CC BY
37
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН ____________________________________2012, том 55, №3_________________________________
ФИЗИКА
УДК 658.567
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Х.Х.Муминов, Ш.Ф.Мухамедова
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФОРМИРОВАНИЯ ХАОТИЧЕСКИХ ДИССИПАТИВНЫХ БРИЗЕРОВ В КЛАССИЧЕСКОМ АНТИФЕРРОМАГНЕТИКЕ ГЕЙЗЕНБЕРГА
Физико-технический институт им. С.У. Умарова АН Республики Таджикистан
Проведено исследование формирования диссипативного хаотического бризера в классическом антиферромагнетике Гейзенберга при наличии диссипации и внешней подкачки на кратных частотах. Анализ динамики бризерного решения, при наличии диссипации и внешней подкачки показывает, что система выходит на постоянную энергию, проявляется удвоение периода пульсации, а фазовые траектории локализованы в конечной области фазового пространства, так называемом странном аттракторе.
Ключевые слова: диссипативные солитоны - бризер - дисперсия - нелинейность - изоспиновое пространство.
В течение последних десятилетий исследование диссипативных солитонов начало привлекать особенное внимание исследователей в связи с их ролью в процессах самоорганизации и хаотической динамикой в нелинейных динамических системах [1, 2]. Одним из актуальных вопросов является изучение поведения солитонных решений нелинейных эволюционных уравнений при наличии диссипации и внешней подкачки. Наличие диссипации достаточно хорошо объясняется с точки зрения как классических, так и квантовых эффектов при полуклассическом описании квантовых систем. Анализ динамики поведения классических солитонных решений нелинейных эволюционных уравнений, описывающих реальные физические процессы, показывает, что наличие в них диссипации оказывается весьма существенным. Динамическая система может находиться в состоянии, близком к термодинамическому равновесию, а затем перейти к состоянию самоорганизации, которое характеризуется наличием периодического динамического процесса, происходящего в этой системе, а затем, в ходе дальнейшей эволюции, при определенных значениях управляющего параметра система может перейти в хаотический режим. Подобное поведение солитонов наблюдалось в ряде работ, начиная с классических работ Nozaki, Bekki [1].
Учёт диссипации особенно актуален при исследовании реальных физических систем. Однако, с другой стороны, в реальных физических системах важным фактором является также учёт влияния внешних воздействий, таких как внешние постоянные или переменные поля, которые условно называются внешней подкачкой. Наличие внешнего электромагнитного поля не только оказывает существенное влияние на формирование солитонов, но и является решающим фактором в их образовании, и
Адрес для корреспонденции: Муминов Хикмат Халимович, Мухамедова Шоира Файзуллоевна. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Айни, 299/1,Физико-технический институт АН РТ. E-mail: muminov@phti.tj; shoira74@mail.ru
определяет динамику формирования и эволюции солитонов в классических магнетиках, как при наличии ферро-, так и антиферромагнитного упорядочения, и при этом поведение солитонов в этих системах может существенным образом отличаться от поведения таких систем при отсутствии внешней подкачки. Можно говорить о формировании диссипативного хаотического солитона, и в этом процессе существенную роль играет не столько компенсация дисперсии нелинейностью, как это имеет место в случае классических солитонов, а сколько равновесие между диссипацией, при котором солитон теряет энергию, и подкачкой внешними полями, которые компенсируют эти потери. При этом в фазовом пространстве система начинает эволюционировать вблизи так называемого странного аттрактора [1], не покидая определённую ограниченную область фазового пространства.
В данной работе по аналогии с работой [1], в которой проводилось исследование возмущенного нелинейного уравнения Шредингера с кубической нелинейностью, мы изучали хаотическое поведение бризеров возмущённого нелинейного уравнения, описывающего модель антиферромагнетика Гейзенберга. Исследуемые нами численные бризерные решения были получены ранее в вычислительных экспериментах в работах [3,4] введением некоторого специальным образом подобранного возмущения в бризеры уравнения синус-Гордона. При этом авторы [3,4] исходили из того, что модель классического антиферромагнетика Гейзенберга в меридианном сечении при ф=0 сводится к уравнению синус-Гордона. Отличие данного бризерного решения от известных бризеров уравнения синус-Гордона заключается в том, что в них учитывается также и вращение в изоспиновом пространстве, в то время как уравнение синус-Гордона описывает поведение системы в некотором меридианном сечении полного изотопического пространства. Таким образом, в данной работе мы исследуем поведение диссипативных солитонов уравнения классического антиферромагнетика Гейзенберга [5]. При наличии переменного внешнего магнитного поля и учёте диссипации уравнение будет иметь следующий вид:
I
Гд2ї д2 ЇЛ
-2^(їке,(ш‘}) + (і -Н2є2і{м) -к4вь(о})[Ге,](Є) + Гд^ = 0. (1)
Здесь і - вектор антиферромагнетизма, h - параметр внешнего магнитного поля (параллельного оси z), е2 - единичный вектор oz, о - частота внешнего магнитного поля, у - параметр диссипации.
Таким образом, в данной работе мы решаем задачу Коши для уравнения (1), используя в качестве начальных условий бризерные решения [4]. Для проведения численного моделирования уравнения (1) удобным оказывается переход к стереографической проекции. В уравнении (1) вектор і - единичный вектор, описывает некоторую сферу в изо-пространстве, которая известна как блоховская
сфера. Использование параметризации через изовектор і не является удобным, поскольку при приближении вектора к полюсам будет возникать сингулярность. При решении данной задачи нами предложена схема вычислений, которая заключается в выборе полюса, из которого производится стереографическая проекция, в зависимости от нахождения вектора антиферромагнетизма в верхней или нижней полусфере. То есть при нахождении вектора спина в верхней полусфере, стереографиче-
ская проекция проводится из нижнего полюса в верхнюю комплексную плоскость. А при нахождении вектора антиферромагнетизма в нижней полусфере проекция, соответственно, производится на нижнюю комплексную плоскость. Окончательный результат «сшивается» по экватору. Таким образом, хотя для проведения численного моделирования используется уравнение (1), однако удается избежать сингулярностей.
Тогда уравнение (1) примет следующий вид:
f г\2 г\2 \
8 z 8 z
v 8t2 8x2 y
(1 + z* z)
- 2 z*
r8z Y (8z Y
8t
8x
8z
+ (1 -H2-H4)(1- z* z) z + v— = 0.
8t
(2)
где Н = hei{wt), h - амплитуда внешнего переменного магнитного поля. Связь между вектором антиферромагнетизма l и комплексной функцией г определяется стереографической проекцией [4]:
Рис.1. Стереографическая проекция S2 —— CP2
I =
z + z 1 + Izl2
. z - z
1 + z '
I =■
1 - |z|'
1 + Izl:
(3)
Напомним, что связь комплексного параметра стереографической проекции и вектора антиферромагнетизма с эйлеровыми углами имеет вид
в
z=tg 2 * •
а вектор антиферромагнетизма в эйлеровой параметризации имеет вид
l = (sin 0 cos (р, sin 0 sin (р, cos 0).
(4)
(5)
Для численного моделирования уравнения (2) была написана трёхслойная разностная схема на пятиточном шаблоне с весами явного типа, второго порядка точности как по времени, так и по координате.
- 2 zt + z:
('-I ií)
ч
+(l-H2-H4 )(l-| z‘m\-)
Zm+1 2 Zm + Zm-1
h2
zk +l - zk 2
2r
f 7k _ 7k \ zm+1 2 h
zk + y
m
k+1 к Z - z„
2t
= 0.
(6)
h2
Условие устойчивости явной разностной схемы т<— . Моделирование велось на отрезке
6
x G [-24,24] с шагом по координате hx=0.04 на промежутках времен T G [0,400] с шагом по времени т=0.01. Для контроля точности численной схемы вычислялся интеграл энергии, который в тестовых вычислениях сохранялся с относительной точностью AE / E « 10 5 -10 6. Для анализа результатов численных экспериментов использовались программы визуализации и прикладные программы по быстрому преобразованию Фурье системы Matlab. На границах области интегрирования вводились граничные условия типа «чёрный ящик», то есть область сильного затухания, поглощающая возможное излучение солитонов, то есть эффективно моделировалось излучение солитона на бесконечность, и таким образом устранялась возможность отражения волн от границ области моделирования.
Численные эксперименты проводились при широком варьировании области изменения параметров диссипации и подкачки. Формирование устойчивого диссипативного солитона наблюдалось при следующих параметрах подкачки О = 0.8, h =0.8 и затухания, у 1=-0.0005, у 2= -0.3. Результаты численных экспериментов приведены на рис. 1-3.
4.4
4.2 4
3.8 3.6 3. 4
3.2 3
2.8
50
100
150
200
250
300
350
400
Рис.2. Зависимость полной энергии бризера от времени при параметрах О = 0.8 , h =0.8, у 1= -0.0005, у 2= -0.3, t=0 ^ 400
0
Рис.3а. Эволюция плотности энергии бризера при параметрах О = 0.8 , h =0.8, у 1= -0.0005, у 2= -0.3, г=0 ^ 400.
X 120
100
80
60
40
20
100 200 300 400 500 600 700 800
т
Рис.3б. Эволюция плотности энергии бризера при параметрах О = 0.8 , h =0.8, у 1= -0.0005, у 2= -0,3, г=0 ^ 400.
Рис.4. Фурье-анализ при параметрах: 0 = 0.8 , И =0.8, у 1= -0.0005, у 2= -0.3, 1=0 + 400.
Полная энергия бризерного решения (см. рис.2) при наличии диссипации и подкачки выходит на постоянный уровень с периодическими пульсациями, изменяющимися от 3 до 4.2 единиц, и при этом картина изменения полной энергии бризера от времени носит строго периодический характер. Как видно (см. рис.3а и рис.Зб), солитон является пространственно локализованным и в то же время присутствуют строго периодические пульсации. Из зависимости полной энергии от времени видно, что проявляется удвоение периода пульсирующего хаотического диссипативного солитона. Фурье-анализ (см. рис. 4) сформированного решения показывает наличие нескольких гармоник бризерного решения. Очевидно, что вдобавок к бризерной динамике появляется дополнительная частота, являющаяся следствием удвоения периода пульсации хаотического диссипативного солитона.
2
I
а
1.8
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
/
'
0
5
Е
Рис.5. Фазовый портрет системы - зависимость плотности энергии бризера в центре солитона от её полной энергии 0 = 0.8 , И =0.8, у 1= -0.0005, у 2= -0.3, 1=0 ^ 400.
2
3
4
Фазовый портрет (см. рис.5) показывает, что при параметре диссипации у 1=-0.0005, у 2= -0.3
и подкачки о = 0.8, h =0.8 фазовые траектории локализованы в конечной области фазового пространства, так называемом странном аттракторе. Таким образом, проведённый анализ показывает, что в данной системе, то есть в классическом антиферромагнетике Гейзенберга при наличии диссипации и внешней подкачки возможно формирование «долгоживущих» хаотических диссипативных бризеров.
Поступило 08.02.2012 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Nozaki K., Bekki N. - Phys. Rev. Lett. v. 50, n. 17, pр.1226-1229.
2. Под. Ред. Ахмедиева Н., Анкевича А., Диссипативные солитоны. - М: Физматлит, 2008, 504 с.
3. Муминов X.X., Чистяков Д.Ю. - ДАН РТ, 2004, т.47, №9-10, с.1-5.
4. Муминов Х.Х., Мухамедова Ш.Ф. - Вестник ТГУПБП, 2009, №3(39), с.85-90.
5. Косевич А.М., Иванов В.А., Ковалев А.С. - Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. - Киев: Наукова Думка, 1983, с.192.
6. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. - Современная геометрия. - М.: Наука, 1986, с
7. Муминов Х.Х., Мухамедова Ш.Ф. - Пакет компьютерных программ анализа динамики солитонов модели классического антиферромагнетика Гейзенберга с учётом диссипации и подкачки внешними электромагнитными полями. Свидетельство о регистрации Информационного ресурса.: Национальный патентно-информационный центр Министерства экономического развития и торговли Республики Таджикистан, № ЗИ-03.2.206 TJ, 30.05.2011.
^Д.Муминов, Ш.Ф. Мухамедова АМСИЛАСОЗИИ МАТЕМАТИКИИ ТАШАККУЛИ БРИЗЕР^ОИ ХАОТИКИИ ДИССИПАТИВЙ ДАР АНТИФЕРРОМАГНЕТИКИИ КЛАССИКИИ ГЕЙЗЕНБЕРГ
Институти физикаю техникаи ба номи С.У.Умарови Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Тадкикоти ташаккули бризери хаотикии диссипативй дар антиферромагнетики класси-кии Гейзенберг, хднгоми таъсири майдони магнитии беруна бо басомадхои каратй ва бо мавчудияти диссипатсия гузаронида шудааст. Тахлили динамикаи халлхои бризерии нитон медихдд, ки хднгоми мавчудияти диссипатсия бо параметрхои мувофик ва инчунин таъсири майдони электромагнитии беруна система муътадил гардида ба энергияи доимй майл мекунад, инчунин дучандкунии давраи набз ва давраи махрук дар худуди муайян махдуд буда, чаззобй ачоибро ташкил медихад.
Калима^ои калиди: солитонуои диссипативй - бризер - дисперсия - гайрихаттй - фазой изоспинй.
Kh.Kh.Muminov, Sh.F.Muhamedova NUMERICAL SIMULATION OF CHAOTIC DISSIPATIVE BREATHERS OF THE CLASSICAL HEISENBERG ANTIFERROMAGNET
S.U. Umarov Physical-Technical Institute, Academy of Sciencts of the Republic of Tajikistan We investigate the formation of dissipative chaotic breathers of the classical Heisenberg antiferro-magnet taking into account dissipation and pumping by the external variable magnetic fields with the multiple frequencies. Analysis of the dynamics of evolution of the breather solution demonstrate, that under according parameters of dissipation and pumping the system stabilizes and trends to the constant energy, at the same time the dissipative soliton in the phase space forms as a strange attractor.
Key words: dissipative solitons - dispersion - nonlinearity - breathers - isospin space.
