CC BY
83
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН __________________2011, том 54, №11____________
ФИЗИКА
УДК 658.567
Член-корреспондент АН Республики Таджикистан Х.Х.Муминов, Ш.Ф.Мухамедова
ДИССИПАТИВНЫЕ СОЛИТОНЫ КЛАССИЧЕСКОГО АНТИФЕРРОМАГНЕТИКА ГЕЙЗЕНБЕРГА
Физико-технический институт им. С.У.Умарова АН Республики Таджикистан
Проведено исследование поведения бризеров в классическом антиферромагнетике Гейзенберга при наличии диссипации и подкачки внешними переменными активирующими полями. Обнаружено формирование хаотического осциллирующего бризера вблизи резонансной зоны частот внешних переменных полей и собственных осцилляций бризера.
Ключевые слова: диссипативные солитоны - бризер - динамический хаос - нелинейность - диссипация - подкачка.
Хаотическое поведение солитонов, модуляционная неустойчивость и формирование диссипативных солитонов в негамильтоновых системах привлекают внимание исследователей достаточно давно [1]. Эти явления получили теоретическое объяснение и наблюдались экспериментально в различных физических системах, таких как волны на поверхности воды [2], ионно-акустические волны в плазме [2], электромагнитные волны в нелинейных линиях передачи [3], световые волны в оптических волокнах [4], микроволновые спиновые волны в магнитных пленках [5] и др.
Интерес к хаотической динамике солитонов вызван как фундаментальными исследованиями [4], так и возможными практическими приложениями. С этой точки зрения очень интересно проследить поведение солитона в диссипативной среде при наличии подкачки внешними переменными полями [5, 6]. Аналогичным исследованиям посвящён ряд работ, в которых проводилось исследование эволюции солитонов в возмущённых уравнениях синус-Гордон [3], Гинзбурга-Ландау [4], нелинейном уравнении Шредингера [1] и других, в которых исследовался отклик солитона на внешнее возмущение с среде с диссипацией.
В данной работе мы проводим исследование хаотического поведения бризеров, полученных численно в работах [7, 8], возмущённого нелинейного уравнения, описывающего классическую модель антиферромагнетика Гейзенберга [9] следующего вида:
Адрес для корреспонденции: Муминов Хикмат Халимович, Мухамедова Шоира Файзуллоевна. 734063, Республика Таджикистан, Душанбе, пр. Айни, 299/1,Физико-технический интитут АН РТ. E-mail: [email protected], [email protected].
(1)
Здесь I - вектор антиферромагнетизма, е - орт оси OZ, h - амплитуда внешнего магнитного поля, направленного вдоль оси OZ, о - частота приложенного поля, у - параметр затухания (диссипации).
Как известно, природа проявления диссипации в магнитных системах может быть связана как с магнитострикционными, так и магнитоакустическими взаимодействиями. Учёт диссипации особенно актуален при исследовании реальных физических систем. Однако, с другой стороны, в реальных физических системах важным фактором является также учёт влияния внешних воздействий, таких как внешние постоянные или переменные поля, которые условно называются внешней подкачкой. Наличие внешнего электромагнитного поля не только оказывает существенное влияние на формирование солитонов, сколько является решающим фактором в их образовании, а также определяет динамику формирования и эволюции солитонов в классических магнетиках, как при наличии ферро- так и антиферромагнитного упорядочения, и при этом поведение солитонов в этих системах может существенным образом отличаться от поведения подобных систем при отсутствии внешней подкачки. Можно говорить о формировании диссипативного хаотического солитона, и в этом процессе существенную роль играет не столько наличие компенсации дисперсии и нелинейностью, как в случае классических солитонов, сколько равновесие между диссипацией, при котором солитон теряет энергию, и подкачкой внешними полями, которые компенсируют эти потери. При этом в фазовом пространстве система начинает эволюционировать вблизи странного аттрактора [1], не покидая определённую ограниченную область фазового пространства.
Для проведения численного моделирования уравнения (1) удобным оказывается переход к стереографической проекции. Тогда уравнение (1) примет следующий вид:
*
(1 + г г)
С 2 2 ^
д2г д2г
2 2 ^2 дх2 ,
*
- 2г
дг ^2 ( дг ^2
дt J I дх )
г) ^ дг
+ (1 -Н )(1 - г 2)2 + у— = 0 , (2)
дt
где Н = (0) . Связь между вектором антиферромагнетизма Г и комплексной функцией г опреде-
ляется стереографической проекцией :
* * I |2
1 2 + 2 1 ' 2 —2 1 1 - 2 т
1х = , ,2, у =1 , ,2, 12 = , ,2 , (3)
1+12 1+| 2 1+| 2\
которые в свою очередь связаны с эйлеровой параметризацией
г = tg^ , / = I (вт^соБ^вт^вт^соБ#) . (4)
Для численного моделирования уравнения (2) была написана разностная схема с весами явного типа, второго порядка точности как по времени, так и по координате [10]. Моделирование велось на отрезке х е [—24,24] с шагом по координате h=0.04 на промежутках времен Т е [0,1200] с шагом по времени т=0.01. На границах области интегрирования были установлены граничные условия типа
«чёрный ящик» с сильной диссипацией (у =-0.5), обеспечивающей поглощение возмущений, достигающих границ области интегрирования. Для контроля точности численной схемы вычислялся интеграл энергии, который в тестовых вычислениях сохранялся с относительной точностью
AE / E « 10 5 —10 6 . Для анализа результатов численных экспериментов использовались программы визуализации и прикладные программы по быстрому преобразованию Фурье системы Matlab. Для обнаружения области изменения параметров подкачки и затухания, при которых происходит формирование устойчивого долгоживущего и слабоизлучающего хаотического бризера, была проведена серия численных экспериментов (при о = 0.1425 ^ 0.223725 , h = 0.7 ^ 0.9, у = —0.0002^—0.00002 ).
Рис.1. Зависимость полной энергии хаотического бризера от времени (о = 0.1425 , h = 0.7 , у = —0.0002).
Рис. 2. Эволюция плотности энергии бризера (о = 0.1425 , h = 0.7, у = —0.0002).
о.э
0.8 0.7 0.6 g 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 О
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
EN
Рис. 3. Фазовый портрет системы - зависимость плотности энергии бризера в центре солитона от её полной
энергии (а = 0.1425 , h = 0.7, у = —0.0002).
Анализ динамики эволюции полной энергии бризерного решения (см. рис.1) показывает, что при соответствующем подборе параметров диссипации у = —0.0002 и подкачки а = 0.1425, h = 0.7 система стабилизируется и выходит на почти постоянную полную энергию системы при наличии осцилляций. При этом (см. рис. 2), солитон остаётся пространственно достаточно хорошо локализованным и проявляет пульсирующее поведение. Наиболее оптимальным оказывается подкачка на резонансной частоте, совпадающей с частотой собственных пульсаций бризера. Анализ фазового портрета (см. рис.3), то есть зависимости плотности энергии в центре бризера от полной энергии солитона Е, показывает, что фазовые траектории плотно заполняют конечную область пространства (странный аттрактор), что является указанием на формирование слабодиссипативного хаотического солитона [2].
Поступило 12.10.2011 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Nozaki K., Bekki N. - Phys. Rev. Lett. v. 50, n. 17, p.1226-1229.
2. Ed. by Lonngren K., Scoff A. Solitons in Action. - New York Academic Press, 1978.
3. Remoissenet M., Waves Called Solitons: Concepts and Experiments - Berlin, Springer-Verlag, 1999.
4. Под. Ред. Ахмедиева Н., Анкевича А. Диссипативные солитоны. - М: Физматлит 2008, 504 с.
5. Stancil D.D., Prabhakar A. Spin waves: Theory and Applications - Springer, New York, 2009.
6. Ed by Stavroulakis Chaos Application in Telecommunications - SRC Press, Boca Raton, Florida, 2006.
7. Муминов X.X., Чистяков Д.Ю. - ДАН РТ, 2004, т.47, №9-10, с.1-5.
8. Муминов Х.Х., Мухамедова Ш.Ф. - Вестник ТГУПБП, 2009, №3(39), с.85-90.
9. Косевич А.М., Иванов В.А., Ковалев А.С. - Нелинейные волны намагниченности. Динамические и топологические солитоны. - Киев: Наукова Думка, 1983, с.192.
10. Муминов Х.Х., Мухамедова Ш.Ф. - Пакет компьютерных программ анализа динамики солитонов модели классического антиферромагнетика Гейзенберга с учётом диссипации и подкачки внеш-
ними электромагнитными полями. Свидетельство о регистрации Информационного ресурса: Национальный патентно-информационный центр Министерства экономического развития и торговли Республики Таджикистан, № ЗИ-03.2.206 TJ, 30.05.2011
^Д.Муминов, Ш.Ф.Мух,амедова СОЛИТОЩОИ ДИССИПАТИВЙ ДАР АНТИФЕРРОМАГНЕТИКИ КЛАССИКИИ ГЕЙЗЕНБЕРГ
Институти физикаю техникаи ба номи С.У.Умарови Академияи илм^ои Цум^урии Тоцикистон
Тадкикоти рафтори бризерхо дар антиферромагнетики классикии Гейзенберг дар зери таъсири диссипатсия ва дамкунй аз тарафи майдонхои тагйирёбандаи фаъолкунандаи беруна гузаронида шудааст. Ташаккули бризери хаотикии навсонкунанда дар наздикии сохаи резонан-сии байни басомадхои навсонии дохилии бризер ва майдонхои тагйрёбандаи беруна мушохида карда шудааст.
Калима^ои калиди: солитонуои диссипативй - бризерхо - хаоси динамики. - гайрихаттй - диссипатсия - дамкунй.
Kh.Kh.Muminov, Sh.F.Muhamedova DISSIPATIVE SOLITONS OF THE CLASSICAL HEISENBERG ANTIFERROMAGNET
S.U. Umarov Physical-Technical Institute, Academy of Sciences of the Republic of Tajikistan Investigation of the behavior of breathers in the classical Heisenberg antiferromagnetic in the presence of dissipation and pumping by the external variable activating fields is conducted. Formation of the chaotic oscillating breather is observed close to the resonance zone of frequencies of the external variable fields and internal breather oscillations.
Key words: dissipative solitons - breathers - dynamic chaos - nonlinearity - dissipation - pumping.
