CC BY
28
Таблица 2
Таблица значений Цп\ у)
и/у 0,90 0,95 0,99 0,999
5 1,99 2,78 4,60 8,61
6 1,96 2,57 4,03 6,86
7 1,93 2,45 3,71 5,96
8 1,90 2,37 3,50 5,41
9 1,88 2,31 3,36 5,04
10 1,86 2,26 3,25 4,78
12 1,84 2,20 3,11 4,44
14 1,82 2,16 3,01 4,22
16 1,80 2,13 2,95 4,07
18 1,78 2,11 2,90 3,97
20 1,76 2,09 2,86 3,88
25 1,74 2,06 2,80 3,74
30 1,72 2,04 2,76 3,66
35 1,70 2,03 2,72 3,60
40 1,69 2,02 2,71 3,56
50 1,68 2,01 2,68 3,50
60 1,67 2,00 2,66 3,46
70 1,67 1,99 2,65 3,44
80 1,66 1,99 2,64 3,42
90 1,66 1,98 2,63 3,40
100 1,65 1,98 2,63 3,39
120 1,65 1,97 2,62 3,38
В Ы В О Д Ы
Разработана простая и удобная в применении методика распространения данных выборки на генеральную совокупность. Она позволяет всесторонне проанализировать генеральную совокупность с достаточно высокой степенью надежности:
1) оценить интервал вариации признака генеральной совокупности формулой (правило трех дельта) х - ЗА < хг < х + ЗА;
2) оценить объем генеральной совокупности N обладающий значением признака Хк, формулой N (хк ) = —^ N с точностью
3А|1 — | %.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Статистика / И. И. Колесникова [и др.]. - М., 2007.
2. Захаренков, С. Н. Статистика / С. Н. Захаренков. -Минск: БГУ, 2010.
3. Общая теория статистики / под ред. Л. И. Карпенко. - Минск: БГЭУ, 2007.
4. Статистика автомобильного транспорта / И. М. Алексеева [и др.]. - М., 2005.
5. Статистика / под ред. И. М. Елисеевой. - М., 2009.
6. Гмурман, В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика / В. Е. Гмурман. - М., 2002.
Поступила 30.03.2012
УДК 517.956
ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОДНОГО УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ КРЫЛА МЕТОДОМ АСИМПТОТИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ
Канд. физ.-мат. наук, доц. ГРИБКОВА В. П., канд. техн. наук, доц. КОЗЛОВ С. М.
Белорусский национальный технический университет
В [1] подробно анализируется один из приближенных методов решения уравнения теории крыла конечного размаха, которое описывается сингулярным интегро-дифференциальным уравнением
Г(х)/В(х) - Г'(0/0 - х)й1 = /(х),
хе[-1, 1], (1)
где /(х) и В(х) - известные функции (функция В(х) нигде не обращается в нуль, за исключе-
Наука итехника, № 5, 2012
нием, может быть, концов промежутка, и на всем промежутке больше нуля); Г(х) - искомая функция (Г(1) = Г(-1) = 0).
Рассмотренный в [1] метод Мультоппа основан на замене точного решения тригонометрическим интерполяционным многочленом Лагранжа, построенным на узлах Xk = = cos(k^ /(n +1)), k = 1, n и выраженным через полиномы Чебышева второго рода:
Un (х) = sin((n +1) arccos х) /-y/i - х2,
либо при замене х = cos 9 , 9е[0, л] Un (cos 9) = = sin(n + 1)9 /sin 9. Аналогичное приближенное решение рассматривается в [2], но для пространства L2 с нормой
И/ЦЦр(х)|/(х)|2 dxj12.
В данной статье предлагается метод, аналогичный рассмотренному в [1], который построен на полиномах Чебышева второго рода, но на других узлах. Этот метод удобен тем, что позволяет для каждого приближенного решения вычислить погрешность для любой точки промежутка [-1, 1] в виде ряда на основе последовательности линейных функционалов [3], который можно назвать рядом Фурье - Чебышева. Кроме того, если получить решение в виде многочлена при некотором небольшом значении n и рассмотреть погрешность в виде этого ряда, то можно определить номер элемента, начиная с которого будет выполняться заданная точность для многочлена любой степени n. В [1] искомая функция представлена как
произведение Г(х) = V1 - х2у(х). Тогда функция y(x) обладает теми же аналитическими свойствами, что и Г(х). Рассматриваем решение уравнения (1) в пространстве С с нормой || /1|= max | /(х)| . Используем в работе пред-
хе[-1,1]
ставление любой функции f (х) в виде асимптотического многочлена Gf (х) и остаточного члена R (х), рассмотренное в [3]:
/ (х) = G/ (х) + Rn (х) = G/ (х) + Zr=nM/ х),
где линейные функционалы функции f(х) ^Я Наука
итехника, № 5, 2012_
Ы1 = (2/(г + З))^—1)к (хк )(1 - ^2),
а функции %[п+)2(х) выражаются через полиномы Чебышева второго рода, поэтому такое разложение можно назвать рядом Фурье - Чебышева.
Представим приближенное решение уравнения (1) в виде асимптотического многочлена,
умноженного на л/1 — х2:
(2)
Гп+1( х) = ^/Г-X2G: (х);
Г(х)«Г+i(х) = (х) =
^л/Т-х7 X 1=0 € ит ( х);
al= (2/(n + 3))X n+2 Y (х* ) х
х(1 - хк)ит (хк ),
где узлы, на которых строится многочлен, определяются по формулам:
X = ео8(ктс /(п + 3)), к = 1, п + 2. (3)
Над Г и у ставятся черточки в знак того, что эти функции строятся на ординатах, вычисленных приближенно.
Для решения задачи (1) удобнее перейти от асимптотического многочлена (2) к соответствующему ему интерполяционному многочлену 0~у+1 (х) [3], здесь черта сверху означает интерполяционный многочлен, соответствующий асимптотическому О] (х):
оП+1( х)=о; (х) + М1ип+1(х)-,
Г( х) «л/1 - х2 gY+1 (х) = =>/1-7 G (х) + MJnUn+i( х)).
(4)
Асимптотический многочлен GJ (х) в k =
= 1, п + 2 узлах (3) отклоняется от интерполяционного на величину линейного функционала М^
Gn+i( хк ) = Gñ (хк ) + (-1)к vMl,
(5)
где V = +1 либо V = -1. В данном случае для простоты примем V = +1. Линейный функционал М1п вычисляется по формуле
Ы1 = (2/(п + З^^П^ГС-1)^ У Х )(1" х2). (6)
Для функции, являющейся полиномом степени, меньшей или равной п, многочлен (4) будет точным решением. В дальнейшем будут использоваться обозначения:
?(хк) = Гк; /(Хк) = /; В(хк) = Бк;
2-
У(Х) = 7* и Г =41-x>
Ук •
Учитывая выражения (4)-(6), приближенное решение для у(х) будем отыскивать в виде (4), где
ЗУ+Х) = £1.Лит (Х) + Х). (7)
Уравнение (1) представим как операторное ^(х, у(х)) = /(х). В [4] рассматривалось аналогичное применение асимптотических многочленов, построенных на полиномах Чебышева первого рода.
Первое слагаемое уравнения (1) приближенно представим следующим образом:
Г(x)/B(x) « G™(x) =
(8)
= £ 1=0 aTmBUm (x) + MlBUn+i( x);
аГв = (2/(n + 3))Xn=í (Гк / Bk )(1 - x"l)Um (x¿ ) = = (2/(n + 3))Xn+2( У^л/1-xf / Bk )(1 - xí)Um (xk);
MfJ = (2/(n + 3))Xn+2(-1)k^k /Bk)(1 - xk2) =
= (2/(n + 3))Xn+2 (-1)k / Bk )(1 - x2).
Если многочлен (4) представить через переменную 0, продифференцировать его по 0 и использовать известные равенства (при m = 0 интегро-дифференциальный оператор равен нулю):
(1 / л) £ cos mх /(cos х - cos 0)dx = ^ = sinm0/sin0 = Um_j(x), m = 1,...; 0e[O, л],
то для второго слагаемого (1) получим выражение
(1/2л) jjr'(x)/(cos х- cos 0)d х «(1/2л) х
х| IV 1 - x2 Gn+1
£ (V 1 - x2 Gn+1 (x) j /(cos x - cos 0)dx
«(1/2) o al (m +1) sin(m +1)0 / sin 0+ (10)
N
+MI (n + 2) sin(n + 2)0 / sin 0
У
= (1/2) (XLo(m + 1)alUm (x) + Mnn (n + 2)^ x)).
Функцию f (x) заменим интерполяционным многочленом вида (4)
f(x) * gL (x) = xm.0 afUm (x) + Mf (x), (11) где коэффициенты вычисляются по формулам: al = (2/(n + 3))YkZfk (1" x2)Um (xk ), m = 0Я а линейный функционал
MÍ = (2/(n + 1)^ fk (1" x2).
Подставляя (7), (8), (10), (11) в уравнение (1), получим равенство для вычисления приближенного решения Г( x) «V1 — x2GJ+1 (x)
GrB1( x) - (1/2л) х
Л - x2 Gy+1 (t))' /(t - x)dt = GÍ1 (x),
(12)
или с учетом равенств (7)-(11) от уравнения (12) перейдем к уравнению
(£1=0 атВит (Х) + МХ+1( Х))- (1/2) (£1=0 (1 + 1К ит (Х) + Ы1 (п + 2)и+1( Х)) =
= £1=о а/ (Х) +М/ (Х). (13)
Сравнивая коэффициенты при одинаковых полиномах ит(х) (т = 0, п +1) в левой и правой частях равенства (13), получим систему (п + 2) уравнений:
|а1В + а1= а1, 1 = ° п;
\М1В + М1 = М{, 1 = п +1
^ пп пп п '
с (п + 2) неизвестными ук, которые можно определить, подставив все выражения для коэффициентов аГ, а^ и а/, а также соответ-
ствующие линейные функционалы k = 1, n + 2:
Наука итехника, № 5, 2012
х
m +1
Um (x, )(1 - X, ) =
= ZZ;fUm(xk)(1 - x2;), m = 0,n; (14)
z Г=;(-1)* У , (fi-X; / вк - (i/;)(n+2)) x
х(1 - x2;) = Mf, m = n +1.
Существование решения системы (14) и его единственность следуют из общих теорем для проекционных методов, рассмотренных в [5], а также в [1] для метода Мультоппа. В [1] доказана ограниченность оператора, описывающего второе слагаемое уравнения (1), что дает возможность сделать вывод о сходимости метода последовательных приближений при решении рассматриваемой системы уравнений (14) от какого бы начального значения не исходили. Однако система уравнений (14) может быть решена и любым другим методом.
После вычисления приближенных ординат ук и линейного функционала Ы1п (6) приближенное решение окончательно может быть записано либо с помощью асимптотического (2), либо с помощью интерполяционного многочлена (4). Решение (2) отличается от решения (4)
на слагаемое
л/1 - X2 MyJUn+1( x). Рассмотрим,
при каких условиях многочлен Оп+\ (х) будет стремиться к точному решению у(х) или
- x2 Gn+1 (x) к Г(x) .
Я
Разность между выражениями (1) и (11) имеет вид
(Г(х)/ В(х) - (1/2л) х
. —Гв
Г'(0 /(I - - f (х)) - (О^1 (х) - (1 /2л) х (15) х^ (41 - х2 ОП+1 (Г))' /(I - х)Л - О"+1 (х)) = 0.
Представим ее следующим образом: Г(х) / В(х) - О™ (х) = 1/(2л) Л Г'(0 /^ - х^
- (1/2)Z m=0 У, (1 - x,2)(m + 1)Um (x, )Um (x) +
+/(х) - О"+Дх).
Левую часть равенства преобразуем Наука
итехника, № 5, 2012_
+
Г( х)/ В( х) - О„в1 = = (Г( х)/ В( х) -V1 - х2 ОП+1 (х)/ В( х) |
1 - х2 ОП+1 (х)/ В( х) -41 - х 2у( х) / В( х) | + +(л/1 - х2у( х) / В( х) - ОГВ1 (х) ).
Тогда разность (15) можно переписать в виде
(г( x) -41 - x2 Gn+1 (x)) / B( x) = : (41 - x2y( x) -v 1 - x2 Gn+1 (x)) / B( x) -(л/1 - x2y( x)/ B(x) - G™ (x) ) +
+ 1 Y Г'С )/(t - x)dt -
1
-11 Но?* (1 - х2)(т + (х и (х) ] +
+ ( / (х) - О"+1( х)). Умножим правую часть на функцию В(х)
Г( x) ~41 - x2 Gn+1 (x) = (41 - x2y( x) -41 - x2 Gn+1 (x)) -
К
+B(x) I -Ы1 - xzy(x) / B(x) - Gn+1 (x)) +
(16)
+|1/(2л)Ц Г'^- х)Ж -- (1/2)Е П У к (1 - х2)(т + 1)Ц, (х* )ит (х)) +
+( / (х) - ОП+1( х) )) = Яп+1( х).
Кроме того, можно от разности между точным решением и интерполяционным многочленом (4)
Г( x) -41 - x2 Gn+1 (x) = : Г( x) -41-7 (G (x) + MlnUn+1 (x) )
перейти к разности между точным решением и асимптотическим многочленом (2)
Г(х)— л/Г—^Gj (x) = Г(x)— л/Г—^Gj(x) =
= ^Г7м:пип+1 (х) + R+1 (х) = R (х).
Необходимо доказать сходимость приближенного решения лД — х2Gj (х) к точному
Г( х) = 41 — х2 у( х).
Теорема. Пусть для уравнения (1) получено приближенное решение в виде многочлена
л/1 — х2Gj (х) (2). Тогда для приближенного решения имеет место равномерная сходимость к точному решению Г(х) в том случае, когда функции f (х) и B(х) (B(х) > 0) имеют производные порядка p, а искомая функция - порядка (p +1), принадлежащие классу Lipa, если p > 2, а 0 <a< 1.
Доказательство. Интерполяционный многочлен Gl+1 (х) будет являться точным решением для всех функций, которые являются многочленами степени (< п). Предположим, что для функции у(х) существует полином наилучшего равномерного приближения Pn (х) степени n с величиной наименьшего уклонения E'n. Тогда представим разность между точным и приближенным решениями в виде
41 — х2 (n(х) — Gn+1 (х)) = 41 — х2 х / -n ч (17)
х((п( х) — Pn (х)) + (Pn (х) — GL( х)) j.
Первое слагаемое правой части (17) равно
л/гх2 м х)—p (х))=л/гх2 .
Для вычисления и оценки второго слагаемого полином наилучшего приближения представим в виде
Pn (х) = (2 /(п + 3)) х
хЕ I+2 Pn (х* )(1 — х2)Е 1=0 ит (х* U (х)
и составим разность
4т-x2(P (х) — G^)) =^|Т-XF(P (х) — —G (х) — MñnUn + (х)) = (2/(п + 3)) х
Tspn x) - ъ )Z:=о Um X )um (x) + x) + B(x) x
X(-Z/Bk)(Pn(Xk) - %)(1 - x2) X
x! m=o UUm (Xk )Um (X) + MlU+1 (X) + (1/2) X
xZ k= (Xk ) -Y^ )(1 - Xk2)! m=o 0Um (Xk )(m +1) x xUm (x)+Ml (n + 2)u+1(x)/2 + Z n+=2(p (xk) - fk) X x(1 - x2)Zm=oum (xk )um (x) + MfUn+1( x)).
Считаем, что функция B( x) является непрерывной, поэтому имеет верхнюю B = ||B| | = = max | B(x) | и нижнюю B = 111/B11 = max 11/B(x) |
xe[-1,1] xe[-1,1]
грани. Введем постоянную C = 1 + B(B +1). Норма полинома || Um || = m +1. Она не улучшаема, так как в точках x = -1 и x = 1 полином достигает значений m +1.
Учитывая, что выполняются неравенства |P (Xk)-lk|< En, | Pn (Xk) - f |< En и Ml < El, M™ < El, можно сделать оценку погрешности
|| P„-l||< (2/(n + 3))E>
x(czn:ín - Xk2|zm:>m(Xk)N mj |+ (18) + (B/2)Zn+=2|1 - Xk2|Z !=> + 1)|Um (Xk )|-| |UJ | ).
Если перейти от переменной х к переменной 0, то неравенство (18) преобразуется к виду
|| Pn -11|< (2 /(n + 3))En x x(c Z n=12| sin 0k |Z ^^(m + 1)0k )|x
x || sin(m +1)9/sin91| + (B/2)Z^ sin0 | x x Z„+o (m +1) | sin(m +1)0 | • || sin(m +1)9 / sin 91|).
Оценка сверху:
- для первого слагаемого
Z n=2| sin 0JZ m+=o| sin(m +1)9, )|x
x 11 sin(m +1)9 / sin 91| < (n + 2)2 (n + 3) / 2;
- для второго
Наука итехника, № 5, 2012
Z Hiisin e i Z H1Q(m+T) isin(m+T)e ix
x ii sin(m+i)e/sin e || <
< (n + 2)Zl+o(^ +1)2 < (n + 1)(n + 2)3 /3.
Таким образом, для неравенства (18) будет справедливо
iiPn-у ii< (2/(n + 3)) E¡x
x(c (n + 2)2(n + 3)/2 + B(n + 1)(n + 2)3 / 3) < < Ey (C(n + 2)2 + (B / 3)(n + 1)(n + 2)2).
Здесь использовали известный результат суммирования Z^k2 = n(n + 1)(2n +1)/6. Тогда, возвращаясь к (16), можно сделать оценку
ii Г-V1 - х2 Gу ii < ii у- Gу ii< Eу + , ч
II * i I I II I n w n /1 Q\
+El (C(n + 2)2 + (B / 3)(n + 1)(n + 2)2)
или
| i у-Gj ii <El(C(n + 2)2 + (B/3)(n + 2)3). (20)
Оценка для равенства (17) будет следующей
i |г-л/ТХ%:11< El+ El (C(n + 2)2 /2 + (21) +B (n + 2)3 /3).
Если величина EJ < су / np+a [6], где постоянная с7 зависит от функции у(х), p > 3, Q < а < 1, то для сходимости приближенного решения к точному необходимо, чтобы производная p > 3 функции у(х) принадлежала классу Lipa. Причем для первого слагаемого неравенства (20) достаточно, чтобы функции B(х) и f (х) имели производные порядка p > 2, принадлежащие классу Lipa. Теорема доказана.
Обозначим правую часть равенства (16) -остаточный член R„+i(x) - как сумму
R+i (х) = (х) + R+T (х) + СГ (х) + R+T (х),
где
(х) = ^/Г-XГу(x) - n/T-^GL (х);
rRI+1 (х) = B( х) (л/Г-^х)/B(x) - Güi (х) J;
Я+>(х) = В(X) Ц- ¡\ ШЛ --1Z П у* (1 - х2)(т +(X, и (х)
X) = В(х) (/ (х) - ^(х)).
Каждое из слагаемых можно представить в виде бесконечной суммы, выраженной через соответствующие линейные функционалы и функции Хг+2(х), г = п,...,да, способ вычисления которых через полиномы Чебышева второго рода приведен в [3]. К этим функциям при вычислении третьего слагаемого (16) применяется преобразование (9). Введем обозначение
Г х) = (1/7Г)£ (л/Гх^Г))' Л ( - х).
Для остаточных членов соответственно получим:
Я) (х) = у/1 -х2у(х)-у/1 -х2(х) =
z ;= п+м1 *<+>( х)
или
х) = Л/Т-хГу( х) -1( х) - 1(х)) ^ (22) ^ Я« (х) = ,¡1-7Ы1ип+1 (х) + Я®, (х) =
=Я-х? z;=пМУ х+и х).
Слагаемые с линейными функционалами можно включить в остаточные члены, которые таким образом приобретут еще по одному слагаемому, и суммы будут изменяться не от (п + 1), а от п, то есть
Я1 (х) = лЯ-хГу( х) - л/Т-Т^ (х) =
=л/Г7 z х;+и х),
аналогично для всех остальных Я^ (х), 1 = 2, 3, 4:
Я(2) (х) = В( х)мГВип+1 (х) + Я(21 (х) =
=в( x)z ;=пМГв х ;+и х);
Наука итехника, № 5, 2012
Rf( x) = ( B( x)Ml (n + 1)^и+1( x) +
+b( x)i;.n m ш x))/2=
=(B( x)/2)^;.nM: x í+k x);
R(:"> (x) = B( x)MfnUn+i (x) + R™ (x) = =B( x)I IM x «( x).
Следовательно, окончательно остаточный член примет вид:
Rn (x)=z :_n (-mia/tx2+b(x)(m™ + m( ))x xxí+ux)+b(x)m;x(+2(x)). (23)
Для того чтобы производная приближенного решения наибольшего третьего порядка
(Gj (x)) е Lipa, необходимо, чтобы многочлен
(GJ (x)) имел кривизну, отличную от нуля,
следовательно, был бы не менее второго порядка. Тогда многочлен GJ (x) будет иметь степень пятого порядка. Он основан на семи ординатах - ук, к = 1,7, для определения которых необходимо решить систему уравнений (14) седьмого порядка. Таким образом, наименьшая степень асимптотического многочлена, являющегося приближенным решением уравнения (1), не может быть меньше пятой.
Для слагаемых R(1)(x), R(2)(x) и R(4)(x) рассмотрено стремление к нулю при n в [3], для всех функций, у которых производная порядка p > 2 принадлежит классу Lipa. Функции Хг+г( x) выражаются через полиномы Че-бышева второго рода
Хí+2(Х) = =n(2) кгт^т+2 2x),
где кгт - элементы (к + 2) строки матрицы K
10 0 0 0 10 0 K =10 10 0 1 0 1
О x) =
Um+1(x), если m + 2 = <
(2А, + 1)(n + 3); 2Цп + 3); (2X(n + 3) ± (n + 2);
Um+1(x) ± Uh_1(x), если m + 2 = 2X(n + 3) ± h;
1 < h < n +1.
Следует учесть, исходя из вида матрицы К, что номера г и т одинаковой четности, и для нечетных номеров сумма (16) вычисляется только для слагаемых с нечетными номерами, а для четных - лишь для слагаемых с четными номерами т, и номер т меняется через две единицы. Элементы матрицы К вычисляются через функцию Мебиуса, что более подробно приведено в [3]. Функции х(+г(х) с учетом формул (9) и (24) принимают вид
y(n)
Ar+ 2
(x) = — у
2л у
r+2 K m=n(2) r+ 2
№
-12 X
x ^ )ydt i« - x)=1 y m: (2) Kr+2
—(n)
7"m+2 ( x),
где
—(n)
hm+ 2 (x) = (1/л) x
х^л/Г-Т2^))'dt/(t - x).
Оценки сверху для функций в общем случае будут такими
11 h^ ||< | sin(m + 3)0/ sin01 +1 sin(m +1)0/ sin01< < (m + 3) + (m +1) = 2(m + 2),
тогда для
iix!+)2ii<y :=nK
ém=n ч:
r+21 |hm+)2i i 2(m + 2) <
<!1Л+22(т + 2)2.
Учитывая равенство ^" к2 = п(п +1) х х (2п +1)/6 и то, что коэффициенты Кг+2 можно оценить сверху величиной ^(г + 3), которая обозначает число делителей целого числа (г + 3), больших либо равных (п + 3) и допускающих представление г + 3 = (2^ +1)^. Для этой функции справедлива оценка [7] -
■■ Наука итехника, № 5, 2012
— <
C(r + 3)/rs 2 <c, где с - постоянная, а s>0 -некоторая бесконечно малая величина
|| № || < 2cj+ 3)2 < 2c,(r + 3)3C(r + 3)/3 .
В предположении, что существует полином наилучшего равномерного приближения P (х) степени n для функции
Г(х) = л/Т-Х^x)« n/T-X2Pn (x),
с величиной наибольшего уклонения E'n, выполняются условия [3]:
МП <El и Mf < En, En <c/np+1+a+s/2. (25)
Откуда можно сделать вывод, что при выполнении неравенства (25), где 0 <а< 1, p > 3 и s > 0 - любая бесконечно малая, будет иметь место равномерная сходимость ряда (23) приближенного решения *\Д - х2 GJ (х) к точному Г(х), так как будет выполняться условие
11г-7ГХ%;||<||п-Gl || <
< BEl+lc /(n +1)p+3+a+s/2 = Bc2 /(n + 1)a.
Таким образом, справедлива теорема.
Теорема 2. Если линейные функционалы Mjr и Mf удовлетворяют условию (25), то остаточный член ряда (23) стремится к нулю во всех случаях, когда функции f(x) и B(x) имеют производные порядка p, а функция п(х) - производную порядка (p + 1), принадлежащие классу Lipa, если p > 2, 0 <а< 1, s> 0 -любая бесконечно малая, и функция B(x) на рассматриваемом промежутке не обращается в нуль.
Следует отметить, если f(x) и B(x) четные функции, то ввиду симметрии искомой функции система уравнений (14) будет иметь порядок вдвое меньший, чем в общем случае, и все четные линейные функционалы будут равны нулю. Что существенно облегчает решение.
Рассмотрим более подробно приближенное решение при n = 5 в самом общем случае. После определения приближенного решения в виде (2) можно записать равенство
Г( х) = V 1 - х2п(х) = л/1 - х2 Gn + R (х),
где
R (х) = R(1) (х) + R(2) (х) + R(3) (х) + R(4) (х), то есть
Г( х) = л/гх2^ (х) + n/T-^^ Mi ( х) +
+в( х) (-z;=5 mjbX+U х)+
+ (1/2)X™= 5 M¡r x(5+U х) +Х15м/г%(х) )= (26) = ^/ГXГGJ (х) + X;=n (-Ml^JT-х^ + +B( х)(МГ + Mf )xf+U х) + М/д(+2( х)).
соответственно
Для n = 5 функции Am+Uх) xf+U х) и х(+)2( х) будут иметь вид:
hf(x) = U6(x), A<(5)(х) = Us(x), (x) = U,0 (x), ti* (x) = U,2 (x) - U2 (x), h,(55)( x) = U14( x) - U0 , Щ5 (x) = U16(x) + U0,
h1(<5) (x) = U(S (x) + U2 (x), A25} (x) = U20 (X) + U4 (x),
h(§( x) = U22( x) и т. д.;
Xf( x) = hf (x) = U6( x), (x) = hf (x) + hf? (x) = U(0 (x) + Us (x),
Xll)( х) = ^Ч х) + ^Ч х) + ^Ч х) =
:,(5)
(3)'
15
= U(4 (х) + U(2 (х) + U(0 (х) - U2 (х) - U0,
Xif (х) = (х) + h((55) ( х) + h(75) (х) + ^ (х) = = U(8( х) + U(6( х) + U(4 (х) + U(2( х),
x(5) (х) = h? (х) + Щ> (х) + h? (х) + А® (х) + +h25) (х) = U22 (х) + U20 (х) + U(8 (х) + +U(6( х) + U(4 (х) + U4 (х) и т. д.;
Х(5)(х) = 7U6(x), Х95)(х) = 11U(0(х) + 9U8(х),
ХТЧх) = 15U(4 (х) + 13U(2( х) + 10U(0( х) - 2U2( х),
^(х) = 19Ul8(x) + 17Ul6(x) + 15Ul4(x) + 13Ul2(x),
XÍ55 (х) = 23U22 (х) + 2IU20 (х) + 19U(8 (х) + +17U(6(x) + 15U(4(x) + 5U4(x) и т. д.
^Л Наука
итехника, № 5, 2012
Пусть решение уравнения (1) на основе ряда (23) представлено в виде суммы
Г(х) = Л/1 - х2 О] (х) + ^ (х).
Далее можно действовать следующим образом.
1. Вычислить многочлен (2) О] (х), определив ординаты приближенного решения из системы уравнений (14).
2. Вычислить определенное количество слагаемых остаточного члена ^ (х) (26). По ним
установить степень п многочлена О1 (х), для которого необходимая точность будет удовлетворяться.
3. Вычислить многочлен найденной степени, снова решив систему уравнений (14) (п + 2)-го порядка.
4. Уточнить оценку погрешности, определив некоторое число слагаемых нового остаточного члена (23), для чего вычислить новые последовательности {М"В }г=", п+1, , {м/ }г=", п+1, ,
{М1г }г=„ „+1 и соответствующие функции
ХгПг( х), Х(Пг( х). Поскольку эти функции основаны на полиномах Чебышева второго рода, то оценка сверху для них не представляет затруднений.
В Ы В О Д
Предлагаемый для решения уравнения теории крыла метод асимптотических полиномов является эффективным и простым при составлении алгоритма для реализации его с помощью вычислительной техники.
Л И Т Е Р А Т У Р А
1. Каландия, А. И. Математические методы теории упругости / А. И. Каландия. - М.: Наука, 1973.
2. Ермолаева, Л. Б. Решение одного интегро-дифференциального уравнения / Л. Б. Ермолаева // Сб. тр. XXIII Междунар. науч. конф. ММТТ-23. - Т. 1. - 2010. -С. 68-71.
3. Грибкова, В. П. Равномерные приближения, основанные на полиномах Чебышева / В. П. Грибкова, С. М. Козлов // Сб. тр. XXIII Междунар. науч. конф. ММТТ-24. - Т. 1. - 2011. - С. 31-36.
4. Грибкова, В. П. Решение операторных уравнений одним из приближенных методов / В. П. Грибкова // Известия АН БССР. Сер. физ.-мат. наук. - 1970. - № 6. -С. 68-76.
5. Габдулхаев, Б. Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач / Б. Г. Габдулхаев. - Казань: КГУ, 1980.
6. Натансон, И. П. Конструктивная теория функций / И. П. Натансон. - М.; Л.: ГТТЛ, 1949.
7. Этерман, И. И. К вопросу восстановления функции по некоторой характеристической последовательности / И. И. Этерман // Известия вузов. - 1966. - № 2. -С. 148-157.
Поступила 02.05.2012
итехника, № 5, 2012
