CC BY
34
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2017, том 60, №1-2_
ФИЗИКА
УДК 538.955:530.146
Академик АН Республики Таджикистан Ф.Рахими, Х.О.Абдуллоев*, А.Т.Максудов**, М.С.Курбониён***
решение нелинейного уравнения шредингера с учётом самосогласованных потенциалов
Президиум АН Республики Таджикистан, *Таджикский национальный университет, **Худжандский государственный университет им. акад. Б.Гафурова, ***Физико-технический институт им. С.У.Умаров АН Республики Таджикистан
В работе используется алгебро-геометрический метод построения решений векторного нелинейного уравнения Шредингера с заданными самосогласованными потенциалами в виде односоли-тонного регулярного решения.
Ключевые слова: фотон, магнон, магнитные кристаллы.
В физике при исследовании нелинейных волновых явлений очень часто появляются системы дифференциальных уравнений, моделирующих взаимодействие конечного числа волн или волновых пакетов. Одной из таких наиболее распространенных систем является скалярное уравнение Шредин-гера
Ш)¥ = 0, (1)
rn+ U (x t )w=0
отенциала низкочастотной волны. Сл1 x, t) во многих случаях описывает сме
где U(x,t) играет роль потенциала низкочастотной волны. Следует заметить, что уравнение (1) с заданным потенциалом U(x,t) во многих случаях описывает смесь газов в магнитных кристаллах, обладающую слоистой структурой, где взаимодействие между слоями влияет на динамическое поведение кристалла. В низкотемпературном пределе ее можно отождествить с моделями бозе-газа в теории
I. В низкотемпературном пределе ее можн конденсированных сред.
Наиболее обобщенными (1) являются векторные варианты нелинейного уравнения Шредингера (НУШ):
Эти
+ ^ (x, t = 0; j = 1, п .
уравнения возникают при исследовании уравнений динамики намагниченности в магнетиках физики плазмы, где моделируют, в частности, взаимодействие ленгмюровских волн. Аналогичные уравнения возникают при исследовании взаимодействия спиновых волн с фононами в ферромагнетиках [1,2] и экситонов с фононами в молекулярных кристаллах [3].
Адрес для корреспонденции: Фарход Рахими. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр.Рудаки, 33, Президиум АН РТ. E-mail: frahimi2002@mail.ru ; Курбониён Мехрдод Субхони. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/1, Физико-технический институт АН РТ. E-mail: mehrdod-92@mail.ru
Целью настоящей работы является применение алгебро-геометрического метода, впервые предложенного Н.А.Чередником [4] для построения решений векторных и скалярных вариантов НУШ, где он позволяет получить в явном виде известные и новые многосолитонные решения этих уравнений [5,6].
Как известно, в большинстве физических задач возникают системы уравнений типа векторного нелинейного уравнения Шредингера:
(2)
А
к + кхх + и (X t)к = ^ .
г¥ъ +¥2ХХ + и (X t )к = 0 со следующим самосогласованным потенциалом
и (" t) = Щ^2 +Щ&2.
С помощью предложенной конструкции [7,8] можно получить многосолитонные решения уравнений (2) с убывающими граничными условиями. С этой целью эрмитову матрицу Егу примем в
таком виде:
(Е)
С помощью данной матр
2а?
+ У2Р1
+ Г2Р1
Э рмитову
1ау2Р2
(3)
писать:
где
шцы (3) Эр
и Э
и+£ а$ = £ а к Г - Е к (х?) (х/)=
\> 1 у
Е,,= Су (ЕЫ) ф, (t )=Ьк(.
согласов
(4)
, t, ), г = 1, п.
Условие самосогласования (4) означает, что функции Ф1.., Фп; ^¡...щ дают решения (Н+п)-
__ Т 7 в
компонентного векторного НУШ, причем функции Фу(х^) имеют осциллирующую асимптотику при
|х| ^да, а функции щг(х, 0 экспоненциально затухают при больших х.
~......"Г*
£ кгЕг]¥] = -а (кк + к к2 ) ,
г, у=1
где
ф1 =Гк1 + Г2к
= Д¥х + Д2^2
Таким образом, рассмотрим простой вариант условий самосогласования, то есть
Е(к) = к . (5)
Теперь матрица (Су) выражается через матрицу (Е, и функцию (5) следующим образом:
2^Д £(гД2 +/2Д1) Х\ ~ Х\
( ,
Х\ Х\
£
(/1Д2 + / 2Д1)
—2 _ —2
Константы уи pi будем считать положительными, а £=1. Рассмотрим три варианта расположения полюсов:
1т х>0,1т х2<0 и в силу теоремы 2 [6] дол выполняться следующие услс
1 2/Д _ 2/Д
1т х>0,1т х2<0. В этом случае матр
чит, что должны выполняться такие неравенства:
>
должна быть положительно определенной. Это зна-
1т х1<0,1т х2<0. В этом случае Эрмитова матрица
2Д
(о.-
1
-С, I должна быть отрицательно определенной.
2/А <0,
1 «2)_+ (Д1 Д2 ) > УЛ+ /Д
Теперь перейде пользуем соотношения
ем к пол ем к пол
Д1Д2 Д1Д2 /Д УдДг
лучению явного вида решений системы уравнений (2). Для этого ис-
x, t, Х) =
_ 6sXM{x,t,x)
Jx+ix t
det M ( x, t)
(6)
где:
Mj = Cj +
X Xj
= Xi (x+x •t); i, j
Mv=Mv,iJ = l,N- M00=1;M„=,
M>, =(x-x) e-iUi
а также ^ = res^(x, t, x) .
^2 =
где
После чего получим явный вид функций ¥1 и W2:
=
1 det M ( x, t)
det M (x, t)
A2 + ^+XC, ^ (S+Le 1 x ^
^ > Ы2
det M (x, t ) = C„C22 +| C12| +
+ £iL e^i( W2 (xt )-Wl( x,t)) _ ePi (x,t )+P2 (x,t) ^ r2(2Pi(
ei( w2 (
X21
;,t )-Wi (x,t))
л
X12
Общее решен
|Xl2 | X11X22
том виде можем написать [9,10]:
зние системы (2) в более окончател]
лР^£ cosh (p (x ) + h,) + B/q2 x+°^ch (p2 ( x + v2t) + ai)
B1ch(p+ (x + v+t) + h) + B2ch(p (x + vt) + h) + B.
( qx + rnt + ®01)
/X ' T \\
Здесь с учетом соотношений (6) введены следующие обозначения:
Щ(x,t) = «x + (« - p)t. W (x,t) = «2x + (« - P)' .
P (x t)
= Д (x + 2«t) ; P2 (x, t) = p (x + 2«t);
X1 = « + /Д; X2 =«2 + ip2.
1
h. = —ln
n 2
X21
X11X22C2:
, К = — ln
2 2
C11X1;
X22C2:
(8)
Х г, Х г X, ;
Ху Хг ХХ ;
д = °2-о; а = (а22 ) + (Д-Д);
д = о; ^ =а?~ д2; д2 =°2;: ю2 = а\-Д2; Д+ =Д +Д2; Д у+ = 2 (°2Д2 +оД ) . = 2 (о
= 2о1; V2 = 2о2;
л __/ 2'И.2 V' 1 12 / 2 11/
д =_ГДХ21 (Д ХСХХ -ДС22 _/2Х12
2 х„х.
2 -12-22 (/2
6 ^
Х21Х11 (/1С12 ' /2 С11 Г /аи .
С21 /1С22 )
. =
ДХ:
21
Х12 Х22 Д2С21 - ДС22 )■
Нетрудно заметить, что с помощью найденного двухсолитонного решения (8) можно описать взаимодействие спиновых волн в узлах магнитных кристаллических решеток, что влияет на динамическое поведение кристаллов.
Также можно проверить, что при любом расположении полюсов функции (8)
Фщ^ ^ 0
экспоненциально затухает.
Полученные решения можно применять для вычисления выражений динамического структурного фактора, которые используются для анализа эксперимента рассеяния нейтронов от газа соли-тонов и магнон-фононных взаимодействий.
В заключение отметим, что для нелинейного уравнения Шредингера с заданными самосогласованными потенциалами существуют как односолитонные, так и двухсолитонные регулярные реше-
ния.
Поступило 30.
ЛИТЕРАТУ
1. Косевич А.М., Иванов Б.А., Ковалев А.С. Нелинейные волны намагниченности. Диамические и топологические солитоны. - Киев: Наукова думка,1983, 286 с.
2. Барьяхтар В.Г., Иванов Б.А. В мире магнитных доменов. - Киев: Наукова дум
3. Stener М., Villain J., Windsor C. Theoretical and experimental studies on 1-1 gnetic systems. -Adv.Phys., 1976, v. 25, pp.87-209.
4. Гайдидей Ю.Б., Локтев В.М. К теории анизотропных ферромагне ов. - ФНТ, 1977, №3, с. 507-513.
5. Papanicolaou N. Psevdospin approach for planaz ferromagnets. - Nucl. Phys., 1984, B.12, рр.281-285.
6. Mead R.L., Papanicolaou N. Semiclassical and variational approximation for spin-1 magnetic chains. -™ ~ ----------Ы429.
Х. - ФТТ,
Phys.Rev., 1982, B.26, pр.1416-1429. 7. Абдуллоев Х.О., Муминов Х.Х. - ФТТ, 1994, т.36, №1, с.170-178.
ке с учетом квадрупольной спиновой динамики. - Изв. АН РТ. Отд.физ.-мат., хим.и геол.н., 1995,
Абдуллоев Х.О., Муминов Х.Х., Рахимов Ф.К. Магнитные солитоны в легкоосном ферромагнети-
й динами
№1, с.30-32.
9. Дубровин Б.А., Маланюк Т.М., Кричевер И.М., Маханьков В.Г. Точные решения нестационарного уравнения Шредингера с самосогласованными потенциалами. - Эчая, 1988, т.19, И.3, с.579-621.
10. Абдуллоев Х.О., Муминов Х.Х., Маханьков В.Г., Рахимов Ф.К., Якубова Х.С. Двухсолитонные решения СНУШ с конденсатными граничными условиями. - ЖГФ, 1995, т.65, и.6, с.191-196.
Ф.Рахими, ^.О. Абдуллоев*, А.Т.Максудов**, М.С.Цурбониён*
^ллли муодилаи гайрихаттии шредингер бо потенсиал^ои
худмувоф^ишаванда
Раёсати Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон, *Донишго^и миллии Тоцикистон, *Донишгох,и давлатии Хуцанд ба номи академик Б.Еафуров,
***Институти физикаю техникаи ба номи С.Умарови Академияи илм^ои Цумхурии Тоцикистон
Дар кори мазкур усули алгебравй-геометрии сохтани халли вектории муодилаи гайрихатии Шредингер бо потенсиалхои худмувофикшаванда дар шакли хдлли доимии яксолитонй истифода бурда шудааст.
Калима^ои калиди: фотон, магнон, киристаллуои магниты.
F.Rahimi, H.O.Abdulloev*, A.T.Maqsudov**, M.S.Qurbonien***
solution of the nonlinear schrodinger equation taking into account self-consistent potentials
Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan Tajik national University, B.GafurovKhujandState University, S.Umarov Physical-Technical Institute, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
"
tun
4>
r nonlinea:
In this paper we used algebraic-geometric method for constructing solutions of the vector nonlinear Schrodinger equation with self-consistent potentials given in the form of regular one-soliton solutions. Key words: photon, magnon, magnetic crystals.
л
^ Л- v w
A Jv JV
