Локально-оптимальное управление по выходу для дискретных объектов с запаздыванием по состоянию Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2014 Управление, вычислительная техника и информатика № 1 (26)

УПРАВЛЕНИЕ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

УДК 519.2

О.О. Мухина, В.И. Смагин

ЛОКАЛЬНО-ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПО ВЫХОДУ ДЛЯ ДИСКРЕТНЫХ ОБЪЕКТОВ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ПО СОСТОЯНИЮ

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта (№ 13-08-01015 А).

Рассматривается задача локально-оптимального управления по наблюдаемому выходу для дискретных

объектов с запаздыванием по состоянию. Для ее решения предлагаются алгоритмы, в основе которых

лежит оптимизация локального критерия без использования расширения пространства состояний.

Управление определяется как функция измеряемых переменных с памятью и отслеживаемого сигнала.

Исследуется асимптотическое поведение замкнутой системы.

Ключевые слова: управление по выходу; локально-оптимальное слежение; запаздывание по состоянию.

Локально-оптимальные дискретные системы управления являются частным случаем дискретного прогнозирующего управления (Model predictive control) с прогнозом на 1 такт. Основным достоинством метода локально-оптимального управления является существенное упрощение процедуры синтеза. Область применения метода MPC и, соответственно, метода локально-оптимального управления охватывает задачи управления техническими системами, производственными системами, управление запасами и финансовую математику [1-13].

Результаты настоящей работы обобщают [14] на случай управления по выходу объектом с запаздыванием по состоянию. В статье [15] рассмотрена близкая задача для управления объектом с запаздыванием по состоянию при точном измерении компонент вектора состояния с использованием квадратичного критерия. В работе [1] рассмотрена задача синтеза системы управления с учетом запаздываний по управлению для дискретных объектов, которая решается на основе преобразования модели с запаздываниями к расширенной модели без запаздываний, что приводит к значительному увеличению размерности задачи при больших задержках и тем самым к дополнительным вычислительным затратам.

В данном исследовании предлагается осуществлять синтез следящих систем управления по выходу на основе оптимизации локального критерия, при косвенных измерениях для дискретных объектов с запаздываниями по состоянию. Управление определяется как функция измеряемых переменных и отслеживаемого сигнала. Исследуется асимптотическое поведение системы, строятся оценки для асимптотической точности слежения.

1. Постановка задачи

Пусть управляемый объект с запаздыванием по состоянию описывается разностным уравнением

x(k +1) = Ax(k) + A1 x(k - h) + Bu (k) + q(k), x(x) = ф(т), x = -h, 1 -h, 2 -h,...,0; k = 0,1,2,..., (1)

модель канала измерений имеет вид

y (k) = Sx(k) + v(k). (2)

В (1), (2) x(k)eRn - вектор состояний; h > 0 - величина временного запаздывания (целое число);

u(k)eRm - управление; y(k)eRl - вектор измерений; A,A1,B - матрицы соответствующих размер-

ностей; S - матрица канала наблюдения; х0 - начальные условия (М{х0 х^ } = Р^); ^(к) - гауссовская случайная последовательность входных возмущений; у(к) - гауссовская случайная последовательность ошибок измерений с характеристиками: М{д(к)} = 0, М{у(к)} = 0, М{д(к )ут (у)} = 0,

М{д(к)дт(у)} = 6(^5^, М{у(к)ут(у)} = V(к)5к] (5,. - символ Кронекера), б(к) = £т(к) > 0, V(к) =

= Vт (к) > 0 - неотрицательно определенные матрицы).

Оптимизируемый локальный критерий имеет вид

I (к) = М{(У(к +1) - і(к))Т С (м/(к +1) - г (к)) + и т (к )Би (к)}, (3)

где ^(к) = Нх(к) - управляемый выход системы (Н - матрица выхода системы); С = Ст > 0 и Б = Бт > 0 - весовые матрицы; і(к) є Я" - отслеживаемый вектор, удовлетворяющий уравнению

г(к +1) = Рг(к) + (к), г(0) = г0, к = 0,1,2,.... (4)

В (4) (к) - гауссовская случайная последовательность с характеристиками М{дг(к)} = 0,

М{4г (к )Чт С0} = 0, М{4г (к У (у)} = 0, М{дг (к)дгт (у)} = (к)5к., г0 - начальные условия

(М{г0} = Р М{г0х^} = Р Х0, М{х0} = РХ0 ), Р - матрица динамики модели отслеживаемого сигнала.

2. Оптимизация локального критерия

Управление объектом (1) при измерениях (2) определим в параметрическом виде

и(к) = К (к) у(к) + Кг (к) у(к - к) + К3 (к) г (к), (5)

где коэффициенты передачи К1(к), К2(к), К3(к) подлежат определению.

Решение задачи сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема 1. Если для объекта (1), канала измерений (2) и локального критерия (3) матрицы

С = (ВтНтСНВ + Б) > 0,

5Рх (к)£т+ V(k) 5Рх (к - к, к)£т РХ (к)£т

Р(к) = SPx (к, к - к)5т 5Рх (к - к)5т+ V(к - к) Р^ (к, к - к)5т ЗР„(к) 5Рхг(к - к,к) Рг(к)

> 0 (6)

положительно определены для всех к = 1,2,..., тогда оптимальные в смысле минимума критерия (3) коэффициенты передачи для управления (5) определяются по формулам

К* (к) = аК2 (к) + ЬК3 (к) + с, (7)

К3* (к) = [ К3 (к )(Ьй + е) + сй + / ][ Е - ай ], (8)

К3* (к) = [(сй + /)(Е - ай )-1 (ag + п) + cg + да][(1 - Ьg) - (Ьй + е)( Е - ай )_1 (аg + и)]-1, (9)

где Е - единичная матрица, а = -8Рх (к -к, к )Бт [£Рх (к )Бт + V (к )]-1, Ь = -Р х (к )Бт [ 8Рх (к) £т + V (к )]-1, с = -С-1ВтНтС[НАРх (к) + НА1Рх (к - к, к) - Рх (к)]£т [БРх (к)£т + V(к)]-1, й = -БРх (к, к - к)£т [БРх (к - Н)Бт + V(к - к)]-1, е = -Рх (к, к - к)£т [£Рх (к - Н)Бт + V(к - к)]-1,

/ = -С-1ВтНтС[НАР] (к - к, к) + НА1Рх (к - к) - Рх (к, к - к)]£т [£Рх (к - Н)Бт + V(к - к)]-1, g = -£Р„ (к)Рг-1 (к), п = -£Р„ (к - к, к)Рг-1 (к), да = -С-1ВтНтС[НАРхг (к) + НЛ1Рх2 (к - к, к) - Рг (к)]Рг-1 (к). (10)

В (10) введены обозначения: Рг(к) = М{,(к)гт(к)}, Рх(к) = М{х(к)хт(к)}, Рх(к,г) = Рт(г,к) =

= М{,(к)хт (г)}, Р„ (к, г) = Р1 (г, к) = М{х(к)гт (г)}, Р„ (к) = Р* (к) = М{х(к)гт (к)}, Рх (к, г) = = М{х(к) хт (г)}, Рх (к) = Рхт (к) = М{, (к) хт (к)}, которые определяются системой разностных матричных уравнений с запаздываниями.

Доказательство. Для вычисления локального критерия получим уравнение состояния путем подстановки (5) в (1), в результате получим

х(к +1) = Ах(к) + Л1 х(к - к) + Ви(к) + q(k) = Ах(к) + Л1 х(к - к) +

+ВК1(к)£х(к) + ВК1(к)у(к) + ВК2(к)£х(к - к) + ВК2(к)у(к - к) + ВК3(к)г(к) + д(к). (11)

Учитывая (1), (2), (4) и (5), вычислим значение локального критерия (3):

I (к) = М{(^(к +1) - г(к))т С (м>(к +1) - ,(к)) + ит (к)Би(к)} =

= /гЛт Н тС(НЛ + НВК1 (к )£ )Рх (к) +

+/г£т К1т (к) ВтС( НА + НВК1 (к )£) Рх (к) + т К1т (к) БК1 (к) £Рх (к) +

+?гАтНтС(НА + НВК2 (к)£)Рх (к - к, к) + ?г£тК1т (к)ВтНтС(НА + НВК2 (к)£)Рх (к - к, к) +

+/г£тК1т (к)£>К2 (к)£Рх (к - к, к) + /гАтНтС(НВК3 (к) - Е)Р (к) +

+/г£ т К1т (к) Вт Н тС( НВК3 (к) - Е) Ргх (к) +

+?г£т К1т (к)БК3 (к)Р^ (к) + ?гДт Н тС (НА + НВК1 (к) £)Рх (к, к - к) +

+?г£тК2т (к)ВтНтС(НА + НВК1 (к)£)Рх (к, к - к) + ?г£тК2т (к)БК1£Рх (к, к - к) +

+ПГРтС(Н^ + НВК2(к)£)Рх(к - к) + ?г£тК2т (к)ВтНтС(НА +

+НВК2 (к)£)Рх (к - к) + ?г£тК2т (к)БК2БРх (к - к) + ?гА1тНтС(НВК3 (к) - Е)Ргх (к, к - к) +

+К8тК2т (к)ВтНтС(НВК3 (к) - Е)Ргх (к, к - к) + ?г£тК2т (к)БК3 (к)Р^ (к, к - к) +

+?гК3т Вт Н тС (НВК1 (к)£ + РА)Рхг (к) - ^С (НА + НВК1 (к)£)Рхг (к) +

+?гК3т (к)БК1 (к)£Рхг (к) + ?гК3т (к)ВтНтС(НВК2 (к)£ + НА)Рхг (к - к, к) -ЧгС(НА1 + НВК2 (к)£)Рх2 (к - к, к) + /гК3т (к)БК2 (к)£Рхг (к - к, к) +

+?гК3т (к) Вт Н тС (РВК3 (к) - Е) Р2 (к) + ?гС (Е - НВК3 (к)) Рг (к) + К3т (к) БК3 (к) Р2 (к) +

+?гК1 (к)(ВтНтСНВ + Б)К1 (к V(к) + К2т (к)(ВтНтСНВ + Б)К2(к)V(к - к) + ШтСН£>(к). (12)

Входящие в (12) моменты Рх(I, у), Р2(I, у), Рх,(I, у), Р^(I, у) определяются следующими формулами:

Рх о+1 у+1)=А(оРх(i, у)Ат (у)+Д (оРх о- к, у)А(у)+Д(оРхо- к, у- к)Дт(у)+а ^ ух Рх(0)=р, , (13)

Рг(/ +1, у +1) = РР2(I, у)Рт + £(I, у)5,у, Рг(0) = Р, (14)

Рх (I +1, у +1) = РРх (I, у)-Ат + РРх (I, у - к)А1т+ РР (I, у)К3т (у)Вт,Р^ (0) = Рзд, (15)

Рх, (I +1, у +1) = -А (I) Рхг (I, у)Рт+ ДОР (I - к, у)Рт+ ВКъа)Р2 (I, у) Рт, Р„ (0) = Р^. (16)

В (13)-(16) введены обозначения:

А(I) = А + ВК* (I)£, А (I) = А + ВК2 0)5, А(у) = А + ВК* (у)£, Д (у) = А1 + ВК* (у)£,

61 (I, у) = ес, у)5,у + ВК3* (I)Р,х(I, у)Ат (у)+А(I)РХ2 (I, у)К3*т (у)Вт + ВК* (I)Р,х (I, у - к)Ат (у) +

+А (I)Рх, (I - к, у)К*т (у)Вт + ВК* (I)Рг (I, у)К*т (у)Вт +

+BK;(I)V(I, у)К*т (у)Вт + ВК^УО - к, у - к)К2т (у)Вт. (17)

Полученный результат (12) можно переписать в виде

I (к) = ггР1 (к)Рх (к) + 1гР2 (к)Рх (к - к, к) + КР3 (к)Рх (к) + КР4 (к)Рх (к, к - к) + ^гР5 (к)Рхг (к) +

+ггР6 (к)Рх (к - к) + 1тРп (к)Р (к, к - к) + Р8 (к)Рхг (к - к, к) + Р9 (к)Р (к) +

+?гК1т (к)СК1 (к) V(к) + ?гК2т (к)СК2 (к) V(к - к) + &ИтСИ£)(к), (18)

где:

Р (к) = (А + ДК1 (к )£ )т И тСИ (А + 5К1 (к )£) + £т К1т (к) ДК1 (к) 5,

Р2 (к) = (А + ДК1 (к )£ )т И тСИ (А + ВК2 (к) £) + £т К1т (к) БК2 (к )£,

Р3 (к) = (А + ДК1 (к)£)т И тСИ(РВК3 (к) - Е) + £тК1т (к)БК3 (к),

Р4 (к) = (А + ВК2 (к )£ )т И тСИ (А + ВК1 (к )£) + £т К2т (к )БК1 (к )£,

Р5 (к) = (РВК3 (к) - Е)т СИ (А + ВК1 (к )£) + К3т (к) ДК1 (к )£,

Р6 (к) = (А1 + ВК2 (к) £ )т И тСИ (А1 + ВК2 (к )£) + £т К2т (к) БК2 (к) £,

Р7 (к) = (А1 + ВК2 (к) £ )т И тС( ИВК3 (к) - Е) + £т К2т (к) БК3 (к),

Р8 (к) = (ИВК3 (к) - Е )т СИ (А1 + ВК2 (к )£) + К3т (к) БК2 (к) £,

Р9 (к) = (ИВК3 (к) - Е )т С (ИВК3 (к) - Е) + К3т (к) БК3 (к).

Вычислим значения градиентов критерия (18) по К1(к), К2(к) и К3(к), используя правила дифференцирования функции ^г от произведения матриц по матричному аргументу [16] и приравняв их к нулю, получим уравнения, решения которых несложно представить в следующем виде:

К1 (к) = -С-1 (ВтИтСИАРх (к)£т + СК2 (к)£Рх (к - к, к)£т + СК3 (к)Рх (к)£т +

+ВтИтСИАгРх (к - к, к)£т - ВтИтСРх (к)£т )(£Рх (к)£т + V(к))-1, (19)

К2 (к) = -С-1 (ВтИтСИ[АРх (к - к, к) + А1Рх (к - к)]£т + СК1 (к)£Рх (к, к - к)£т +

+СК3 (к)Р^ (к, к - к)£т - ВтИтСРх (к, к - к)£т )(£Рх (к - к)£т + V(к - к))-1, (20)

К3 (к) = -С-1 (С1К1 (к)£Рх2 (к) + СК2 (к)£Рхг (к - к, к)£т +

ВтИтС[АРХ1 (к) + АХРХ1 (к - к, к)] - ВтИТСР2 (к))Р-1 (к). (21)

Представим формулы (19)-(21) в виде следующих соотношений:

С[К1 (к)(£Рх (к)£т + V(к)) + К2 (к)£Рх (к - к, к)£т + К3 (к)Р^ (к)£т ] =

= -ВтИтС[ИАРх(к) + И4Рх(к-к,к)-Ргх(к)]£т , (22)

С[К1 (к)£Рх (к, к - к)£т + К2 (к)(£Рх (к - к)£т + V(к - к)) + К3 (к)Ргх (к, к - к)£т ] =

= -ВтИтС[ИАРх (к - к, к) + ИА1Рх (к - к) - Рх (к, к - к)]£т, (23)

С[К,(к)£Рхг (к) + К2 (к)£Рхг (к - к,к) + К3(к)Р (к)] = -ВтИтС[ИАРхг (к) + ИА,Рхг (к - к,к) - Рг (к)]. (24)

Тогда (22)-(24) в можно записать в следующей компактной форме:

С[*1(к )| К2(к )| К3(к)] Р (к) = Вт И тС[( ИАРх (к) + ИА Рх (к - к, к) - Рх (к ))£ т|

[(ИАРх (к - к, к) + ИЛР (к - к) - Рх (к, к - к))£ т| (ИАРхг (к) + ЯА1Рхг (к - к, к) - Р (к))]. (25)

В силу (6) матрицы С и Р(к) невырожденные для всех к = 0,1,2,..., следовательно, уравнение (25)

разрешимо относительно блочной матрицы [К1(к) |К2(к) |К3(к)] и имеет единственное решение, представленное в виде (7)-(9).

3. Оценки среднеквадратического отклонения

Теорема 2. Пусть в описании объекта (1), канала измерений (2), критерия (3) и модели отслеживаемого вектора (4) матрицы А,А1,В,0,£V,Н,С,Б - постоянные; Р = Е; qz(к) = 0. Тогда, если

выполняется условие (6) теоремы 1, существует установившееся решение уравнений (13), (15), (16), матрицы Рх = Нш Рх (к) > 0; Ю1 = Нш Ю1 (к) > 0 , пара матриц А, уЮ стабилизируема, тогда матрица

к ^да к ^да

динамики замкнутой системы А = А + ВК1 £ асимптотически устойчива для К1 = Нш Кг (к).

к ^да

Доказательство. Если матрица Рх > 0 , то из леммы 12.2 [17] при условии, что пара матриц А, у[Ю стабилизируема, следует, что матрица А асимптотически устойчива. Применяя теорему 3.6 [Там же], получаем, что если пара матриц А, стабилизируема, то и пара матриц также

стабилизируема. Этим доказывается справедливость теоремы 2.

Асимптотическую точность слежения определим, вычислив оценку критерия:

УЦ|| х(к) - г\{2'

к ^да

J = НтМ{|| х(к) - ^||2}, (26)

где У - евклидова норма вектора; г - постоянный отслеживаемый вектор. Построим сначала оценку

для критерия J(к) = М{||х(к) -г||2}. Задавая далее условие, что к ^да, найдем оценку для критерия

(26). При этом предположим, что условия теоремы 2 выполняются, а ||А|| =а1, ЦА^ = а2 (здесь Ц-Ц^ -

спектральная норма матрицы). Введем условие, что а1 +а2 <1. Отметим, что выполнение этого условия обеспечивает асимптотическую устойчивость замкнутой системы с запаздываниями по состоянию [18]. Учитывая (1), (2), (5) при коэффициентах передачи К*,К*,К3* (К* = ПтК*(к), I = 1,3),

к

вычислим значение критерия (26) для момента времени (к +1):

J(к +1) = М{хт (к)Ат А х(к) + хт (к)Ат\х(к - к) + хт (к)АтВг(к) +

+хт (к - к) % Иг (к) + г т (к) В т А х(к) + гт (к) В т % х(к - к)} + г т (к) В т Вг(к) + 1г(), (27)

где В (к) = ВК3* (к) - Е; Ю (к) = Ю(к) + ВК* (к V (к) К**т (к) Вт + ВК2* (к )V (к - к) К2*т (к) Вт.

Из (27) в силу неравенства Коши-Буняковского получим оценку

J(к +1) < а2 J1 (к) + а2 J1 (к - к) + а1а2 J2 (к, к - к) + а1а2 J2 (к - к, к) +

+2а2г1 J3 (к - к) + 2а1г1 J3 (к) + г12 + , (28)

где г =|ВЦ, Ю = 1|л1 Ю(к), V = 1ипГ(к), Jl(k) = М{|х(к)|2}, J,(k, * - к) =М{|| х(к )Щ |х(к - А)||}, Jl(k) = = М{ х(к)||} . Тогда, учитывая, что траектория замкнутой системы описывается уравнением

х(к) = А х(к -1) + А1 х(к - к -1) + ВК* £х(к -1) + ВК**у(к -1) + ВК2* £х(к - к -1) +

+ВК>(к - к -1) + ВК3*г + q(k -1),

вычислим рекуррентные соотношения для критериев J1(k), J2(k, к - к), J3(k), которые входят в состав (28):

J1 (к) < а2 J1 (к -1) + а1а2 J2 (к -1, к - к -1) + а2а1 J2 (к - к -1, к -1) +

+2а1г2 J3 (к -1) + а2 J1(k - к -1) + 2а1г2 J3 (к - к -1) + г? + г22, (29)

где г2 = ||ВК3*. Рекуррентное соотношение для J2(k) примет вид

J2 (к, к - к) < а2а1 J1(к - к -1) + а^ J2 (к -1, к - к -1) + а1а2 J2 (к -1, к - 2к -1) + а2 J2 (к - к -1, к - 2к -1) +

+а1г2 J3 (к -1) + г2та1 J3 (к - к -1) + г2а2 J3 (к - к -1) + г2та2 J3 (к - 2к -1) + ^г()1 + г22 , (30)

где Q1 = К2 В ВКг V. Рекуррентное соотношение для J3 (к)

J3(к) < а1 J3(к -1) + а2J3(k - И -1) + г2.

Полагая к = 1,2,...к и строя последовательно неравенства для Jз(1), Jз(2),...J3(k), получим

а2к -1

Jз (к) < ак Jз (0) + ^ак-7а2 Jз> (7 - И -1) + ^ гг,

7=1 а1 -1

к-1

J2 (к, к - И) < а2kJ2 (0, - И) + а2 £ а2к-27-1 J2 (7,7 - 2И) +

7=0

+Г£а2к-27-1а2Jз(7) + а2£а2к-27-1 Jl(7 - И) +

(31)

(32)

7=0

+а2 £ а?к-2(7+1) J2 (7 - И, 7 - 2И) + а2г2 £ а2к-2(7+1) Jз (7 - И) +

7=0 7=0

к-1 к -1 а 2 к - 1 а2 к - 1 _

J3 (7 - 2И) +Г2Г £а2к-27-1 .Із (7 - И) + 12 1 г22 + 12 1 ^1 ;

7=0 а1 -1 а1 -1

+а2г2г £а2к 2(7+1)а2

7=0

(33)

Л (к) < а2lkJl (0) + а2£а2к-27-1 J2(7,7 - И) + а2£а2к-27-1 J2(7 - И,7) +

7=0 7=0

к-1 к-1 к-1 а 2 к - 1 а 2 к - 1

+2Г2£а2k-27-1Jз(7) + а2£а12к-2(7+1) ^(-И) + 2^Ёа^+Ча - И) +-1—-г? +^--^ . (34)

,■=0 ,■=0 ,■=0 а1 -1 а1 -1

7=0 7=0 7=0 ^1 * ^1

Оценку критерия (26) построим, учитывая неравенства (32)-(34). Тогда при к ^да из (28) получим

J < а^—Ц-г22 -—Ц-/гЮ] + а2[—^г22 + —Ц-*г0] +

Ч-а2 2 1 -а2

Ч-а2 2 ' 1 -а2

+2а1а21 ~г2 + -^у&■&] + 4-а\ + г2 + ґг&. 1 -а1 1 -а1 1 -а1

(35)

Что и требовалось доказать.

4. Результаты моделирования

Моделирование выполнено для объекта (1), канала измерений (2), локального критерия (3) и отслеживаемого вектора (4), в которых матрицы и векторы имели следующие значения:

А =

( 0,05 А (0,А ( 0 0 ^ (0,02 0 ^

В =

^,03 0

, Q =

0 0,02,

С = 1, В = 0,2, £ = (0 1) , Н = (1 0) , Р = 1, V = 0,16, г = 10.

В результате получены графики (пунктирная линия обозначает отслеживаемый сигнал), которые демонстрируют, что при заданных параметрах переменная х1(к) сходится к желаемому поведению г (рис. 1).

Рис. 1. Реализации х1(к), х1*(к) и управления

На рис. 2 и 3 приведены результаты моделирования для отслеживания переменного сигнала г(к).

Рис. 2. Реализации х1(к) , х1 (к) и управления при кусочно-постоянном отслеживаемом векторе

Рис. 3. Реализации х1(к), x**(k) и управлений при возрастающем и убывающем отслеживаемом векторе

Заключение

Решена задача управления выходом для дискретного объекта с запаздыванием по состоянию на основе синтеза локально-оптимальной следящей системы управления линейным динамическим объектом при косвенных измерениях. Показано, что при практически естественных ограничениях на класс динамических систем метод локально-оптимального слежения при косвенных измерениях с ошибками обеспечивает асимптотическое слежение с точностью, определяемой интенсивностью аддитивных возмущений и ошибок в канале измерений, динамическими характеристиками замкнутой системы, значениями параметров объекта и коэффициентов передачи следящей системы управления.

ЛИТЕРАТУРА

1. Дегтярев Г.Л., Ризаев И.С. Синтез локально-оптимальных алгоритмов управления летательными аппаратами. М. :

Машиностроение, 1991. 304 с.

2. Домбровский В.В., Ляшенко Е.А. Линейно-квадратичное управление дискретными системами со случайными пара-

метрами и мультипликативными шумами с применением к оптимизации инвестиционного портфеля // Автоматика и телемеханика. 2003. № 10. С. 50-65.

3. Перепелкин Е.А. Прогнозирующее управление экономической системой производства, хранения и поставок товара

потребителям // Экономика и математические методы. 2004. Т. 40, № 1. С. 125-128.

4. Conte P., Pennesi P. Inventory control by model predictive control methods // Proc. 16th IFAC World Congress. Prague.

2005. P. 1-6.

5. Смагин В.И., Смагин С.В. Управление запасами по двум критериям с учетом ограничений // Вестник Томского госу-

дарственного университета. 2006. № 290. С. 244-246.

6. Смагин В.И., Смагин С.В. Адаптивное управление запасами с учетом ограничений и транспортных запаздываний //

Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2008. № 3(4). С. 19-26.

7. Киселева М.Ю., Смагин В.И. Управление производством, хранением и поставками товаров на основе прогнозиру-

ющей модели выхода системы // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2009. № 2(7). С. 24-31.

8. Киселева М.Ю., Смагин В.И. Управление с прогнозирующей моделью с учетом запаздывания по управлению //

Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2010. № 2(11). С. 5-12.

9. Приступа М.Ю., Смагин В.И. Прогнозирующее управление дискретными системами с неизвестным входом и его

применение к задаче управления экономическим объектом // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2012. № 1(18). С. 5-15.

10. Мухина О.О., Смагин В.И. Локально-оптимальное управление запасами с учетом запаздываний в поставках и транспортных ограничений // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2012. № 2(19). С. 42-50.

11. Домбровский В.В., Объедко Т.Ю. Управление с прогнозированием гибридными системами с марковскими скачками при ограничениях // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2012. № 3(20). С. 5-12.

12. Dai L., Xia Y., Fu M., MahmoudM. Discrete-Time Model Predictive Control. Advances in Discrete Time Systems. Publisher: InTech, 2012. Ch. 4. P. 77-116.

13. Приступа М.Ю., Смагин В.И. Прогнозирующее управление выходом нестационарной дискретной системы при ограничениях на управление // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2013. № 3(24). С. 14-23.

14. Смагин В.И. Локально-оптимальные следящие системы управления при косвенных измерениях с ошибками // Известия вузов. Авиационная техника. 1995. № 1. С. 26-30.

15. Tang G., Sun H., Liu Y. Optimal tracking control for discrete time-delay systems with persistent disturbances // Asian Journal of Control. 2006. V. 8, No. 8. P. 135-140.

16. Амосов А.А., Колпаков В.В. Скалярно-матричное дифференцирование и его приложения к конструктивным задачам теории связи // Проблемы передачи информации. 1972. № 1. С. 3-15.

17. УонэмМ. Линейные многомерные системы управления. М. : Наука, 1980. 376 с.

18. Stojanovic S., Debeljkovic D. On the asymptotic stability of linear discrete time delay systems. Mechanical Engineering, V. 2, No. 1. 2004. P. 35-48.

Мухина Оксана Олеговна. E-mail: oksm7@sibmail.com Смагин Валерий Иванович. E-mail: vsm@mail.tsu.ru

Томский государственный университет Поступила в редакцию 3 сентября 2013 г.

Mukhina Oksana O., Smagin Valery I. (Tomsk State University, Russian Federation).

Local-optimal output control for discrete systems with state delays.

Keywords: output control; local-optimal control; state delays.

Consider the problem of locally-optimal control based on the observed output for discrete objects with delay in the state described by the following difference equation:

x(k +1) = Ax(k) + Alx(k - h) + Bu(k) + q(k) , x(t) = ф(т), т = -h, 1 -h, 2-h,...,0; k = 0,1,2,... , where x(k)eRn is a state vector, h > 0 is a positive integer time delay, u(k)eRm is a control input, A,A1,B are the constant matri-

ces of appropriate dimensions, q(k) is the Gaussian random sequence of input disturbances.

The measurement channel is represented by equation

y(k) = Sx(k) + v(k),

where S is the matrix of the measurement channel, v(k) is the Gaussian random sequence of measurement errors. To solve the problem, we propose an algorithm, which is based on the optimization of the following local criteria:

I (k) = M{(w(k +1) - z(k ))T C (w(k +1) - z(k)) + u T (k) Du (k)},

where w(k) = Hx(k) is the controlled output of the system, C = CT > 0 , and D = DT > 0 are weighting matrices, z(k) e Rn is

the tracking vector described by equation

z(k +1) = Fz(k) + qz (k), where qz (k) is the Gaussian random sequence; F is a matrix.

The control law of object is determined by the function of the measured variables with the time memory and tracked signal:

u(k) = K1 (k)y(k) + K2 (k)y(k -h) + K3 (k)z(k).

The formulas for calculating the optimal transfer coefficients Kx (k), K2 (k), K3 (k) are given.

In this paper, the proposed algorithms synthesis of output control does not use the extension method of state space. The asymptotic properties of the closed-loop system are investigated. The estimators are obtained by the square criterion

J = lim M{||x(k) - z\\2} ,

which defines the asymptotic tracking accuracy.

It is shown that the estimator has the following form:

J - r22 -7“l-ftrQ] + a2t7-l-f r22 +7-^trQ>] +

1 -aj 1 -aj 1 -aj 1 -aj

1 1 ~ a r2 ~

+ 2a1a21'--f r22 +"----ftrQ1] + 4ТЛ±Г + Г" + tr(Q ,

1 -a2 1 -af 1 - a2

where r1 =||Bz||, r2 =|\BK*z\, B(k) = BK3*(k) - E , ||a|| =«j, ||4|| = a2, ,4(i) = A + BK*(i)S , Aj(i) = 4+ BK*(i)S ,

(5(k) = Q(k) + BK*(k)V(k)K*T(k)BT + BK2*(k)V(k - h)K2*T(k)BT , Q1 = K2*TBTBK*TV.

The simulation results on the proposed methods are given.

REFERENCES

1. Degtyarev G.L., Rizaev I.S. Sintez lokal'no-optimal'nykh algoritmov upravleniya letatel'nymi apparatami. M. : Mashinostroenie,

1991. 304 p. [Degtyarev G.L., Rizaev I.S. Synthesis of locally optimal algorithms for flight vehicle control. Moscow: Mashinostroenie, (1991).]

2. Dombrovskiy V.V., Lyashenko E.A. Lineyno-kvadratichnoe upravlenie diskretnymi sistemami so sluchaynymi parametrami i mul'tiplikativnymi shumami s primeneniem k optimizatsii investitsionnogo portfelya. Avtomatika i telemekhanika. 2003. No. 10. P. 5065. [Dombrovskii V.V., Lyashenko E.A. Linear quadratic control of discrete systems with random parameters and multiplicative noises with application to investment portfolio optimization. Automation and Remote Control. V. 64. No. 10. P. 1558-1570. (2003).]

3. Perepelkin E.A. Prognoziruyushchee upravlenie ekonomicheskoy sistemoy proizvodstva, khraneniya i postavok tovara po-trebitelyam. Ekonomika i matematicheskie metody. 2004. V. 40, no. 1. P. 125-128. [Perepjolkin E. Forecast-making control of an economic system of production, storage and deliveries of goods to consumers. Economics and Mathematical Methods. V. 40. No. 1. P. 125-128. (2004).]

4. Conte P., Pennesi P. Inventory control by model predictive control methods. Proc. 16th IFAC World Congress. Prague. 2005. P. 1-6.

[Conte P., Pennesi P. Inventory control by model predictive control methods. Proc. 16th IFAC World Congress. Prague. P. 1-6. (2005).]

5. Smagin V.I., Smagin S.V. Upravlenie zapasami po dvum kriteriyam s uchetom ogranicheniy. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo

universiteta. 2006. No. 290. P. 244-246. [Smagin V.I., Smagin S.V. Inventory control on two criterions with restrictions. Tomsk State University Journal. No. 290. P. 244-246. (2006).]

6. Smagin V.I., Smagin S.V. Adaptivnoe upravlenie zapasami s uchetom ogranicheniy i transportnykh zapazdyvaniy. Vestnik

Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika. 2008. No. 3(4). P. 19-26. [Smagin V.I., Smagin S.V. Adaptive inventory control with restrictions and transport delays. Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. No. 3(4). P. 19-26. (2008).]

7. Kiseleva M.Yu., Smagin V.I. Upravlenie proizvodstvom, khraneniem i postavkami tovarov na osnove prognoziruyushchey modeli

vykhoda sistemy. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika. 2009. No. 2(7). P. 24-31. [Kiseleva M.Yu., Smagin V.I. Control of goods production, storage and delivery based on prediction model systems output. Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. No. 2(7). P. 24-31. (2009).]

8. Kiseleva M.Yu., Smagin V.I. Upravlenie s prognoziruyushchey model'yu s uchetom zapazdyvaniya po upravleniyu. Vestnik

Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika. 2010. No. 2(11). P. 5-12. [Kiseleva M.Yu., Smagin V.I. Model predictive control with time-delay in control input. Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. No. 2(11). P. 5-12. (2010).]

9. Pristupa M.Yu., Smagin V.I. Prognoziruyushchee upravlenie diskretnymi sistemami s neizvestnym vkhodom i ego primenenie k

zadache upravleniya ekonomicheskim ob"ektom. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika. 2012. No. 1(18). P. 5-15. [Pristupa M.Yu., Smagin V.I. Model Predictive Control discrete systems with unknown input and its application to control problem of economic object. Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. No. 1(18). P. 5-15. (2012).]

10. Mukhina O.O., Smagin V.I. Lokal'no-optimal'noe upravlenie zapasami s uchetom zapazdyvaniy v postavkakh i transportnykh ogranicheniy. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika. 2012. No. 2(19). P. 42-50. [Mukhina O.O., Smagin V.I. Locally optimal inventory control with time delays in deliveries and transport restrictions. Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. No. 2(19). P. 42-50. (2012).]

11. Dombrovskiy V.V., Ob"edko T.Yu. Upravlenie s prognozirovaniem gibridnymi sistemami s markovskimi skachkami pri ograni-cheniyakh. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika. 2012. No. 3(20). P. 5-12. [Dombrovskii V.V., Obyedko T.Y. Model predictive control of interconnected hybrid systems with Markov jumps under constraints. Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. No. 3(20). P. 5-12. (2012).]

12. Dai L., Xia Y., Fu M., Mahmoud M. Discrete-Time Model Predictive Control. Advances in Discrete Time Systems. Publisher: InTech. Chapter 4. P. 77-116. (2012).

13. Pristupa M.Yu., Smagin V.I. Prognoziruyushchee upravlenie vykhodom nestatsionarnoy diskretnoy sistemy pri ogranicheniyakh na upravlenie. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika. 2013. No. 3(24). P. 14-23. [Pristupa M.Yu., Smagin V.I. Model predictive control of the output time-varying discrete systems with constraints on the control. Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. No. 3(24). P. 14-23. (2013).]

14. Smagin V.I. Lokal'no-optimal'nye sledyashchie sistemy upravleniya pri kosvennykh izmereniyakh s oshibkami. Izvestiya vuzov. Aviatsionnaya tekhnika. 1995. No. 1. P. 26-30. [Smagin V.I. Locally optimal control servosystems in indirect measurements with errors. Izvestia Vuzov Aviatsionnaya Tekhnika. No. 1. P. 26-30. (1995).]

15. Tang G., Sun H., Liu Y. Optimal tracking control for discrete time-delay systems with persistent disturbances. Asian Journal of Control. V. 8. No. 8. P. 135-140. (2006).

16. Amosov A. A., Kolpakov V.V. Skalyarno-matrichnoe differentsirovanie i ego prilozheniya k konstruktivnym zadacham teorii svyazi. Problemyperedachi informatsii. 1972. No. 1. P. 3-15. [Amosov A. A., Kolpakov V.V. Scalar-matrix differentiation and its applications to constructive problems of Communication Theory. Problems of Information Transmission. No. 1. P. 3-15. (1972).]

17. Uonem M. Lineynye mnogomernye sistemy upravleniya. M. : Nauka, 1980. 376 p. [Wonham W.M. Linear Multivariable Control. New York, Springer, (1979).]

18. Stojanovic S., Debeljkovic D. On the asymptotic stability of linear discrete time delay systems. Mechanical Engineering. V. 2. No. 1. P. 35-48. (2004).