Как разрешить 3D уравнения Навье Стокса Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.516:517.958 А. В. Коптев

КАК РАЗРЕШИТЬ 3D УРАВНЕНИЯ НАВЬЕ — СТОКСА

Автором предложен метод построения решений 3D уравнений Навье — Стокса для случая неустановившегося движения вязкой несжимаемой жидкости. Благодаря реализации метода задача построения решений 3Dуравнений Навье — Стокса сводится к решению совокупности более простых задач.

Ключевые слова: движение, вязкая жидкость, дифференциальное уравнение, частная производная, нелинейность, интеграл, совместность.

А. Koptev

HOW TO SOLVE 3D NAVIER — STOKES EQUATIONS

A method for constructing solution of Navier — Stokes equations for 3D unsteady viscous incompressible fluid How has been suggested. Owing to the implementation of the suggested method, the solutions of the 3D Navie — Stokes equations have been reduced to the solution of a set of simpler problems.

Keywords: motion, viscous fluid, differential equation, partial derivative, nonlinearity, integral, compatibility.

1. Уравнения Навье — Стокса. Уравнения под таким названием представляют собой систему нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, которые описывают движение жидких и газообразных сред при наличии вязкости.

Для случая движения вязкой несжимаемой жидкости при условии, что внешние силы имеют потенциал, безразмерный вариант 3D уравнений Навье — Стокса может быть представлен в виде

du du du du -г— + u^— + v^— + w-T— : dt dx dy dz

d( p + Ф) + J_

dx Re

С д^и д^и Pu} dx2 +Э/ + dz2

(1)

dv dv dv dv d( p + Ф) 1

т—+ u— + + =--^Цг-- + — ■

dt dx dy dz dy Re

'^v av aV

, dx2 +dy2 +dz2 ,

dw dw dw dw d( p + Ф) 1 f d2w d2w d

-r— + u-rr— + v^— + w-г— =--^-1 + —— • -T- +--- +--—

dt дх dy dz dz Re ^ dx2 dy2 dz2 y

du dv dw -

dx + dy + ~dz = 0• (4)

Основными неизвестными в уравнениях (1)-(4) являются скорости u, v, w и давление p. Каждая из этих величин является функцией четырех независимых переменных — координат х, y, z и времени t.

Ф обозначает заданную функцию потенциала внешних сил. Re — число Рейнольдса, представляющее положительный параметр.

Отличительной особенностью рассматриваемых уравнений является наличие нелинейных членов. Они присутствуют в левых частях уравнений (1)-(3). Это обстоятельство значительно усложняет и исследование, и решение, так как методы, разработанные для линейных уравнений, в данном случае не применимы.

На сегодняшний день существует целый перечень вопросов, связанных с уравнениями (1)-(4), которые изучены недостаточно и требуют дополнительного исследования. Нет окончательного решения проблемы существования гладкого решения 3D уравнений [4-5]. Не ясна структура решений и отсутствуют общие подходы к построению решений. Последнее относится как к построению частных решений, так и к построению решений начальных и краевых задач. К изученным не до конца проблемам следует отнести и лами-нарно-турбулентный переход, который предположительно должен возникать при больших значениях числа Re.

Справедливо сказать, что на сегодняшний день теоретическое исследование уравнений Навье — Стокса значительно отстает от потребностей практики.

Как подтверждение значимости теоретического исследования рассматриваемых уравнений можно привести следующий факт. Известный центр изучения математики — Математический институт Клэя, США (Clay Mathematical Institute, USA) в 2000 году определил проблему существования гладкого решения уравнений Навье — Стокса как одну из семи главных математических проблем третьего тысячелетия [6].

Все перечисленные проблемы, связанные с уравнениями Навье — Стокса, заведомо получат дополнительный импульс в исследовании, если будет разработан конструктивный метод решения. Это позволит строить конкретные решения, изучать их свойства и переходить к обобщениям. Разработка такого метода, применимого при общих предположениях, есть сложная и интересная задача. Данная работа представляет шаг на этом пути.

2. Первый интеграл и структура решений. При построении решения будем исходить не из уравнений (1)-(4) непосредственно, а из первого интеграла этих уравнений.

Первый интеграл уравнений Навье — Стокса для случая 3D неустановившегося движения вязкой несжимаемой жидкости сводится к следующим девяти соотношениям [1-2]:

U 2

р = _Ф__ _ d-dt = a4 + ß4 + g 4, (5)

V 2 Г_Эи + Эу, =

Э2Ш

10

+-

Э 2Ш

10

Э 2Ш

11

Re ^ Эх Эу) Эх2 Эу2 Эг2

Э2Ш^ + Э 2Ш^ + Э2ШМ

■+

+-

Э

Эт2 ЭуЭг ЭхЭг Эt

ЭШ1 + ЭШ3 + Э(Ш 5 + Ш 6)

Эх Эу

Эг

+ 3(а4 _р4),

(6)

2 Г Эу . Эи1 Э2Ш10 Э2Ш„ Э2Ш

2 2 ОУ ОИ|

у2 _ и2 + — I + I = -Re ^ Эу Эг ] Эх2

12

Эх2 Эу2

+

Э2^12 Э2^13 Э2ШМ

Э

Эг2 ЭхЭу ЭхЭг Э?

Э(^1 + Ш2) + ЭШ4 _Э^6 Эх Эу Эг

+ 3(а 4 _р4)

(7)

1 Г эу Эи

иу +—I

Э 2Ш

10

+ -

1г э 2ш15+э 2ш14

+

Э 2^13 1 Эг2 )

1 _Э_

+ 2 Э?

Яс ^ Эх Эу) ЭхЭу 2 ЭШ3 ЭШ1 Э(^9 + )

ЭхЭг

+

Эх Эу

Эг

ЭуЭг

+ 1 (_а1г + Ь{2 ),

(8)

иш + _!_ I_Эи _Э^|=Э 2Шп +1

Яс I Эг Эх) ЭхЭг 2

2ш л Г э 2Ш15 Э2Ш

14

Э 2Ш13 1 +11

ЭуЭг I 2Э?

ЭШ5 + Э(Ш9 _Ш7) + ЭШ 5

Эх

Эу

Эг

+ 2

ЭхЭу Эу2

2 (_а/ у _a2t + 71' у _уз\) =

(9)

1 Г Эу Эи

уи + ——1

Яс^ Эг Эу

Э 2Ш12 1 Г Э 2Ш14 Э 2Ш

+

ЭуЭг + 21 ЭхЭу ' Эх2

15

Э 2Ш131 +1 _Э_ + 2 Э?

ЭхЭг

Э(Ш8 +Ш 7) + ЭШб +ЭШ4

Эх

Эу Эг _

2 (Ь1 х + Ь3, + У1 х + 7 2' ,).

(10)

1

и=2

Э ГЭШ1 ЭШ3 + ЭШ7^ + Э I ЭШ5 +ЭШ8 ЭШ2

Эу^ Эу Эх Эг ) Эг ^ Эх Эу Эг

+2 (а2'г + а3' у + 52г + 81' у) , (11)

1

У = 2

_ЭГЭШ3 ЭШ1 ЭШ71+_ЭГЭШ9 + ЭШб _ ЭШ4 Эх^ Эх Эу Эг ) Эг^ Эх Эу Эг

+ 2 (Ь2'х + Ь3г _81'х + 83'г ),

1

и=2

IЭШ5 _ЭШв +ЭШ21+_Э

Эх^ Эх Эу Эг ) Эу'

ЭШ 9 ЭШ 6 + ЭШ4 Эх Эу Эг

+2 (

2 (у2' у+ 73х _ 82'х _83' у)

(12) (13)

Здесь Ш ^ — новые ассоциированные неизвестные с номерами от единицы до пятнадцати включительно. В работах [1-2] для них введено название псевдофункции тока;

аш, Рш, Уш, 5Ш — произвольные функции, каждая из которых зависит лишь от трех переменных из четырех возможных и не зависит от одной переменной, соответственно х, у, г или

2

и

Для этих функций выполнены равенства

дат = Эрш = дут = дЪт = 0. дх ду дг дЬ

И2 и2 + V2 + ш2

=-2--безразмерный скоростной напор;

С, ^ — диссипативные члены, вычисляемые по формулам

С = "Т + 3<12Х|1 -^ду51Г-1& +АЛ, ) , (14)

= 3! 2 +ду(*43) +1(15)

Символами Дху, Ду2, Д2Х, в формуле (14) обозначены неполные операторы Лапласа по координатам

Аху дх2 + ду2 ' Ауг ду2 + дг2 ' Агх дг2 + дх2 '

В работе [2] показано, что существует комбинация первых производных от уравнений (5)—(13), которая приводит к уравнениям Навье — Стокса (1)-(4). Рассмотренные в совокупности девять соотношений (5)-(13) представляют первый интеграл уравнений Навье — Стокса (1)-(4).

Эти девять соотношений выбираем в качестве исходных для построения решений уравнений Навье — Стокса. Чтобы получить окончательные решения основных уравнений, нужно сосредоточиться на исследовании и интегрировании системы (5)-(13).

Проведем предварительный анализ и отметим некоторые закономерности, характерные для выражений (5)-(13). Всего имеем девять уравнений, связывающих основные неизвестные и, V, ш, р, ассоциированные неизвестные *j и произвольные функции трех переменных ат, рт, ут, 5т. Среди этих уравнений особо выделяются четыре уравнения: (5), (11), (12), (13). Эти уравнения определяют выражения для и, V, ш, р через другие величины и задают, таким образом, структурные формулы для основных неизвестных.

Так, из уравнения (5) следует, что при нулевых ат, рт, ут, 5т неизвестное р должно быть представлено суммой четырех различных по своей природе слагаемых. Такими сла-

и2

гаемыми являются: потенциал внешних сил Ф, скоростной напор и два диссипатив-ных слагаемых С и С.

Уравнения (11)—(13) определяют выражения для неизвестных и, V, ш. Согласно этим выражениям каждое из неизвестных и, V, ш есть некоторая линейная комбинация вторых производных ассоциированных неизвестных * j, где j = 1, 2, ..., 9. Для этих девяти неизвестных, определяющих скорости, логично ввести уточненное название — скоростные псевдофункции тока.

Таким образом, уравнения (5) и (11)-(13) задают структуру решений уравнений На-вье — Стокса [3]. Тогда как оставшиеся пять нелинейных уравнений (6)—( 10) позволяют уточнить отдельные слагаемые структурных формул. Для получения окончательного решения нужно разрешить уравнения (6)-(10).

3. Условия совместности. Рассмотрим нелинейные уравнения (6)-(10). Из этих уравнений можно исключить и, V, щ если воспользоваться (11)—(13). Такой путь был предложен в работе [2]. В результате будем иметь систему пяти нелинейных уравнений с пятнадцатью неизвестными ¥ у, где у = 1, 2, ..., 15.

Однако более подробный анализ позволяет получающуюся систему значительно упростить и привести ее к соотношениям, более удобным для дальнейшей работы. Обратим внимание на следующую закономерность. В каждом из трех уравнений (8), (9), (10) неизвестные ¥10, ¥п, ¥12 представлены лишь одним слагаемым в правой части. Есть возможность с помощью уравнений (8), (9), (10) указанные неизвестные исключить.

Ограничимся здесь и далее простейшим случаем

ат = 0, вт = 0, уш = 0, 5Ш = 0 и представим систему (6)-(10) в виде

*2 =■

Э 2^10 + Э 2^10

Э2¥

11

Э 2^12 + Э^]5 +Э 2^14

Эх2 Эу2 Эг2 Эг2 ЭуЭг ЭхЭг

(16)

Э2^10 + Э 2^11 Э2^12 + Э 2^12 Э2^13 Э 2^14

_ Эх2

-+

Эх2 Эу2 Э22 ЭхЭу ЭхЭг

(17)

*4

*5

Э

10

+ -

1 ( Э2¥15 . Э

+ -

14

+ -

Э2^13 ^

ЭхЭу 21 ЭхЭг ЭуЭг Эг2

Э 2¥п +1 ЭхЭг 2

( Э2¥15 Э2¥14

+-

Э ^

13

ЭхЭу Эу2 ЭуЭг

(18) (19)

Э2¥12

1 ( Э

14

+ -

Э2¥

15

Э^

13

ЭуЭг 21 ЭхЭу Эх2 ЭхЭг

(20)

Левые части уравнений (16)-(20) представляют некоторые комбинации, не содержащие неизвестных ¥10, Т11, ¥12, ¥13, ¥14, ¥15. Функции * определяются выражениями

_ 2 . + 2 I Эи + ЭИ + Э (Э¥1 Э¥ 3 Э(

*2_и -И+жесэх+Эу) + э7 1"Эх"~"Эу-Эг(¥5+^6}

, 9 2 2 ( Э V ЭиЛ Э (Э 4 Э¥

3 Яе^ Эу Эг) Э£^Эх^ 1 2) Эу Эг J'

1 (ду диЛ 1 д

/4 = иу-— I + ^ I +

Яе^дх ду) 2 дг^ дх ду дг

д¥ 3 д^1 д ш ч

- 1 (дш ди ^ 1 д

/5 = иш- — I -=;— + ^ I +

ЯеI дх дг) 2 дг

"эг+зу79 )-^т

/ = уш 1 I дш +ду^ 1 д ( д( 6 + д¥ д

/б=уш - яе [ эу+эг I- 2 д {дх(^7+^в)+■-эт

(21)

где под и, у, м'следует понимать правые части (11)—(13).

Рассмотрим подробнее уравнения (16)—( 17) и исключим из них неизвестные ¥10, ^11, ¥12. Все предлагаемые преобразования естественным образом разбиваются на два пункта, в результате осуществления которых будут получены два условия совместности.

Первое условие. Рассмотрим уравнение (16). Последовательно выполним следующие

действия. Вычислим

д д -тг- от выражения (18) и от выражения (16). Складывая результа-дх ду

ты, приходим к соотношению

/ + / =33^10 э3уп дх ду ду3 ЭуЭг2

д3^12 + д3^15 + 1 (д3У

ЭуЭг2 ду2 Эг 2

15 +д3^14

д3^

13

дх2дг дхдудг дхдг2

(22)

д д2

Вычисляем, далее от уравнения (22) и —2 от уравнения (18). Складывая резуль-дх ду2

таты, получаем равенство

э2 /4 э2 /2 э2 /4

- +

■ +

Э4^

11

Э

12

Эх2 ЭхЭу Эу2 ЭхЭуЭг2 ЭхЭуЭг2

+

1

+ 2

( д4У15 д4У15 д4У14 д4У14 . д4У,3 д4У ^

(23)

+

15

+

14

+ -

13

15

дхду2дг дх3дг дх2дудг ду3дг ду2дг 2 дх2дг2

д2

Вычислим 3 э от равенства (19) и сложим с равенством (23). В результате получаем

д2 /2 д2 /4 д2 /4 д2 /5_1 (д4У15 д4У14

+ -

д4У13 ^

12

дхду дх2 ду2 дудг 21 дх3дг дх2дудг дх2 дг2 дхдудг2

(24)

В качестве последних действий вычисляем

дхдг

от уравнения (20) и вычитаем ре-

зультирующее равенство из выражения (24). Приходим к соотношению

Э2 /2 Э2 /4 , Э2 /4 , Э2 /5 Э2 /6 = 0

- +

+-

дхду дх2 ду2 дудг дхдг

2

д

Равенство (25) представляет первое необходимое условие разрешимости системы

(16)-(20). Функции / определяются выражениями (21) с учетом (11)—(13). Правые части выражений, определяющих /, будут содержать производные третьего порядка относительно неизвестных где j = 1, ..., 9. Поэтому уравнение (25) есть дифференциальное уравнение пятого порядка относительно этих неизвестных.

Второе условие. Рассмотрим уравнение (17) и аналогично тому, как это было сделано в предыдущем случае, исключим из него неизвестные Ч10, Ч11, Ч12.

Для этого предлагаются следующие преобразования. Вычисляем от равенства

Э/

(17) и -0 от уравнения (18). Складывая результаты, получаем равенство

Эх

д/3 + Э/4 _Э3^11 Э3^12 ,Э3^12 Э3^13

-+

+ -

1 (Э3У13 Э3У14 Э3У ^

Э/ Эх Эх2 д/ Э/3 д/дг2 ЭхЭ/2 2 ^ ЭхЭг2 ЭхЭ/Эг Эх2 Эг

15

(26)

Э Э2

Далее вычисляем от равенства (26) и ЭХЭ/ от выражения (19). Вычитая второе из

первого, приходим к соотношению

3 /4 - /5 _ Э4^12 + Э4^12 + 1 (Э4^1з

Э2 /3 + Э2 /4 Э2 /5

+-

Э/Эг ЭхЭ г ЭхЭ г Э/3Эг Э/Эг3 2 ^ ЭхЭ г3 ЭхЭ/2 Эг

Э 4У

13

+

+■

Э4^14 Э4^,4 Э4^,5 . Э4^,5 ^

14

15

+-

15

ЭхЭ/3 ЭхЭ/Эг2 Эх2Эг2 Эх2Э/2

(27)

В качестве следующих преобразований предлагается вычислить -°-у от уравнения

Э/2

(20) и результат вычесть из соотношения (27). Получаем равенство

Э2 /3 + Э2 /4 Э2 /5 Э2 /6 _Э4У12

■ +

1 ( Э4У +-

Э/Эг ЭхЭ г ЭхЭ/ Э/2 Э/Эг3 2 ^ ЭхЭ г3 ЭхЭ/Эг2 Эх2Эг2

13

Э 4У

14

Э 4У ^

15

(28)

Э2

На заключительном этапе преобразований вычисляем —2 от равенства (20) и скла-

дг2

дываем результат с уравнением (28). Приходим к соотношению

о2 /3. о2 /4 о2 /5 о2 /6 ,э2 /6 _ 0

-+

+-

д/дг ЭхЭг ЭхЭ/ Э/2 дг2

(29)

Равенство (29) представляет второе необходимое условие совместности системы (6)-(10). Равенство (29), как и (25), есть дифференциальное уравнение пятого порядка относительно неизвестных Ч/ где где j = 1, 2, ..., 9.

Таким образом, получены два необходимых условия совместности системы (6)-(10). Чтобы построить окончательные решения уравнений Навье — Стокса (1)-(4), нужно произвести второе интегрирование.

4. Второе интегрирование. Этот этап построения решений сводится к следующим двум задачам.

А. Нужно разрешить систему двух уравнений (25), (29) относительно девяти неизвестных где7 = 1, 2, ..., 9. Каждое из уравнений этой системы представляет нелинейное дифференциальное уравнение пятого порядка относительно указанных неизвестных. Обращает на себя внимание значительное превышение числа неизвестных над числом уравнений. Неизвестных — девять, а уравнений — два. Это обстоятельство представляется весьма выгодным при решении конкретных задач, поскольку некоторые из неизвестных можно выбрать удобным образом или подчинить некоторым условиям. После того, как указанная система разрешена и неизвестные ¥, найдены, по уравнениям (11)—(13) можно

определить и, V, ж В результате три из основных неизвестных будут найдены, и останется определить только р.

Б. Для определения р вначале нужно обратиться к уравнениям (18)-(20). Поскольку все скоростные псевдофункции тока уже определены, то в качестве неизвестных в этих уравнениях фигурируют лишь Ч10, Ч11, Ч12, Ч13, Ч14, Ч15. Относительно этих неизвестных уравнения (18)-(20) линейны. Таким образом, имеем систему трех линейных неоднородных дифференциальных уравнений второго порядка. Причем имеем превышение числа неизвестных над числом уравнений. Неизвестных — шесть, а уравнения — три.

Замечаем также, что в каждом из уравнений присутствует лишь по одному члену с неизвестными Ч10, Ч11, Ч12. В уравнении (18) присутствует одно слагаемое с указанными

неизвестными, а именно —' в уравнении (19) ^ э и в уравнении (20) —^ э •

Один из простейших вариантов решения рассматриваемой системы предлагается таким. Неизвестные Ч13, Ч14, Ч15 можно задать произвольно. Тогда каждое из уравнений (18)-(20) представляет уравнение с одним неизвестным, соответственно Ч10, Ч11, Ч12, Ч13. Эти уравнения имеют вид

_ ЭхЭу> *5 _~ЭХЭ7' *6 _ ЭуЭг' (30)

где левые части * есть известные функции х, у, г, I

Чтобы разрешить уравнения (30), достаточно левую часть два раза последовательно проинтегрировать — соответственно по х и у, х и г или у и г. Таким образом, все ассоциированные неизвестные будут определены. Ч13, Ч14, Ч15 заданы произвольно, при7 = 1, 2, ..., 9 определены из решения уравнений (25), (29), и неизвестные Ч10, Ч11, Ч12 — из решения уравнений (30).

Теперь можно определить р, последнее из основных неизвестных. Для этого достаточно воспользоваться уравнением (5) с учетом соотношений (14), (15). Уравнение (5) дает выражение для р через другие неизвестные, которые уже определены. Воспользовавшись

выражением (5), находим p. Из предыдущего высказывания ясно, что результирующее выражение для p будет содержать не менее трех произвольных функций четырех независимых переменных. Такими функциями являются ¥13, ¥14, ¥15. Если допустить ненулевые значения произвольно выбираемых функций трех переменных am, pm, ym, ôm, то эти функции также будут присутствовать в выражениях для неизвестных.

Итак, все неизвестные определены и задачу построения решений уравнений Навье — Стокса (1)-(4) можно считать решенной полностью.

Выводы. Таким образом, основные этапы предлагаемого подхода к построению решений 3D уравнений Навье — Стокса сводятся к следующему.

Первый интеграл уравнений нужно взять за основу. Дальнейшее интегрирование сводится к решению совокупности более простых задач. Такими задачами являются две. Первая — это решение системы двух нелинейных уравнений пятого порядка относительно девяти неизвестных. Вторая — решение линейной неоднородной системы трех уравнений второго порядка с тремя неизвестными.

Результатом реализации указанного подхода являются выражения для основных неизвестных u, v, w, p, содержащие набор произвольных функций трех и четырех независимых переменных, что удобно при решении начальных и краевых задач.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Коптев А. В. Интегралы уравнений Навье — Стокса // Труды Средне-Волжского математического общества. Саранск, 2004. № 1. Т. 6. С. 215-225.

2. Коптев А. В. Первый интеграл и пути дальнейшего интегрирования уравнений Навье — Стокса // Известия РГПУ им. А. И. Герцена: Научный журнал: Естественные и точные науки. 2012. № 147. С.7-17.

3. Коптев А. В. Структура решений уравнений Навье — Стокса: Некоторые актуальные проблемы современной математики и математического образования // Герценовские чтения — 2014. СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2014. C. 71-74.

4. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. 288 с.

5. Темам Р. Уравнения Навье — Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. 408 с.

6. Сhaгles L. Fefferman. Existence and Smoothness of the Navier — Stokes équation. Preprint, Princeton Univ., Math. Dept. Princeton, NJ, 2000. Р. 1-5.

REFERENCES

1. Koptev A. V. Integraly uravnenij Nav'e — Stoksa // Trudy Sredne-volzhskogo matematicheskogo ob-westva. Saransk, 2004. № 1. T. 6. S. 215-225.

2. Koptev A. V. Pervyj integral i puti dal'nejshego integrirovanija uravnenij Nav'e — Stoksa // Izvestija RGPU im. A. I. Gercena: Estestvennye i tochnye nauki. 2012. № 147. S. 7-17.

3. Koptev A. V. Struktura reshenij uravnenij Nav'e — Stoksa: Nekotorye aktual'nye problemy sovremen-noj matematiki i matematicheskogo obrazovanija // Gertsenovskie chtenija — 2014. SPb.: RGPU im. A. I. Gercena, 2014. C. 71-74.

4. Ladyzhenskaja O. A. Matematicheskie voprosy dinamiki vjazkoj neszhimaemoj zhidkosti. M.: Nauka, 1970, 288 s.

5. TemamR. Uravnenija Nav'e — Stoksa. Teorija i chislennyj analiz. M.: Mir, 1981, 408 s.

6. Сhaгles L. Fefferman. Existence and Smoothness of the Navier — Stokes equation. Preprint, Princeton Univ., Math. Dept. Princeton, NJ, 2000. P. 1-5.