CC BY
33
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2017, том 60, №3-4_
ФИЗИКА
УДК 538.955:530.146
Академик АН Республики Таджикистан Ф.Рахими, Х.О.Абдуллоев*, А.Т.Максудов**, М.С.Курбониён***
ОДНО- И ДВУХСОЛИТОННОЕ РЕШЕНИЕ СКАЛЯРНОГО НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА С САМОСОГЛАСОВАННЫМИ
ПОТЕНЦИАЛАМИ
Президиум АН Республики Таджикистан, Таджикский национальный университет, Ходжентский государственный университет им. академика Б.Г.Гаффурова, Физико-технический институт им. С.У.Умарова АН Республики Таджикистан
х* ^ ; ,
С использованием алгебро-геометрического метода интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений получены и исследованы одно- и двухсолитонные решения СНУШ с самосогласованными потенциалами Яджима-Ойкава. Полученные солитоны по аналогии с бризерами SG обладают энергией связи. Вычислены энергии связи для конкретных значений спектральных данных. Проведенные исследования показали, что для СНУШ с заданными самосогласованными потенциалами существуют как односолитонные, так и двухсолитонные регулярные решения.
Ключевые слова: магнон, магнетик, нелинейные дифференциальные уравн
тик, нелин
ДР
ро-геометр
В последние годы алгебро-геометрический метод интегрирования [1,2] стал одним из наиболее неоспоримых методов для построения широкого класса решений ряда фундаментальных нелинейных уравнений математической физики. Этот метод позволяет получить в явном виде [3,4] известные и новые многосолитонные решения данных уравнений, в частности нелинейного уравнения Шредингера, и является одним из наиболее простых методов, позволяющих получить решения и в тех случаях, когда для вспомогательных нелинейных задач нет последовательного решения прямой и обратной задачи рассеяния.
Часто в физике при исследовании нелинейных волновых процессов возникают системы нелинейных дифференциальных уравнений, моделирующих взаимодействие конечного числа волн или волновых пакетов, которые управляются скалярным нелинейным уравнением Шредингера (СНУШ):
(Г> '
+ + и (х, t = 0, (1)
* +
котором роль потенциала выполняет низ:
в котором роль потенциала выполняет низкочастотная волна, описываемая следующими уравнениями:
дx )U = - уравнение Яджима-Ойкава, (2)
Адрес для корреспонденции: Фарход Рахими. 734025, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр.Рудаки, 33, Президиум АН РТ. E-mail: [email protected]; Курбониён Мехрдод Субхони. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул. Айни, 299/1, Физико-технический институт АН РТ. E-mail: [email protected]
(д, + адх )и — Р дхи = —|4| - уравнение Маханькова. (3)
Следует отметить, что соотношения (1) [5] и (2) [6] в подавляющем большинстве случаев описывают смесь газов в магнитных кристаллах, обладающих слоистой структурой, где взаимодействие между слоями влияет на динамическое поведение кристалла. В низкотемпературном пределе их можно отождествить с моделью бозе-газа Гейзенберга, осуществляющей динамическое описание соответствующих систем.
Используя алгебро-геометрический метод интегрировани иступим к получению соли-
тонных решений СНУШ с условием самосогласования вида:
1111IV шли
и, = ± 21 14 ч^)
той теории рациональная функция Е(к) и
дующий вид:
Е ( к ) = к2 +ак + £
Рассмотрим односолитонный случай. В рамках этой теории рациональная функция Е(к) и условия самосогласования для потенциала Щх,,), который описывается уравнением (4), имеют сле-
УА-/Х
Г = е\и(*>,) \ —[74 Е 4
где Ег] = Су (Е(к1)— Е(к])).
ние можем
где матрица М (х,,,к)
'у г> "\']>Г
С учетом выбранных условий решение можем записать:
4 х,, )=Щ „4,( x,, ) = Щ ^
к) выражается соотношениями:
М7 = М7 при I * 7; М
Ч С7 + е
^ о; •
Щ=к( х + К )
I = —е гЩ при I = 7, (4)
(ю1—ю))
<ч
к = а+гр.
Учитывая (4), од юолитонное решение СНУШ сконструируем в следующем виде:
г(ах+(а2 — Р2) I+1пар)
г- 4у е1 ( Р) Р)
Ч = --, (5)
D ^(Рх + 2ар, +
где е п =
Гяу2! 1/ /2 D = \\у|2 • 2а
2а . V \
В случае N=1, используя (5), можно сконструировать «солитонный» потенциал оператора Шредингера, убывающий по всем направлениям, кроме k=-2at+const:
и ( х, t ) = -4 DЯ1p2
1
ек(Рх + 2ар, +А)у '
В данном случае величины а и Р нужно выбирать лежащими в первом квадр; плексной плоскости, то есть а > 0, Р > 0 .
В случае условия самосогласования:
и, = 21 2,
анте ком-
ГЧУ
бирать лежащими в первом квадранте к бирать лежащими в первом квадранте к
г лЗ
), но А<0 и ограни
односолитонное решение СНУШ имеет аналогичный вид, как в случае (9), но А<0 и ограничение для величины а и Р несколько другое, то есть должны выполняться равенства, то есть а < 0, Р > 0 .
Теперь приступим к получению двухсолитонных решений. Для получения двухсолитонных решений СНУШ с убывающими граничными условиями согласно конструкции [2] необходимо взять функцию Е в таком виде:
Гч*(*)=К* ^
Матрица Е, должна
А-
а иметь ранг 1
вид:
а иметь ранг 1 скалярного случая. Поэтому матрица С, должна иметь
лО
= и = 1,2,
Е
и,=1,2.
(6)
IX =Н2 ,
Vг',}=1 у
где (р =
+ у2^2 Я является убывающим при |х| ^ да решением СНУШ:
щ + щ + и (X,, )щ = 0,
сования ви
(7)
с условием самосогласования вида:
и
=-м: .
Для этих условий решение СНУШ (7) имеет такой вид:
к х,, )=л7 г4х х,, >=л
(8)
где 2х2 матрица М (х, 7) задается формулой:
м,. = 1=7 е
к2 — к2 ' к — к, Сгг + к
г 1 г 1
и для Му выполняются соотношения (4).
В явном виде решение уравнения (7) с условиями (6), (8) и (9) выражается следующим образом:
и (6), (8) и (9)
(9)
<Р =
е(а2х+(а2—Р2)7) + B2ch (Р21х + 2а2Р2, + ) е (а'х+(а?—Р)7)
„ \ г(а
С1ск(р+ (х + и+Т) + — С2 cos(дх + + о0) +
Съск (р+( х + оТ) + И2)
, (Ю)
где:
В\ =~ [А3 ■ А]У2; В2=Цлг Л2р;
2
С2 =
2
к2 к
2 2
^ С,4
Л1 =
1 1
к2 к2
V к 12 к
к.2
е"1 =
еА1 =
1 к • к2 1к 22 „ Г Л41К
л = . л =
= Л2 к к ' 4 = к2 1 к1 1
; е " =
1
/2/1
к 2 к
2 2
к 2 к
11 2 1
1/1/2^
Н =12|/1|2|/212
д = а — а2; о = а2 — а^ + р2 — Р22;
2
1
+ 2x3+2X3 + 2X3-2X3
и =——-; и =——-— ;
¡1+32 ¡2-31
Р =¡2-31; 3+ = ¡1 + ¡2.
?
= К72 - к]; К7] = К7 - ку; К] = к7 - ку.
Проверка асимптотик дает такие результаты:
Рх^+да ^ 0,
Для этого решения должны выполняться следующие условия:
1тк>0 ; 1п&2>0;
Rekl>0; Rek2>0;
>0.
Оказывается, что для условия самосогласования вида:
I? Т А.
(11)
, как (10), I
1тК1>0; 1тК2>0; Rek1<0;
СНУШ (7) имеет такое же решение, как (10), но для (11) Х<0 и ограничения для К1 и К2 следующие:
ичения дл
Rek1<0; Rek2<0.
Проверка асимптотик дает такие же результаты, как в случае (10).
""V___хГ^Т .Л^Ч' _
литон такого типа принципиально от ичием внутренней степени свободы,
На наш взгляд, солитон такого типа принципиально отличается от известных солитонов своей
динамикой и явным наличием внутренней степени свободы, характеризуемой частотой т. Поэтому, по аналогии с бризерами уравнения SG, эти бризеры обладают энергией связи. Известно, что величина энергии связи зависит от значения констант т и q в (10). В пределе ощ^-0 энергия связи тоже стремится к нулю, энергия бризера состоит из суммы энергии каждого солитона, а энергия 7-го соли-
] В ведем энергию бризера с полюсом К1 и К2, как функцию, где
I Гр {
е (к2 ) = д|рх (к к2 )|2-щ (к2 )|
лгоритм д
йх .
длагаем следующий лгоритм для вычисления энергии связи. . Вычислим энергию б зера, когда полюса расположены достаточно далеко друг от друга:
Е0 = Е ( k1, к2 ) .
2. В качестве энергии первого солитона выберем значение функции:
Е = 2 (К К),
где к[ достаточно близко расположен к к1.
3. Энергия второго солитона вычисляется по формуле:
E2 = 2 ( к2, к2),
где к'2 достаточно близко расположен к к2.
4. Тогда энергия связи вычисляется по формуле:
ECB = Е1 + Е2 — Eo
Так для конкретных значений
к1 = 0.017 + /0.087; к
к[= 0.0"7 — /0.087 ;
получаем следующие значения энергий:
к2 = 1 — /0.15; Е1 = 20.8644; Е2 = 20.8555;
■ 100% =
^^ V ^
В заключении следует отметить, что проведенные исследования показывают [7,8], что для
СНУШ с заданными самосогласованными потенциалами существуют как односолитонные, так и двухсолитонные регулярные реше
Полученные решения можно использовать для вычисления общего выражения динамического структурного форм-фактора, используемого для анализа экспериментов по рассеянию нейтронов на газе, солитонов в магнетиках, а также в гейзенберговских ферромагнетиках с магнон-фононным взаимодействием.
се в гейзенберговских ф
Поступило 08.02.2017 г.
ЛИТ]
1. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа, 2-ое изд. - М.: Наука, 1965,
_____ЕРАТУРА
болев В.И. Эле менты фун
520 с.
2. Дубровин Б.А., Маланюк Т.М., Кричевер И.М., Маханьков В.Г. - ЭЧАЯ, 1988, т.19, в.3, с.579.
3. ^Абдуллоев Х.О., Рахимов Ф.К., Маханьков В.Г., Муминов Х.Х. - ЖТФ, 1995, №6, т.65, с.191.
4. Абдуллоев Х.О., Рахимов Ф.К., Маханьков В.Г. - ДАН РТ, 1994, №1, т.37, с.20.
5. Yajima N., Oikawa M., Satsuma J., Namba C. - Rec. I st. appl., Phys.Rep., 1975, XXII, v.70, p.89.
6. Makhankov V.G., Pashaev O.K. - TMF, 1982, v.53, p.55.
7. Абдуллоев Х.О., Маханьков В.Г., Рахимов Ф.К. Введение в теорию солитонов. - Душанбе, 2006, 167 с.
8. Абдуллоев Х.О., Максудов А.Т., Муминов Х.Х. Система уравнений для ферромагнетиков с обменной и одноионной анизотропией. - ФТТ, 1992, т.32, п.2, с.544-547.
Ф.Рахими, ^.О.Абдуллоев*, А.Т.Ма^судов", М.СДурбониён"*
^АЛЛИ ЯК ВА ДУСОЛИТОНИИ МУОДИЛАИ ГАЙРИХАТТИИ СКАЛЯРИИ ШРЕДИНГЕР БО ПОТЕНСИАЛ^ОИ ХУДМУВОФ
КИШАВАНДА
Раёсати Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон, *Донишго^и миллии Тоцикистон, **Донишго%и давлатии Хуцанд ба номи академик Б.Р.Раффуров, ***Институти физикаю техникаи ба номи С. У. Умарови Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Бо истифодаи усули алгебравй -геометрии интегронидани муодиладои дифференсиалии гайрихаттй, далли як ва дусолитонии МЕСШ бо потенсиалдои худмуфовикшавандаи Ячим -Ойкав ёфта ва тадлил карда шуданд. Солитондои бадастовардашуда, шабед бо бризери SG энергияи алока доранд. Энергияи алока барои содаи муайяни киматдо дисоб карда шудааст. Тадкикотдои гузаронидашуда нишон медиданд, ки МЕСШ бо потенсиалдои худмуфовикшавандаи муайян дам далли як ва дам далли дусолитонии доимй доранд. Калима^ои калиди: магнон, магнетик, муодиладои дифференсиалии гайрих
F.Rahimi, H.O.Abdulloev\ A.T.Maqsudov**, M.S .Qurbonien*
ONE AND TWO-SOLITON SOLUTION OF THE SCALAR NONLINEAR SCHRODINGER EQUATION WITH SELF-CONSISTENT POTENTIALS
Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, Tajik National University,
B.Gafurov KhujandState University,
ncal-Tech
S.U.Umarov Physical-Technical Institute, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan
Using algebraic-geometric method for integrating of nonlinear differential equations one and two-soliton solutions SNSE with self-consistent potentials Yajima-Oikawa are obtained and studied. These solitons similarly to the SG breathers have a binding energy. Binding energies are calculated for specific values of the spectral data. Studies have shown that for a given SNSE self-consistent potentials both one-soliton and two-soliton regular solutions exist.
