CC BY
23
УДК 537.611+530.146
БОТ 10.18698/2309-3684-2016-4-316
Математическое моделирование бризеров двумерной О(3) нелинейной сигма-модели
© Ф.Ш. Шокиров
Физико-технический институт им. С.У. Умарова
Академии наук Республики Таджикистан, Душанбе, 734063, Таджикистан
Проведено исследование процессов формирования и эволюции стационарных и движущихся бризеров двумерной О(3) нелинейной сигма-модели. Определен аналитический вид пробных функций двумерного уравнения синус-Гордона, которые эволюционируют к периодическим во времени (бризерным) решениям. На основе найденных решений добавлением вращений вектору А3-поля в изотопическом пространстве £2 получены решения для О(3) нелинейной сигма-модели. Выполнено численное исследование динамики полученных решений, показана их стабильность в стационарном и движущемся состояниях в течение достаточно долгого времени, хотя и при наличии слабого излучения.
Ключевые слова: двумерный бризер, нелинейная сигма-модель, уравнение синус-Гордона, усредненный лагранжиан, изотопическое пространство, численное моделирование.
Введение. Самолокализованные в пространстве и периодические во времени решения бризерного типа нелинейных теоретико-полевых моделей, состоящих из двух противофазных солитонов, привлекают внимание многих исследователей [1-9]. Процессы формирования пространственно-однородных колебательных мод, которые можно интерпретировать как классические модели составных частиц (например, поле мезонов), представляют особый интерес в солитонной теории. Определение условий, приводящих к формированию устойчивых час-тицеподобных возбуждений, — один из ключевых вопросов нелинейных теоретико-полевых моделей, допускающих локализованные (со-литонные) решения. Особый класс практических задач в солитонной теории представляет поиск осциллирующих решений, когерентных структур, обладающих собственной динамикой внутренней степени свободы, — бионов, бризеров, дублетов, пульсонов и т. д.
Рассмотрим метод решения этой задачи, предложенный в работе [1], где исследованы процессы формирования и эволюции бризерных решений двумерного уравнения синус-Гордона (С-Г):
% " ихх - иуу + ^п и = 0 (1)
в лагранжевом и гамильтоновом подходах. В частности, на основе пробной функции вида
и
(х, у, г ) = -4агс1§
X
Бт (У) БесЬ (Хх) БесЬ (Ху)
VI—X
Х = Х(г), у = у(г)
(2)
авторами работы [1] в гамильтоновом подходе были получены численные и асимптотические решения уравнения (1) в виде устойчивых стационарных и движущихся бризерных солитонов.
В настоящей работе продолжены исследования, проведенные авторами работы [1] в лагранжевом подходе. В частности, усреднением лагранжиана
1=1 (и2- и2 - и2)-1+^ и (3)
уравнения (1) относительно быстрой фазы у(г) и решением интегрального уравнения вида
2п
1
£ =
— Г Му (4)
2п 0
получены выражения для фазовых переменных Х( г) и у( г) пробного
решения (2), которые приведены во второй части работы. На основе найденных решений уравнения С-Г (1) добавлением специально подобранных возмущений вектору А3-поля изотопического пространства £2 [9-12] получены решения двумерной О(3) нелинейной сигма-модели (НСМ). Заметим, что в работе [1] интегральное уравнение (4) решено асимптотическими методами, а результаты, полученные таким образом в лагранжевом подходе, не приведены.
В третьей и четвертой частях настоящей статьи представлены результаты численного моделирования [13, 14] найденных бризеров уравнения (1) (в качестве тестовых задач) и двумерной О(3) НСМ в стационарном и движущемся состояниях. Полученные в рамках О(3) НСМ устойчивые периодические решения, названные в этой статье бризерами, при эволюции освобождаются от лишней энергии в виде радиально-симметричных линейных волн возмущений, поглощаемых на краях области моделирования специально разработанными граничными условиями [9-12, 15, 16]. В последней части работы приведены свойства полученных результатов и возможные способы их применения для исследования других задач.
Теоретические расчеты. В настоящей работе усредненная плотность лагранжиана (3) получена в следующем виде:
£ = Е(Х)Х2 + й(Х)У2 -0(X), (5)
2 дЛ2
где2«=7—^ Л=чо; «(Л)=т=7; у=у('); 0(Л)=
(1 -Л2) VI -Л2
= ^Л^аПЬ (л)- 32.
Заметим, что динамику пробной функции (2) можно описать исследованием свойств фазовых параметров [1] Л(^) и у(^), которые в рассматриваемом случае определены [17] из уравнений:
Лй+/ (Л) Л 2 + g (л) = 0, (6)
2_Л2
Л(1 -Л 2 )
где
3Л
f W =
2 (1 -А,2 )
g (Я,) = -Я,(2)2(()arcth W-*}
Напомним, что уравнения Эйлера — Лагранжа двумерной О(3) НСМ для анизотропного случая [10-12, 15, 16] есть
2ЭЦ0ЭЦ0 + sin20(1 -ЭцфЭцф) = 0, (8)
2cos 0Э^фЭ> + sin 0Э^ф = 0,
где ц = 0,1, 2; 0(x,y, t), ф(x,y, t) — эйлеровы углы, связанные с изоспиновыми параметрами модели (8) следующим образом:
S1 = sin 0 cos ф, s2 = sin 0 sin ф, s3 = cos 0, ss = 1, i = 1,2,3.
Отметим, что уравнения (8) в специальной параметризации 20 меридианного сечения ф0 (x, y, t) = const изотопического пространства сферы S2 (рис. 1, a) сводятся [9-12] к уравнению (1) вида:
2а0 = -sin 20. (9)
Таким образом, в качестве начального приближения можно использовать выражение для пробной функции (2) уравнения С-Г (1) и, соответственно, вводя в него некоторое специальным образом подобранное возмущение (рис. 1, б):
ф(x,У, t) = фc (x,y, t0) + ют, ю^ 0,0,
путем решения задачи Коши получить новые численные решения О(3) НСМ (8) [9-12].
*3,
/ / / L— \\ \\ Л. \ \
Г I 0 / / ^ ^ \
L ^ 4 1 * ^ y\ Xl
Vi \ \ \ \ \
Рис. 1. Динамика изотопического спина S (Sp s2, s3) в пространстве сферы S2:
а — в меридианном сечении фс = const (поле уравнения С-Г в рамках НСМ); б — с наличием вращения 0 < ф < 2 л (поле НСМ)
Для полевых функций Si (i = J, 2, 3) имеем
S1 = -
2£, 2^ . 1 -£, —2COS Ф, s2 =--2smф, S3 =-
2 1 ' e2 1 + E,
2
1 + ^ ф, У, t)= -
1
2
(10)
sin (v)
cosh(Xx)cosh(Xy)
Для численной схемы применен алгоритм, разработанный в трудах [9, 15, 16], где использованы свойства стереографической проекции (рис. 2): точки верхней полусферы (S3 > 0) проецируются на касательную комплексную плоскость, проходящую через «северный полюс», точки нижней полусферы (S3 < 0) — на касательную плоскость, проходящую через «южный полюс» блоховской сферы S2. В точках «экватора» (S3 = 0) специальным образом производится «прошивка» решения, и, таким образом, выполняется взаимно однозначная проекция (компактификация S2 - ^(2omp) всех точек комплексной плоскости z (включая (x, y) = да)
z = x + iy =
S1 + iS2 1 ± S3
= tg-
0
¿ф
(11)
и сферы S :
SiSi = 1, i = 1, 2, 3.
Рис. 2. Алгоритм применения свойств стереографической проекции
Составлены трехслойные явные разностные схемы [9-16] с погрешностью аппроксимации второго порядка точности по времени
и координате О(2 +т2) [13, 14]. С учетом воздействия граничных
поглощающих условий интеграл энергии полученных моделей сохранялся с хорошей точностью Еп1о88 < 5,15% в пределах 45 000
итерационных циклов ( е[0,0, 270,0]). Получены хорошие согласования между численными и аналитическими расчетами.
Стационарные бризеры. На первом этапе в качестве тестовых моделей получены устойчивые стационарные численные бризеры (10) уравнения С-Г (9) (в рамках модели (8) при ю = 0,0), которые, изначально не являясь радиально-симметричными, эволюционировали к радиально-симметричному виду. Данное свойство подробно исследовано в работе [1]. Однако в отличие от результатов работы [1] в этой статье процесс перехода бризерного решения к радиально-симметричной форме происходит периодически (рис. 3).
На рис. 3, а приведен процесс эволюции бризерного решения (10) модели (9), в котором изначально квадратичная контурная структура бризера плавно принимает радиально-симметричную форму. В данном случае приведена эволюция плотности энергии БЫ бризерного поля при ^ е [0,0, 13,2]. Плотность энергии БЫ определена на основе
гамильтониана двумерной О(3) НСМ (в изоспиновой параметризации, 1р) [10-12, 15, 16]:
Н1Р = 2
1 г( 0 ^ )2 + ()2 + ( 2 ^ )2+(1 _ £ я^а = Ъ а = 1,2,1
ОЩО.О, /)
БЩОД /)
50 100 150 200 250 г б
50 100 150 200 250 г в
Рис. 3. Эволюция плотности энергии БИ бризерных решений (10) модели (8) (уравнения (9) при ю = 0,0), г е [0,0, 13,2] (а). Значения БИ (0,0, г) получены численным моделированием (б) и аналитически (в). Общее время моделирования
г е [0,0, 270,0]
Как было отмечено выше, в рассматриваемом случае процесс перехода бризерного решения (10) к радиально-симметричной форме имеет периодический характер. Обратим внимание на изменения значений плотности энергии БИ центральной части бризера (точка х0, ^0), полученные в результате численного моделирования
(рис. 3, б) и аналитических методов (рис. 3, в). В случае, приведенном на рис. 3, динамику центральной точки плотности энергии бризер-ного поля БИ (0, У0, г) в течение всего времени моделирования
(г е [0,0, 270,0]) можно условно подразделить на периодически повторяющиеся волновые пакеты (в данном случае наблюдаются семь условных пакетов волн разной продолжительности г е(30,0, 45,0)).
В каждом волновом пакете бризерное решение (10), изначально не являясь радиально-симметричным (рис. 3, а), эволюционирует к ра-диально-симметричному виду, но в конце каждого пакета снова теряет данное свойство [17].
Для тестовых моделей (см. рис. 3) добавлением вращения вектору А3-поля (в нашем случае ю = 0,5) в изотопическом пространстве S
получены устойчивые бризеры двумерной О(3) НСМ (8). На рис. 4 даны иллюстрации эволюции плотности энергии БЫ численных бризеров (10) О(3) НСМ (8) при ю = 0,5.
0 50 100 150 200 t 0 50 100 150 200 t б в
Рис. 4. Эволюция плотности энергии DH бризерных решений (10) модели (8) при га = 0,5, t е [0,0, 21,б] (а). Значения DH (0,0, t), полученные численным моделированием (б) и аналитически (в). Общее время моделирования — t е [0,0, 270,0]
Графики на рис. 4, б, в показывают, что в течение всего времени моделирования (t е [0,0, 270,0]) значения амплитуды центральной
точки бризерного поля можно условно подразделить на периодически повторяющиеся волновые пакеты (в данном случае наблюдаются три условных пакета волн разной продолжительности t е(60,0, 120,0)).
В каждом волновом пакете бризерное решение (10), изначально не являясь радиально-симметричным, эволюционирует к радиально-симмет-ричному виду (рис. 4, а), но в конце каждого пакета снова теряет данное свойство [17].
Заметим, что плотности энергии DH центральной части бризеров (10) О(3) НСМ (8) при наличии вращения вектора А3-поля ю Ф 0,0 (DHmax « 2,3291 в случае га = 0,5) значительно меньше относительно случая га = 0,0 (DHmax « 5,5539). При этом бризеры (10) О(3) НСМ (8) (га Ф 0,0) обладают большей энергией En относитель-
но бризеров уравнения С-Г (9) (в рамках О(3) ВНСМ при ш = 0,0). Бризерное поле (10) уравнения С-Г (9) по отношению к О(3) НСМ (8) при t > 0,0 обладает более сильным градиентом в центральной части, а также большими значениями амплитуды осциллирующей динамики центральной точки (см. рис. 3, а). Тем не менее численные и аналитические расчеты показывают, что бризерное поле (10) в случае ш>0,0 (бризеры О(3) НСМ) действует в более широком градиентном поле и обладает относительно большими значениями интеграла энергии Еп [17]. Более того, наличие вращения изотопического
спина S (51, 52 , 53 ) в пространстве сферы S2 (в данном случае ш = 0,5)
привело к определенному увеличению устойчивости бризеров (10) О(3) НСМ. При численном моделировании в течение 45 000 итерационных циклов (t е [0,0, 270,0]) общая потеря энергии Еп1о88 бризеров (10) О(3) НСМ составила:
Еп1озз (ш = 0,5)« 4,823%,
что примерно на 6 % меньше аналогичных потерь бризеров уравнения С-Г (рис. 5):
Еп1озз (ш = 0,0)« 5,109%.
ДЕп/Еп
Рис. 5. Потеря энергии Еп1ии бризеров (10) модели (8) для случаев:
-*--Еп^ (ш = 0,0) « 5,1 %; -о- — Еп^ (ш = 0,5) « 4,82 %.
Время моделирования t е [0,0, 270,0]
Движущиеся бризеры. Свойства Лоренц-инвариантности О(3) НСМ позволяют получить также модели движущихся решений. На рис. 6 приведены состояние плотности энергии БЫ бризера (10) двумерной О(3) НСМ (8) для случаев ш = 0,0 (а) и ш = 0,5 (б) при заданной преобразованием Лоренца начальной (при ^ = 0,0) скорости
у?0 « 0,7071. Как видно на рис. 6, а, движущийся бризер сохраняет устойчивость, потеря энергии на излучение при г = 45,0 составляет Enloss « 3,3731% и Enloss « 3,5401% для случаев ю = 0,0 и ю = 0,5 соответственно.
Отметим еще раз, что в наших моделях на краях области моделирования (в данном случае Ьт [3001 х 3001]) вставлены специальные
граничные условия, которые поглощают излучаемую осциллирующим солитоном лишнюю энергию в виде линейных волн возмущений. Как и в стационарном случае, контурные проекции плотности энергии БИ моделей эволюции движущихся решений (10) показывают, что в случае ю= 0,5 бризеры обладают более широким ненулевым градиентным полем (рис. 6).
со = 0
в
Рис. 6. Эволюция плотности энергии БИ, движущегося бризера (10) О(3) НСМ (8):
а — при г е [0,0, 45,0]; б — при г е [0,0, 57,0]; в — максимальные значения БИ в сечении
(х, у0); г — точность сохранения интеграла энергии бризерного поля
С ЛТ- Л АБи
V Би
— для
ю = 0,0 (80); —о--для ю = 0,5 (№>М). Общее время моделирования г е [0,0,60,0]
В случае движущихся бризеров необходимо отметить некоторые особенности изменения скорости их движения. Например, в работе [12] при исследовании взаимодействия одномерных бризеров О(3) НСМ было найдено, что скорость vt (t > 0,0) движения бризеров всегда меньше их начальной скорости vto > vt, тогда как при исследовании движущихся ТС типа кинк/антикинк всегда сохранялось равенство vto = vt. Очевидно, что в случае бризеров определенная часть их энергии в начале эволюции En (vt0 ) поглощается характерной осциллирующей динамикой. На рис. 6, а двумерный бризер (10) при t = 30,0 проходит расстояние, равное s « 8 единицам (средняя скорость — vt=30 ~ 0,2666), и общая потеря скорости vloss «0,623%. При t = 45,0 бризер проходит расстояние s « 12, таким образом, скорость движения бризера (10) при vt0 « 0,7071 является постоянной: vt « 0,2666 (при t > 0,0 и ш = 0,0).
На рис. 6, б (в случае ш = 0,5 и vt0 « 0,7071) при t = 30,0 бризер проходит расстояние s « 5 единиц (средняя скорость — vt=30 ~ 0,1666, общая потеря скорости vloss « 0,7644%). При t = 57,0 бризер проходит расстояние s « 10, таким образом, в интервале t е [30,0, 57,0] можно наблюдать увеличение средней скорости движения бризера (10) до vt=57 « 0,1754 ((« 5,3%). Разность скоростей в случаях ш = 0,0 (рис. 6, а) и ш = 0,5 (рис. 6, б), а также неравномерность значений скорости бризеров (10) О(3) НСМ (8) можно объяснить воздействием дополнительной динамики вращения изотопического спина S (51, s2, s3 )
в пространстве сферы S2.
Анализ максимальных значений плотности энергии DH бризеров (10) модели (8) в плоскостном сечении (x, J0) приведен на рис. 6, в:
max (DH (x, 0, t)). В случае ш = 0,0 аналогично стационарному случаю, приведенному на рис. 3, можно условно выделить образование двух волновых пакетов ^ «(0,0, 25,0), t2 ~(25,0, 50,0). В случае
ш = 0,5 точка max (DH(x, 0, t)) осциллирует с относительно меньшими средними значениями частоты и амплитуды. В частности, при исследовании скорости движения бризера (10) модели (8) (при ш = 0,5) выявлено существенное уменьшение ее значений в интервале t ~ (13,0, 17,0): vt ^ 0,0. Эти факторы объясняют обнаруженные выше разности скоростей бризеров (10) до и после момента t = 30,0 для случая ш = 0,5.
Заключение. В настоящей работе получены уравнения (6), (7) для фазовых параметров пробного решения (2) и определено точное аналитическое выражение для бризерного решения двумерного уравнения С-Г (9). Добавлением определенных возмущений найденным решениям получены бризерные решения (10) двумерной О(3) НСМ (8).
Отметим, что движущиеся осциллирующие решения в виде световых пуль двумерного уравнения С-Г, рассмотренные в работе [2], и стационарные периодические по времени решения, указанные в работе [3] (метастабильные бризеры), были получены приближенными методами. Движущиеся бризеры уравнения С-Г, полученные в работе [1] при численном моделировании в интервале времени t е [0,0, 50,0], излучают существенную часть своей энергии, точная величина которой в указанной работе не приводится.
Модели стационарных и движущихся бризеров двумерной О(3) НСМ, полученные в настоящей работе аналитическими и численными методами, показывают их устойчивость при различных значениях скорости их движения vt0 и частоты вращения ю^ вектора изотопического спина Ss2,s3) в пространстве сферы S2. Наличие дополнительного вращения S (ф = ф0 + ют, ю^ 0,0) приводит к определенной диссипации динамики внутренней степени свободы и плотности энергии DH бризеров (10), а также к увеличению интеграла их энергии En (см. рис. 5).
Необходимо отметить также отличительное свойство полученных бризерных солитонов вида (10), которое заключается в их особой динамике (см. рис. 3, б, в, рис. 4, б, в), напоминающей динамику систем с разрывными колебаниями. Такие колебания происходят во многих нелинейных системах, и их исследование представляет определенный практический интерес. Наконец, заметим, что результаты настоящей работы позволяют провести исследования динамики взаимодействия бризеров двумерной О(3) НСМ, где в полной мере могут быть проявлены их особые частицеподобные свойства [18].
ЛИТЕРАТУРА
[1] Minzoni A.A., Smyth N.F., Worthy A.L. Evolution of two-dimensional standing and travelling breather solutions for the Sine-Gordon equation. Physica D. Nonlinear Phenomena, 2004, vol. 189, issue 3-4, pp. 167-187.
[2] Xin J.X. Modeling light bullets with the two-dimensional Sine-Gordon equation. Physica D. Nonlinear Phenomena, 2000, vol. 135, issue 3-4, pp. 345-368.
[3] Piette B., Zakrjewsky W.J. Metastable stationary solutions of the radial D-dimensional sine-Gordon model. Nonlinearity, 1998, no. 11, pp. 1103-1110.
[4] Smyth N.F., Worthy A.L. Soliton evolution and radiation loss for the sine-Gordon equation. Physical Review E, 1999, no. 60, pp. 2330-2336.
[5] Minzoni A.A., Smyth N.F., Worthy A.L. Pulse evolution for a two-dimensional Sine-Gordon equation. Physica D. Nonlinear Phenomena, 2001, no. 159, pp. 101-123.
[6] Malomed B.A. Decay of shrinking solitons in multidimensional sine-Gordon equation. Physica D. Nonlinear Phenomena, 1987, vol. 24, issue 1-3, pp. 155-171.
[7] Christiansen P.L., Gronbech-Jensen N., Lomdahl P.S., Malomed B.A. Oscillations of eccentric pulsons. Physica Scripta, 1997, vol. 55, pp. 131-134.
[8] Geicke J. Cylindrical puisons in nonlinear relativistic wave equations. Physica Scripta A, 1984, vol. 29, no. 5, pp. 431-434.
[9] Муминов Х.Х., Чистяков Д.Ю. Новый тип бионных возбуждений в модели классического антиферромагнетика Гейзенберга. Доклады АН РТ, 2004, т. 47, № 9-10, с. 45-50.
[10] Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Новые двумерные бризерные решения О(3) векторной нелинейной сигма-модели. Доклады АН РТ, 2011, т. 54, № 10, с. 825-830.
[11] Muminov Kh.Kh., Shokirov F.Sh. Dynamics of two-dimensional breathers in O(3) vectorial nonlinear sigma-model. The Book of abstracts of the Int. Conf. Mathematic. modeling and computational physics. Russia, Dubna, 2013, p. 134.
[12] Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Численное моделирование бризеров 1D и 2D О(3) векторной нелинейной сигма-модели. LI Всерос. конф. по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники. Тезисы докладов. Москва, РУДН, 2015, с. 94-98.
[13] Самарский А. А. Теория разностных схем. Москва, Наука, 1977, 656 с.
[14] Samarsky A.A., Vabishevich P.N., Gulin A.V. Stability of operator-difference schemes. Differential Equations, vol. 35, no. 2, 1999, pp. 151-186.
[15] Муминов Х.Х. О существовании и устойчивости двумерных топологических солитонов в модели изотропного классического антиферромагнетика Гейзенберга. Доклады АН РТ, 2002, т. 45, № 10, с. 21-27.
[16] Муминов Х.Х. Многомерные динамические топологические солитоны в нелинейной анизотропной сигма-модели. Доклады АН РТ, 2002, т. 45, № 10, с. 28-36.
[17] Shokirov F.Sh. Stationary and moving breathers in (2+1)-dimensional O(3) nonlinear c-model. MathPubs, 2016. URL: http://www.mathpubs.com/detail/ 1605.01000v1/Stationary-and-moving-breathers-in-21-dimensional-03-nonlinear-model (data access 29.08.2016)
[18] Маханьков В.Г. Солитоны и численный эксперимент. ФЭЧАЯ, 1983, т. 14, № 1, с. 123-180.
Статья поступила в редакцию 23.01.2017
Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:
Шокиров Ф.Ш. Математическое моделирование бризеров двумерной О(3) нелинейной сигма-модели. Математическое моделирование и численные методы, 2016, № 4 (12), с. 3-16.
Шокиров Фарход Шамсидинович окончил Худжандский государственный университет имени академика Б. Гафурова. Канд. физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник отдела «Наноматериалов и нанотехнологий» Физико-технического института им. С. У. Умарова Академии наук Республики Таджикистан. Область научных интересов: физика магнитных и нелинейных явлений. e-mail: [email protected]
Mathematical modeling of breathers of two-dimensional O(3) nonlinear sigma model
© F.Sh. Shokirov
S.U. Umarov Physical-Technical Institute of Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, Dushanbe, 734063, Tajikistan
The study examined the formation and evolution of stationary and moving breathers of a two-dimensional O(3) nonlinear sigma model. We detected analytical form of trial functions of two-dimensional sine-Gordon equations, which over time evolve into periodic (breather) solutions. According to the solutions found, by adding the rotation to an A3-
field vector in isotopic space S we obtained the solutions for the O(3) nonlinear sigma model. Furthermore, we conducted the numerical study of the solutions dynamics and showed their stability in a stationary and a moving state for quite a long time, although in the presence of a weak radiation.
Keywords: two-dimensional breather, nonlinear sigma model, sine-Gordon equation, averaged Lagrangian, isotopic space, numerical simulation.
REFERENCES
[1] Minzoni A.A., Smyth N.F., Worthy A.L. Physica D. Nonlinear Phenomena, 2004, vol. 189, issue 3-4, pp. 167-187.
[2] Xin J.X. Physica D. Nonlinear Phenomena, 2000, vol.135, issue 3-4, pp. 345-368.
[3] Piette B., Zakijewsky W.J. Nonlinearity, 1998, no. 11, pp. 1103-1110.
[4] Smyth N.F., Worthy A.L. Soliton evolution and radiation loss for the sine-Gordon equation. Physical Review E, 1999, no. 60, pp. 2330-2336.
[5] Minzoni A.A., Smyth N.F., Worthy A.L. Physica D. Nonlinear Phenomena, 2001, no. 159, pp. 101-123.
[6] Malomed B.A. Physica D. Nonlinear Phenomena, 1987, pp. 155-171.
[7] Christiansen P.L., Gronbech-Jensen N., Lomdahl P.S., Malomed B.A. Physica Scripta, 1997, vol. 55, pp. 131-134.
[8] Geicke J. Physica Scripta A, 1984, vol. 29, pp. 431-434.
[9] Muminov Kh.Kh., Chistyakov D.Yu. Doklady Akademii nauk Respubliki Tadzhikistan — Reports of Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, 2004, vol. 47, no. 9-10, pp. 45-50.
[10] Muminov Kh.Kh., Shokirov F.Sh. Doklady Akademii nauk Respubliki Tadzhikistan — Reports of Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, 2011, vol. 54, no. 10, pp. 825-830.
[11] Muminov Kh.Kh., Shokirov F.Sh. The Book of abstracts of the International Conference Mathematical modeling and computational physics. Russia, Dub-na, 2013, p. 134.
[12] Muminov Kh.Kh., Shokirov F.Sh. LI Vserossiskaya konferentsiya po prob-lemam dinamiki, fiziki chastits, fiziki plazmy i optoelektroniki — Proceedings of LI-Russian conference on the problems of dynamics, particle physics, plasma physics and optoelectronics. Moscow, RUDN University Publ., 2015, pp. 94-98.
[13] Samarsky A.A. Teoriya raznostnykh skhem [The theory of difference schemes]. Moscow, Nauka Publ., 1977, 656 p.
[14] Samarsky A.A., Vabishevich P.N., Gulin A.V. Stability of operator-difference schemes. Differential Equations, vol. 35, no. 2, 1999, pp. 151-186.
[15] Muminov Kh.Kh. Doklady Akademii nauk Respubliki Tadzhikistan — Reports of Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, 2002, vol. 45, no. 10, pp. 21-27.
[16] Muminov Kh.Kh. Doklady Akademii nauk Respubliki Tadzhikistan — Reports of Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan, 2002, vol. 45, no. 10, pp. 28-36.
[17] Shokirov F.Sh. MathPubs, 2016. Available at: http://www.mathpubs.com/detail/1605.01000v1/Stationary-and-moving-breathers-in-21-dimensional-O3-nonlinear-model (data access 29.08.2016). 11 p.
[18] Mahankov V.G. Fizika elementarnykh chastits i atomnogo yadra — Physics of Particles & Nuclei, 1983, vol. 14, no. 1, pp. 123-180.
Shokirov F.Sh. graduated from Gafurov Khujand State University. Cand. Sc. (Phys. & Math.), Leading Researcher of Nanomaterials and Nanotechnologies Department at S.U. Umarov Physical-Technical Institute of Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan. Research interests: physics of magnetic and non-linear phenomena. e-mail: [email protected]
