CC BY
83
МАТЕМАТИКА
А. В. Коптев
РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ 3D УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ — СТОКСА И ЕГО ОСОБЕННОСТИ
В работе представлено решение начально-краевой задачи для 3D уравнений Навье — Стокса с краевыми условиями на бесконечности и гладкими начальными условиями при t = 0. Выявлены и проанализированы особенности полученного решения.
Ключевые слова: частная производная, дифференциальное уравнение, движение, жидкость, интеграл, вязкость, вихрь, гладкость, потенциал.
А. Koptev
The Solution of Initial and Boundarry Value Problem for 3D Navier — Stokes Equation and its Features
The paper presents a solution of the initial and boundary value problem for 3D Navier - Stokes equations with boundary conditions at infinity and smooth initial conditions at t = 0. The main features of the solution are described and analyzed.
Keywords: partial derivative, differential equation, motion, fluid, integral, viscosity, vortex, smoothness, potential.
Уравнения Навье — Стокса — это известный тип нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, которые описывают движение жидкостей и газов при наличии вязкости. Они представляют и чисто математический интерес, и имеют многочисленные приложения к практическим задачам.
Для случая движения вязкой несжимаемой жидкости безразмерный вариант уравнений Навье — Стокса может быть представлен в следующем виде
du du du du д (p + ф) 1
+ u + v— + w— = -----------------------------------+
dt dx dy dz dx Re
Л2 д2 -2 Д
д u д u д u
\дх2 дy2 дz2 J
Dv Dv Dv Dv д( p + ф) 1
------+ u — + v— + w— = ----------------------------+
дt дх Dy Dz Dy Re
■ + ■
-л 2 -л 2 ^ 2
VDx Dy Dz J
(1)
(3)
+ u + v + w = — +• + +
Dt дх Dy Dz Dz Re ^ дх2 Dy2 Dz2 J
Du Dv Dw
— + — + — = 0. (4)
дх Dy Dz
Здесь u, v, w, p — основные неизвестные, скорости и давление. Каждая из этих величин является функцией независимых переменных — координат и времени;
ф — потенциал внешних сил, заданная функция;
Re — число Рейнольдса, положительный параметр.
Отличительной особенностью уравнений Навье — Стокса является наличие нелинейных членов, что значительно усложняет исследование и решение. Такие члены присутствуют в левых частях уравнений (1)-(3).
На сегодняшний день многие вопросы, связанные с уравнениями (1)-(4), изучены недостаточно и требуют дополнительного исследования. Не ясна структура решений и нет общего подхода к решению как самих уравнений, так и краевых и начальных задач для них. Нет окончательного решения проблемы существования гладкого решения [5-6]. Нет четкого представления об асимптотике решения при Re — +го и при t —— +с£>. Не ясен механизм ламинарно-турбулентного перехода.
Важность и сложность теоретических проблем этого плана подтверждает следующий факт. Математический институт Клэя (Clay Mathematical Institute, USA), один из известных центров изучения математики, определил теоретическое исследование уравнений Навье — Стокса как одну из семи главных проблем третьего тысячелетия. Общее описание и постановка представлены в работе [7]. Согласно этой постановке, требуется доказать в общем случае существование гладкого решения при условии, что функции, задающие начальные и краевые условия, обладают достаточной гладкостью.
Теоретическое изучение уравнений Навье — Стокса не исключает и другой подход к проблеме — от частного к общему. А именно — от построения конкретных решений и изучения их свойств к дальнейшим обобщениям.
Даная работа представляет шаг на этом пути. Основная цель состоит в том, чтобы построить аналитическое решение начально-краевой задачи для 3D уравнений Навье — Стокса и произвести анализ особенностей полученного решения.
Предлагается к рассмотрению начально-краевая задача с асимптотическими условиями на бесконечности и гладкими начальными условиями при t = 0.
Условия на бесконечности задаются следующим образом. Рассмотрим некоторую малую положительную величину S . Пусть при s — +0 выполнено
(6)
где и0, v0, w0 — предельные значения скоростей на бесконечности, которые изначально должны быть заданы;
Сх, Су, С2 — постоянные, определяющие закон приближения аргументов х, у, 2 к бесконечности. Они также должны быть заданы и должны удовлетворять ограничениям
с Ф 0, с ф 0, с Ф 0.
х У ’2
Согласно условию (5), х, у, г приближаются к бесконечности «примерно одинаково»,
1
имея в качестве старшего члена на бесконечности величину, пропорциональную — .
8
Итак, краевые условия определяются соотношениями (5)-(6), которые вносят в постановку шесть дополнительных параметров: и0, v0, w0, сх, су, сг.
Начальные условия зададим при I = 0. Будем считать, что в начальный момент I = 0 неизвестные и , V, W заданы, причем они представляются достаточно гладкими функциями координат.
Наша задача состоит в решении уравнений (1)-(4) при краевых условиях (5)-(6) и указанных выше начальных условиях.
Стационарная задача. На первом этапе решения рассмотрим более простую стацио-
нарную задачу. Пусть — = 0 и все функции зависят лишь от координат. Тогда в уравнени-
ях (1)-(4) выпадают из рассмотрения нестационарные члены и исходные уравнения упрощаются.
Построим решения этих уравнений, удовлетворяющих краевым условиям (5)-(6). Кроме того, предлагается еще одно важное упрощение. Будем исходить не из уравнений Навье — Стокса непосредственно, а из первого интеграла этих уравнений [1-2].
Первый интеграл 3Б уравнений Навье — Стокса для установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости сводится к следующим шести соотношениям более низкого порядка по отношению к основным неизвестным:
д
(7)
д2ш д2^, д2^
2
+ з(а -в1); (8)
+
дх2 ду2 дг2
д2 2 дхдг дудг
Яе
д^ д!
ду дг)
д2 Т,
дх
Ы!
Яе
дv ды'
дх ду)
ды д!
дг дх)
дх Ґ -.2
ду
д2 Т,
д2 Т.
дг
дхду
д2 Т 6
дхдг
дхдг \
У
дхду
~ (а 2 г + в 2 г } ;
3 (Рі -Уі); (9)
(10)
дхдг
д2 Т 5Л
11 дv ! дТ 3 1
V! +------ — ---------- = --------1 +-
Яе \ дг ду) дудг 2
V ду
дТ,
д2 Т
дхду дудг у
\
V дхду дхдг
дх2 У
(11)
(12)
Здесь: Т . — ассоциированные неизвестные,. = 1,2,...,6;
ат , вт, Ут — аддитивные функции, каждая из которых зависит лишь от двух переменных из трех, так что
да дВ ду
т I т • т
дх ду
дг
= 0;
2,2, 2 Ы + V +!
скоростной напор;
и 2
С — диссипативный член, вычисляемый по формуле
и2
1 д2Т
С = --------+ - (6-----------3 дхдг дудг дхду
-А „ Т1 + Д „ Т 2 -А „ Т 3 )
3
а АХу, Дуг, Агх обозначают неполные операторы Лапласа по координатам, т. е.
д2 д2
А =---------+ —
д2 д2
А =--------+ —
~2 ^ 2 ^ 2 л 2 ~ л 2 ^2 дх ду ду дх дх дх
Как показано в работе [2], всякое достаточно гладкое решение уравнений (7)—(12) приводит к решению уравнений Навье — Стокса (1)-(4). Но уравнения (7)—(12) более просты, чем (1)-(4), поэтому именно с этих уравнений выгоднее начинать решение задачи.
Отметим некоторые закономерности, связанные с формулами (7)—(12). Неизвестное р присутствует лишь в уравнении (7), причем в этом уравнении оно фигурирует аддитивно. Достаточно найти все остальные неизвестные, и тогда р определится по формуле (7) в результате простых операций. Так что основная задача сводится к нахождению основных неизвестных и, V, ^ и ассоциированных неизвестных ¥.. Эти величины должны быть определены из выражений (8-12) вместе с уравнением неразрывности (4). Нужно разрешить эту систему шести уравнений относительно и , V, ^, ¥ . и удовлетворить при этом краевым условиям (5-6).
Определяющие уравнения обладают очевидной симметрией по основным неизвестным и, V, н. Чтобы свойства симметрии использовать в полной мере, добавим в систему определяющих уравнений еще одно. Оно получается, как почленная сумма уравнений (8) и
(9), умноженных на минус единицу. Это новое уравнение — следующее:
^21Т, ~21Т, ~21Т, ~21Т, ~21Т, -2Ъ.
2 2 2 дн ди\ <3 ¥, д¥, <3 ¥ 3 <3 ¥ 5 <3 ¥ 6
Н2 - и2 + —(-— + — ) = ---------------------------------------------------------^ +-2---2- +-3^^ + 3 (у, - а,) . (13)
Яе\ дг дх/ ду2 дг2 дх2 ду2 дхду дудг
Рассмотрим уравнения (8-12) и (13) попарно. Первую пару образуют уравнения (8) и
(10), вторую — уравнения (9) и (12) и третью — уравнения (11) и (13). В каждой из указанных пар уравнений фигурируют лишь два из трех основных неизвестных в циклическом порядке, соответственно {и, V}, {V, н} или {н, и}. Первая пара неизвестных фигурирует в уравнениях (8) и (10). Вторая пара — в уравнениях (9) и (12). И третья пара — в уравнениях (11) и (13).
Чтобы в полной мере учесть попарные взаимосвязи, предлагается использовать методы теории функций комплексного переменного [4]. Рассмотрим, например, первую пару — уравнения (8) и (10). Предварительно умножим (10) на -2/. Введем функцию комплексного переменного:
Г(г1) = и - IV. (14)
Тогда левые части уравнений (8) и (10), умноженные на -2/, есть соответственно
2 4 ёГ
действительная и мнимая части величины Г (гЛ -— • —, где Яв — число Рейнольдса, а
Яе ёг1
(Ш
----означает производную функции Г(г1) как функции комплексного переменного [4].
Обоснованием последнего утверждения являются следующие равенства:
2 2 2 ёГ 1 ди дv / ди дv
Г (г1) = и - V - 21ыу, ------= -(— -—) — (— + —).
ёг1 2 дх ду 2 ду дх
В результате пара рассмотренных уравнений равносильна одному комплексному уравнению
4 ёГ 2
-----•---+ Г = Г (2 )
Яе ^ х1")'
где г1(г1) есть некоторая правая часть, независимая от и, V и Г.
Для двух других пар уравнений ситуация аналогична. Каждое из уравнений (11) и (12) умножим почленно на -2/ и введем функции и комплексные аргументы, сохранив циклический порядок. Для второй пары вводим функцию комплексного переменного
G(22) = V - т, где = у + /г. Для третьей пары Н(г3) = н - /и , где = г + /х.
Каждая из рассмотренных пар дифференциальных уравнений равносильна одному
комплексному уравнению вида
4 ёЯ
+ Я 2 = Гк (2^ ),
Яе ёгк
(15)
где в качестве неизвестного Я(гк) фигурирует Г(г1), G(г2), Н(г3) и правые части представляют соответственно Гх(21), Г2(22) , Г3(23) .
Уравнение (15) есть обыкновенное дифференциальное уравнение известного вида, а именно — специальное уравнение Риккати. Этот вид дифференциальных уравнений хорошо изучен.
При вводе в рассмотрение функций ^(гр фактически было произведено разделение
переменных [3]. Для и, V, н возникают уравнения вида (15), а для неизвестных ¥ . — линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка. Неоднородные члены в этих уравнениях определяются функциями ^(гр. Все эти уравнения линейные, и, значит, их решение представляет существенно более простую задачу.
Уравнение Риккати (15) нелинейно, но оно разрешимо в квадратурах при многих различных вариантах правой части ^(гр. Поэтому, имея в виду аналитическое решение задачи, нужно выбрать один из таких вариантов. Кроме того, выбор ^(гр диктуется и краевыми условиями. Для нашего случая, когда краевые условия заданы в виде выражений (5)—(6), можно правые части уравнения (15) взять в виде квадрата некоторых комплексных постоянных
Здесь Ск = Ак + 1Бк, где Ак, Вк — некоторые действительные постоянные.
Поскольку уравнение (13) для третьей пары (к = 3) получалось как сумма уравнений (8) и (9) с обратными знаками, то необходимо ограничение
Рассмотрим более подробно уравнение (15), когда правые части заданы согласно (16). Для этого случая имеем уравнение с разделяющимися переменными. Его решения определяются выражениями трех видов: Я(гк) = -Скй(9 к) или Я(гк) = -Сксй(9к), или
Третья возможность соответствует особому решению. Эта возможность предлагает простое решение в виде постоянной. Оно не представляет интереса. Вторая возможность
ухудшаются свойства гладкости. Первая возможность допускает гладкое решение без осо-
(16)
( а2 - в^) - ( а2 - в22) = а2 - в2.
(17)
Я( гк) = ±Ск, где
(18)
предлагает решение с полюсами в точках гк = г<'к). Значит, при таком выборе заметно
бых точек. К тому же, эти решения имеют предельные значения на бесконечности, что удобно, имея в виду краевые условия (5)-(6). Поэтому выбираем первую возможность. Таким образом, решения уравнения (15) задаются формулой
Я(гк ) = -СкЙ(0 к ). (19)
Теперь удобно от комплексных решений вновь перейти к действительным. Для этого в равенстве (19) отделяем действительные и мнимые части и получаем выражения для и, V, н. При этом наблюдается следующая закономерность. Каждая из компонент скорости и, V или н встречается в полученных выражениях дважды. Так, и представляет действительную часть F(г1) и, одновременно, — мнимую часть с обратным знаком от Н(г3). Точно так же V представляет мнимую часть с обратным знаком от F(г1) и в то же время — действительную часть 0(г2).
Искомое значение для каждого неизвестного и, V, н получаем как сумму обоих выражений, его представляющих.
Таким образом, значения неизвестных определяем равенствами
и = Яе^(г,)} - 1ш{Н(Гз)>, V = - 1ш^(гх)} + Яе{а(г2)};
н = - 1ш{б(г2)} + Яе{Н(г3)} , (20)
где Яе и 1ш обозначают соответственно действительную и мнимую части комплексной величины.
Действуя указанным образом, мы заведомо обеспечиваем выполнимость и уравнения неразрывности (4). Так, введение функций комплексного переменного F(z1), 0(г2), Н(г3) вносит условия Коши — Римана на их действительные и мнимые части [4]. Если положить
в выражении (19) и = и, + и2, V = V, + v2, н = н1 + н2, тогда будет быть выполнено
ди, дv2 = 0, ди, _^2 _ = 0, дv1 дн2 = 0,
дх ду ду дх ду дг
дv1 дн2 = 0, дн, ди 2 + = 0, дн, ди 2 = 0.
дг ду дг дх дх дг
(21)
В этом случае левая часть уравнения (4) преобразуется как
д(и, + и2) д^, + V,) д( ж + н2) ди, ду2 ди2 дн, дн2
—------ + —------ + —------- = (— + —) + (— + —) + (— + —).
дх ду дг дх ду дх дг ду дг
Последнее, с учетом первого, третьего и пятого равенств (21), тождественно равно нулю. Таким образом, уравнение неразрывности (4) выполнено.
В результате сказанного решение уравнений (8-12) и (4) можно представить в виде
Яе Яе п, Яе п3 Яе £, 3
ЛН^т) - В, яп(—^) Л, 8т(—^) + В3Л(—^)
и =---------2-------------+--------------2-------------(22)
2 Яеп, 2 Яе2 Яеп3 2 Яе£3
2(сс82(—-^) + аН ^)) 2(сс82(—-^) + аН 2(—^))
4 4 4 4
Яе £2 Яе п2 Яе П, Яе £,
Л2 в к—^) - В2 йп(—^) Л, йп(—^ + В, 8 Н(-^)
V = ---------2-------------2— +-------------2---------------2—, (23)
2( 2(Яе П2) . } 2(Яе £ 2)) 2( 2(Яе П,) . } 2(Яе £1
2(с08 (^^> + аН (^^)) 2(с08 (_^ + ^ (^Р^
Яе £ 3 Яе п3 Яе п2 Яе £ 2
Л3 б Н(—-) - В3 мп(-1±) Л2 мп(--) + В2 б Н(——)
ъ 2 3 2 . 2 2 2 2 н = ----------------------------+----------------------------, (24)
2( 2(ЯеП3) . } 2(Яе£3)) 2( 2(Яеп2) . } 2(Яе£2))
2(с08 (——) + аН (——)) 2(с08 (——) + °к (——))
4 4 4 4
где Ак, Вк — некоторые постоянные, а вспомогательные величины £к, пк определены равенствами
£1 = Л1 (х - х0)- В1 (у - у0 ), П, = В1 (х - х0) + Л1(у - у0 ),
£2 = Л2 (у - у0 )- В2 (г - г0 ) , П2 = В2 (у - у0 ) + Л2 (г - г0 ) ,
£3 = Л3 (г - г0 )- В3 (х - х0 ) , П3 = В3(г - г0) + Л3 (х - х0), (25)
где х0, у0, г0 — произвольные постоянные интегрирования.
При любых значениях Лк, Вк формулы (22)-(24) соответствуют потенциальному движению жидкости. Потенциал скорости определяется выражением
Ф = —1п ТТ (соб2----— + аН1——). (26)
Яе \ =Х\ 4 4
Для этого случая диссипативный член в (7) обращается в нуль, с1 = 0, и необходимость в нахождении ассоциированных неизвестных ¥отпадает.
Последнее из основных неизвестных, давление, определяется из равенства (7). С учетом с1 = 0 приходим к выражению
и2
Р - Р0 =-Ф-~, (27)
где р0 — аддитивная постоянная давления.
Осталось выбрать величины Лк, Вк так, чтобы удовлетворить краевым условиям (5)-(6). Эта частная задача решается следующим образом. Согласно выражениям (6) необходимо, чтобы правые части (22)-(24) на бесконечности асимптотически приближались к
заданным постоянным — соответственно и0, v0, н0. Асимптотическое поведение указан-
ных выражений во многом определяется знаками аргументов гиперболических функций. Рассмотрим, например, первое слагаемое правой части выражения (22).
2Яе П ,2Яе £к
Если £, положительно, то эта величина при больших значениях аргументов приближается к -Д . Если же £, отрицательно, то эта величина приближается к Л,. Значит, нужно
рассматривать различные возможности в зависимости от знаков £к.
Рассмотрим первую возможность, связанную с предположениями
£, >0, £2 >0, £3 >0.
С учетом выражений (25) при больших х, у, г, в качестве предположений имеем неравенства
Л,с - В,с > 0, Л2с - В2с > 0, Л3с - В3с > 0. (28)
1 х 1 у ’2 у 2 г ’3 2 3 х \ /
Тогда для выполнимости условий (6) необходимо
и0 _ -Л1 + В3, Vo = —Л2 + В,, ^0 = —Л3 + В2. (29)
К этим равенствам нужно добавить уравнение (17) и разрешить получающуюся систему относительно шести неизвестных Лк, Вк.
Вычисления приводят к следующим результатам. Величины Л, и В, можно задать в
качестве базовых. Остальные неизвестные при н0 ^ 0 определяются выражениями
= У’р2 - и02 + н02 - 2и0Л1 - 2^В1
Л2 В1 V0, В2 „ ,
2н0
А v02 - и02 - н02 - 2и0Л1 - 2v0В1 „ . , ^
Л3 = , В3 = и0 + Л,. (30)
2н0
Для рассматриваемой возможности исходные предположения определяются неравенствами (28), а результирующие выражения — формулами (30). Нужно проверить эти выражения на соответствие с неравенствами (28). Подстановка (30) в (28) приводит к системе трех линейных неравенств относительно Л1, В,, где в качестве параметров выступают величины и0 , V,, , н0, сх, су, сг.
Все другие предположения относительно знаков £к приводят к неравенствам, отличающимся от (28) хотя бы одной заменой “ > “ на “< ”. Всего имеем восемь различных возможностей. Анализ всех этих возможностей приводит к следующим результатам. Для того чтобы система неравенств относительно Л,, В,, имела решение, необходимо и достаточно одно дополнительное условие. Оно сводится к неравенству
и0сх + + н0сг < °. (31)
Если это условие не выполнено, то решений указанного вида, удовлетворяющих условиям (5)-(6) не существует. Если условие (31) выполнено, то существует множество решений. На плоскости переменных Л1, В1 существует область значений Л1, В1, так что каждая внутренняя точка этой области приводит к решению указанного вида. Эта область
представляет внутренность треугольника. Его границы задаются следующими уравнениями прямых в плоскости Л,, В,:
v0 и0 - и0 + V2
В,с - Л,с = 0, В,(с +— с) + Л, с — = v0c +----------------с,
1 у 1 х ’ 1^ у г’ 1 2 0 у - 2’
н0 н0 2н0
v0 и0 + и0 - V2
В,сг + Л(сх +-0- сг) = -и0сх - 0 0 0 ^. (32)
н0 н0 2н0
Таким образом, при выполнении условия (31) стационарная задача имеет множество решений. Они определяются формулами (22)-(24) и (27).
Каждое решение определяется парой Л,, В, внутри области с границами (32). Все другие величины Лк, Вк, задаются согласно (30).
Нестационарная задача. Рассмотрим теперь основную нестационарную задачу. Предположим, что Л, и В, зависят от времени. Пусть в начальный момент времени г = 0 значения этих определяющих параметров равны соответственно А,(0), 5,(0), и эти значения находятся внутри нужной области. Можно считать, что начальные условия для скоростей определены выражениями (22)-(24), когда А, = А,(0) и В, = 5,(0). Эти выражения задают гладкие функции координат.
Пусть теперь А1(г) и В,(г) изменяются во времени так, что всегда находятся внутри области с границами (32). Тогда выражения для скоростей (22)-(24) приобретают зависимость от времени и в левых частях уравнений Навье — Стокса (1)-(3) появляются нестационарные члены. Движение будет по-прежнему потенциальным, и давление будет определяться из интеграла Лагранжа — Коши
и2 дф
Р - Р0 =-Ф-~-^ + f (33)
2 от
где ф — потенциал скорости, определенный согласно формуле (26); / (г) — произвольная функция времени.
Давление приобретает дополнительное нестационарное слагаемое, и оно компенсирует нестационарные члены в левых частях уравнений (1)-(3). Уравнения Навье — Стокса (1)-(4) выполнены. Значит, выражения (22)-(24), (33) для данного случая удовлетворяют и уравнениям Навье — Стокса, и краевым, и начальным условиям.
Таким образом, если только А,(г) и В,(г) находятся внутри указанной области и выполнено условие (31), то поставленная выше начально-краевая задача имеет решения. Различным вариантам зависимостей А,(г) и В,(г) будут соответствовать различные варианты решений.
Получающиеся таким путем решения могут обладать различными особенностями. Рассмотрим некоторые из таких вариантов решений и проанализируем их возможные особенности.
1. Пусть, например, Л,(г) = Л,(0) + £ • собшг, В,(г) = В,(0) + £ • Бтшг, где А,(0), В,(0) —
координаты центра треугольника, ограничивающего область, а £ — положительная величина, меньшая радиуса вписанной окружности. Имеем параметрические уравнения некоторой окружности внутри треугольника, определяющего область. Такому варианту функций А,(г) и В,(г) соответствует решение основной задачи, периодическое по времени с пе-
2п
риодом Т = —. Такое решение существует при всех 0 < г < +го. Свойства гладкости такого ш
решения очевидны.
2. Пусть Л,(г) = Л,(0) + г, В,(г) = В,(0) + ^, где g — некоторое конечное число. Тогда
имеем параметрические уравнения прямой, проходящей через центр треугольника, определяющего область. Этому случаю соответствует некоторое решение основной задачи, но до тех пор, пока точка А,(г), В,(г), не выйдет за пределы треугольника. Но последнее обязательно произойдет, так как прямая, проходящая через центр треугольника, обязательно пересекает его границу. Такое пересечение происходит к некоторому конечному моменту
времени г = г*. Значит, имеем гладкое решение, но лишь для промежутка времени 0 < г < г*. Следовательно, для данного нестационарного решения есть конечное “время жизни” г*.
3. Пусть Л,(г) = Л,(0) + г, В,(г) = В,(0) + g1г при 0 < г < г, и
Л1(г) =(Л1(0) + г1) +г, В1(г) = (В1(0) + gA) + g2г при г1 <г <г*.
Имеем параметрические уравнения ломаной с точкой сопряжения А,(г), В,(г), в момент г = г,. Если g1 ^ g2, то решение основной задачи имеет разрывные производные по времени. Разрыв возникает при г = г,. Значит, для этого решения свойства гладкости значительно ухудшаются. Кроме того, данное решение имеет конечное “время жизни” г*.
Еще одна интересная особенность, характерная для решения уравнений (22)-(24), (33) состоит в следующем. В правых частях формул, задающих решения, фигурируют тригонометрические функции с аргументами, пропорциональными числу Рейнольдса Яв. Наличие таких функций при Яе ^ +го соответствует колебательным движениям с бесконечно малым периодом. Такие колебания не могут осуществиться, и указанные решения не могут существовать при Яе ^ +го .
Выводы. Таким образом, решения поставленной начально-краевой задачи для 3Б уравнений Навье — Стокса построены.
Данные решения существуют лишь при ограничении неравенства (31) на исходные параметры.
Свойства гладкости и многие другие свойства данных решений существенно зависят
от выбора функций Л,(г) и В,(г). Причем, наличие краевых и начальных условий не в
полной мере ограничивают этот выбор.
Для того чтобы решение поставленной задачи обладало достаточными свойствами гладкости и было бы единственным, нужны дополнительные условия.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Коптев А. В. Интегралы уравнений Навье — Стокса. Саранск // Труды Средне-Волжского математического общества. 2004. № 1. Т. 6. С. 215-225.
2. Коптев А. В. Первый интеграл и пути дальнейшего интегрирования уравнений Навье — Стокса // Известия РГПУ им. А. И. Герцена: Научный журнал. 2012. № 147. С. 7-17.
3. Коптев А. В. Принципы построения решений уравнений Навье — Стокса // Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования // Герценовские чтения-2013. СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2013. C. 76-78.
4. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.
5. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. 288 с.
6. Темам Р. Уравнения Навье — Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. 408 с.
7. Charles L. Fefferman. Existence and Smoothness of the Navier — Stokes equation: Preprint, Princeton Univ., Math. Dept. Princeton, NJ, 2000. P. 1-5.
REFERENCES
1. Koptev A. V. Integraly uravnenij Nav'e — Stoksa. Saransk // Trudy Sredne-Volzhskogo mate-maticheskogo obshchestva. 2004. № 1. T. 6. S. 215-225.
2. Koptev A. V. Pervyj integral i puti dal'nejshego integrirovanija uravnenij Nav'e — Stoksa // Izvestija RGPU im. A. I. Gertsena. 2012. № 147. S. 7-17.
3. Koptev A. V. Printsipy postroenija reshenij uravnenij Nav'e — Stoksa // Nekotorye aktual'nye prob-lemy sovremennoj matematiki i matematicheskogo obrazovanija // Gercenovskie chtenija-2013. SPb.: Izd-vo RGPU im. A. I. Gertsena, 2013. S. 76-78.
4. Lavrent'evM. A., Shabat B. V. Metody teorii funktsii kompleksnogo peremennogo. M.: Nauka, 1987.
688 s.
5. Ladyzhenskaja O. A. Matematicheskie voprosy dinamiki vjazkoj neszhimaemoj zhidkosti. M.: Nauka, 1970. 288 s.
6. Temam R. Uravnenija Nav'e — Stoksa. Teorija i chislennyj analiz. M.: Mir, 1981. 408 s.
7. Charles L. Fefferman. Existence and Smoothness of the Navier — Stokes equation. Preprint, Princeton Univ., Math. Dept. Princeton, NJ, 2000. P. 1-5.
