CC BY
65
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2012, том 55, №8_
ФИЗИКА
УДК 658.567
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Х.Х.Муминов, Ш.Ф.Мухамедова
ФОРМИРОВАНИЕ ДВУМЕРНЫХ ДИССИПАТИВНЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ СОЛИТОНОВ В МОДЕЛЯХ АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМА
Физико-технический институт им. С.У.Умарова АН Республики Таджикистан
Проведены вычислительные эксперименты по формированию двумерного диссипативного со-литона с нетривиальным топологическим зарядом в классическом антиферромагнетике Гейзенберга при наличии диссипации и внешней подкачки. Анализ динамики сформировавшегося диссипативного солитона показывает, что энергия системы выходит на постоянное значение при наличии осцилля-ций, а фазовые траектории системы стремятся к ограниченной области фазового пространства.
Ключевые слова: диссипативный солитон - топологический солитон - дисперсия - нелинейность -топологический заряд.
Термин солитон для обозначения уединённой волны был введён достаточно давно для описания нелинейных волновых локализованных решений интегрируемых уравнений, к которым относятся такие уравнения, как уравнение Кортевега - де Фриза, нелинейное уравнение Шрёдингера, уравнение Буссинеска и ряд других эволюционных уравнений. Эти уравнения описывают консервативные системы. Однако для большинства реальных физических процессов необходимо рассматривать ситуацию, когда в системе имеется диссипация, поскольку реальные физические системы в подавляющем большинстве являются неконсервативными. В связи с этим в последние десятилетия понятие локализованного нелинейного решения для широкого круга физических явлений было расширено на уединённые волновые решения, как для консервативных, так и для неконсервативных систем. Солитоны в неконсервативных системах называются диссипативными солитонами [1]. Они обладают целым рядом свойств, которые отличают их от солитонов в консервативных системах. Изучение свойств дис-сипативных солитонов в последние два десятилетия серьёзно расширилось в связи с возможностью широкого использования методов математического моделирования и компьютерных экспериментов, благодаря появлению мощных компьютеров. Фактически, изучение диссипативных солитонов нашло очень широкое применение в ряде прикладных областей физики и техники в таких задачах, как изучение свойств и распространения волновых пучков в световодах, при управлении намагниченностью магнетиков, при изучении нелинейных возбуждений в многослойных кристаллах ит.д.
При изучении большинства консервативных систем обычно исходят из того, что нелинейность в физической системе уравновешивается дифракцией системы, в случае если система пространственная, или дисперсией, если мы имеем дело с временной системой. В результате баланса между нелинейностью и дисперсией (дифракцией) появляется некоторая локализованная структура,
Адрес для корреспонденции: Муминов Хикмат Халимович, Мухамедова Шоира Файзуллоевна. 734063, Республика Таджикистан, Душанбе, пр. Айни, 299/1, Физико-технический институт АН РТ. E-mail: [email protected], shoira 74@mail. ru
которая условно называется солитоном, то есть уединённой волной. Локализованная система в случае диссипативных систем требует обязательного ввода в неё дополнительной энергии. В частности, необходимо вводить энергию в саму локализованную структуру с тем, чтобы система продолжала существовать и эволюционировать. Для формирования устойчивых локализованных структур в дисси-пативных неконсервативных системах более важен баланс между притоком и оттоком энергии, чем баланс между нелинейностью и дисперсией (дифракцией). Начало изучению диссипативных систем с точки зрения синергетики и развития процессов самоорганизации впервые было положено в известных работах Николаса и Пригожина, в частности в работе [2] было показано, что в результате притока энергии оказывается возможным формирование и самоорганизация устойчивых структур в дисси-пативных системах, далёких от равновесия.
В данной работе мы исследуем частный вопрос формирования диссипативных двумерных динамических солитонов, обладающих нетривиальным топологическим зарядом, в модели антиферромагнетика Гейзенберга [3]. Вопросы устойчивости двумерных топологических солитонов рассматривались ранее в работе [4].
При наличии переменного внешнего магнитного поля и учёте диссипации рассматриваемая модель классического антиферромагнетика Гейзенберга имеет следующий вид [1,4]:
l
Al---
v 2 У
_ 2 ^L (/he'M) + (l - h2e2l{wt)- h4e4t(at) )pe ](/ez ) + = 0. (1)
Здесь A = —--v—— - оператор Лапласа, h - параметр внешнего магнитного поля (параллельного
3x2 3y2
оси z), ег - единичный вектор Oz, ш - частота внешнего магнитного поля, у - параметр диссипации, l - вектор антиферромагнетизма, в эйлеровой параметризации имеющий вид
l = l0(sin^cos^, sin^sin^, cosO) (2)
Для формирования диссипативного топологического солитона численно решалась задача Коши, в качестве начального возмущения использовалось известное топологическое решение Белавина - Полякова [3], имеющее вид
0 * (x, ^ 0 = 2arctg ^Г j , (PS=VX_ , (3)
О = О( r, z), r = *J x2 + y2, ф = у+ф( r, z),
x y
y/ = X_®t, cos x = -, sin ^ = — r r
Численное моделирование уравнения (1) проводилось по алгоритму [5], аналогичному использовавшемуся для решения одномерной задачи [6]. Численное моделирование проводились в об-
ласти xе [-20.20] yе [-20.20], с шагом X =0.01, 2, =0.01 до времен Т=40 с шагом по времени
т=0.006. На границах области интегрирования вводились граничные условия типа «чёрный ящик», то есть области сильного затухания, поглощающие возможное излучение топологического солитона.
После серии вычислительных экспериментов были найдены параметры подкачки и диссипации, при которых происходило формирование устойчивого диссипативного топологического солитона. В частности, устойчивый солитон при топологическом заряде V = 1 наблюдался вплоть до времен Т=40 при следующих параметрах подкачки Ш = 0.7, h =0.7 и затухания у =-0.03. Результаты численных экспериментов приведены на рис.1.
Рис. 1. Эволюция плотности энергии топологического солитона (v = 1) при параметрах подкачки ю=0.7, h =0.7 и затухания у =-0.03. при временах Т= 0, 3, 6, 9, 18, 40.
Анализ эволюции плотности энергии (рис.1) демонстрирует резкое сужение формирующегося диссипативного солитона. В начале эволюции солитон расширяется, раздваиваясь и образуя двугорбое возмущение, которое затем сливается. Далее этот процесс повторяется с определенным периодом T ~ 6, образуя узкий пик на временах порядка 45.
Зависимость полной энергии солитона от времени (рис.2) показывает, что энергия солитона вначале нарастает и выходит на некоторый режим колебаний в диапазоне от 160 до 190.
200 -
140 -120 -100 -80 -ВО -40 -20 -
0I-1-1-1-1-1-1-1-,
О 5 10 15 20 25 30 35 «
t
Рис 2. Интеграл энергии при параметрах: СО = 0.7 , h =0.7, / =-0.03, t е [0;40].
Рис 3. Фазовый портрет системы при параметрах: ш = 0.7 , h =0.7, у =-0.03, t е [0;40].
Фазовый портрет системы - зависимость плотности энергии в центре топологического соли-тона от её полной энергии (рис.3) показывает, что фазовые траектории локализованы в конечной области фазового пространства, так называемом странном аттракторе. Таким образом, проведённый анализ показывает, что в данной системе, то есть в классическом антиферромагнетике Гейзенберга, при наличии диссипации и внешней подкачки возможно формирование двумерного диссипативного топологического солитона.
Поступило 12.06.2012 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Диссипативные солитоны./ Под ред. Ахмедиева Н., Анкевича А. - М.:ФИЗМАТЛИТ, 2008, 504 с.
2. Николас Г., Пригожин И. - Самоорганизация в неравновесных системах. - М.: Мир, 1979.
3. Белавин A.A., Поляков A.M. - ЖЭТФ, 1975, т. 22, № 10, с. 503-506.
4. Муминов Х.Х. - ДАН РТ, 2002, т. 45, №10, с. 28-36.
5. Муминов Х.Х., Мухамедова Ш.Ф. - Пакет компьютерных программ анализа динамики солитонов модели классического антиферромагнетика Гейзенберга с учётом диссипации и подкачки внешними электромагнитными полями. Свидетельство о регистрации Информационного ресурса: На-
циональный патентно-информационный центр Министерства экономического развития и торговли Республики Таджикистан, № ЗИ-03.2.206 TJ, 30.05.2011. 6. Муминов Х.Х., Мухамедова Ш.Ф. - ДАН РТ, 2011, т. 54, № 11, с 896-901.
^Д.Муминов, Ш.Ф.Мух,амедова ТАШАККУЛЁБИИ СОЛИТОЩОИ ТОПОЛОГИИ ДИССИПАТИВИИ ДУЧЕНАКА ДАР МОДЕЛХОИ АНТИФЕРРОМАГНЕТИЗМ
Институти физикаю техникаи ба номи С.У.Умарови Академияи илм^ои Чум^урии Точикистон
Экспериментх,ои хдсоббарор бо хддафи ташаккули солитонх,ои диссипативии дученака бо бори гайритривиалии топологй дар модели классики антиферромагнетики Х,ейзенберг дар х,олати мавчуд будани диссипатсия ва дамкунй гузаронида шудаанд. Та^лили динамикаи соли-тони диссипативии ташаккулёфта нишон медихдд, ки энергияи система ба киммати доимй бо лаппишх,ои назди он майл мекунад ва масирх,ои фазагии система ба сохди махдуди фазои фазагй майл мекунанд.
Калима^ои калиди: солитонуои диссипативи - солитонуои топологи - дисперсия - гайрихатти -бори топологи.
Kh.Kh.Muminov, Sh.F.Muhamedova FORMATION OF DISSIPATIVE TOPOLOGICAL SOLITONS IN THE MODELS
OF ANTIFERROMAGNETISM
S.U. Umarov Physical-Technical Institute, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan Numerical simulations on the formation of a two-dimensional dissipative soliton with non-trivial topological charge in the classical Heisenberg antiferromagnet model in the presence of dissipation and external pumping have been conducted. Analysis of the dynamics of formed dissipative soliton demonstrate that the energy of the system tends to a constant value with the presence of oscillations and phase trajectories trend to a limited area of the phase space
Key words: dissipative solitons - topological solitons - dispersion - nonlinearity - topological charge.
