 0,01}, т = diag{0,04 0,06},

В = Н = М = С = У = Р0 = Ух = Е2, В = Ж = Жх = 0, г = (10 17)т ,

'0,4, если 0 < к < 10, Г 0,4,

/1(к) = <{-0,4, если 10 < к < 10, /1(к) = \ -0,4, 0,4, если 10 < к < 30, [ 0,4,

Алгоритм управления исследовался для следующей матрицы АЯ и компонент вектора А/ (к):

0,1sin(k) + 0,1, если 0 < к < 10,

если 0 < к < 10, если 10 < к < 10, если 10 < к < 30.

АЯ(к) = АЯ =

( 0 0,03^

V0,04 0,05,

А/1(к) =

, А/1(к) = <{ 0,Ып(к) + 0,1, 0,1sin(k) - 0,1,

0,Ып(к) - 0,1, если 0 < к < 10, 0,Ып(к) + 0,1, если 10 < к < 10, 0,Ып(к) - 0,1, если 10 < к < 30.

если 10 < к < 10, если 10 < к < 30,

Рис. 1. Компоненты вектора состояния: 1 - компоненты отслеживаемого вектора; 2 - компоненты вектора состояния для управления (14)-(25); 3 - компоненты вектора состояния для управления (14), когда в фильтрах (14)-(25)

не используются оценки неизвестных входов

Рис. 2. Компоненты вектора управления: 1 - компоненты вектора управления для алгоритма, использующего оценки неизвестных входов (14)-(25); 2 - компоненты вектора управления для алгоритма (14), не использующего оценки неизвестных входов

Результаты моделирования показали, что исключение оценок неизвестных входов в используемых алгоритмах фильтрации и экстраполяции приводит к значительному снижению точности слежения или к срыву слежения.

Заключение

Предложен алгоритм локально-оптимального управления для дискретной стохастической системы с запаздыванием по управлению, функционирующей в условиях неполной информации о модели возмущений и компонентах вектора состояния. Показано, что применение в алгоритмах фильтрации и экстраполяции с учетом оценок неизвестного входа приводит к повышению точности отслеживания компонент заданного вектора.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дегтярев Г. Л., Ризаев И.С. Синтез локально-оптимальных алгоритмов управления летательными аппаратами. М. : Машино-

строение, 1991. 304 с.

2. Mohammad S., Modarres S., Karbassi S.M. Time-optimal control of discrete-time linear systems with state and input time-delays //

Int. Journal of Innovative Computing, Information and Control. 2009. Vol. 5, No. 9. P. 2619-2625.

3. Tehrani H.A., Ramroodi N. Eigenvalue assignment of discrete-time linear systems with state and input time-delays // AIJ-MISC.

2013. Vol. 45, No. 2. P. 23-30.

4. Киселева М.Ю., Смагин В.И. Управление с прогнозирующей моделью с учетом запаздывания по управлению // Вестник

Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. № 2 (11). С. 5-12.

5. Смагин В.И., Смагин С.В. Адаптивное управление запасами с учетом ограничений и транспортных запаздываний // Вестник

Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2008. № 3 (4). C. 19-26.

6. Пыркин А.А. Адаптивный алгоритм компенсации параметрически неопределенного смещенного гармонического возмуще-

ния для линейного объекта с запаздыванием в канале управления // Автоматика и телемеханика. 2010. № 8. С. 62-78.

7. Kiseleva M.Yu., Smagin V.I. Model predictive control for linear discrete-time systems with time delays and unknown input // Com-

munications in Computer and Information Science (CCIS-487). Springer International Publishing Switzerland, 2014. P. 181-188.

8. Janczak D., Grishin Yu. State estimation of linear dynamic system with unknown input and uncertain observation using dynamic

programming // Control and Cybernetics. 2006. No. 4. P. 851-862.

9. Hsieh C.-S. On the optimality of two-stage Kalman filtering for systems with unknown inputs // Asian Journal of Control. 2010.

No. 4. P. 510-523.

10. Witczak M. Fault diagnosis and fault-tolerant control strategies for non-linear systems. Chapter 2. Unknown input observers and filters // Lecture Notes in Electrical Engineering. Springer International Publishing, Switzerland, 2014. P. 19-56.

11. Смагин В.И., Смагин С.В. Фильтрация в линейных дискретных нестационарных системах с неизвестными возмущениями // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2011. № 3 (16). С. 43-51.

12. Смагин В.И. Оценивание состояний нестационарных дискретных систем при неизвестном входе с использованием компенсаций // Изв. вузов. Физика. 2015. Т. 58, № 7. С. 122-127.

Ким Константин Станиславович. E-mail: [email protected]

Смагин Валерий Иванович, д-р техн. наук, профессор. E-mail: [email protected]

Томский государственный университет

Поступила в редакцию 2 ноября 2015 г.

Kim Konstantin S., Smagin Valéry I. (Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation).

Locally-optimal control of discrete delayed control systems with incomplete information about state and perturbations. Keywords: discrete system; local criteria; delayed control; incomplete information.

DOI: 10.17223/19988605/34/2

Model of object with delayed control is described by equation

x(k +1) = Ax(k) + Bu(k - h) + Fs(k),

x(0) = X0, u(j) = y(j), j = -h,-h +1,...,-1,

where x(k) e Rn is the state vector, u(k - h) e Rm is the control vector, h is the time delay, s(k) e Rn is the perturbation vector,

x0 and i//( j) ( j = -h, - h + 1,...,-1) are initial vector and initial function, А, В, and F are constant matrices. It is assumed that the

observable vector wx (k ) e Rl, and

wx (k ) = Hxx(k ) + tx (k ), where Hx is the matrix of channel of observations, xx (k) is the Gaussian random sequence. The perturbation model contains unknown parameters and is determined by the equation

s(k +1) = (R(k) + M(k))s(k) + f (k) + Д/(k) + q(k), s(0) = s0,

where R(k) is the known matrix, fk) is the known vector, ¿R(k) and Д/(k) are some unknown matrix and vector, s0 is the random vector of initial conditions independent of q(k), x(k) and xx (k); q(k), x(k), xx (k) are independent Gaussian random sequences with the known characteristics.

Indirect observations of the vector perturbations are described by the model

<B(k ) = ®s(k ) + x(k ),

where ra(k) e Rm1 is the vector of observations, Ф is m¡ x n-matrix, x(k) are random errors of observations. To solve the problem, we use the approach which is based on optimization of local criteria

I (k ) = M {(w(k +1) - z (k ))T C (w(k +1) - z (k )) + u T (k - h) Du(k - h)},

where w(k) = Hx(k) is the controlled output of the system, C = CT > 0 and D = DT > 0 are weight matrices, z(k) e Rn is the tracking vector. The control is realized on the base of the Kalman filtering and extrapolation with considering the unknown input.

REFERENCES

1. Degtyarev, G.L. & Rizaev, I.S. (1991) Sintez lokal'no-optimal'nykh algoritmov upravleniya letatel'nymi apparatami [Synthesis of locally optimal algorithms for flight vehicle control]. Moscow: Mashinostroenie.

2. Mohammad, S., Modarres, S. & Karbassi, S.M. (2009) Time-optimal control of discrete-time linear systems with state and input time-

delays. Int. Journal of Innovative Computing, Information and Control. 5(9). pp. 2619-2625.

3. Tehrani, H.A. & Ramroodi, N. (2013) Eigenvalue assignment of discrete-time linear systems with state and input time-delays. AIJ-

MISC. 45(2). pp. 23-30.

4. Kiseleva, M.Yu. & Smagin, V.I. (2010) Model predictive control with time-delay in control input. Vestnik Tomskogo gosudarstven-

nogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 2(11). pp. 5-12. (In Russian).

5. Smagin, V.I. & Smagin, S.V. (2008) Adaptive Inventory Control with Restrictions and Transport Delays. Vestnik Tomskogo gosudar-

stvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 3(4). pp. 19-26. (In Russian)

6. Pyrkin, A.A. (2010) Adaptive algorithm to compensate parametrically uncertain biased disturbance of a linear plant with delay in the

control channel. Automation and Remote Control. 71(8). pp. 1562-1577. DOI: 10.1134/S0005117910080060

7. Kiseleva, M.Yu. & Smagin, V.I. (2014) Model predictive control for linear discrete-time systems with time delays and unknown in-

put. Communications in Computer and Information Science (CCIS-487). Springer International Publishing Switzerland. pp. 181188.

8. Janczak, D. & Grishin, Yu. (2006) State estimation of linear dynamic system with unknown input and uncertain observation using

dynamic programming. Control and Cybernetics. 4. pp. 851-862.

9. Hsieh, C-S. (2010) On the optimality of two-stage Kalman filtering for systems with unknown inputs. Asian Journal of Control. 4. pp.

510-523. DOI: 10.1002/asjc.205

10. Witczak, M. (2014) Fault diagnosis and fault-tolerant control strategies for non-linear systems. Springer International Publishing, Switzerland. pp. 19-56.

11. Smagin, V.I. & Smagin, S.V. (2011) Filtering for linear not stationary discrete system with unknown disturbances. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 3(16). pp. 43-51. (In Russian).

12. Smagin, V.I. (2015) State estimation for nonstationary discrete systems with unknown input using compensations. Russian Physics Journal. 58(7). pp. 122-127. (In Russian).