Решение некоторых сингулярных интегральных уравнений с помощью асимптотических многочленов Текст научной статьи по специальности «Математика»

М А Т Е М А Т И К А

УДК 517.956

РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ СИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ АСИМПТОТИЧЕСКИХ МНОГОЧЛЕНОВ

Канд. физ.-мат. наук, доц. ГРИБКОВА В. П., канд. техн. наук, доц. КОЗЛОВ С. М.

Белорусский национальный технический университет

Методы точного и приближенного решений сингулярных интегральных уравнений с ядром типа Коши, используемых в теории упругости, рассматривались в [1, 2]. В данной статье предлагается приближенное решение этой задачи, основанное на другом подходе. Подынтегральная функция может быть представлена в виде асимптотического полинома [3], либо бесконечного ряда с использованием полиномов Чебышева. Одновременно с приближенным решением будет получен остаточный член, вид которого позволяет определить степень полинома, дающего приближенное решение с заданной точностью.

Пусть необходимо найти решение интегрального уравнения с сингулярным ядром, вычисляемого вдоль отрезка действительной оси и приводимого к интегралу типа

I (x) =

x2 V f (t)

■í

dt

it x i _

-1 < x < 1, (1)

t2

и интегральных уравнений с регулярным ядром, приводимых к интегралу

£ (x)íf (t)

ТТ -

11 _ x7i_t

1 < x < да. (2)

Известно, что интеграл (1) существует в смысле главного значения по Коши, если fx) удовлетворяет в [-1, 1] условию Гёльдера [2] (аналогично - Lip а, 0 < а < 1). Интеграл (2) является Римановым интегралом при x > 1, а в точке x = 1 может иметь особенность логарифмического типа. Существование решения

для него определяется условиями существования Риманова интеграла.

Известно, что 1(х) и Е(х) далеко не всегда можно выразить с помощью элементарных функций, поэтому возникает необходимость их замены приближенными решениями.

В дальнейшем понадобятся следующие известные соотношения:

i тп (t) dt

í

it _ x V i _ t2

= Un (x), -1 < x < 1; (3)

i1 Tn (t) dt

í

% _T t _ X yll _ t2

= _(x_4XXr_Tj, 1 < x < да, (4)

где T (x) = cos n arceos x - полиномы Чебышева первого рода (1) и Ün (x) = sin n arceos х - функции, основанные на полиномах Чебышева второго рода [4]. В дальнейшем рассматривается равномерное приближение функций, поэтому за норму принято || f (x) ||= max | f (x) |.

a< x<b

Приближенное решение уравнения (1).

Функция fx) в промежутке -1 < x < 1 может быть приближенно представлена асимптотическим многочленом Qf (x) следующим образом:

1 n+1

f (x) - Qf (x) = —-X

n + 1 k=0

1 + 2¿Tm (4k)Tm (x))\ (5)

Наука итехника, № 4, 2013

2

к л

при этом fk = /(Лк), Лк = cos-к = 0,n +1,

n + 1

символ «1 1» означает, что /0 и /+1 делятся на 2.

Можно ввести линейный оператор Q!n (/| х), который представляет собой приближенное решение для интеграла (1)

П (х) - Qi (/1х) =

л/1-Х2

л(п +1)

n+1 +i

<Z"/k xj

1 + 2^ (Лк )Tm (t)

к=0

1 (t - х)лД -12

dt. (6)

С учетом соотношения (3) выражение (6) преобразуется к виду

Q'n (/ I х) = —-1 / I Uo( Х) + 2^ (Лк )Um (х) I =

П + 1 к=0 V m=1 J

^ n + 1 n

те"/к it (Лк щ (х), -1 < х < 1. (7)

" 1 к=0 m=1

n + J

Оценка погрешности для (7) получается при использовании равенства

/ (t) - Q/ (t) = I L V;+1(t),

(8)

где

Lf=-

1 n+1

I"(-1)'/,;

vr+!(t) = I +1)^^(t),

mj>n+1

при этом ц - функция Мёбиуса;

m. > n +1, r +1 = (2sy + 1)m ■;

\Tm (t), m = (2s + 1)(n +1);

Bin)(t) = •

(9)

T, (t) - T (t), m = 2s(n +1) +l, 0 < III < n.

Сходимость ряда (8) показана для всех /x) из класса Lip а, 0 < а < 1 в [5].

Преобразование (3) действует на функции B^ (t). Введем обозначения

#/(х) = I |(2sj + ^(х). (10)

При условии, что

А(n)(x} К (х), m = (2s + 1)(n +1); (11)

mj Х К (х) - Щ (х), m = 2s(n +1) +1, 0 < Щ < n,

получим

П (х) - Q (х) = ^ #"+1(х). (12)

Будет справедлива теорема.

Теорема 1. Пусть для оператора (1) получено приближенное решение в виде (7), тогда при n ^ да оно будет равномерно стремиться к точному решению, если функция ft) принадлежит классу Гёльдера (f(t) е Lip а, 0 < а < 1).

Доказательство. Так как функции х) ограничены сверху таким же образом, как и х), то условия сходимости ряда (12) будут теми же, как и ряда (8), т. е., необходимо, чтобы выполнялось условие: fit) принадлежала бы классу Гёльдера (/(t) е Lip а, 0 < а < 1).

Скорость сходимости ряда (12) будет определяться дифференциальными свойствами функции плотности /(t), от которой зависит быстрота убывания последовательности линейных функционалов ibl} .

v ' r =n

Для членов этой последовательности справедливы все теоремы [5] о сходимости ряда (12) для функций, принадлежащих классу fit) е Lip а, 0 < а < 1, аналитических функций и других. То есть ряд будет абсолютно сходиться для всех классов функций, указанных в вышеприведенной работе, в том числе и для функций, указанных в условиях рассматриваемой теоремы.

Теорема доказана.

Оценка погрешности приближенного решения будет

да _

I IП(х)-QIП/| х)|| <11L/ |max| #°+1 (х)|=

^^ х

r =n

да _

= I| Lf ||| фГ+1 ||. (13)

где || ||= max | х) |. Для вычисления

хе[-1,1]

|| || используем равенства (10), (11) и то, что К (х)| < 1.

Наука итехника, № 4, 2013

В случае n = 0 получается разложение оператора I(x) в ряд по функциям Чебышева (3) в виде

да

I(x) = Q (f\x) + XLff (x). (14)

r=0

Можно в качестве приближенного решения рассматривать конечную сумму

n

I(x) «In (x) = QI (f \ x) + XLf_!x). (15)

r =1

Ее остаточный член легко вычисляется.

При аппроксимации функции fx) на замкнутом промежутке полиномами наилучшего приближения Pn(x) для наибольшего уклонения Ef полинома от функции выполняется неравенство [4]

\Lf\<Ef <X\Lf\.\\yr+1 \ \ .

(16)

Пусть для интеграла (1) полиномом наилучшего равномерного приближения является Р^ (х). Величина Еп есть значение наибольшего уклонения полинома от функции 1(х). Тогда, используя свойство (16), можно получить для рассматриваемой задачи неравенство следующего вида:

\Lf\<EI <X\Lf\

iv r+1

(17)

Это неравенство важно использовать при оценке погрешности приближенного решения. Равенство (14) является способом восстановления оператора I (х) по последовательности линейных функционалов функции /(1).

Приближенное решение уравнения (2). Приближенное решение для интеграла (2) получится при замене функции /(1) приближенным выражением (5) в промежутке -1 < 1 < 1, то есть

9 П+ 1 . / I-\т

ЯЕ(/\х) = Х/ХТ.(П)(х— ^/X7^T) , п+1 к=0 т=Т у '

к %

1 < x < да, ^ = cos-, к = 0, n +1. (18)

n +1

Будет справедлива теорема.

Теорема 2. Пусть для оператора (2) получено приближенное решение в виде (18), тогда оно при n ^ да будет равномерно стремиться

Наука итехника, № 4, 2013

к точному решению, если функция /(1) принадлежит классу Гёльдера.

Доказательство. Доказательство сходимости ЯЕ (/ \ х) к Е(х) (2) при п ^ да можно провести способом, аналогичным доказательству для ЯП (/ \ х). Разность (/) - ЯП )) определяется выражением (8). Оно при интегрировании с учетом условия (4) приведет к вычислению остаточного члена в виде ряда:

да

\ \Е(х) - ЯЕ (/\х)\|<Х \Lf\-\\, (19)

г =п

где функции (х) могут быть определены из соотношений (11) с заменой ит (х) на функции

(х— л/ х2 — т) . Так как абсолютная величина

этих выражений в промежутке [1, да) не превосходит единицы, то правая часть неравенства (19) представляет собой равномерно сходящийся ряд для всех функций /(1) из класса Гёльдера. В этом случае будет справедливо разложение Е(х) на асимптотический многочлен и остаточный член в виде абсолютно сходящегося ряда

да

Е(х) = # (/ \ х) + Х НХ<+Т (х). (20)

г=0

Последовательность №} имеет все

V ' г = п

свойства, рассмотренные для решения уравнения (1), и ряд (20) будет равномерно и абсолютно сходиться для соответствующих классов функций.

Теорема доказана.

Если положить п = 0, то имеет место равенство

да

Е(х) = ЯЕ (/ \ х) + Х Н/ (х). (21)

г=0

Будет справедливо условие, аналогичное (17). Выражение (21) можно рассматривать, как восстановление оператора Е(х) по последовательности линейных функционалов }

V ' г =п

функции плотности /(1)

п

Е(х) « Еп (х) = ЯЕ (/ \ х) + Х Н / (х). (22)

г=0

В качестве примеров можно рассмотреть следующие задачи.

да

Пример 1. Найти приближенное решение Q (f | x) задачи

л/Г

2 +1

I (x) = f lni

я J 1

1 +1 sin a 1

dt

j i -1 sin a t _ x -Ji _ t2 '

-1 < x < 1,

при n = 3 и n = 4. Оценить погрешность.

Решение. Пусть a = 45°. Функция I (x) является нечетной, поэтому все нечетные линейные функционалы будут равны нулю. Рассмотрим решения при n = 3 и n = 4. Они имеют вид:

Q (f | x) = 1,07180 • U (x) + 0,02681 • Ü3 (x);

Ql (f | x) = 1,07175 • U (x) + 0,02580 • Ü3 (x).

Вычислим последовательность линейных функционалов |zf } по формуле (9) и функции ф^Д x) по формулам (10) и (11):

Lf = 1,762747, Lf = 0,094921, Lf = 0,009757, Lf = 0,001195, ... функции для n = 3:

ф+1 (x): Ф43) = Ü4 (x), Ф53) = Ü5 (x) _ Ü3 (x),

Ф63) = Ü6 (x) _ Ü2 (x), Ф73) = Ü7 (x) _ Ü (x), .; для n = 4:

C1(x): Ф53) = Ü5(x), ф63) = Ü6(x) _ Ü4 (x), ф73) = Ü7(x) _Ü3(x), ф83) = Ü8(x) _Ü2(x), ...; для n = 0:

^(x): ф0) = Ü1(x), ф30) = Ü3(x)_Ü1(x), ф50) = Ü5 (x) _ Ü1 (x), ф70) = Ü7 (x) _ Ü1 (x),

ф90) = Ü9 (x) _ Ü3( x), ... .

Следовательно, при n = 3 погрешность приближенного решения может быть представлена

AQ3 (x) = f (x) _ Q37 (f | x) = L{ ф3) (x) + +Lf ф3) (x) +... = Lf (Ü5 (x) _ Ü3 (x)) + ^ (Ü7(

+L^6 (Ü7( x) _ Ü1( x)) +...

и не превосходит

||I (x) _ Q (f|x)||< 0,022.

При п = 4 соответственно

да7 (х)=/ (х) - а ц-\х)=ь{ у54) (х)+

+ь{ у74) (х) +... = 1{й5 (х) +16 (й7 (х) - йъ (х)) +.... Имеет место двустороннее неравенство 0,0091 < \\ I(х) - 644(/ \ х) \\ < 0,012,

то есть 0,0091 < Е\ < 0,012.

Приближенное решение можно получить как конечную сумму ряда (14)

I(х) « 7з (/ \ х) = а/ +1/^1(0) (х) + Ь{< =

= 1,762747й (х) + 0,009757(й (х) - й (х))

при значительно меньшем количестве вычислений. Используя значения линейных функционалов, получим погрешность в виде

Д73 (х) = I (х) - 73 (х) = Ь/ у(0) (х) + + Ь6у70)(х) +... = Ь{(й5(х) -Ц) + + Ьб(й7 (х) - йД х)) +...

и в итоге |Д73| < 0,022.

Приближенные решения (/ \ х) и (/ \ х) на графике рис. 1 практически сливаются. Поэтому удобнее рассмотреть их погрешности на всем промежутке х е [-1, 1] (рис. 2). Как видно из графика, наибольшую погрешность дает решение /э(х). Оценки погрешности достаточно точно дают наибольшую погрешность соответствующих решений и не являются сильно завышенными.

Отсутствие гладкости на рис. 2 объясняется большим шагом при вычислении погрешности.

2,0 1 5 • ••••

1 П 1 • •

0,5 №

,0 -0 8 -0 6 -0, 4 -0,2 0

0, 2 0, 4 0, 6 0, 8 10

r\ 0,5

2 1,0 1 <;

* • \ 3 -2 0

Рис. 1. Приближенные решения Ql (f | x), Q\ (f | x) и I3(f | x): 1 - Q3; 2 - Q4; 3 - I3

Наука итехника, № 4, 2013

г 0 ,03

п 0 09 У 1

• • « ■ ,02 » /

«¡0 • 0 ,01 ✓ X

K#j у 3,4 -0 ,20 /

ГША 9 -0 0 0 ? ,2 •0 ,4 . 0,6 0, 8 1

hZ Л V ч • • • ' п -0 • V / /

\ / — ,01 • > * Ij

2 \ f п по •

-0 ,02 г

А ло 3

-0 ,03

Рис. 2. Погрешности приближенных решений 23 (/ \ х), (/ \ х) и П3 (/ \ х) : 1 - дел. 0з; 2 - дел. 04; 3 - дел. 1з

Пример 2. Найти приближенное решение (/ \х) задачи

/(х) = Vl _ x2 j arctg(t • tgа)

-x

л t _ x _ t2'

-1 < x < 1,

при п = 3 и п = 4. Оценить погрешность.

Решение. Пусть а = 45°. При п = 3 и 4 приближенные решения имеют вид:

ЯП (/ \ х) = 0,82832 • И, (х) — 0,04228 • И3 (х);

ЯП (/ \ х) = 0,82878 • И\ (х) — 0,04778 • И3 (х). Оценки погрешности

\\П (х) — & (/\х)\\< 0,0112; 0,0050 <\\ П(х) — 644 (/ \ х) \\< 0,0062; Следовательно, имеет место неравенство 0,0050 < Е\ < 0,0062.

Пример 3. Найти приближенное решение дЕ (/ \ х) задачи

„, . л/х2 — Т +1 агйе^ • а) Л Е (х) =-I -

тг

t _ x

1 < x < да,

при п = 3 и п = 4. Оценить погрешность.

Решение. Пусть а = 45°. Подынтегральная функция нечетная, следовательно, все нечетные линейные функционалы равны нулю. Для п = 3 и 4 получаются соответственно приближенные решения

ЯЕ (/ \ х) = 0,82832 • (х — л/х2 — 1) — — 0,04228 •( х — V х2 — 1 )3;

ЯЕ (/\ х) = 0,82878 •(х — >/х2 — 1 ) —

— 0,04778 •( х — ^/XГ—7 )3.

Погрешность для ЯЕ( / х) на промежутке 1 < х < да можно представить

Е (х) — ЯЕ (/\х) = ДезЕ (х) = =^53)( х)+ь ^73)( х)+...,

где линейные функционалы принимают значения:

Ь/ = 0,785398, Ь2 = —0,047297, Ь/ = 0,004877, Ь/ = —0,000598 и т. д.,

функции:

W(3) (x) = ( x x2 _ 1 J' _ ( x _>/x2 _ 1J

(x) = ^x_yjx2 _ 1 J x_ Vx2 _ 1J и т. д.

Будет справедлива оценка

П (х) — (/\х)| < 0,011.

Погрешность для $ (/ \ х)

E (x) _ QE (f\x) = AQe4 (x) = =l4 w54)( x)+l{ W 74)( x)+...,

функции:

(4)( x)=( x J,

(x) = ^x_Vx2 _1J x_Vx2 _ 1J и т. д.

и имеет место двусторонняя оценка погрешности 0,0049 < \ \ п(х) — ЯЕ (/ \ х) \\ < 0,0069.

Можно получить приближенное решение в виде частичной суммы (22)

Е(х) « Ез(х) = ЯЕ (/ \ х) + Ь0х) + Ь2^30)(х) и погрешность в виде бесконечного ряда

Е(х) — Е3 (х) = ДЕ3 (х) = ¥<0)(х) + ¥<0)(х) +...,

где Я/ = 0, Ь/ = 0,785398, Ь/ =—0,047297, функции:

^(0)( х) = ( х — 4хГ—Т), (х) = ( х — 47—Т )3 —( х — у/ х2 — Т ),

Наука итехника, № 4, 2013

о

7

7

¥(0)(х) = (х-Vх2 - 11 х-Vх2 -

и ^(0)(х) = (х->/х2-1^ -(х->/х2-11,

В итоге погрешность примет вид

AE,

(x) = Lf ^ x -л/ x2 - ij5 - (x -J x2 - 1 j ^ x -л/ x2 - ij7 x-V x2 - i jj +...

+L

Ее оценка \ ДЕ3 (х) \ < 0,011. Все приближенные решения на рис. 3 практически сливаются, поэтому о погрешности лучше судить по рис. 4.

0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

Рис. 3. Приближенные решения 0е (/ \ х), О (/ \ х) и Ез (/ \ х) : - -х- - - бз(£);--04(Е);---------Ез

0,005 0,004 0,003 0,002 0,001 0(

-0,001 -0,002 -0,003

,75 5 1,' 5 2,2 5 2,7 5 3,2 5 3,7 5

• •

Рис. 4. Погрешности О (/ \ х), О (/ \ х)

и ДЕ3 (х) :------дел. 0з(Е);--дел. 04(Е);

.........- дел. Ез

Наибольшую погрешность в начале бесконечного промежутка дает многочлен О (/ \ х), и, рассматривая структуру погрешности, можно отметить, что это правило будет иметь место для всех асимптотических многочленов четных степеней. Численные оценки погрешности для ОЕ (/ \ х) и -Ёз(х) получились сильно завышенными. Все погрешности Д^ (х), Д^ (х) и

ДЕз(х) на всем промежутке укладываются в рамки тех значений, которые вычислены как оценки сверху, хотя оценки сверху оказываются довольно сильно завышенными.

В Ы В О Д Ы

Применение метода асимптотических полиномов к решению интегральных уравнений (1) и (2) дает возможность:

1) достаточно просто получать приближенные решения в виде асимптотических полиномов (13) для I (х) и (18) для Е(х);

2) вычислить оценки погрешности вида (15)

для О'7 (/ \ х) и (19) для О (/ \ х), используя

соответствующие последовательности линейных функционалов для подынтегральных функций, которые вычисляются простым суммированием ординат, т. е. нет необходимости прибегать к использованию производных высокого порядка, как во всех других методах;

3) разложить подынтегральную функцию Дх) в ряд Фурье - Чебышева и получить соответствующие ряды для интегралов (1) - 1(х) (15) и (2) - Е(х) (20), которые отличаются от традиционных рядов Фурье тем, что для получения коэффициентов не требуется интегрирование функций, так как ими являются линейные функционалы;

4) вычисляя последовательно члены ряда Фурье - Чебышева (15) и (21), найти необходимый номер N начиная с которого будет выполняться заданная точность;

5) затем можно построить полиномы О (/ \ х)

и ОЕ (/ \ х) по формулам (7) и (18), для которых

заданная точность будет выполняться;

6) построить графики как самих многочленов, так и погрешностей на всем изучаемом промежутке.

Все вычисления очень просто реализуются с помощью вычислительной техники.

Л И Т Е Р А Т У Р А

1. Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхелишвили. - М.: Наука, 1968.

2. Пыхтеев, Г. Н. О некоторых сингулярных интегралах с ядром типа Коши / Г. Н. Пыхтеев // ПММ. -Т. XXIII. - Вып. 6. - 1959. - С. 1074-1082.

3. Грибкова, В. П. Равномерные приближения, основанные на полиномах Чебышева / В. П. Грибкова, С. М. Козлов // Сб. тр. XXIII Междунар. науч. конф. ММТТ-24. - Т. 1. - 2011. - С. 31-36.

4. Функции математической физики / Ж. Кампе де Ферье [и др.]. - М.: ФМЛ, 1963.

5. Этерман, И. И. К вопросу восстановления функции по некоторой характеристической последовательности / И. И. Этерман // Известия вузов. - 1966. - № 2. -С. 148-157.

Поступила 27.03.2013

Наука итехника, № 4, 2013

0,75

1,25

1,75

2,25

2,75

3,25

3,75