ФОРМИРОВАНИЕ И ЭВОЛЮЦИЯ БРИЗЕРОВ (2+1)-МЕРНОЙ О(3) НЕЛИНЕЙНОЙ σ-МОДЕЛИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2015, том 58, №11_

ФИЗИКА

УДК 537.611, 530.146

Ф.Ш.Шокиров

ФОРМИРОВАНИЕ И ЭВОЛЮЦИЯ БРИЗЕРОВ (2+1)-МЕРНОЙ О(3) НЕЛИНЕЙНОЙ о-МОДЕЛИ

Физико-технический институт им. С.У.Умарова АН Республики Таджикистан

(Представлено членом-корреспондентом АН Республики Таджикистан Х.Х.Муминовым 21.09.2015 г.)

Асимптотически и численно исследован процесс формирования и эволюции стационарных бризерных (бионных) решений (2+1)-мерной О(3) нелинейной о-модели. Получены выражения для фазовых параметров класса периодических функций. Проведено численное исследование свойств найденных решений.

Ключевые слова: О(3) нелинейная о-модель, уравнение sin-Гордона, двумерный бризер, численное моделирование.

Непрерывное семейство периодически зависящих от времени решений бризерного (дублетного) или бионного типа нелинейных теоретико-полевых моделей представляет классическую модель составных частиц, играющих важную роль во многих физических процессах [1]. Заметим, что бри-зерные решения, так же, как и бионы, представляют собой связанное состояние двух элементарных составляющих, представляя при этом разную природу с точки зрения их физической интерпретации: бризерные структуры можно разбить на составные части, тогда как для бионов такой процесс невозможен [2].

В настоящей работе асимптотическими и численными методами получены устойчивые периодические во времени решения (2+1)-мерной О(3) нелинейной о-модели (НСМ), которые будем называть бризерами. В наших предыдущих работах [3-5] на основе бризерных решений (2+1)-мерного уравнения 8т-Гордон (СГ)

u( х, у, t) = -4arctg

Г A( t)__sin (ф( t)) ^

,¡1 -A(t)2 chWt)x)ch(A(t)y)

(1)

приведённых в работе [6], численными методами были получены устойчивые бризерные решения О(3) НСМ, обладающие динамикой внутренней степени свободы вектора «-поля в изопространстве

£2. Напомним, что в эйлеровой параметризации уравнения Лагранжа-Эйлера исследуемой о-модели имеют следующий вид [3-5]:

д2в д2в д2в

------1_

dt2 дх2 ду2

• \ дф | +\ дф | + дф

sin#cos# = 0, (2)

Адрес для корреспонденции: Шокиров Фарход Шамсидинович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, пр. Айни, 299/1, Физико-технический институт АН РТ. E-mail: [email protected]

2cosd

^ дд дф дд дф дд дфЛ . J д ф д ф д ф

--—---—---— + sin д —y--y--у

д1 дt дх дх ду ду J дх ду j

где д(х, у, t) и ф(х, у, t) - эйлеровы углы, связанные с изоспиновыми параметрами модели (2):

S = sin a cos (, s2 = sin a sin (, s3 = cosa, sisi = 1, i = 1,2,3; S - постоянная анизотропии. Отметим также, что уравнения (2) в меридианном сечении изотопического пространства (ф(х,у,t) = const) сводятся [3-5] к (2+1)-мерному уравнению СГ вида:

f дд дд дд

v St2 дх2 ду2j

= Ssin 2д . (3)

Таким образом, для получения решения в изопространстве сферы £2 в качестве начального условия было задано возмущённое решение в виде (1) с дополнительной динамикой - вращением вектора А3-поля в изопространстве в виде ф = ф0 + (Т. В процессе эволюции определённого таким

образом начального импульса сформировалось новое бризерное решение (2+1)-мерной О(3) НСМ [3-5].

В отличие от численных результатов, полученных в работах [3-5], в настоящей работе задача была исследована также асимптотическими методами и получен аналитический вид класса бризер-ных решений (2+1)-мерной О(3) НСМ.

В работе [6] задача определения выражения для пробной функции бризерного типа (2+1)-мерного уравнения СГ была исследована в лагранжевом и гамильтоновом подходах. В первом случае, при рассмотрении усреднённого лагранжиана (2+1)-мерного уравнения СГ

L = 1 (u2 - u2x - u21 + cos u (4)

относительно быстрой фазы ф (t) интегральное уравнение

2 л

С =-^Ыф (5)

2 ж 0

было решено приближенными методами, но результаты исследований в указанной работе не были представлены. Исследования пробной функции (1) в работе [6] продолжены на основе гамильтонова подхода, где были получены асимптотически и численно устойчивые осциллирующие решения (бри-зеры) (2+1)-мерного уравнения СГ.

В настоящей работе мы продолжили исследования, проведенные авторами работы [6] в лагранжевом подходе. Получены точные значения интегралов группы (5) относительно фазовых и пространственных (x, y) переменных и уравнения для параметров Л( t) и ф(t) пробного решения (1). Усреднённая плотность лагранжиана (4) уравнения СГ получена в виде

2

£ = 2 (Я) Я/ + О (Я) <р] - 0(Я),

(6)

где

Е (Я) =

2щ{Я)

3/2

(1 -Я2)

О (Я) =

4ЯУ(А) ^ ч 48 , .

"уТя2"' 0(Я)=у^(Я)алнЯ)-32'

Я = Я(г), ф = ф(г).

Заметим, что результаты исследований, проведенных в работе [6] (см., также ссылки, приведенные в указанной работе), показали, что динамику пробной функции (1 ) можно описать исследованием свойств двух фазовых параметров Я (г) и ф(г) . В нашем случае уравнения для указанных параметров определены в следующем виде:

Я+/(Я) Я+я (Я) = 0,

где

/ (Я) =

3Я0(Я)-, д (Я) = -Я( 2-Я2 )ф2 - ((1 -Я2 У(Я)агЛ (Я)-Я);

2 (1 -Я2)

(2 -Я2)

ф„ + ^(Я)0(Я)^ ^ Яф = 0 .

Найдены искомые выражения для фазовых параметров Я( г) и ф( г) в следующем виде:

(7)

Я(г, Б) = ± Л

, гт Б2 - 288 ,

1 + л/ 2г--1

3Бщ(Я)

щ(Я)Б2 - 288

(8)

= УТ-Я2 + Я0(Я)arcsin(Я) ^ ) 4Я^(Я) '

(9)

где Б = Б(V ) - константа, определенная начальной скоростью (1).

При выводе (9) было учтено, что (6) не зависит от ф(г) и, следовательно, существует [6] сохраняющаяся величина Б = Оф:

й

йг к йг

й ( 4Я>(Я) ^

■фг

= 0.

(10)

Заметим, что из (10) также следует уравнение (7) для ф(г) .

На основе методов теории конечных разностных схем [7], а также разработанных алгоритмов моделирования нелинейных теоретико-полевых моделей [5] были получены численные модели эво-

люции пробного решения (1) с учётом (8) и (9). Интеграл энергии численных моделей сохранялся с

хорошей точностью: -е (10"5 -10"4) . Численная схема, разработанная в наших исследованиях

Еп

[5], основана на разностных схемах [7] с погрешностью аппроксимации второго порядка точности по времени и координате: 0(И2 + г2) [3-5]. В качестве тестовых моделей получены устойчивые численные бризеры уравнения СГ (3) при О^^^ = зЬ(3.69) (рис.1). Заметим, что полученные тестовые

модели пробного решения (1), которые изначально не являются радиально-симметричными (рис.1а), эволюционируют к радиально-симметричному виду (рис.1Ь). Последнее свойство также было обнаружено в работе [6]. Для тестовых моделей добавлением [3-5] вращения (ф = ф0 + сг, с ф 0) вектору А3-поля в изотопическом пространстве £2, путём решения задачи Коши получены устойчивые бризерные решения (2+1)-мерной О(3) НСМ (2).

Рис.1. Эволюция бризерных решений (1) уравнения СГ (тестовая модель). Плотность энергии ( DH ) и проекции контурных линий при D(v^) = sh(3.69) : a) t = 0.0; b) t = 90.0.

В нашем случае в качестве пробного решения модели (2) было использовано следующее выражение:

в = -2arctg

X(t )

sin ^(t )

Ф -Я(t)2 ch(Я(t)x)ch(Я)y)

где в = в( x, y, t, Я (t ) ,ç (t )) . Для полевых функций s ( i = 1,2,3 )

(11)

имеем

S =-2£cos^/(1 + £2), s2 = -2£sinp/(1 + £2), s = (1 -£2)/(1 + £2), ç = oz, сф 0.0,

где

x, y, t,Ä(t ) ,ç( t )):

À(t ) sin (ç(t ))

-Â(t )2ch (Я ( t ) x ) ch (Я ( t ) y )

На рис.2 а,Ь приведены иллюстрации для плотности энергии (БИ) и проекции контурных линий пробной функции (11), для с = 0.5 при г = 0.0 и г = 90.0. Проекция изоспинов численного бризера (11) на комплексную плоскость при г = 0.0 приведена на рис.2с. На рис.2<1 приведена эволюция плотности энергии БИ пробной функции (11) в сечении (х, у0), у0 = 0.0 при I е [0.0,90.0]. На рис.3 приведён спектр значений интеграла энергии (Еп ) численных бризеров (11) в зависимости от значения параметров Б (^ ) и Ас .

В отличие от численных бризеров уравнения СГ (рис.1) бризерные решения (11) О(3) НСМ (2) обладают относительно большей плотностью энергии (БИ) (рис.3), которая является следствием наличия вращения (р = р0 + ют, с Ф 0.0) изотопического спина 5,£2,£3) в £2.

Рис.2. Эволюция бризерных решений (11) О(3) НСМ (2) при с = 0.5. Плотность энергии (БИ) и проекции контурных линий при Б(д ) = sh(3.69) : а) г = 0.0; Ь) г = 90.0; с) трёхмерная модель изотопических спинов решения (11) при г = 0.0; ф) эволюция БИ решения (11) в сечении (х,у0), у0 = 0.0 при г е[0.0,90.0].

в

0 0.2 0 4 ш 0 6 0.8 1

Рис.3. Интеграл энергии ( Еп ) бризеров (11) модели (2) в зависимости

от значений Б (^ ) и Ас .

Свойства полученных численных моделей указывают, что наличие дополнительного вращения изотопических спинов в 52 приводит к определённой диссипации амплитуды характерной бри-

зерной динамики решений (1) уравнения СГ. При этом наблюдается увеличение значений интеграла (En) и плотности энергии (DH), а также энергии связи (см. рис.1, 2, контурные проекции DH). Аналогичные свойства были обнаружены нами [8] при исследовании (1+1)-мерных бризеров О(3) НСМ.

Таким образом, в настоящей работе аналитически и численно получены бризерные решения (2+1)-мерной О(3) нелинейной о-модели. Устойчивость полученных решений подтверждена проведенными численными экспериментами при t е [0.0,90.0]. Бризерные решения О(3) НСМ, полученные в настоящей работе, а также исследованные нами в одномерном и двумерном случаях в работах [3-5,8] обладают нетривиальной динамикой внутренней степени свободы, исследование природы которых представляет интерес с теоретической и прикладной точки зрения.

Поступило 21.09.2015 г.

ЛИТЕРАТУРА

1. Раджараман Р. Солитоны и инстантоны в квантовой теории поля. Пер. с англ. - М.: Мир, 1985, 416 с.

2. Маханьков В.Г., Рыбаков Ю.П., Санюк В.И. Локлизованные нетопологические структуры: построение решений и проблемы устойчивости. - УФН, 1994, т.164, №2, с. 121-148.

3. Muminov Kh.Kh., Shokirov F.Sh. Dynamics of two-dimensional breathers in O(3) vectorial nonlinear sigma-model. - The Book of abstracts of the International Conference Mathematical modeling and computational physics, Russia, Dubna, 2013, p. 134.

4. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Новые двумерные бризерные решения О(3) векторной нелинейной сигма-модели. - ДАН РТ, 2011, т.54, №10, с. 825-830.

5. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Комплекс компьютерных программ для нахождения бризерных численных решений, проведения анализа и эволюции в двумерной О(3) нелинейной сигма-модели непертурбативных квантовых теорий поля. - Свидетельство о регистрации интеллектуального продукта, 0265TJ от 29.06.2010 г.

6. Minzoni A.A., Smyth N.F., Worthy A.L. Evolution of two-dimensional standing and travelling breather solutions for the Sine-Gordon equation. - Phys. D, 2004, v.189, pp. 167-187.

7. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1989, 616 с.

8. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. Численное моделирование бризеров 1D и 2D О(3) векторной нелинейной сигма-модели. - LI Всеросс. конф. по проблемам динамики, физики частиц, физики плазмы и оптоэлектроники. Тез. докл. - М.: Изд-во РУДН, 2015, с. 94-98.

Ф.Ш.Шокиров

ШАКЛБАНДЙ ВА ТА^АВВУЛИ БРИЗЕР^ОИ (2+1)-ЧЕНАКАИ О(3)

о-МОДЕЛИ ГАЙРИХАТТЙ

Институти физикаю техникаи ба номи С.У.Умарови Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон

Раванди шаклбандй ва тахаввули халлхои бризерии О(3) о-модели гайрихаттии (2+1)-чена асимптотикй ва тавассути тархрезии ададй тадкик шудаанд. Параметрхои фазавии синфи функсияхои даврй муайян карда шуда, тавассути тархрезии ададй хосиятхои халлхои ёфташуда тадкик шудаанд.

Калима^ои калиди: О(3) о-модели гайрихаттй, муодилаи sin-Гордон, бризери дученака, тарурезии ададй.

F.Sh.Shokirov

FORMATION AND EVOLUTION OF THE BREATHERS OF (2+1)-DIMENSIONAL

О(3) NONLINEAR о-MODEL

S.U. Umarov Physical-Technical Institute, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan Formation and evolution of the breather stationary solutions of (2+1)-dimensional O(3) nonlinear о-model is studied asymptotically and numerically. Expressions for the phase parameters of the class of periodic functions are obtained. Numerical study of the properties of the found solutions is conducted. Key words: 0(3) nonlinear a-model, sine-Gordon equation, two-dimensional breather, numerical simulation.