Решение задач о распространении упругих волн с использованием одномерных характеристических соотношений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ О РАСПРОСТРАНЕНИИ УПРУГИХ ВОЛН С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ОДНОМЕРНЫХ ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИХ СООТНОШЕНИЙ Абыкеев К.Дж.

Абыкеев Капарбек Джолдошбекович - старший преподаватель, кафедра компьютерной лингвистики и межкультурной коммуникации, Институт новых информационных технологий, Кыргызский государственный университет строительства, транспорта и архитектуры им. Н. Исанова, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: в данной работе излагается метод решения трехмерных задач о распространении упругих волн с использованием одномерных характеристических соотношений.

Ключевые слова: упругая волна, полость в среде, волновые потенциалы, уравнения среды, потенциалы упругих смещений, контур поперечного сечения границы полости, вектор смещения, продольные упругие волны.

Как известно /1/, нестационарную задачу линейной теории упругости можно свести к четырем волновым уравнениям:

2

д т 2 ~ а

д !

2 2 2 д т д т д р

Я 2 + - 2 + Я 2

д X д у д 2

(1)

дУ 2 д !

2 2 2 ду^ д у. дух

д

- +

X

д у

+

д

2

(г = 1,2,3).

(2)

Причем в у, у, у, у - это потенциалы смещений в упругой среде, которые

представляют компоненты смещения и, V,

Кроме того, необходимо выполнение во всей рассматриваемой области, заполненной упругой средой, условия

2 2 2 ду + ду + ду = 0.

д

(3)

2

д X д у

Константа а в (1) представляет собой распространения продольных упругих волн, а константа Ь в (2) скорость распространения поперечных упругих волн.

Зафиксируем предельную точку (х0, у, 20) рассматриваемой области в упругой среде и рассмотрим уравнение, полученное продифференцированием обеих частей

уравнение, (1) по х, причем обозначено р = др вдоль прямой, проходящей через

^ дх

указанную точку параллельно оси Ох. Имеем:

д2р( х Уo, 2o, !)

д {

= а

дт^Уо:^:!^ д р( х, У0,2o, !)

(4)

— 9

д у д у

Соотношение (4) представляет собой одномерное неоднородное волновое уравнение. Как известно /2/, такое уравнение можно эффективно решать методом характеристик. Допустим, что величина р и ее частные производные первого порядка

2

2

известны во внутренних точках рассматриваемой области в момент го. Тогда согласно теории одномерных характеристик, исходя из уравнения (4) имеем:

д рМ'Л'^г0 + А0 д <р&-у0,20'tо) _

= а

д t д t

д (М-у0'20'^ + Ы) д (М-у0'20't0 + Ы)

дх

д г

(5)

д (Х(х-аЫ + 4,у,20-Ч + 4/а) | д Рх(х-аЫ + 4,у,га + 4/а)

д у

¿4 =

= Л + Л •

д РМ'у0'20'г0 +Ыг) д (М+аЫг'у0'20'г0) = д г д г

д р1(х'у0'20'г0 +Ыг) д р,{х+аЫг'у0'20'г0)

= а

дх

дх

(6)

д р(х-аЫ + 4,у0'20'Ь +4/а) д Рх(х-аЫ + 4'у0'20'Ь + 4/а) „ 2 + 1 2 д у д 2

¿4 =

= Л + Л <•

В еличины Л ' Л ' считается, что аЫ - малая величина, тогда с точностью до малых величин более высокого порядка, можно представить в следующем виде:

(7)

Л=а

др(х'у0'20'г0 + Ы) др(х-у0'20'г0) дРз(х'у0'20'г0 +Ы) др3(х-у0'20>О

ду

ду

д2

д2

Л=а

др(х'у,'20'г0 +Ы) др(х-аЫг'у,'20'г0)

ду

ду

др&у«'20'г0+Ы) др3(х-аЫг'у,'20'О

д2

д2

... (8)

Подставляя (7), (8), в (5), (6) соответственно, получаем систему двух линейных алгебраических уравнений относительно

др(х'у0'2й,га + Ы^ др,(х'у?20'г0 +Ы) _

дх дг

Если частные производные др/дг,др/дх,др/дг,др/дг, др/дг,др/д2,

известны в момент го, то, решая такие системы уравнений, можно найти др /дг, др /дх всюду во внутренних точках рассматриваемой области в момент

го + Ыг. Подобным же образом, рассматривая вместо (4) соответствующие

неоднородные волновые уравнения, получаемые на уравнения (1) продифференцировав по у и 7, можно найти во внутренних точках рассматриваемой

области в момент ^ + Ызначения др /дг,др /ду,др/дг,др /д2.

Вследствие того, что р = др р = др в результате выполнения описанных

р2 дур2 дг'

выше вычислительных процедур оказываются определенными частные производные

6

+

а

д

2

+

а

0

+

32 ф / 5x5?, 3 ф / 3х , 3 ф / 3у3?, 3 2ф / 3у , 3 2ф / 3^3?, 3ф / 3^ во

внутренних точках рассматриваемой области в момент ?0 + А?. Посредством интегрирования по 1 в указанных точках в момент ?0 + А? определяются также

значения 3( / 3х, 3( / 3у, 3( / 37, если они известны в момент ?0 .

Способом, описанных выше, можно определить во внутренних точках рассматриваемой области значения 32 р / 3х3у, 32 р / 3x37, 32 р / 3у37 в момент

?0 + А?, если они известны в момент ?0. Например, для определения значений 32 ф / 3х3у можно рассматривать уравнения вида

32р1( Хр 0_

а

3?2

32ф1( X у, Тр ?) 32ф1( X у, ТР ?) д2рl(x, у, ? )

(9)

3 у' 3 X 3 7

вдоль прямых, параллельных оси Оу, либо рассматривать уравнения вида

32ф2( x0, ?) =

3?2

а

32ф1( x, ^ Zo, ?) 32ф1( x, Zo, ?) 32ф1( x, Zo, О

3 у

3

х

3

г

(10)

вдоль прямых, параллельных оси Ох.

Соотношения вида (9), (10) рассматриваемые вдоль прямых, параллельных осям Оу, Ох соответственно, представляют собой одномерные неоднородные волновые уравнения, подобные (4). Применяя к ним метод характеристик, можно, подобно описанному выше применительно к уравнению вида (4), определять во внутренних

точках рассматриваемой области значения 3 ф / 3у, 3 ф / 3?, в момент ?0 + А?,

если они известны в момент

? о

¡о + А?

- о . Тем самым в момент ю ' " определяются значения 32 ф / 3х, во внутренних точках рассматриваемой области, если они

известны в момент ? . Аналогично, рассматривая (9) вдоль прямых параллельных оси Oz, можно определить во внутренних точках рассматриваемой области значения

32 ф / 3., 3г в момент ?о ^ А?, если они известны в момент ?о.

Наконец, рассматривая (10) вдоль прямых, параллельных оси Oz, можно определить во внутренних точках рассматриваемой области значения 32 ф / 3Х, 3г в

момент ?о ^ А?, если они известны в момент /„.

£ о

Дифференцируя обе части уравнения (2) по ^у^, получаем

2

2

5 Щп

2

дг

2

дЩ12 дг2

дЩ13 дг2

= Ь

= Ь

=Ь

2 2 2 д Щ11 + д

дх »2

2

дУ

дг »2

\2 + сЩ + д Щ12

д.

2

ду

дг2

д2Щ13 + дЩ11+ д2Щ13

д.

ду2

дг7

где обозначено щ^ =дщ /дх,щ^ = дщх /ду, Щ =дщ /дг.

Рассматривая уравнения из (11) вдоль прямых, параллельных осям координат так, как это было описано выше, можно определить во внутренних точках рассматриваемой области значения

д2 щ /дхдг, д2щ /дх2, д2 щ /дудг, д2щ /ду2, д2щ /дгдг, д2щ /дг2, д2щ /дхду,

д2щ /дхдг, д2щ /дудг,

в момент го ^ Аг, если они известны в момент г о .

Дифференцируя (2) по ху,7 получаем системы уравнений, подобные (11). Рассматривая уравнения этих систем вдоль осей координат, можно определить значения

д2щ/дхдг, д>2 /дх2, д2щ/дудг, д>2 /ду2, д>2 /дгдг, д>2 /дг2, дЩ /дхду,

д 1щ1 / дхдг, д 1щ1 / дудг, а также

д2 щ /дхдг, д2щ2 /дх2, д2 щ /дудг, д2щ3 /ду2, д2щ3 /дгдг, д2уъ /дг2, д2щ3 /дхду, д2щъ /дхдг, д2щъ /дудг

во всех внутренних точках рассматриваемой области в момент го + Аг, если они

известны в момент г .

Обратимся теперь к вопросу об определении указанных выше частных

производных второго порядка функций (, Щ, Щ1Щ2, Щ3 на границе

рассматриваемой области. Их значения должны обеспечивать выполнение граничных условий. Для определенности будем считать, что на границе 8 рассматриваемой области заданы компоненты напряжения:

апп(М',1) = {(М'Д оас(М',1) = {(М,1), оаш{М',1) = {(М,1),(М'е8), (12)

где о - нормальная к поверхности 8 компонента напряжения на ней Опс, Опт -касательные компоненты напряжения на 8, {, {, { - заданные функции точки

(М 'е8) и момента времени 1.

Введем в рассмотрение в каждой точке поверхности 8 локальную систему координат 0ху7, поместив начало О в указанной точке, направив ось 07 вдоль внешней нормали к поверхности и разместив на касательной плоскости к ней в начале координат О оси Ох, Оу таким образом, чтобы граничные условия, как известно /1/, согласно закону Гука приняли вид:

(0,1 ) = Г,(0,1), (М ',1 ) = {(0,1), о (0,1 ) = {(0,1 ) = {(0,1). (13)

>

Подставляя в (13) вместо , ФХ2, их представления через потенциалы

смещений, приводим граничные условия к виду: — ,2__—

X

3 ф (О,1) 32 ф (о,1) н--;-

3 х2

3 у

✓ Ч32 ф (О,1)

+ (X + —- +

3 z2

(14)

2М

32^2(О,1) 32^х(о,1)

дxдz

дyдz

= ^ (0,1).

М

2 32ф(О!^) + д2 ^з(0,1) д2 ^!(0,1)

дxдz

дyдz

дудх

= ^ (0,1),

М

232 ф (О,0 | д2 ^2(0,1) д2 Уз(о,0

дyдz

дхду

дxдz

= ^2 (0,1).

(15)

(16)

К граничным условиям (14)-(16) следует добавить еще условия, получаемые из (8), а именно:

<2 гг^ ^2 ¡г^ ^ ^2

- + ~ ^ , , ^ ^з(0,1) = о,

32Ух(О,1) | 32V2(0,1) | 32Vз(0,1) дхду ду2 дyдz

д2 ^(О,1) , д2 V2(0,1) , д2 Vз(0,1)

дх2

+

+ ■

дxдz

о.

(17)

(18)

ЗхЗУ2

Отметим, что если соотношение (6), а также полученные из него дифференцированием соотношения выполняются на границе области, то они имеют место и во всей рассматриваемой области. В самом деле, обозначим:

ф = 3У1 , 3 V 2 , 3 V з

3х

Зу

дz

ф = 3 V1 | 3 V 2 , 3 V

дхду ду2 дyдz

Ф д2V2 , д2Vз

з дх2 дхду дxдz

Вследствие (2) функции ф], ф2, ф3 удовлетворяют волновому уравнению. Как

известно /3/, существует единственная функция, удовлетворяющая внутри ограниченной области волновому уравнению и принимающая на ее границе заданные значения. Отсюда следует, что если

ф (М', 1) = о, ф2 (М', 1) = о, ф (М', 1) = о

при М'б8, то во всей области, ограниченной поверхностью S, имеют место равенства:

3 V! , 3 V2 , 3 Vз =0

+

+

ЗхЗу Зу дyдz

з

л2 л2

а ^2

Эх2 ЭхЭу2

Из (19), (20) непосредственно следует:

+

2

Э Уз ЭxЭz

0.

Э У2 , Э У3 = ^

(20)

(21)

Эх Эу Эz

В области, ограниченной поверхностью S, причем g(t) - некоторая функция времени. Если выполняется:

ф (м'д )= 0, (М'еБ),

то, очевидно, всюду в рассматриваемой области имеет место (6). Учитывая приведенные соображения, обратимся непосредственно к вопросу о реализации граничных условий (14)-(16). Предположим, что поверхность S- гладкая. Тогда частные производные Э 2ф(0,1)/Эх2, Э 2ф(0,1)/Эу2, Э 2ф(0,1)/ ЭхЭ^ Э 2ф(0,1)/ ЭyЭz входящие в (13), можно найти для момента + А1, пользуясь характеристическими

соотношениями, подобными приведенным выше в связи с определением значений частных производных во внутренних точках рассматриваемой области, при условии, что они известны для момента 1={0. После определения их, исходя из (14), полагаем:

^ (0,1 )-Х

Э2 Ф (0,1) = 1

Э z2 Х + 2ц Исходя из (17), (18), имеем:

ГЭ2 Ф (0,1) Э2 Ф (О,1)^

Э у2

■ 2М

ГЭ2 Ф (0,1) Э2 Ф (О,1)^

ЭxЭz

ЭyЭz

(22)

Э2 Уз(0,1)_ Э2 %(0,1) Э2 ^2(О,1)

ЭyЭz

Э2 У з(О,1)

ЭхЭу Эу2

Э2 у, (0,1) Э2 У 2 (0,1)

(23)

(24)

ЭxЭz Эх2 ЭхЭу

Подставляя (23), (24) в (15) и (16), соответственно, и разрешая затем первое, из полученных соотношений, относительно Э 2ф(0, 1)/ ЭxЭz, получаем:

Э2Ф(0,1) _ 1 Э2У1(0,1) 1 Э2У2(0,1)

ЭxЭz 2ц 2 ЭхЭу 2 Эу2

Э2Ф(0,1) 1

= — ^(0,1) - . ЭxЭz 2ц ЭхЭу 2 Эх

Поскольку значения Э 2ф(0, 1)/&2 согласно (22) известны, то используя характеристическое соотношение вдоль характеристики отрицательного наклона, можно найти значения Э2ф(0, 1)/ &Э1. Все частные производные второго порядка от Ф на границе S рассматриваемой области оказываются таким образом определенными для момента ^ + А1, если они известны в момент 10.

В процессе определения значений Э2у (0,1)/ЭyЭz, Э2у (0,1)/ЭxЭz оказывается определенными также значения Э2у (0,1)/ Э^, Э2у2 (0,1)/ для момента ^ + А1, если они известны в момент 1 Поэтому, используя

Э2 У 2(0,1) 1 Э2 У 1(0,1)

(25)

(26)

Э х2

характеристическое соотношение вдоль характеристики отрицательного наклона, можно найти также значения д2Щ(0, 1)/дъ2, д2Щ2(0, 1)/дъ2 при ^ + А1.

Значения д2Щ(0,1)/дх2, д2Щ(0,1)/ду'2,д2Щ(0,1)/дхдуопределяются для момента 10 + А1 так же, как описано выше для внутренних точек рассматриваемой области. Значения д2Щ(0,1)/дудх, д2Щ(0,1)/дхдх определяются согласно (23), (24), соответственно. Исходя из (3) полагаем:

д2Щ>(О,1)_ д2Щ,(О,1) д2Щ2(О,1)

дх1 дхдъ дудъ

д2Щ3(О,1)_ д2Щг(О,1) д2Щ2(О,1)

дхд1 дхд1 дуд1

при 10 + А1. Таким образом, частные производные второго порядка функций

(,Щ,ЩЩ,Щ2,Щ3 на границе рассматриваемой области в момент ^ + А1 в результате выполнения описанных выше процедур определяются, если их значения известны во всей области в момент времени ^. Частные производные первого порядка указанных

функций по геометрическим переменным определяются посредством интегрирования по времени соответствующих частных производных второго порядка.

Последовательно применяя описанную выше схему для ряда возрастающих моментов времени. Можно определить параметры упругой среды во множестве фиксированных точек рассматриваемой области для указанных моментов времени.

В последующих работах авторов будут решены с использованием изложенной схемы конкретные краевые задачи линейной нестационарной теории упругости.

Список литературы

1. АмензадеЮ.А. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1971. С. 77-78.

2. РахматулинХ.А. и др. Газовая динамика. М.: Высшая школа, 1965. С. 285-287.

3. СмирновВ.И. Курс высшей математики. Т. 4. Ч. 2. М.: Наука, 1981. С. 525-528.