Приближенное решение сингулярного интегрального уравнения, не ограниченное на концах интегрирования, с применением рядов Чебышева Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2017. № 2

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2017. No. 2

УДК 517.392 DOI 10.23683/0321-3005-2017-2-26-31

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ СИНГУЛЯРНОГО ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ, НЕ ОГРАНИЧЕННОЕ НА КОНЦАХ ИНТЕГРИРОВАНИЯ, С ПРИМЕНЕНИЕМ РЯДОВ ЧЕБЫШЕВА

© 2017г. Ш.С. Хубежты1'2, З.В. Бесаева1

1Северо-Осетинский государственный университет им. К.Л. Хетагурова, Владикавказ, Россия, 2Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, Владикавказ, Россия

APPROXIMATE SOLUTION OF SINGULAR INTEGRAL EQUATIONS ON THE END OF UNLIMITED INTEGRATION OF CHEBYSHEV SERIES

Sh.S. Khubezhty1'2, Z. V. Besaeva 1

1Khetagurov North Ossetian State University, Vladikavkaz, Russia, 2Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Vladikavkaz, Russia

Хубежты Шалва Соломонович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математического анализа, Северо-Осетинский государственный университет им. К.Л. Хетагурова, ул. Ватутина, 46, г. Владикавказ, РСО-Алания, 362025, Россия; ведущий научный сотрудник, Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РаАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, РСО-Алания, 362027, Россия, e-mail: [email protected]

Бесаева Зарина Вячеславовна - аспирант, кафедра математического анализа, Северо-Осетинский государственный университет им. К.Л. Хетагурова, ул. Ватутина, 46, г. Владикавказ, РСО-ААлания, 362025, Россия, e-mail: [email protected]

Shalva S. Khubezhty - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Department of Mathematical Analysis, Khetagurov North Ossetian State University, Vatutina St., 46, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia-Alania, 362025, Russia; Leading Researcher, Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Marcusa St., 22, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia-Alania, 362027, Russia, e-mail: [email protected]

Zarina V. Besaeva - Postgraduate, Department of Mathematical Analysis, Khetagurov North Ossetian State University, Vatutina St., 46, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia-Alania, 362025, Russia; e-mail: [email protected]

Строится вычислительная схема для приближенного решения сингулярного интегрального уравнения первого рода, не ограниченного на концах отрезка интегрирования [- 1, 1]. Решение уравнения ищется в виде ряда по многочленам Чебыше-ва первого рода. Ядро и правая часть уравнения разлагаются в ряды с применением многочленов Чебышева первого рода, коэффициенты которых вычисляются приближенно по квадратурным формулам Гаусса. Для коэффициентов разложения многочленов Чебышева второго рода в ряды по многочленам Чебышева первого рода найдены точные значения. Коэффициенты разложения искомой функции, т. е. решения, находятся из решения линейных алгебраических уравнений.

Для обоснования вычислительной схемы используются методы функционального анализа и теории ортогональных многочленов. Вводится пространство гёльдеровых функций с соответствующими нормами. В этом пространстве рассматриваются заданные сингулярные и соответствующие приближенные операторы. Приводятся условия существования обратного сингулярного оператора и доказывается существование обратного приближенного оператора. При выполнении условия существования у заданных функций, имеющих производные до некоторого порядка, принадлежащих классу Гёльде-ра, оценивается погрешность вычисления и дается порядок её стремления к нулю.

Ключевые слова: сингулярный интеграл, квадратурная формула, ряды Чебышева, коэффициенты разложения.

A computational scheme is constructed for the approximate solution of a singular integral equation of the first kind of an unbounded integration segment at the ends [- 1, 1]. The solution of the equation is sought in the form of a series in Chebyshev polynomials of the first kind. The kernel and the right-hand side of the equation decompose into series using the Chebyshev polynomials of the first kind, whose coefficients are calculated approximately by Gaussian quadrature formulas. For the coefficients of the decomposition of Chebyshev polynomials of the second kind into series in Chebyshev polynomials of the first kind, exact values are found. The coefficients of the expansion of the unknown function, that is, the solution, are found from the solution of linear algebraic equations.

To justify the computational scheme, methods of functional analysis and the theory of orthogonal polynomials are used. We introduce the space of Holder functions with the corresponding norms. In this space, we consider the given singular and corresponding approximate operators. Conditions for the existence of an inverse singular operator are given and the existence of an inverse approximate operator is proved. When the existence condition for the given functions having derivatives up to some order belonging to the Holder class is satisfied, the error in the computation is evaluated and the order of its tendency to zero is given.

Keywords: singular integral, quadrature formula, Chebyshev series, expansion coefficients.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 2

Введение

Вычислительная схема

Теория сингулярных интегральных уравнений в течение последних 100 лет переживает бурное развитие. Это в первую очередь связано с многочисленными приложениями в физике, механике и технике сингулярных интегральных уравнений и краевой задачи Римана. Хорошо известен спектр применения теории сингулярных интегральных уравнений в теории упругости, термоупругости, аэродинамике. Последние годы эти уравнения являются одним из основных аппаратов математического моделирования задач электродинамики.

Однако решение сингулярных интегральных уравнений возможно лишь в исключительных случаях. Основным аппаратом в прикладных задачах являются численные методы, подробное изложение которых содержится в работах [1, 2], где также имеется обширная библиография.

Но надо отметить, что указанные методы в основном дают приближенные значения решения в конечном числе точек. Во многих случаях требуется получить аналитическое приближение решения, годное на всем отрезке. К этому типу методов принадлежат методы, связанные с многочленами Че-бышева, разработанные для интегральных уравнений.

В настоящей работе предлагается метод с применением рядов Чебышева [3] для приближенного решения сингулярных интегральных уравнений на отрезке интегрирования. Суть метода заключается в том, что задача решения сингулярного интегрального уравнения после замены плотности рядом Чебышева сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов данного решения. После нахождения коэффициентов разложения üq,a,Ü2,...,an приближенное решение получается в аналитическом виде. Это позволяет найти значения неизвестной функции во всех точках отрезка [-1, 1].

Приближенное решение сингулярного интегрального уравнения, не ограниченного на концах интегрирования, с применением рядов Чебышева имеется в работе [4], где только неизвестная функция разлагается в ряд Чебышева, а система линейных алгебраических уравнений получается методом коллокации.

В данной работе все функции, участвующие в уравнении, разлагаются в ряды Чебышева. Устанавливаются отношения между коэффициентами разложения.

Рассмотрим сингулярные интегральные уравнения вида

К^ь = 1 йг + - }к(х,0^(0йг = /(х), (1)

Я _1 г - х я _1

где к(х, г), /(х) - непрерывно-дифференцируемые заданные функции на отрезке [-1,1].

Доказано [1, с. 50; 5, с. 343], что если индекс к = 1, уравнение (1) имеет неограниченное решение на концах отрезка [-1,1] вида

Po(t) =

1

л/l-t

p(t),

(2)

где <p(t) - непрерывно-дифференцируемая функ-

ция.

В этом случае уравнение (1) примет вид

К dt +

-12 t-x

1 1 1

+-f

■к(x,t) p(t)dt = f (x) .

(3)

Я-1л/1_72

Оно имеет единственное решение [1, с. 341], если выполняется условие

1 1 1

— f , -p(t)dt = С'

л

-и/Т- t2

(4)

где С - произвольная постоянная.

Разложим функции p(t), к(х, t), f (х) в ряды Чебышева [3, 6]. Имеем

то

pit) = Z akTk (t), к=0 ТО ТО

к (х, t) =Z'Z'cilTi (х)Т (t), (5)

i=0 I=0

то

f (х) = Z dkTk (х), к =0

где под Z подразумевается сумма вида

то , 2

Z Лк = — + \ + Л2+—, а Tk (t) = cos к arccos t -

к=0 2

ортогональные многочлены Чебышева I рода с весом , на отрезке [-1,1]. Коэффициенты ak

t

(к = 0,1,2,...) неизвестны, так как неизвестна функция p(t) . Остальные коэффициенты вычисляются по формулам

2

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 2

С, =

^ 1

1

2 J 1 я-1^1 -12 1Л-1лЯ-

2

к (х, t) Тг (x) dx

W1 - x~

f (t) Tk (t) dt.

(6) T (t) dt,

2 1 1

dk — — J ,-

*-Ч1 -12

Подставляя разложения (5) в (3), получаем

1

1

1

л -1^1 - 12 t - х ^ к=0

I акТк (t) |dt +

| 1 1 1 ^ ^

-12 Ii=0 /=0

I I CiT (x)T (t) | I akTk (t) dt = к=0

= £ dkTk (x). k=0

Используя формулу обращения [7, с. 85]

Tk (t)

1

dt = Uk-1(x) и свойства ортого-

^-iVT-t2 t-x

нальных многочленов Чебышева I рода, получаем

да ( да ( да ( 1

I akUk-1(x) +I ак I Сгк '1T (x) =

к=0 к=0 г =0 2

= I dkTk (x) • к=0

(7)

Здесь ик (x) =

sin^ + 1)arccos x

Vi - x2

- многочлен Че-

бышева II рода.

Дополнительное условие 1 1 1

(4)

I ак — I

k=0 Л -1yfl-t2

В силу свойства ортогональности

111 Г 0, k = 1,2,..

' = Tu (t) dt = Г

1, k = 0,

Тк (t) dt = с.

имеем а0 = С , т. е. первый коэффициент разложения заранее известен.

Чтобы найти соотношения между коэффициен-

1 Л sin(k + i)3 + sin(k - i)3

— — I-ú3.

Л 0 sin$

Известны формулы [8, с. 186]

rsin2«^ , sin(2k -1)x „

J-dx — 2 £---— + C,

sin x k=1 2k -1

rsin(2n + 1)л , „ n sin2kx

J---— dx — 2 £-+ x + C.

sin x k=1 2k

С их учетом для bik получаем

0, еслиk + i, k - i - четные; или k < i;

2, еслиk + i, k - i - нечетные.

Подставляя (8) в (7), получаем

да i f да i ^ да i да i 1

£ £ akbik T(x) + £ £ akcik1T(x) =

i—0 \k—0 y i—0 k—0

да ,

— £ dT (x).

Ьгк =

2

к=0

Отсюда для коэффициентов а1, а2, а3 получается бесконечная система линейных алгебраических уравнений

1

(9)

дает

£ %|Ь,к + т Ск 1 = ^ (г = 0,1,2,...). к=0 V 2 ) Коэффициенты ск и не всегда вычисляются точно. Для их вычисления, используя квадратурные формулы Гаусса [9, с. 132], получаем

2 " —г £ 1(х]) Т (х]), п +1 у=0 у у

4 п п

С/ ~, n2 I I "(xj, xj0 (И +1) j=0 j =0

где xj — cos

£ £ к(х3,хл)Т(ху)Т(хлХ (10)

=0

2 ] +1 т /- \

-л - корни многочлена 1п+1(х).

2(п +1)

Бесконечную систему (9) с бесконечным числом неизвестных можно решить приближенно, рассматривая конечную систему с п неизвестными

£4 {ь,к +1 С,к 1 = йг (г = 0,1,2,.,п). (11) к=0 V

2

После решения системы (11) относительно не-

тами разложения, многочлен Uk-1(x) также раз- известныхaua2,...,an приближенное решение будет

ложим в ряд Чебышева

да

ик-1(x) =I ЬгкТг (x),

г =0

выражаться функцией

n ,

(8) (Pn (x) — £ akTk (x).

k—0

(12)

1

гДе Ьгк = — I

1

л

-1^ t2

^к _1(t) Т (t )dt.

Обоснование вычислительной схемы

Сделаем подстановку t = cosS. Тогда

Ьк = -h

2 Л 1 sinк$- cosí S .

л 0sinS sinS

sinSdS =

Рассмотрим приближенное решение сингулярного интегрального уравнения (1) в предположении, что ищется решение, обращающееся в бесконечность на концах интервала интегрирования, т.е. вида (2).

да

да

да

да

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 2

Обозначим через X пространство функций вида х(1) = . 1 г p(t). Функция p(t) имеет непре-

VJ-

1 }Щdt +1 }P:[k(t,T), рп(г)]dz\ = Ж _хг-1 Ж _,,/l_ |

t

-1a/i-г2

рывные производные на [-1,1], удовлетворяющие условию Гёльдера H а с показателем а (0 <а< 1) [10].

= Pn[f(t)], (13)

где Р„\\(()] - оператор проектирования на множестве полиномов степени вида ХП=о аккГк (г) ;

Норма в пространстве Х определяется формулой \(г) е С[-1,1].

Воспользовавшись формулой обращения [1,

II mil I ml^ ((t1) -P(t2)

^(t) = max p(t) + sup J-ъ—1, 0 <f <а.

-1<tl «2 |t1 -t 2 f Введём обозначения: Y - пространство функций вида y(t) = [(t) из класса Hа с нормой

и и II 1ил) -[(t2)|

y(t 1 = max [(t) + supJ-^—L, 0<р<а ;

11 11 -1<t<1 1 t,*t„ U * \P

с. 236] и квадратурными формулами Гаусса [9, с. 132], уравнение (13) представим в виде

1 1 xn (г)

Ж _J г-1

t1 12

+ Pi

Xn - пространство функций вида xn (t) =

1

i 1 i

- K\k(t,r)\pn(т) dr

ж -W1 - т2 .

Покажем [11], что при n таком, что

Pn (4

(14) = Pn [f (t)].

Pn(t) = ZLoOÄ(t) с ноРмой

II mil I ml_L. pn (t1) _Pn M п Д ||x„(t)ll = max \pn(t)| + supJ—j-j—L, 0 <ß<a;

q = C

K-

nß^n(k(t,г))+ET„ (k(t,r))j lnn < 1

-i<t <1

tl -t 2

система уравнения (14) имеет единственное реше-

*

ние х* и справедлива оценка

Y - пространство функций вида yn (t) = [n (t),

Wn (t) = Т=oakTk (t) с нормой

x (t) - x*(t)

<

Уп (tI = max Wn (t)| + supj

\\n (t1) _Wn (t2)|

-1<f<1

\ß

0<ß<a.

<Cnß K-1 IEn(k(t,i))+ETn(k(t,r))\ln

tl Фt2 —/2|

Известно [5], что оператор К действует из пространства X в 7 и имеет обратный оператор К 1, действующий из 7 в X.

где х* - решение уравнения (1);

E„(к(t,r))= max к(t,т) -krn(t,r) ; kTn(t,r) - по-

-1<т<1

лином наилучшего равномерного приближения

K nxn =

Обозначим через Pn оператор, проектирующий степени n -1 по переменной t к функции k(t, т). пространство Y на пространство Yn по формуле Вводим оператор Pn [y(t)] = Pn[)1 где [t) e C[-1,1]; Pn [[(t)] -

оператор, проектирующий непрерывные функции на множестве многочленов вида Zn=o а^к (t). Известно, что ||p^|| < C ln n.

Приближенное решение (1) будем искать в виде

=IJ si dr+Pi

Ж -1 г -1

1 1

— J k (х,г) xn (г) dг Ж -1

= Pn [f (t)].

функции xn (t) =

1

Pn (t) = -

1

Vi -12 n VJ-

t2 k=0

Z аЛ (t),

Оценим норму

Kx„ -KnX.

где Tk (t) - ортогональные многочлены с весом на отрезке [-1,1], т. е. полиномы Чебы-

1 1

— J k (t, г) xn (г) dг_ Pn Ж -1

"i i

— J k(t,T) xn (г) dг Ж -1

VT-

t2

шева I рода.

Коэффициенты ак (¿=0,1, ...,и) определяются из системы линейных алгебраических уравнений (11), представленной в операторной форме уравнением

+

<

P'

1 J(k(t,г) - kn (t, г)^п (г) dг

п -1

- l(k(t, г) - kln (t, г)) xn (г) dг

= Ii + 12-

2

1

t, *t

n

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 2

x,„

Нетрудно видеть, что

11 < cnp e'n- (k(t,t)

12 < Cn^\PjjEn-1 (k(t,T)^|x„W,

и,следовательно,

||ки -KnxJ = Cn^P^E'n-i(k(t,T)|xn\|,

где El(k(t,t))= max Etn (k(t,T)).

-1<r<1

—-1

К n с нормой

К n

= CnP

К

-1

<к-1

<-; здесь

1 - q

\(k (t,T)). Так

как оператор

К п конечномерный, то существует линейный оператор К— с той же нормой. Оценим теперь норму К п — К п . Очевидно

КnXn -Кnxn

Pi

- }(k(t,t) - PnT[k(t,r)])xn (r) dr

П -1

<

< cn^|pn\el(k(t,t))||x„|| ,

где ET= max ET(k(t,T)). -i<t<i

* * Пусть существует такое n , что при n > n вы-

полняется неравенство

CnP

К n

\PlET(k (t,r))< 1.

Тогда из теоремы Банаха [11, с. 211] следует, что X -x*l < Cnp IPJ (ёП(k(t,t))+ET(k(t,t))

* *

где х и х* - решения уравнения (1) и (14).

Обобщая эти результаты, сформулируем заключение в виде теоремы.

Теорема. Если функции к(х, ¿) и /(х) принадлежат классу Нг (а) (т.е. имеют непрерывные производные до порядка г — 1, а производная порядка г удовлетворяет условию Гёльдера с показателем а (0 < а < 1)), при п таких, что

Cnp K-1 (Еих(k(x, t))+En(k(x, t))J ln n < 1 , система (11) имеет единственное решение и спра-

ln n

Из последнего неравенства и общей теории приближенных методов для обратных операторов [11, гл. V, с. 211; гл. XIV, с. 517] следует, что при п таких, что д < 1, существует обратный оператор

ведлива оценка

p) -p (t )||=O n r+-a-p

где p(t) - решение уравнения (3); pn (t) - её приближенное решение вида (12).

Литература

1. Лифанов И.К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М. : Янус, 1995. 520 с.

2. Бойков И.В. Приближенные методы решения сингулярных интегральных уравнений. Пенза : Изд-во Пензен. гос. ун-та, 2004. 316 с.

3. Пашковский С. Вычислительные применения многочленов и рядов Чебышева. М. : Наука, 1983. 384 с.

4. Бесаева З.В., Хубежты Ш.С. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений с применением рядов Чебышева // Владикавк. мат. журн. 2016. Т. 18, вып. 4. С. 15-22.

5. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М. : Наука, 1966. 512 с.

6. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены. М. : Наука, 1979. 406 с.

7. Хубежты Ш.С. Квадратурные формулы для сингулярных интегралов и некоторые их применения. Владикавказ : ЮМИ ВНЦ РАН и РСО-А, 2011. 236 с.

8. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М. : Наука, 1987. 798 с.

9. Крылов В.И. Приближенное вычисление интегралов. М. : Наука, 1967. 500 с.

10. Бойков И.В., Бойкова А.И., Сёмов М.А. Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода // Изв. вузов. Приволжский регион. Физико-математические науки. Математика. 2015. № 3 (35). С. 11-27.

11. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М. : Наука, 1977. 720 с.

References

1. Lifanov I.K. Metod singulyarnykh integral'nykh uravnenii i chislennyi eksperiment [The method of singular integral equations and numerical experiment]. Moscow, Yanus, 1995, 520 p.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2017. No. 2

2. Boikov I.V. Priblizhennye metody resheniya singulyarnykh integral'nykh uravnenii [Approximate methods for solving singular integral equations]. Penza, Izd-vo Penzen. gos. un-ta, 2004, 316 p.

3. Pashkovskii S. Vychislitel'nye primeneniya mnogo-chlenov i ryadov Chebysheva [Computational applications of polynomials and Chebyshev series]. Moscow, Nauka, 1983, 384 p.

4. Besaeva Z.V., Khubezhty Sh.S. Priblizhennoe reshenie singulyarnykh integral'nykh uravnenii s primeneniem ryadov Chebysheva [Approximate solution of singular integral equations using Chebyshev series]. Vladikavk. mat. zhurn. 2016, vol. 18, No. 4, pp. 15-22.

5. Muskhelishvili N.I. Singulyarnye integral'nye uravneniya [Singular integral equations]. Moscow, Nauka, 1966, 512 p.

6. Suetin P.K. Klassicheskie ortogonal'nye mno-gochleny [Classical orthogonal polynomials]. Moscow, Nauka, 1979, 406 p.

Поступила в редакцию /Received

7. Khubezhty Sh.S. Kvadraturnye formuly dlya singulyarnykh integralov i nekotorye ikh primeneniya [Quadrature formulas for singular integrals and some of their applications]. Vladikavkaz, YuMI VNTs RAN i RSO-A, 2011, 236 p.

8. Prudnikov A.P., Brychkov Yu.A., Marichev O.I. Integraly i ryady [Integrals and series]. Moscow, Nauka, 1987, 798 p.

9. Krylov V.I. Priblizhennoe vychislenie integralov [Approximate calculation of integrals]. Moscow, Nauka, 1967, 500 p.

10. Boikov I.V., Boikova A.I., Semov M.A. Priblizhennoe reshenie gipersingulyarnykh integral'nykh uravnenii pervogo roda [An approximate solution of hypersingular integral equations of the first kind]. Izv. vuzov. Privolzhskii region. Fiziko-matematicheskie nauki. Matematika. 2015, No. 3 (35), pp. 11-27.

11. Kantorovich L.V., Akilov G.P. Funktsional'nyi analiz [Functional analysis]. Moscow, Nauka, 1977, 720 p.

_9 марта 2017 г. /March 9, 2017