CC BY
68
МУМИНОВ ХИКМАТ ХАЛИМОВИЧ
- д.ф-м.н., профессор, член-корр. АНРТ, директор Физико-технического института им. С. Умарова. ШОИРА МУХАМЕДОВА- соискатель кафедры информационных систем в экономике ТГУПБП.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ КЛАССИЧЕСКОГО АНТИФЕРРОМАГНЕТИКА
ГЕЙЗЕНБЕРГА
В данной работе мы изучаем поведение динамики намагниченности в так называемой двухподрешеточной модели антиферромагнетика Гейзенберга
н. = 1£{§Ж.
] ^
где I - обменный интеграл, §1 - оператор спина для ]- го узла
кристаллической решетки, а суммирование проводится по всем индексам
После проведения известной процедуры перехода к квазиклассическому описанию квантового гамильтониана получается классический гамильтониан, который имеет следующий вид:
2 а0
- («, + Л)2 + [ )2 + (5„ )2 ]-А(Бг + БГ)
(1)
Здесь Б - значение спина, I - обменный интервал, а0 - период
кристаллической решетки, ї1 и Б2 - векторы классического спина (что эквивалентно, с точностью до некоторого фактора, вектору
намагниченности), а А - постоянная анизотропия. Нижний индекс х обозначает частную производную.
Гамильтониан (1) порождает следующую систему уравнений, которая описывает динамику вектора намагниченности для двух подрешеток модели в отдельности
п б і, _- б 2ііа°-
(2)
ПБ 2, _ -Б21
2т I а0
Б х Ї2 хх
+ АБ 2
Б2 х ег
- 2
Б х Б
Где здесь е2 - орт система координат, П - постоянная Планка. Для удобства дальнейшего описания системы обычно вводят два новых вектора: вектор
ферромагнетизма М и вектор антиферромагнетизма Ь [1]
М _ Б1 + Б2, Ь _ Б1 - Б2 (3)
где соответственно, для векторов намагниченности, будут справедливы следующие соотношения
Б _
М + Ь
Б 2 _
М - Ь
(4)
2 2 Как видно из (3), будут выполняться следующие соотношения
М • Ь = 0, М2 + Ь = 4§02 = 4 (5)
Отметим, что подобный переход к новым векторам позволяет выделить быструю и медленную компоненты динамики намагниченности и фактически соответствует известному преобразованию Холдейна [2]. Во всех вышеприведенных уравнениях полагается, что длина вектора классического спина §0 = 1. С учетом выражений (3) и системы уравнений (2) получается следующая система уравнений:
2П дМ
_ а°- І х Ь ]+ А(Ье )[Ь х е] Б2І д, 2 і ххі 1 2І
2П дЬ
_[м х ь ]
(6)
Умножая второе уравнение системы (6) слева на вектор Ь векторно, получим следующее уравнение, связывающие вектор намагниченности с вектором антиферромагнетизма.
п
М
2 Б2!
г дЬ Ь х —
д,
(7)
Уравнение (7) показывает, что динамика вектора намагниченности связана с эволюцией вектора антиферромагнетизма, т.е. динамика вектора антиферромагнетизма является определяющей. Подставляя соотношение (7) в первое уравнение системы (6), получаем следующее уравнение:
Ь х<с‘
д2Ь д2Ь
дх2 д,2
+ (о0Ь Іг
0 (8)
Здесь введены следующие обозначения:
2Q
2h2 ' Q h2
Как видно, уравнение (8) является Лоренц инвариантным.
Вводим обозначения
т = —; 1 = —; (10)
2§ „ 2§ 0 ^
Для векторов 1 и т справедливо соотношение
т • 1 = 0, т2 + 12 = 1 (11)
Имея в виду последние обозначения, система уравнений (7) и (8) приводит нас к следующей системе:
і x
дХ2 &2
+ 0,
_Q
m _ —
SI
і x
д,
(12.a ) (12.б)
Первое уравнение (12.а) этой системы является хорошо известным уравнением классического антиферромагнетика Гейзенберга или так называемой нелинейной О(з) сигма моделью нелинейной теории поля. Оно
находит широкое применение в непертурбативных моделях теории поля. Как
видно, для вектора 1 справедливо следующее соотношение:
і д!. 1 дИ _ q
д, 2 д,
(13)
Уравнение (12.а) допускает переход к другим видам параметризации вектора антиферромагнетизма і . В эйлеровой параметризации
і Х _ sin в cos p, і у _ sin в sin p, і z _ cose (14)
уравнение (12. а) сведется к следующей системе уравнений [1]
С
h
д2в д2в
дх2 д,2
■ + •
д?
д,
дх
дх
д
д,
- с 2
зт-6?
д,
-02 > БІпбсозб _ 0
(15.а ) (156)
В терминах стереографической проекции, система уравнения (12. а) может быть приведена к следующему виду: [3]
(1 + г * г
д, дх
2
2 г *
(&л 2 vдx у
+ (1 - г * г) _ 0 (16)
В этом уравнении комплексная функция ъ определена на двумерной комплексной плоскости, на которую производится стереографическая проекция [4]. Как известно, связь между комплексным параметром стереографической проекции и Эйлеровыми углами имеет вид :
(17)
Аналогично определяется связь между вектором антиферромагнетизмом 1 и
параметром ъ:
1.. _
г-г
1 + Ы
1=
1-г 1 + г
(18)
2
2
2
с
*
Нетрудно заметить, что полученная система уравнений является Лоренц - инвариантной, т.е. релятивистской. Подобные модели, описывающие (изо)-векторные поля, известны в теории поля начиная с работ Скирма А.Р. [5] и развиваются особенно бурно в последние годы в связи с предлагаемыми альтернативными Стандартной модели непертурбативными теориями поля. Эти модели входят в класс так называемых нелинейных (изо)-векторных сигма - моделей теории поля.
При учёте колебаний кристаллической решётки, т.е. смещений узлов кристаллической решётки, вызванных как распространением акустических волн, так и распространением связанных с ними нелинейных волн антиферромагнетизма, необходимо учитывать смещения узлов кристаллической решетки в гамильтониане. При учёте смещения узлов кристаллической решетки система становится достаточно сложной, и представляет собой сумму спинового и фононного гамильтонианов.
H = И, + Нр (19)
Здесь
Н, =IS-f-^-'^>+i +AS;j} (19а)
-
>2
н р = 1 +^,- У,)[ (1*б)
]- номер узла кристаллической решетки, & - оператор спина, Р, и т - импульс и масса атома, У(У )- потенциал упругого взаимодействия между атомами кристаллической решетки. Отметим, что потенциал (р(у) может быть как линейным, так и учитывать ангармонические колебания узлов кристаллической решетки, которые могут иметь место при больших амплитудах их смещений от положений равновесия.
Процедура, аналогическая описанной выше, приводит нас к системе спаренных уравнений классического антиферромагнетика Гейзенберга и Буссинеска.
1 х (д1 -§)
+ (д + Xй )[ег ( )= О
(20)
uu - ux - a(u2 )xx - Pu^ + xA[ez )2 ] = 0
Отметим, что в уравнении (19.б) учтён ангарманизм колебаний кристаллической решётки. При отсутствии ангарманизма, т.е. при а = в = 0 , система (20) сведется к спаренной системе уравнений антиферромагнетика Гейзенберга и волнового уравнения.
Основная трудность при численном моделировании уравнений классического антиферромагнетика Гейзенберга заключается в появлении сингулярностей их в полюсах сферы. Поэтому проведение прямого численного моделирования уравнения (15) и (20) затруднено из-за появления ошибки деления на ноль, или переполнения регистра, при приближении к полюсам изосферы. При проведении моделирования в параметризации компонент вектора ферромагнетизма, т.е. уравнения (12.а), необходимо на каждом шаге численного интегрирования корректировать выполнение
условия 1 = const, что приводит, в конечном счете, к появлению
неконтролируемой ошибки в численном счёте. При решении данной задачи нами предложена схема вычислений, которая заключается в выборе полюса, из которого производится стереографическая проекция, в зависимости от нахождения вектора антиферромагнетизма в верхней или нижней полусфере. То есть при нахождении вектора спина в верхней полусфере,
стереографическая проекция проводится из нижнего полюса в верхнюю комплексную плоскость. А при нахождении вектора антиферромагнетизма в нижней полусфере проекция, соответственно, производится на нижнюю комплексную плоскость. Окончательный результат «сшивается» по экватору. Таким образом, хотя для проведения численного моделирования используется уравнение (16), однако удается избежать сингулярностей.
Явная разностная схема, построенная нами для проведения численного моделирования, имеет вид:
1+
к 2 I
zm I
m J
zk+l — 2zk
mm
+z
к—1
z/" — 2z
m+1 m
+z
к Л
m—1
И2
( „ к+1 к Л 2
z — z
mm
2т
к
z — z
m+1 m
2И
+
+11 — zк
=0
И
2
2
т
2
к
z
m
Здесь т и h - шаги по времени и координате соответственно. Условие
h2 г -I
устойчивости явной разностной схемы (21) т<— [6].
6
Таким образом, проводя численное моделирование, т.е. решая задачу Коши для уравнения (20), можно находить новые солитоноподобные решения модели классического антиферромагнетика Гейзенберга. Задача моделирования процессов, описываемых уравнениями (20) и (16), будет сводиться к построению разностной схемы типа «leap - frog».
Ключевые слова: поведение динамики намагниченности, двухподрешеточная модель, антиферромагнетик Гейзенберга, классический гамильтониан, динамика вектора намагниченности, эволюция вектора антиферромагнетизма, построение разностной схемы типа «leap - frog».
ЛИТЕРАТУРА:
1. Косевич А., Ковалев Б., Иванов А. Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. Киев, Наукова Думка, 1983 г. 184с.
2. F.D.M.Haldane. Nonlinear Field Theory of Large-Spin Heisenberg Antiferromagnets: Semiclassically Quantized Solitons of the One-Dimensional Easy-Axis Neel State. Phys. Rev. Lett. 50, 1153-1156, 1983
3. Вайнштейн А.М., Шифман М.А. Двумерные сигма модели.
Моделирование непертурбативных эффектов квантовой хромодинамики. ЭЧАЯ, 1986г.
4. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.Наука, 1986г.
5. Skyrme, T.H.R. 1961. A nonlinear field theory. Proceedings of the Royal Society A, 260:127-138
6. Самарский. Теория разностных схем. -3-е изд. - М,:Наука, 1989
МУМИНОВ Х.Х.
МУХАМЕДОВА Ш. Ф., МОДЕЛИРОНИИ МАТЕМАТИКИИ МУОДИЛАИ АНТИФЕРРОМАГНИТИКИИКЛАССИКИИ ГЕЙЗЕНБЕРГ
Дар макола масъалатои вул>уд доштан ва устувории динамикаи магнитнокшавг дар модели антиферромагнитии Гейзенберг таткик карда шудаанд. Нишон дода шудааст, ки гузариш ба вектортои навин имконият медитад, ки бо тезг компоненттои динамики магнитнокшавг муайян гарданд. Тал>рибатои компутерг ва тадкикоти аналитикг бо усули функсиятои санл>ишг аз устувории динамикаи магнитнокшавг шатодат медитанд.
KH.MUMINOV, SH, F. MUKHAMEDOVA.
NUMERAL MODELING OF THE GEIZENBERG’S CLASSICAL ANTIFERROMAGNETIC EQUATION
The existence and stability of magnetic dynamics in anti ferromagnetic model of Geizenberg has been studied in this article.
Computer experiment and analytical research by the method of function testing proves the existence of stable dynamic magneting.
