Численное моделирование магнитоупругих взаимодействий в системе спаренного нелинейного уравнения Шредингера и уравнения Буссинеска Текст научной статьи по специальности «Математика»

МУМИНОВ ХИКМАТ ХАЛИМОВИЧ-

д.ф-м.н., профессор, член-корр. АНРТ, директор Физико-технического института им. С. Умарова.

САДЫКОВА ХАФИЗА МУХАМАДИСХАКОВНА-соикатель кафедры математических методов в экономике ТГУПБП.

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МАГНИТОУПРУГИХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ В СИСТЕМЕ СПАРЕННОГО НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА И УРАВНЕНИЯ БУССИНЕСКА

1. Введение

Численное компьютерное моделирование комплексных нелинейных систем, описывающихся в рамках нелинейных эволюционных уравнений или их систем, при наличии диссипативных членов и подкачки, зачастую являются единственным и весьма эффективным средством исследования. Прежде всего стоит отметить, что на роль численных экспериментов и компьютерного моделирования в изучении нелинейных волновых эволюционных процессов указывалось в работах Маханькова В.Г. [1] и ряда других авторов. Немаловажное значение имеет факт, что само зарождение нелинейной науки, связанное с решением проблемы Ферми-Паста-Улама, а затем и, собственно, обнаружение солитона, связано непосредственно с компьютерным численным моделированием.

Создание новых мощных аналитических методов в теории нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, таких как метод обратной задачи рассеяния, преобразования Бэклунда, метод Хироты, методы одевания и делинеаризации, тем не менее, не привело к снижению роли численных методов исследования. С очевидностью это проявилось при обнаружении неупругого рассеяния солитонов, а затем при исследовании систем при наличии и подкачки. Именно последнее ознаменовало открытие эпохи изучения процессов хаотического поведения, самоорганизации и бифуркаций в сложных комплексных системах, описываемых нелинейными эволюционными уравнениями [1].

В данной работе нами проводятся численные исследования одной из подобных систем, описываемых в рамках кубического нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) и уравнения Буссинеска. Подобная система уравнений была получена, в частности, при исследовании магнитоупругого взаимодействия в квазиодинарной модели ферромагнетика Гейзенберга в квазиклассическом длинноволновом приближении при учёте атомных смещений [2].

2. Основные приближения модели

Таким образом, мы рассматриваем гейзенберговскую ферромагнитную цепочку спинов, взаимодействующих с атомными смещениями путем модуляции обменного взаимодействия.

На квантовомеханическом уровне данная модель описывается следующим гамильтонианом:

И = И, + Ир, (1)

где спиновая часть гамильтониана

И = -;01 {£Д.1 +л£22|, (2)

a фононная часть, учитывающая смещения узлов кристаллической решётки, имеет вид

»,-г | §+2(,.-.»,)2). и)

Здесь используются обозначения:

Д-(/ 2 - /0)/ /0 -постоянная одноосной обменной анизотропии,

ш, и р - масса и импульс _)-го атома, соответственно,

У]+1 - У А - смещение ]-

го атома из положения равновесия, к -упругая постоянная, )-индекс суммирования. Напомним, что операторы спина связаны с матрицами Паули

| =П& (4)

2

€± = 1х ± і§у и образуют алгебру БИ (2).

Матрицы Паули имеют вид:

^4,0 И' 4,0 о -,] (5)

Техника обобщенных когерентных состояний (ОКС) [3], в одноузелном приближении, позволит перейти к квазиклассическому описанию модели (1). Напомним, что обобщенные когерентные состояния, построенные на генераторах группы Би(2), что соответствует симметрии операторов, из которых построен гамильтониан (1), имеет следующий вид:

| 2 V к

ю=п і]=п(і+] У єхр]+ ) кі -к), (б)

] а

где к- номер представления группы Би(2), а - параметр квазиклассического

описания. Усреднение спиновых операторов (4) по ОКС (6) приводит к следующим выражениям:

2%,

к| 2 J \ J / I

]| 1+кл

Отметим, что связь комплексного параметра % с углами с и ф Эйлеровой параметризации определяется стереографической проекцией

(в, Л ( }

%] = *ап “2 ехР{і^] } (8) V 2

а средние от спиновых операторов принимают вид 1 = ¿{втвсов^втв^т^совв) (9)

Таким образом, гамильтониан (1) на квазиклассическом уровне порождает следующую систему уравнений

1 + 1 [5,]+ О }= 0 (10. а)

2

2

и — и +

ІЇ хх

) I = 0, (10 б)

где использованы обозначения

= I-л

(11)

О =

V ®оп J

(12)

8 = 2А / а2

X — /3а0 / /0 - безразмерная константа магнитоупругого взаимодействия, а скобки [...] ({...}) обозначают (анти) коммутатор.

При учете фононного ангармонизма энергия составляющей решеточных колебаний (3) примет вид

Р.2

Н — У + и.

2ш

где потенциал взаимодействия

ФИЗИКА ВА РИЁЗИЁТ______________________ФИЗИКА И МАТЕМАТИКА

между узлами кристаллической решетки

и -Г P(y.; - У. ). (ІЗа)

Гамильтониан (1) с учетом (13) порождает систему спаренных уравнений Ландау-Лифщица и Буссинеска, которая описывает распространение нелинейных спиновых волн; связанных с нелинейной акустической модой,

iS, + 1 [S, Sx ]+ G [S, i, {, &' }= 0 (14 а)

и — и

îî xx

2 2 - " _ а(и 2 ix — ßUxxxx + I¿SsZ Т Jxx - G (І4. б)

где

m , „ п2B

а-—7 Л, ß-

ka a' (S !J„)

І Q2

Л- - p111 (с )a З, B -Q,

2 - p -(G)ag2 - kag2

mm

Скорость звука, к - постоянная упругости.

В случае лексоосной анизотропии можно применить малоамплитудное

12

<< 1 и ввести функцию

p (x,t) = S + (x,t), |p << 1, Sz = 1 -2(p)2,p*(x,t)= S (х,t).

Тогда уравнение (14) примет вид

ipt -pxx + 2%Gup + 2AGp-AG|p2p = 0 (15.а)

Ut - Uxx - a(u 2 )xx - PUxxxx + 2ХЛ(рР)хх = 0 , (15.б)

т.е. систему спаренных уравнений Шредингера с кубической нелинейностью и Буссинеска.

В околозвуковом приближении, т.е. и~ 1, система (15) сведётся к нелинейному уравнению Шредингера с потенциалом Яджимы-Ойкавы

iPt -Px + 2xGup + 2AGp-AG|p2p = 0 (16.а)

U, + Ux +xAp\ )xx = 0. (166)

где учтено соотношение д2 -д2 --2(5, +дx)д,.

Регулярный метод нахождения многосолитонных решений уравнения (16) изложен в обзоре [4].

В статье [1] проведено аналитическое исследование системы (10) и показано, что при движении солитона с околозвуковыми скоростями возможно проявление солитонного механизма магнитоакустического резонанса, связанного с передачей энергии от магнитного солитона деформационной волне. Однако данный вопрос до конца не исследован, особенно при учёте нелинейных осцилляций узлов кристаллической решётки.

3. Численное моделирование

Для численного решения задачи Коши для системы спаренных уравнений Шредингера с кубической нелинейностью и Буссинеска будем использовать явную схему типа «wap - frog»:

^ 'п

■ фк+1

^m

Фк-1

,Äm+1 I ,Än

Фк - 2Фк + Фк

m-1

2т

h2

z,

+ 2xGUkmФк + 2АОфП - AG фк фП = 0

U+1 - 2un +U-1

um1 -2un +U- „ff -2fk + f

m-1

h2

-в

h2

m+1 2 I m 2 m-1 2

Фк Фк 2 - + Фп

h2

=0

m

гДе fn =

U„ - 2Uk + U

m -1

n

h2

Схема имеет второй порядок точности по Г и И, где И и г -шаги по координате времени.

Условия устойчивости схемы Т < к2 /2.

Анализ динамики численных решений системы (15) показывает возможность возбуждения магнитного солитона при наличии сильных деформаций кристаллической решетки. Вместе с тем, резонанс перекачки энергии из магнитной системы в фононную оказывается более сглаженным.

Ключевые слова: численное компьютерное моделирование, комплексные нелинейные системы, роль численных экспериментов, обнаружение солитона, уравнение Шредингера (НУШ), уравнение Буссинеска, гейзенберговская ферромагнитная цепочка спинов, гамильтониан на квазиклассическом уровне, магнитный солитон.

ЛИТЕРАТУРА:

1. В. Г. Маханьков. Солитоны и численный эксперимент. ЭИАЯ, 1983, т.14, вып.1. стр.123-180

1. Kh. Kh. Muminov, U.K.Fedyanin. Magnetoelastic interaction in the Heisenberg magnet model. Physica scripta, 2000, v.62,p.p. 23-30

2. А.М. Переломов. Обобщенные когерентные состояния и их применения. М., Наука, 1987, 269 с.

3. Б.А. Дубровин, Т. М .Маланюк, И. М .Кричевер, В. Г. Маханьков. ЭЧАЯ, 1988, 19, с.579.

СОДИКОВА Х.М., МУМИНоВ Х.Х.

тисоБКУНитои моделиронии таъсири

БАЙНИтАМДИГАРИИ ЧАНДИРАН МАГНИТЇ ДАР СИСТЕМАМ

ШУФТИ МУОДИЛАт ои гайрихаттии шредингер ВА

БУССИНЕСКА

Дар макола ъисобкуниъои компутерии бамоделдарории комплекси системак>ои гайрихаттї бо назардошти дар чаъорчубаи муодилаъои гайрихаттї тадкик ёфтааст. Масъалаи ъисобкуниъои тадкикотии яке аз чунин система дар чаъорчубаи муодилаи гайрихаттии кубии Шредингер ва муодилаи Буссинеска дар кори мазкур нишон дода шудааст. Инчунин таыили ъалъои ададии система нишон доданд, ки имконияти ба вулуд омадани солитонъои магнитї л>ой дорад.

H.H. MUMINOV, H.M. SODIKOVA.

NUMERAL MODELING OFMAGNETELESTIC INTERACTIONS IN THE SYSTEM OF COUPLING INLAYER

In this article the numeral computer modeling of complex in linear system is examined in a frame of in linear evolutional equation or their systems in the account of in linear Shredinger and Bussinesk equation.

The analysis of the digital system solution showed the probability of magnet soliton appearance.