CC BY
46
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2011, том 54, №1_________________________________
ФИЗИКА
УДК 537.611: 530.146
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Х.Х.Муминов, Ф.Ш.Шокиров
ДИНАМИКА ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ НОВЫХ ОДНОМЕРНЫХ БРИЗЕРНЫХ РЕШЕНИЙ О(3) ВЕКТОРНОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ СИГМА-МОДЕЛИ И БРИЗЕРОВ УРАВНЕНИЯ СИНУС-ГОРДОНА
Физико-технический институт им. С.У.Умарова АН Республики Таджикистан
Приведены результаты численного моделирования различных видов столкновений новых одномерных бризерных решений О(3) векторной нелинейной сигма-модели (ВНСМ) теории поля в сравнении с бризерами уравнения синус-Гордона на основе теории разностных схем. Рассмотрены процессы, как упругих взаимодействий, так и процессы с частичной диссипацией энергии системы, состоящей из двух взаимодействующих бризеров, что может косвенно свидетельствовать об отсутствии полной интегрируемости рассматриваемой О(3) ВНСМ.
Ключевые слова: бризер - О(3) векторная нелинейная сигма-модель - уравнения синус-Гордона -численное моделирование - динамика взаимодействий - разностные схемы - столкновение солито-нов.
В настоящее время одним из мощных методов исследования динамики солитонов является численное моделирование и компьютерные эксперименты. Реальную динамику солитонных решений, где в полной мере проявляются их особые, частицеподобные свойства, можно получить проведением исследования динамики их взаимодействий. Характер взаимодействия солитонов в численных экспериментах может дать предварительную информацию о полной интегрируемости модели [1].
В настоящей работе приведены результаты численного моделирования взаимодействий бри-зерных решений уравнения синус-Гордона (СГ), а также новых бризерных решений О(3) ВНСМ, полученных в результате вычислительных экспериментов в работах авторов [2,3]. Моделирование столкновения бризерных решений О(3) ВНСМ и уравнения СГ осуществлялось применением разностной схемы с весами явного типа, второго порядка точности, как по координате, так и по времени [4]. Область моделирования [—Ь, Ь], Ь = 150 — 200 , шаг по координате И = 0.04 , шаг по времени X = 0.01, время моделирования Т е [0, 400] . Контроль точности численной схемы осуществлялся вычислением интеграла энергии, который во всех численных экспериментах, после формирования
устойчивого солитона, сохранялся с точностью АЕ / Ед ~ 10 3 —10 4 во взаимодействиях бризеров О(3) ВНСМ и АЕ / Е0 ~ 10 5 —10 6 - в случае уравнения СГ.
Адрес для корреспонденции: Муминов Хикмат Халимович. 734063, Таджикистан, Душанбе, ул. Айни 299/1, Физико-технический институт АН РТ. E-mail: [email protected]; [email protected]
l. Столкновение бризеров уравнения СГ
1.1. Встречные столкновения бризеров с одинаковыми скоростями. Два движущихся бризера
направлялись навстречу с одинаковыми скоростями V = V? да 0.45 (рис 1а)). При столкновении наблюдается временное увеличение амплитуды осцилляции плотности энергии (DH) бризеров:
A
max
6.1385 (рис.1с)), затем бризеры продолжали двигаться, отдаляясь от резонансной зоны.
После взаимодействия, амплитуда осцилляций плотности энергии бризеров не отличалась от среднего значения Атах * 2.2 до столкновения (рис.1с)). Встречные столкновения бризеров с одинаковыми скоростями исследовались при различных скоростях. Предельная скорость столкновений упругого взаимодействия составила: У1 = У2 = У1т * 084 (рис.1Ь)), что является вычислительным артефактом, поскольку V = 1 (скорость света) является предельной скоростью солитонов СГ.
1.2. Столкновение движущегося солитона с неподвижным (У * 0.7, У2 = 0.0). В данном случае движущийся солитон при столкновении теряет свою скорость и останавливается, в то время как второй солитон, обретая скорость, начинает движение в том же направлении. Система демонстрирует упругие столкновения.
Рис.1. а) Эволюция столкновений двух Ш-бризеров, при О = 0.0 (СГ), V = У * 0.45 , х е [—150,150],
^ е [150, 400]; Ь) Интеграл энергии при встречном столкновении бризеров (Ки) для различных скоростей (У\ = У2 *:0.45,0.57,0.7,0.83,0.84); с) Вариации амплитуды (Атах ) плотности энергии бризеров в зависимости от периода осцилляций (N1, при V = У2 * 0.45 (1.), V * 0.7, у = 0.0 (2.), V * 0.83, у * 0.45
(3.).
1.3. Столкновение бризеров, движущихся в одинаковом направлении с различными скоростями (У * 0.83 , У? * 0.45 ). В данном случае, после столкновения скорость «догоняющего» бризера
уменьшается, а второй бризер увеличивает свою скорость. На рис.1с) изображена зависимость вариации амплитуды плотности энергии движущегося бризера (Атах ) в зависимости от периодов осцилляций (Ы), соответственно для второго ( V * 0.7, К2 = 0.45) и третьего (V * 0.83, К2 * 0.45) случаев.
2. Столкновение бризеров О(3) ВНСМ
2.1. Встречные столкновения бризеров с одинаковыми скоростями. Как и в случае уравнения
СГ, два бризера были направлены с одинаковой скоростью (V = У2 * 0.45) во встречном направлении. Здесь, в отличие от аналогичного примера уравнения СГ, в месте столкновения образовался один неподвижный бризер с относительно большой плотностью энергии (рис.2а), рис.2с)). Во всех аналогичных экспериментах наблюдается формирование одного бризера из двух сталкивающихся бризеров. Определена предельная скорость данного вида столкновений бризеров О(3) ВНСМ, равная
- V = У2 = Уцт * 0.93 . При увеличении скорости происходит полное разрушение сталкивающихся бризеров. Отметим, что в О(3) ВНСМ при относительно больших скоростях сталкивающихся бризеров освободившаяся энергия в виде волн возмущений, доходя до границы, поглощается так называемыми граничными условиями типа «черный ящик» [2,3].
Рис.2. а) Динамика встречного столкновения двух бризеров с вращением в изопространстве: 0 = 0.5,
V * 0.45, ^2 * 0.45 , х е [—150,150], ^ е [150, 400]; Ь) Изменение интеграла энергии при встречном столкновении бризеров (Еп) при различных скоростях (VI = у *: 0.45,0.7,0.83,0.89,0.92); с) Вариации амплитуды (Атах ) плотности энергии бризеров в зависимости от периодов осцилляций (Ы) (анизотропная сигма-
модель).
Эти эксперименты показывают, что столкновения бризеров О(3) ВНСМ являются неупругими при больших скоростях, что является одним из косвенных признаков того, что модель не является
полностью интегрируемой, либо полученные в [2,3] численные бризеры являются слабоизлучающи-ми объектами, наподобие пульсонов Боголюбского [1], поскольку демонстрируют существенно неупругие взаимодействия.
При скоростях У\ = V? * 0.45 и У\ = V? * 0.7 образовавшийся после столкновения бри-зер обладает относительно большей плотностью энергии, в остальных случаях (
V = V? *:0.83,0.84,0.92 ), плотность энергии сформировавшегося бризера относительно мала (рис.2с)). Интеграл энергии системы во всех экспериментах до и после взаимодействия бризеров монотонно уменьшается (рис.2Ь)).
2.3. Столкновение движущегося бризера с неподвижным. Случай У\ * 0.45, V? = 0.0 . В данном эксперименте после столкновения движущийся бризер полностью теряет скорость, а неподвижный бризер после столкновения начинает движение в том же направлении (рис^)). После взаимодействия наблюдается увеличение энергии «налетающего» бризера (рис.3с)). При увеличении скорости движущегося бризера до ¥\ * 0.7 после столкновения данный солитон теряет значительную часть скорости, а второй бризер приобретает скорость. После взаимодействия наблюдается диссипация энергии «налетающего» бризера (рис.3с)). Столкновения в последних экспериментах происходит без выделения энергии.
Рис.3. а) Динамика столкновения движущегося бризера с неподвижным: Ф = 0.5, V * 0.45, V? = 0.0,
X е [—\50, \50], ^ е [\50, 400]; Ь) Изменение интеграла энергии при столкновении бризеров (Еп) «налетающего» типа для различных скоростей движущегося солитона (V * 0.45,0.7,0.83,0.89,0.92; V? = 0.0 ); с) Вариации амплитуды (Атах ) плотности энергии бризеров в зависимости от периодов осцилляции (Ы)
(анизотропная сигма-модель).
При V\ * 0.83, V? = 0.0 после столкновения происходит разрушение одного из бризеров, оставшийся солитон продолжает движение в том же направлении с относительно медленной скоростью. Аналогичные свойства проявляются и в случае V\ * 0.92, V? = 0.0, но здесь наблюдается локальное медленно затухающее возмущение, движущееся в обратном направлении. При
V * 0.89, Г2 = 0.0 , как в предыдущем примере, после столкновения происходит разрушение одного из бризеров, оставшийся солитон продолжает движение с медленной скоростью, но в обратном направлении. В трех последних экспериментах освободившаяся энергия распространяется в стороны от места столкновения в виде затухающих локальных возмущений и поглощается на границе области моделирования. На рис.3Ь) представлены значения интегралов энергии данных столкновений.
2.4. Взаимодействие бризеров, движущихся в одинаковом направлении с различными скоростями. Случай V\ * 0.83, V2 * 0.45 . После столкновения движущийся с большей скоростью бризер теряет значительную часть скорости, второй, относительно медленно движущийся бризер, приобретая дополнительную скорость, продолжает движение в том же направлении (рис.4а)). Наблюдается незначительное излучение излишков энергии, выделенной вследствие взаимодействий, и соответствующее уменьшение плотности энергии бризеров (рис.4с)).
Рис.4. а) Эволюция столкновения бризеров движущихся в одном направлении (с разными скоростями):
Ф = 0.5, ¥\ * 0.83, ¥2 * 0.45, X е [—\50, \50], ^ е [\50, 400]. Ь) Изменение интеграла энергии «догоняющего» типа столкновения бризеров (Еп) для различных скоростей «настигающего» солитона (VI *: 0.83,0.89,0.92; ^2 * 0.45:); с) Вариации амплитуды (Атах ) плотности энергии бризеров в зависимости от
периодов осцилляций (Ы) (анизотропная сигма-модель).
При У\ * 0.89, У2 * 0.45 взаимодействие бризеров аналогично предыдущему, отличие заключается в существенной потере энергии медленно движущимся бризером (рис.4с)). При
V * 0.92, К2 * 0.45 , после столкновения, наблюдается разрушение медленно движущегося бри-
зера и распад его на линейные возмущения. Движущийся с большей скоростью бризер теряет часть скорости и энергии (рис.4с)), продолжая движение в том же направлении.
Таким образом, в наших вычислительных экспериментах получены численные модели динамики взаимодействий известных бризерных решений уравнения СГ и новых бризерных решений О(3) ВНСМ, полученных численно в работах [2,3]. Проведенные компьютерные эксперименты демонстрируют упругие столкновения бризеров уравнения СГ, в то время как полученные ранее численные бризерные решения О(3) ВНСМ [2,3] демонстрируют неупругость при столкновениях с большими скоростями, которые сопровождаются выбросом энергии.
Этот факт может служить косвенным свидетельством либо отсутствия полной интегрируемости изучаемой О(3) ВНСМ [1], либо свидетельством того, что полученные ранее численные бризер-ные решения [2,3] являются долгоживущими, слабо излучающими объектами, наподобие пульсонов [1].
Поступило 15.12.2010 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Маханьков В.Г. - ФЭЧАЯ, 1983, т. 14, вып.1, с.123-180.
2. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. - ДАН РТ, 2010, т.53, №8, с.606-611.
3. Муминов Х.Х., Шокиров Ф.Ш. - Материалы VI междун. научно-технической конференции. -
ВолГТУ, Вологда, 2010, т.1, с.202-206.
4. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. - М.:Наука, 1971, 553 с.
^Д.Муминов, Ф.Ш.Шокиров
ДИНАМИКАИ ТАЪСИРОТИ МУТАЦОБИЛАИ ^АЛЛ^ОИ ЯКЧЕНАИ НАВИ БРИЗЕРИИ О(3) СИГМА-МОДЕЛИ ВЕКТОРИИ ГАЙРИХАТТЙ ВА БРИЗЕРХ,ОИ МУОДИЛАИ СИНУС-ГОРДОН
Институти физикаю техникаи ба номи С.У.Умарови Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Натичахои тархрезии ададии намудхои гуногуни таъсироти мутакобилаи халлхои нави бризерии О(3) сигма-модели вектории гайрихаттии (СМВГ) назарияи майдон дар мукоиса бо бризерхои муодилаи синус-Гордон дар асоси назарияи схемахои фаркй оварда шудаанд. Равандхои таъсироти мутакобилаи чандир ва хам дорои диссипатсияи энергияи системаи ибо-рат аз ду бризери ба хамдигар таъсиркунанда, дида баромада шудаанд, ки доир ба пурра интег-ронишаванда набудани СМВГ маълумоти ибтидой медихад.
Калима^ои калиди: бризер - О(3) сигма-модели вектории гайрихаттй - муодилаи синус-Гордон -тархрезии ададй - динамикаи таъсироти мутацобила - схемахои фарцй - бархурди солитонуо.
Kh.Kh.Muminov, F.Sh.Shokirov DYNAMICS OF INTERACTIONS NEW ONE-DIMENSIONAL BREATHER SOLUTIONS OF O(3) NONLINEAR VECTOR SIGMA-MODELS AND BREATHERS OF SIN-GORDON EQUATIONS
S.U. Umarov Physical-Technical Institute, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan Dynamics of interaction of new breather solutions of O(3) vector non-linear sigma-model (VNSM) of field theory in comparison with the breathers of sine-Gordon equation on the basis of the theory of finite difference schemes are investigated. Processes of both elastic interactions and processes with partial energy dissipation of system consisting of two interactions breathers are considered, the last could testify the absence of full integrability of the O(3) VNSM.
Key words: breather - 0(3) nonlinear vector sigma-model - sine-Gordon equation - numerical simulation -dynamics of interactions - difference schemes - collision of solitons.
