Решение расходящихся систем линейных алгебраических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

9. Иванов О.Ф., Павлов Н.Н., Федоров Ф.М. О главных и строго частных решениях бесконечных систем // Ж. вычисл. матем. и мат физики, 56:3 (2016). С. 351-362.

10. Фёдоров В.М. Бесконечные системы линейных алгебраических уравнений и их приложения. Новосибирск: Наука, 2011. 311 с.

11. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. 592 с.

12. Горох О.В. О решении последовательности расширяющихся систем линейных алгебраических уравнений. // Теория и методы автоматиз. научн. исслед. Минск, 1985. С. 3-5.

13. ШмойловВ.И.Непрерывные дроби и г/^-алгоригм. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2012. 608 с.

14. Шмойлов В.И. Расходящиеся системы линейных алгебраических уравнений. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010. 205 с.

15. Качмар В.С., Русын Б.П., Шмойлов, В.И. Алгоритмы вычисления значений цепных дробей. // Ж. вычисл. мат. и мат. физики, 1998. Т. 38. № 9. С. 1936-1451.

РЕШЕНИЕ РАСХОДЯЩИХСЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Шмойлов В.И.1, Коровин Я.С.2, Иванов Д.Я.3 Em ail: [email protected]

'Шмойлов Владимир Ильич — научный сотрудник;

2Коровин Яков Сергеевич — кандидат технических наук;

3Иванов Донат Яковлевич — кандидат технических наук, старший научный сотрудник, НИИ многопроцессорных вычислительных систем Южный федеральный университет, г. Таганрог

Аннотация: рассматривается метод определения комплексных решений СЛАУ с трёхдиагональной вещественной матрицей. Для получения «отсчётов» используется процедура редукции, то есть решение СЛАУ увеличивающейся размерности. Комплексные значения решений СЛАУ устанавливаются г/(-алгоритмом. Рассматриваемый способ суммирования, то есть r/ф-алгоритм, выходит за рамки традиционных методов, ибо позволяет по последовательности вещественных подходящих дробей установить некое комплексное число, которое, собственно, и представлено последовательностью подходящих дробей. Признаком комплексности служат перемены знаков элементов последовательности, причем, эти перемены знаков происходят сколь угодно много раз. Ключевые слова: комплексные решения СЛАУ, г/(алгоритм, непрерывные дроби.

SOLUTION OF DIVERGENT SYSTEMS OF LINEAR ALGEBRAIC

EQUATIONS Shmoylov V.I.1, Korovin Ya.S.2, Ivanov D.Ya.3

'Shmoylov Vladimir Ilyich — Research Fellow;

2Korovin Yakov Sergeevich — Candidate of Technical Sciences;

3Ivanov Donat Yakovlevich — Candidate of technical sciences, Senior Researcher, RESEARCH INSTITUTE OF MULTIPROCESSOR COMPUTING SYSTEMS SOUTH FEDERAL UNIVERSITY, TAGANROG

Abstract: the method of determination of complex solutions of linear equations with real tridiagonal matrix. To obtain "counts", the reduction procedure is used, that is, the solution of the SLAE increasing dimension. Integrated value solutions SLAE set r/(p-algorithm. The considered method of summation, that is, r/^-algorithm, goes beyond the traditional methods, because it allows for the sequence of real suitable fractions to establish a complex number, which, in fact, is represented by a sequence of suitable fractions. A sign of complexity is the change of the signs of the elements of the sequence, and these changes of signs occur arbitrarily many times. Keywords: complex solutions of SLAE, r/(algorithm, continuous fractions.

УДК 517.524

1. Определение комплексных решений СЛАУ

Формулы Крамера для СЛАУ с трёхдиагональной матрицей могут быть преобразованы в конструкции из отношений трёхдиагональных определи-телей и-го и (и - 1)-го порядков, которые, как известно, являются формой записи обыкновенных непрерывных дробей [1]:

Ко а 0 . .. 0 0 ...

-1 К, а. .. 0 0 ...

0 -1 К . .. 0 0 ...

0 0 0 . .. К- ап ...

0 0 0 . .. -1 к ...

Ьу а. . 0 0 ...

-1 К . . 0 0 ...

0 0 . . К- ап ...

0 0 . .. -1 Ьп ...

= К + — —

(1)

К + Ь2 +... + Ьп_1 + Ьп +.

В [2] приведены формулы для определения значений х1 СЛАУ с трехдиагональной матрицей, записанные как цепные дроби, частными числителями и частными знаменателями которых являются выражения из коэффициентов исходной матрицы системы (2). Рассмотрим СЛАУ с трёхдиагональной матрицей:

АХ — В, (2)

Ч1 а12 0 .. 0 0 >

а21 а22 а23 .. 0 0

А — 0 а32 азз

0 0 0 ■■ ап-1,п-1 ап-1,п

0 0 0 .. а , а

V п,п-1 п,п у

Х1 ■ л^. .■ Хп г, В — К К1,... , М

Решения х[ системы (2), могут быть представлены конечными цепными дробями:

Ху —

А

У + Ч +

+

Х2 =

А

У 2 + Ч +

Хп-2 =

Рп-2 VI Sn

V — Ап-Х Хп-1 = ■

Уп-2 + +

где Ух = ац, Уп = апп

А1 = К А — ъп - Ап-х

Уп-1 + к

Хп =

ап,п-1 ' ап-1,п

У

п-1

а

п,п-1

Уп-1

+ (п '

А

Уп '

(4)

(5)

(3)

а

а

п-1

п

ап-1,п У п-1 Рп

£

п

Рп-1

(6)

. ап-1,п ' Рп

'п =уп--о-• (7)

Рп-1

Из формул (3) - (7), представляющих неизвестные х1 СЛАУ с трёх-диагональной матрицей конечными цепными дробями, следует, что проблемы с получением значительного числа подходящих дробей, или «отсчётов», при определении «первых» неизвестных х1 нет. Сложнее организовать большое число «подходящих дробей» для установления «последних» комплексных неизвестных системы (2). Как следует из формул (3), цепная дробь для хп имеет лишь одно звено; цепная дробь, представляющая хп-1, содержит два звена; цепная дробь, которая определяет хп _2, включает три звена и т.д. Поэтому для определения комплексных неизвестных конечной системы (2) будем использовать два алгоритма, генерирующих «отсчёты» для «первых» хь то есть для х¡, где I = 1 4- п/2, и для «последних» х¡, где I = (п/2+1) +п. Предложенный метод определения комплексных решений используется для систем с симметричными и квазисимметричными матрицами, примеры которых приведены далее.

Алгоритм 1

Этот алгоритм применяется для нахождения значений подходящих дробей при определении «первых» х¡, I =1 + п/2, где п-размерность системы.

Неизвестное х1 определяется цепной дробью:

X — Р ^ ^ ^ £п_ • (8)

У1 + ¿2 + гъ + •••+ гп-1 + 1п

Цепная дробь (8) имеет п подходящих:

х(1) — А _ Р1) х(2) — А 02 _ Р2(1)

XI — — , Лу — — , ••• ,

У1 01 У1 + Ч 02

х(п) _ Р]_ £2 £3 £п-1 £п _ Рп 1 (9)

1 У1 + ^2 + 'з + •••+ 'п-1 + 'п Оп '

Неизвестное х2 представляется цепной дробью с п-1 звеньями:

_ р £3. £4 £п• (10)

У 2 + '3 + '4 + ••• + 'п-1 + 'п Подходящие цепной дроби (10):

(1) _ р ) (2) _ А. - Р2( ) Л2 _ _ , Л2 _ _ ,•••,

У 2 01 У 2 + '3 02

(п-1) _ Рт^ £3 £± £п-1 £п _ Рп-1 (11)

2 У2 + 'з + '4 + •••+ 'п-1 + 'п Оп-1 •

п-

Таким образом, для определения комплексного значения х2 имеем п-1 подходящих дробей. Запишем цепную дробь для определения х3:

X —Р £1 ^ £п. (12)

Уз + '4 + '5 + ••• + 'п-1 + 'п Цепная дробь для х , то есть цепная дробь (12), содержит (п - 2)-звена. Подходящие цепной дроби (12):

(1) _ А}_ _ } „(2) _ А3 _ Р2(3)

Х3 — — _ , Х3 —

Уз 01 Уз + и 02

х(п-2) _ ^п-1 8п _ Рп 2

(15)

Уз + 4 + + ...+ *п-1 + 'п е.

Запишем цепную дробь для хп/2:

Рп £п „

- —+ 1 —+ 2 о о

V _ 2 _2_ _2__£п-1 £п (14)

Хп/2 — , , , , . ^ '

Уп + ^п + + ...+ гп-1 + гп

- -+1 -+2 2 2 2

Цепная дробь для хп/2, то есть цепная дробь (14), имеет всего и/2 звеньев. Подходящие цепной дроби:

Рп р(п/2) Рп £п+1 р (п/2)

Р_ v(2) __2 - Р_

лп/2 — — ^ , лп/2 — ^ — ^ , ...,

Уп 01 Уп + *п+1 02

2 2 2+

В £

Рп- п+1 „ „ р(п/2)

(п/2) __^ 2 £п-1 _ рп/2

Хп/2 — , , , — ^

Уп + гп+х + ... + гп-1 + гп 0п/2 2 2

Хп —В. (16) Уп

Алгоритм 2

С ростом номера х1 цепные дроби (3), представляющие неизвестные СЛАУ с трёхдиагональной матрицей, становятся всё короче, поэтому для получения достаточного числа «отсчётов» или «подходящих» для х1 «второй половины» неизвестных использовался другой алгоритм. Понять суть этого алгоритма проще, если начать с определения последнего неизвестного хп, для которого имеет место формула:

В записи (16) всего одно звено. Чтобы получить «отсчёты», или «подходящие», необходимые для нахождения комплексного значения хп, установим значения хп из матриц СЛАУ увеличивающихся размеров, то есть прибегнем к процедуре редукции:

Х (1) — В1 — Р1(п) т(2) — В2 — Р2(п) Х (п) — рп — Рп(П) (17)

Хп — — ~ , Хп — — _ , ... , Хп — — ~ . (17)

У1 01 У2 02 Уп 0п

Аналогично, из решения систем увеличивающихся размерностей получим «отсчёты» для определения комплексного значения предпоследнего неизвестного, то есть хп-1:

Хп-1 — — -. (18) Уп-1 + гп

Подходящие дроби для хп-1 определим следующим образом:

Д1) _ В1 £2 _ Р1( ) -^(2) _ В2 £3 _ Р2( )

Хп-1 — — , Хп-1 —

У1 + *2 01 У2 + *3 02

В ? Р (п-1)

Х (п-1) — рп-1 — Рп-1 (19)

п-1 Уп-1 + гп 0п-1 .

Запишем «подходящие» для нахождения комплексного значения Х

п+1

2

(1) — г+1

2 £3

А £_ _ _

У1 + '2 + '3 + •••+ 'п

1Р 2+1

2

+1

2

£3 £4

А _ _

У2 + Ч + '4 + •••+ '

2

01

-+2

02

X

2 +1

Рп

Р

-+1

2

-+2

2

2

- +3

2 +1 +1

п+1 2

У

2

+ 'п „ + К ,

-+2 -+3 22

+ •••+

(20)

п+1 2

Таким образом, «подходящие» для определения первых п/2 комплексных неизвестных

п

находятся по алгоритму 1. «Подходящие» для определения х, где I = — +1

устанавливаются по алгоритму 2.

Уже отмечалось, что для достижения высокой точности при определении модуля и аргумента комплексного числа необходимо брать значительное число вещественных «отсчётов». Классические алгоритма:, - обратный рекуррентный алгоритм (BR-алгоритм) и прямой рекуррентный алгоритм (FR-алгоритм), оказываются неэффективными при вычислении значений длинных серий подходящих дробей [3]. BR-алгоритм требует недопустимо больших затрат машинного времени. Рекуррентный алгоритм Валлиса, или FR-алгоритм, неэффективен при вычислении серии подходящих по иной причине. ЕЯ-алгоритм, который используется при вычислении значений непрерывных дробей (1), описывается рекуррентными формулами второго порядка:

Рп—ЬпРп-1 + апРп-2,

0п—Ьп0п-1 + ап0п-2 (21)

при начальных условиях

Р-,— 1, Р0 —Ь0, 0-1 — 0, 0О — 1

При вычислении длинных серий подходящих дробей использование FR-алгоритма, как видно из рекуррентной формулы (21), достаточно быстро приводит или к переполнению разрядной сетки, или к появлению «машинного нуля».

В [4] были рассмотрены алгоритмы, эффективные при вычислении значений длинных последовательностей подходящих цепных дробей. Опишем, так называемый, Д-алгоритм и определим число операций, необходимых при нахождении значения подходящей дроби Д-алгоритмом.

Используя формулу

0п 0п-1 0п-10п

■ а„

можно записать:

/-1

а"0п-2— ^ -1, <Рп—0п/0п-1,

0п

Рп

Рп—Ьп +, (1 —Ьи п — 1,2,•

Рп-1

(22)

2

2

£

£

£

2

п

Следовательно,

А/ =

К _!

а,

/, АА =

(233)

Так как — /п_1 + Ап , то применяя формулы (22) и (23), найдём значение очередной подходящей дроби, выполняя всего 6 операций: 3 операции сложения, 1 операцию умножения и 2 операции деления.

В табл. 1 приведены характеристики алгоритмов вычисления значений цепных дробей.

Таблица 1. Характеристики алгоритмов вычисления цепных дробей

№ Алгоритм Число операций при вычислении и-звенной дроби Число операций при вычислении серии {Р/О}

Сложение Умножение Деление Кол-во

1 БЯ-алгоритм п п 2п п(п+1)

2 РИ-алгоритм 2п 4п 1 6п+1 7п

3 Д-алгоритм 3п п 2п 6п 7п

Из табл. 1 следует, что количество операций при вычислении серии подходящих дробей, то есть цепных дробей, отличающихся по длине на одно звено, для А-алгоритма определяется формулой N = 7п, где п - число звеньев, в то время, как для классического BR-алгоритма определения значений цепных дробей, то есть последовательного вычисления цепной дроби «снизу-вверх», число необходимых операции значительно больше: N = п(п + 1).

Чтобы найти комплексные корни СЛАУ с вещественными матрицами, надо, имея достаточно большое количество «отсчётов», или «подходящих дробей», характеризующих неизвестные х1 системы, применить г/\-алгоритм, который используется не только для определения значений расходящихся непрерывных дробей, но и для решения множества других задач [5 - 10].

При решении БСЛАУ модуль ^ комплексного корня X^ находится по формуле

Г =

т —

, I = 1,2,

, п,

т — 1

где

г(т) - -

XI - значение вещественной неизвестной

X,-

(24)

полученное «стандартным»

алгоритмом решения СЛАУ размерности т.

Модуль аргумента ф комплексного корня Х^ БСЛАУ определяется следующим образом:

к (т)

\ I — л Кш

т

(25)

где

к )

количество отрицательных значений X , полученных «стандартным»

алгоритмом решения СЛАУ из общего количества т значений Х^ , найденных из «расширяющейся» системы.

Таким образом, коэффициенты ^ формулами:

ы

комплексных решений х1 определяются

(1)

г (2) — Г1 —

г (3) — Г1 —

X

(1)

,(1)|

Щ''\ — лк(1,

\ — лк(2) /2, Ш — лк^/3,

V

X

(1)- X(2)

х (1)- х (2)- х (3) «А-^

,(1)

Г2

г (2 ) — г2 —

г (3) — г2 —

X.

(2)

Х(2) • Х(3) х2 х2

=(2) =(3) -(4)

X.

\2

(1)

тгк\

(1)

\2

<2)| —лк^2} /2,

\23)| —л23)/з,

При решении конечных СЛАУ с матрицей размерности тхт формулы (24) и (25) г/\ алгоритма примут вид:

г = Ш П1*

(т )|

т —1

к (т)

л-

т

(26)

(27)

2. Примеры решения расходящихся СЛАУ Пример 1

Рассмотрим решение при помощи г/\-алгоритма расходящейся СЛАУ с трехдиагональной матрицей (28) различных размерностей.

(28)

(1 3 0 0 0 0 ... IV 1

3 1 3 0 0 0 х2 1

0 3 1 3 0 0 1

0 0 3 1 3 0 — 1

0 0 0 3 1 3 х5 1

0 0 0 0 3 1 X; 1

1 • ) 1-;

В табл. 2 помещены результаты определения комплексных корней системы (28) с матрицей размерностью 4096х4096.

Таблица 2. Определение комплексных корней системы. (28) с матрицей размерностью 4096x4096

2

т

Номер XI Значение х1 по методу цепных дробей Модуль комплексного числа, г1 Аргумент комплексного числа, ф Абсолютная погрешность

1 -0.5225224025 0.2185462070 0.7033301912 -0.001299469+10.001762678

2 0.5075074675 0.2820692462 -0.1657103817 -0.001615385+10.001823158

3 0.6866865800 0.1456909180 -1.0344081331 -0.001220443+10.001840691

4 -0.4030696608 0.0940430985 1.2380622893 -0.001420584+10.001786263

8 -0.5702450238 0.1776533771 0.9027565096 -0.000966887+10.001224856

16 -0.0411106213 0.2783523221 0.2324824752 -0.001094874+10.001078635

32 0.6150070209 0.1276451393 -1.1067061943 -0.001217090+10.001378751

64 0.8541420926 0.2285236686 -0.6449885239 -0.000939873+10.000932173

128 -0.1059130132 0.2750020128 0.2794109868 -0.001321599+10.000397256

256 0.7078397335 0.1513927174 -1.0109368705 -0.000792866+10.001707477

512 0.7825019575 0.2569093653 -0.4539316581 -0.001030405+10.001250962

1024 -0.4990251548 0.2258238406 0.6624640545 -0.000587637+10.002199988

2048 0.6033643987 0.2769330325 -0.2453171423 -0.000849453+10.004776958

4096 -0.5225224025 0.2184996917 0.7027347669 -0.001222724+10.001619589

В первой колонке табл. 2 приведены номера х1 системы (28). Эти номера г равны степени двойки: г = 2к, к = 0 4 12. Во второй колонке даны вещественные значения корней, которые установлены из вычислений цепных дробей (3), представляющих эти корни системы. Цепные дроби (3) получены, как отмечалось выше, из преобразований формул Крамера, записанных для неизвестных СЛАУ с трехдиагональной матрицей. Значение корней СЛАУ, приведённые во второй колонке, естественно, совпадают со значениями хг системы (28), полученных стандартной программой, реализующей алгоритм «прогонки».

В 3 и 4 колонках табл. 2 приведены модули и аргументы комплексных неизвестных хг системы (28). Модули и аргументы комплексных неизвестных хг устанавливались по конечным формулам г/р-алгоритма (26) и (27).

Максимальное число «отсчетов», которое использовалось при решении СЛАУ размерностью 4096х4096, составляло величину 4096. Минимальное число «отсчетов», которое устанавливалось рассматриваемыми алгоритмами, в двое меньше размерности СЛАУ. Столь незначительное число «отсчётов», или «подходящих», естественно, не позволяет гарантировано устанавливать комплексные неизвестные СЛАУ (28) с высокой точностью. Результаты проверки или «невязки» приведены в колонке 5 табл. 2. Из рассмотрения «невязок» по вещественной и мнимой части можно заключить, что точность в определении комплексных решений СЛАУ (28) размерности 4096х4096, тем не менее, достаточно высока, - «невязки» имеют величины порядка 10-3^10-4.

Здесь надо обратить внимание, что комплексные решения, как, впрочем, и вещественные решения системы линейных алгебраических уравнений, если использовать г/р-алгоритм, в принципе не могут быть установлены точно для конечных СЛАУ. Эта ситуация аналогична той, которую имеем, рассматривая нахождение вещественных или комплексных корней алгебраических уравнений п-й степени, - за конечное число арифметических операций корни не могут, в общем случае, быть установлены точно.

В табл. 3 приведены значения комплексных корней системы (28), найденные из решения СЛАУ с матрицей размерностью 131072х131072. Так как при определении комплексных корней хг использовалось значительное число «отсчётов» или «подходящих», то комплексные корни системы (28) установлены с высокой точностью, - величина «невязок» не превышает 105 по вещественным и мнимым частям.

Таблица 3. Определение комплексных корней системы (28) с матрицей размерностью 131072x131072

Номер XI Значение х1 по методу цепных дробей Модуль комплексного числа, г1 Аргумент комплексного числа, ф Абсолютная погрешность

1 -0.1596570662 0.2182241350 0.7017003366 -2.523282е-005+12.761448е-005

2 0.3865523553 0.2817249568 -0.1674208992 -3.207682е-005+12.976090е-005

3 0.3641396141 0.1454826517 -1.0365314282 -2.371975е-005+12.937320е-005

4 -0.1745988935 0.0939086127 1.2359374344 -2.835903е-005+12.481125е-005

8 -0.2120254254 0.1773852976 0.9010461178 -2.492728е-005+12.439858е-005

16 0.1230665365 0.2781171662 0.2312261286 -2.916267е-005+12.612304е-005

32 0.3211384426 0.1274669642 -1.1083475398 -3.229473е-005+И.687929е-005

64 0.5003496228 0.2281577226 -0.6459246289 -2.549413е-005+18.826276е-006

128 0.0888820391 0.2746841691 0.2788794761 -4.613959е-005-16.703580е-006

256 0.3773018987 0.1512353540 -1.0129599220 -9.903217е-006+13.212417е-005

512 0.4918609287 0.2566303662 -0.4551857616 -1.780837е-005+И.394106е-005

1024 -0.1424562065 0.2256499825 0.6604280044 -1.953590е-005+14.724381е-005

2048 0.4269081123 0.2768342350 -0.2499638843 -1.939896е-005+16.999144е-005

4096 -0.2128238194 0.1369974583 1.0707596404 -1.119001е-005+И.425289е-005

8192 -0.0985559875 0.2404402976 0.5707640399 5.843550е-007+Ю.0001028682

16384 0.4867585606 0.2597751404 -0.4294286987 -1.510346е-005+13.807941е-005

32768 -0.1635845788 0.2163390111 0.7119196332 -3.942164е-005+16.875476е-005

65536 0.375538821 0.2826232908 -0.1469243554 2.887914е-006+Ю.0001725260

131072 -0.159657066 0.2182246559 0.7016817216 -2.606414е-005+12.412321е-005

В табл. 4 показаны результаты решения СЛАУ (28) с матрицей, размерность которой 16777216х16777216. Так как использовалось большое число значений «отсчётов», представляющих неизвестные х, то комплексные х1 системы (28) были установлены с очень

высокой точностью. Погрешности в строках СЛАУ (28), то есть «невязки» после подстановки найденных комплексных корней, составляли величины порядка 10-64- 10-7.

Таблица 4. Определение комплексных корней системы (28) с матрицей размерностью 16777216x16777216

Номер XI Значение XI по методу цепных дробей Модуль комплексного числа, г Аргумент комплексного числа, ф Абсолютная погрешность

1 0.0141398286 0.2182179307 0.7016743084 -2.759947е-007+13. 190287е-007

2 0.3286200571 0.2817181594 -0.1674477199 -3.259888е-007+12.534880е-007

3 0.2096534856 0.1454786322 -1.0365698519 -2.635064е-007+13.681419е-007

4 -0.0651712189 0.0939060532 1.2359005661 -3.069290е-007+12.989374е-007

8 -0.0404536396 0.1773781001 0.9010043648 -2.003701е-007+12.034016е-007

16 0.2017003361 0.2781113171 0.2312118578 -1.783699е-007+12.614442е-007

32 0.1803880283 0.1274624017 -1.1083726382 -2.775439е-007+12.466862е-007

64 0.3308982409 0.2281510516 -0.6459493391 -1.956294е-007+Ц .177706е-007

128 0.1821804947 0.2746742743 0.2788971206 -3.717569е-007-14.022715е-010

256 0.2189884864 0.1512332333 -1.0130014812 -1.559813е-007+13.459538е-007

512 0.3526563712 0.2566202142 -0.4552072631 -1.151767е-005-Ц.258251е-006

1 024 0.0283249888 0.2256452465 0.6603815456 -1.194954е-007+12.629307е-007

2 048 0.3423931375 0.2768297831 -0.2500332352 -1.768510е-007+Ц.649150е-007

524 288 0.1339114928 0.2638151737 0.3940735707 -4.018794е-007+13. 5 87309е-007

1 048 576 0.2983305264 0.2025851242 -0.7826491321 -5.164477е-007+14.676948е-007

2 097 152 0.2840050380 0.2857102137 0.0054977628 -8.915857е-007+Ц.018107е-006

4 194 304 0.0034355550 0.0031410494 -1.5598014255 -1.051912е-006+19.469696е-007

8 388 608 0.0069385124 0.0062817183 -1.5488062129 -9.103438е-007+12.240314е-006

16 777 216 0.0141398285 0.2182179662 0.7016743502 -2.882663е-007+13.419079е-007

На рис. 1. показано расположение комплексных корней системы (28), причём, показаны первые 4096 корней. Из рис. 1 видно, что все корни расположились на окружности, которая соприкасается с осью ординат. На рис. 1 выделено расположение первых трёх комплексных корней: хь х2 и х3.

Рис. 1. Расположение на комплексной плоскости корней х1-х4096 системы (28)

Пример 2.

Рассмотрим решение при помощи г/р-алгоритма расходящейся СЛАУ с трехдиагональной матрицей (29) различных размерностей

( 0,1 1 0 0 0 0 ■ ■"1 (х 1 ( 1 1

1 0,1 1 0 0 0 х 1-1-10"7

0 1 0,1 1 0 0 х3 1-2 -10-7

0 0 1 0,1 1 0 Х4 = 1-3 -10-7

0 0 0 1 0,1 1 х5 1-4 -10-7

0 0 0 0 1 0,1 х6 1-5 • 10-7

V"" ■"V V ■■■)

В отличие от СЛАУ (28) эта система в качестве правой части имеет ниспадающую последовательность чисел. В табл. 5 помещены результаты определения комплексных корней системы (29) с матрицей размерностью 4096x4096.

Таблица 5. Определение комплексных корней системы (29) с матрицей размерностью 4096x4096

Номер XI Значение х1 по методу цепных дробей Модуль комплексного числа, г Аргумент комплексного числа, ф Абсолютная погрешность

1 0.7118030449 0.6903578605 0.7600874803 0.000217235+Ю.000164693

2 0.9288196955 0.9509293811 -0.0498665500 -0.000290845+10.000315058

3 0.1953148854 0.6208459291 -0.8602162590 0.000104418+Ю .000118896

4 0.0516486159 0.0950691478 1.4690956117 -3.52752е-005+Ю.000201421

8 0.1202364464 0.1891788833 1.3698849844 -1.04909е-005+Ю.000225221

16 0.2967164209 0.3713570036 1.1708802808 -0.000642974+10.000489271

32 0.7023849037 0.6839620893 0.7705210026 -0.000131629+10.000544328

64 0.9388665727 0.9528203149 -0.0296009225 -0.001549060+10.000556957

128 0.0286676293 0.0568856969 1.5094525549 -0.001232928+10.000384623

256 0.0637166407 0.1133779294 1.4501545886 0.0004109651-10.000766042

512 0.1508754639 0.2253942939 1.3302476006 0.0003160482-10.001162436

1024 0.3746515126 0.4391303120 1.0908165835 -0.001872281-10.001898668

2048 0.8351852241 0.7774308133 0.6102263914 0.0012166761-10.003660521

4096 0.7120352800 0.6902113037 0.7602730939 1.67856е-005+10.000161748

В первой колонке табл. 5 приведены номера корней системы (29). Эти номера п равны степени двойки: г = 2к, к = 0 4 12. Во второй колонке даны вещественные значения корней, которые получены из вычислений цепных дробей (3), которыми представляются корни системы (29). Цепные дроби (3) получены, как отмечалось выше, из преобразований формул Крамера, записанных для неизвестных СЛАУ с трехдиагональной матрицей.

В 3 и 4 колонках табл. 5 приведены модули и аргументы комплексных неизвестных х1 системы (29), установленных г/р-алгоритмом.

Максимальное число «отсчетов», которые использовались при решении СЛАУ размерностью 4096х4096 составляла величину 4096. Минимальное число «отсчетов», которые устанавливались рассматриваемыми алгоритмами, была в двое меньше размерности СЛАУ. Результаты проверки, или «невязки», приведены в колонке 5 табл. 5. Из рассмотрения «невязок» по вещественной и мнимой части можно заключить, что точность в определении комплексных решений СЛАУ с матрицей размерности 4096х4096 достаточно высока, -погрешность имеет порядок 10-3+ 10-5.

Здесь надо обратить внимание, что комплексные решения, как, впрочем, и вещественные решения системы линейных алгебраических уравнений, если использовать г/р-алгоритм, в принципе не могут быть установлены точно для конечных СЛАУ.

В табл. 6 приведены значения комплексных корней системы (29), найденные из решения СЛАУ с матрицей размерностью 131072х131072. Так как при определении комплексных корней х1 использовалось значительное число «отсчётов» или «подходящих», то эти комплексные корни установлены с высокой точностью, - величина невязок по вещественным и мнимым частям имеет порядок 10-3+ 10-6.

Номер XI Значение XI по методу цепных дробей Модуль комплексного числа, г Аргумент комплексного числа, ф Абсолютная погрешность

1 1.0301639465 0.6901069272 0.7604709755 -8.44922е-005+ 10.000138112

2 0.8969836053 0.9512685332 -0.0498787246 -8.46034е-005+19.49538е-005

3 -0.1198624070 0.6211059342 -0.8603126963 -7.37618е-005+Ю.000140758

4 0.1150024353 0.0951253811 1.4709774328 0.0001375561+10.000164860

8 0.2444162678 0.1892704754 1.3709247337 -3.25394е-005+10.000189552

16 0.5254546598 0.3710383045 1.1710886675 -4.05402е-005+10.000252155

32 1.0210023029 0.6834851737 0.7705761637 -5.55436е-005+10.000126739

64 0.9198345046 0.9520340046 -0.0297351700 -0.000116309+10.000127274

128 0.0666638576 0.0568704645 1.5113089161 -0.000127228+15.03931е-005

256 0.1391672888 0.1135303917 1.4515970244 1.89671е-005+10.000255863

512 0.2974885367 0.2254428811 1.3321829311 4.75432е-006+10.000195544

1024 0.6350203419 0.4380340062 1.0931038883 -5.95471е-005+10.000185857

2048 1.1355958292 0.7779387320 0.6151458771 -0.000110736+10.000139521

4096 0.5111291668 0.8974461742 -0.3408626915 -4.53639е-005+10.000169106

8192 0.8974373108 0.6000898135 0.8894715213 -8.03273е-005+19.02451е-005

16384 1.1249000170 0.9313799115 0.2073595234 -0.000102604+10.000140746

32768 -0.2384381484 0.3824316935 -1.1606044494 -9.06698е-005+10.000177716

65536 -0.0153817797 0.6991629391 -0.7457429682 -1.28183е-005+10.033391901

131072 1.0291370684 0.6855963077 0.7667565593 -0.006312037-13.21717е-006

В табл. 3 показаны результаты решения СЛАУ (29) с матрицей, размерность которой 4194304x4194304. Так как использовалось большое число значений подходящих цепных дробей, представляющих неизвестные х, то комплексные корни системы (29) были установлены с очень высокой точностью. Погрешность в строках СЛАУ (29), то есть невязка после подстановки найденных комплексных корней, составляла величины 10-5^10-7.

Таблица 7. Определение комплексных корней системы (29) с матрицей размерностью 4194304x4194304

Номер XI Значение XI по методу цепных дробей Модуль комплексного числа, г Аргумент комплексного числа, ф Абсолютная погрешность

1 -0.524487767580 0.6900727081381 0.760370607710 -5.76954е-06-14.58683е-06

2 1.052448776758 0.9511939151539 -0.050015425553 -1.39876е-05-13.38443е-06

3 1.419242789908 0.6210592646294 -0.860429558772 -4.70520е-06-16.15728е-06

4 -0.194373255749 0.0951202036299 1.470755316293 3.03510е-06+14.69008е-06

8 -0.361991024294 0.1892866221398 1.370705501302 -4.26925е-06-19.10824е-07

16 -0.591542727110 0.3710213701795 1.170638255565 1.69658е-06+17.32638е-06

32 -0.534901966211 0.6834008948147 0.770449792133 -2.65837е-06-11.25420е-05

64 1.012773797885 0.9519574243673 -0.029869631201 1.45002е-05+11.84943е-05

128 -0.118883115126 0.0568640254376 1.511150905963 4.38250е-05+12.40734е-05

256 -0.229280842947 0.1135224396137 1.451428811131 -7.44194е-06+11.73343е-06

512 -0.418467046761 0.2254245836560 1.331937727638 -2.26516е-06+19.08117е-06

1 024 -0.636438699962 0.4380283045773 1.092957492038 -5.57493е-06-11.24346е-06

Номер xi Значение xi по методу цепных дробей Модуль комплексного числа, Ti Аргумент комплексного числа, ф Абсолютная погрешность

2 048 -0.331399206361 0.7778474942067 0.614993508990 -2.74094e-06-i7.65084e-07

524288 0.726496771647 0.3103957348824 -1.30642996152 -4.71984e-06-i9.38852e-07

1048576 1.330364525210 0.5691319589828 -0.95853595326 -1.54834e-06-i0.24467e-06

20971512 1.229099123910 0.8340783018041 -0.23473490129 4.93886e-06+i4.59262e-07

4194304 -0.804943762780 0.5961584412309 1.145757338345 -1.85204e-06+i6.15949e-06

На рис 2. показаны комплексные корни системы (29) и координаты первых трёх комплексных корней: хь х2 и х3.

Рис. 2. Расположение на комплексной плоскости корней x1-x4096 системы (29)

Вещественные решения xt расходящихся СЛАУ даже с матрицами соседних размерностей nxn и (n+1)(n+1) резко различны между собой, что не должно иметь места при моделировании реальных физических задач, для которых присуща «непрерывность» или «гладкость» решений. СЛАУ, которые дают осциллирующие решения, называют расходящимися и они отбрасываются, как не имеющие практического значения [11, 12]. Именно СЛАУ с комплексными значениями x обуславливают появление расходящихся разностных схем, с которыми постоянно приходится сталкиваться специалистам, занимающимся прикладной и вычислительной математикой [13].

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда, проект № 15-19-00196 Список литературы / References

1. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и r/^-алгоритм. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2012. 608 с.

2. Шмойлов В.И. Расходящиеся системы линейных алгебраических уравнений. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2010. 205 с.

3. Джоунс У., Трон В. Непрерывные дроби. Аналитическая теория и приложения. М.: Мир, 1985. 414 с.

4. Качмар В.С., Русын Б.П., Шмойлов В.И. Алгоритмы вычисления значений цепных дробей. // Ж. вычисл. мат. и мат. физики, 1998. Т. 38. № 9. С. 1936-1451.

5. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби в 3-х т. Т. 2. Расходящиеся непрерывные дроби. / Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов: Меркатор, 2004. 558 с.

6. Шмойлов В.И. Решение алгебраических уравнений непрерывными дробями. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2011. 330 с.

7. Шмойлов В.И., Слобода М.З. Расходящиеся непрерывные дроби. / Нац. акад. наук Украины, Ин-т. приклад. проблем механики и математики, Львов, 1999. 820 с.

8. Кириченко Г.А., Шмойлов В.И. Алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей и некоторые его применения. // Ж. вычисл. мат. и мат. Физики, 2015. Т. 55. № 4. С. 559-572.

9. Гузик В.Ф., Ляпунцова Е.В., Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и их применение. Москва: Физматлит, 2018. 298 с.

10. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби. Библиографический указатель. Ростов-на-Дону: Из-во ЮФУ, 2017. 382 с.

11. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978. 592 с.

12. Фёдоров В.М. Бесконечные системы линейных алгебраических уравнений и их приложения. Новосибирск: Наука, 2011. 311 с.

13. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Решение систем линейных алгебраических уравнений непрерывными дробями. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 383 с.

ОДНОМЕРНАЯ МОДЕЛЬ АВТОМОРФИЗМА ФИБОНАЧЧИ Морозов А.В.1, Пирожков М.А.2 Email: [email protected]

'Морозов Алексей Валентинович — кандидат физико-математических наук, профессор;

кафедра математики, Военно-космическая академия им. А.Ф. Можайского; 2Пирожков Михаил Александрович — пенсионер, г. Санкт-Петербург

Аннотация: известно, что для автоморфизма Фибоначчи [1] каждая точка (узел решетки) шкi с рациональными координатами ^ —,—^ ,0 < к < т, 0 < I < т;к, 1,т £ И является периодической точкой некоторого, вообще говоря, неизвестного периода, а, следовательно, является элементом некоторого цикла (периодической траектории) X периода Т = п. При этом для произвольной решетки тхт количество циклов и их периоды оказываются неизвестными величинами. Для изучения этого вопроса в настоящей статье вводится понятие одномерной модели автоморфизма Фибоначчи и демонстрируется ее применение к нахождению образующих элементов, т.е. тех базовых узлов, которые определяют циклы. Ключевые слова: дискретная динамическая система, отображение Фибоначчи, периодические точки, циклы.

ONE-DIMENSIONAL MODEL OF THE FIBONACCI AUTOMORPHISM Morozov A.V.1, Pirozhkov M.A.2

'Morozov Aleksey Valentinovich — PhD in mathematics, Professor; DEPARTMENT OF MATHEMATICS, PROCEEDINGS OF THE MILITARY SPACE ACADEMY NAMED AFTER A.F. MOZHAISKY; 2Pirozhkov Mikhail Alexandrovich — Retired, ST. PETERSBURG

Abstract: it is known that for the Fibonacci automorphism [1], each point (node) шk; with rational coordinates , 0 < к < т, 0 < I < т;к,1,т £ И is a periodic point of some, generally

speaking, unknown period, and, consequently, is an element of some cycle (periodic trajectory) X period . For an arbitrary lattice, the number of cycles and their periods are unknown.

To study this issue, this article introduces the concept of a one-dimensional model of Fibonacci automorphism and demonstrates its application to the finding of the forming elements, i.e., the model of Fibonacci automorphism. those base nodes that define loops. Keywords: discrete dynamic system, Fibonacci mapping, periodic points, cycles.