Моделирование турбулентного течения в прямых пружинно-витых каналах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.5:621.694

Багоутдинова А.Г. - кандидат технических наук, доцент E-mail: bagoutdinova@rambler.ru

Нижнекамский химико-технологический институт

Адрес организации: 423570, РТ, г. Нижнекамск, пр. Строителей, 47 Золотоносов Я.Д. - доктор технических наук, профессор E-mail: zolotonosov@mail. ru Мустакимова С.А. - ведущий программист E-mail: mustakim@kgasu.ru

Казанский государственный архитектурно-строительный университет

Адрес организации: 420043, Россия, г. Казань, ул. Зеленая, д. 1

Моделирование турбулентного течения в прямых пружинно-витых каналах Аннотация

Работа посвящена математическому моделированию стационарных турбулентных течений вязкой несжимаемой жидкости в пружинно-витых каналах. Разработанная математическая модель основывается на решении осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса, замкнутых при помощи к — e модели турбулентности с учетом характерных особенностей геометрии канала, и может быть использована для оптимизации технологических характеристик и геометрических параметров существующих теплообменных устройств, а также при создании новых перспективных конструкций.

Ключевые слова: турбулентное течение, моделирование, пружинно-витой канал.

Введение

С ростом энергетических мощностей и объема производства все более увеличиваются масса и габариты применяемых теплообменных аппаратов, на изготовление которых расходуется немало средств и материалов. В связи с этим актуальными являются вопросы, связанные со снижением размеров и массы теплообменного оборудования и повышением его эффективности. Одним из перспективных направлений решения этой проблемы является изменение формы и режима движения теплоносителей. В этой связи представляет практический интерес предлагаемый нами класс пружинно-витых каналов [1-4], обладающих высокоэнергетической эффективностью, позволяющих модернизировать и реконструировать существующий парк теплообменной аппаратуры без существенных капитальных затрат.

Однако широкое внедрение подобных аппаратов в производство сдерживается отсутствием надежных данных о гидравлических и тепловых характеристиках пружинновитых каналов и особенностях протекающих в них процессов. Попытка восполнить имеющийся пробел является предметом настоящих и будущих исследований.

1. Описание геометрии канала и вычисление геометрических характеристик

Рассматриваемый нами канал представляет собой тугую пружину с жестко скрепленными витками [1]. Процесс образования таких каналов может быть реализован путем намотки проволоки произвольного сечения на подложку, выполненную в виде круглого или эллиптического цилиндра. Если намотка плотная, то после микроплазменной или лазерной сварки витков и удаления подложки получается пружинно-витой канал.

В работе [5] рассмотрен общий метод построения поверхностей каналов, образованных движением непрерывной замкнутой кривой р(ф), вдоль некоторой криволинейной направляющей y(t) (рис. 1).

Если в качестве направляющей кривой выбрать винтовую линию

g: х = a cos t, y = a sin t, z = bt, а в качестве образующей - эллипс, с полуосями, равными с и d, то поверхность, вид которой представлен на рис. 2, описывается векторной функцией:

• - - -

r (t, j ) = х (t, j) i + y (t, j) j + z (t, j) к , (1)

где:

х ^, р) = (а - с соб р) соб t +

у (р) = (а - с собр) бш t + 2 ^ ,р) = Ы

ёЬ бш р бш t

л]а2 + Ь2 ёЬ бш р соб t

•у/а2 + Ь2 аё бш р

4а

Параметр ф задает положение точки на эллипсе (0 < ф < 2р), 1 - положение точки на винтовой линии (0 < 1 < кр), к - количество витков. Если полуоси эллипса равны, то эллипс трансформируется в окружность. Уравнение поверхности в этом случае записывается в виде (1), где:

х (t,р) = (а - Я соб р) соб t + у (/, р) = (а - Я соб р) бш t +

ЬЯ бш р бш t

у/а2 + Ь2 ЬЯ бш р соб t

г (t,р) = Ы +

Л

аЯ бш р 4 а2 + Ь2

а2 + Ь2

(2)

Эквивалентный диаметр канала можно вычислить по формуле [6]:

аэ=АУ/Б ,

где У - объем, Б - площадь смоченной поверхности канала.

Площадь внутренней поверхности О, заданной векторной функцией (1), выражается с помощью поверхностного интеграла первого рода:

Э г Эг

—х— Эt Эр

Лёр ■

(3)

Б=Я = я

О D(t ,р

где координаты (t, р) изменяются в пределах области определения

Б(р) ={(t,р)|0 < t < кп, -п/2 < р < п/2}, а —х— означает векторное произведение. 1 J Эt Эр

Частные производные — и вычисляются по формулам:

Эt Эр

Э г Эх, / Эу , ч * Эх , ч *

¥=Э<('-р >' +¥('-р >; + э7 ( •р >к =

/ \ . ёЬ бш рсоб t V (, ч ёЬ бшрбшt

(с соб р - а) бш t +------------------------------, / + (а - с соб р) соб t-,

Л

а + Ь

а + Ь

] + Ьк;

Э r Эх , чr Эу , ч r ч •

j=j >i+j >j +j(j >k =

с sin j cos t +

db cos j sin t

yja2 + b2

i +

с sin j sin t +

db cos j cos t

• ad cos j •

j + , к.

л/a2 + b2

у/а2 + Ь2

Объем тела, ограниченного замкнутой поверхностью О , определяется с помощью тройного интеграла:

F = JJJ dxdydz .

(4)

о

Рис. 2. Поверхность пружинно-витого канала с эллиптическим нормальным сечением

Для упрощения вычисления интеграла (4) выполним замену переменных:

, ч db sin j sin t •

х = ( p — с cos j) cos t +-------. - ’

VP2 + b

, ч . db sin j cos t.

у = (p — с cos j) sin t + -

4p

2 + b2

pd sin j z = bt .

4Pr+bi

Отображение (х, у, е) ^ (р, ф, 1) переводит область О в прямоугольный параллелепипед, описываемый неравенствами:

ё < р < а, - — < р < — ,0 < t < кп 2 Г 2

Запишем якобиан отображения:

cos t +

sin t +

^p sin j sin t

V( p2 +b )3

dbp sin j cos t >/( p2 + b )3 b2dsin j

J( p 2 + b" )3

с sin j cos t +

с sin j sin t +

db cos j sin t

p

2 + b2

db sin j cos t

p

2 + b2

pd cos j

(с cos j — p) sin t +

(p — с cos j) cos t —

db sin jos t

V( p2+b2)

db sin jin t

p

2 +b2

p

2 + b2

b

Интеграл (4) преобразуется к виду:

а ж/2 кж

V = ЦУ= | | | |У (р, р, t)| арйрЛ. (5)

о а -ж!2 о

Полученные интегралы (3), (5) вычисляются приближенно с помощью известных

квадратурных формул.

2. Основные уравнения

Процессы турбулентного переноса представляют собой сложное физическое явление, теоретическое изучение которого опирается на основные законы физики, и описываются уравнениями гидродинамики. Основными уравнениями гидродинамики для описания стационарных турбулентных течений являются уравнения Навье-Стокса [8]:

Эу( Эр

Эх,

Р VJ

Э V

Эх,, m Эх .Эх.

(6)

(7)

В системе уравнений (6)-(7) и далее подразумевается суммирование по дважды повторяемому в одночленах индексу.

Применяя осреднение по Рейнольдсу, запишем уравнения движения и неразрывности в виде:

Р v

Эу. _ Э p _ Э2 у. Эх,

Эх, m Эх,Эх, Эх, у

-Р v'v'j

Эу,

Эх,

= 0.

(8)

(9)

Система уравнений (8)-(9) является незамкнутой. Для замыкания этих уравнений необходимо использовать модель турбулентности. Несмотря на значительные успехи современных исследователей в вопросах моделирования турбулентности, включая прямое численное моделирование и методы крупных вихрей, до сих пор оптимальной по возможностям использования в инженерных расчетах считается двухпараметрическая дифференциальная модель турбулентности.

Запишем уравнения для турбулентной кинетической энергии к и скорости ее диссипации е [9]:

- Эк Эх,

Эу,

Р -=эх- -Р£

_д_

Эх,

m,

m+—

Эк

Эх,

- Эе

Эу,

Эх,

к Эх.

j

г к2 • m, = ГтР—;

mt

m+— о„

Эе

Эх,

^■=- р v'v' = m,

/Э Vi Э v, 4

Эх, Эх,

- 2 Р кд, 3,

Модельные константы:

Cei = 1,44; се2 = 1,92; Гц = 0,09; ^ = 1; Ое = 1,3.

- Эу, = 1 эp m э 2 у

Эх,

р Эх, р Эх Эх, Эх

Эк

Эх,

Эе

J Эх, Се 1 к

г к-

m

е

г —

е

J J J

\

j

г — m е

Эу, Эу,

Эх, Эх,

у J i

- - кд.. 3 J

Эу,

Эх,

= 0;

Эу. Эу

Эх Эх

V J У

- 2 кдJ

3 J

Эу, Эу,

Эх, Эх,.

- 2 кдj

3 J

Эу. Э

--------е + —

Эх, Эх,

ЭУ. е2 Э

--------C е 2-----+-----

Эх, к Эх,

m „ к2 Эк

- + гм —

р е

Эх,

оее

Эе

Эх,

Запишем уравнения в развернутом виде. Уравнения движения:

VI

ду, - ду, эу, _ і э р „ Гэ2 ” 3 2 ” 3 2 Л

Эх,

-+ V2 -

дх2

- + і>3

дх3

р Эх, р

Э V, Э V, Э V,

------1 +---------1 +-------1

Эх,2 дх22 дх3

д2 VI д2 V2 д2 VI д2 уз Л

дх22 дх,дх2 дх32 дх,дх3

д VI д V 2

дх2 дх,

дх2

Є

V У

У

_ 2 Эк 3 дх,

дVI д уз дх3 дх,

дх3

(10)

- Эу2 - дУ2

V, ■

дх,

- + V 2 -

дх2

- + у3

Эу 2

дх3

__ 1 _Эр+„

р дх2

- + -

дх, дх2

- + -

д2 у2

дх3

2 дк

------------+

3 дх2

+С„

к2 Г д2 У2 д2 у, д2 У2 д2 уз

дх,2 дх,дх2 дх32 дх2дх3

\ Эу2 дуі д ґ к 21 / ґ

у дх, дх2 Vі ) дх, Є \ У V

Эу2 Эуз дх3 дх2

дх3

Є

V У

(11)

- дуз - Эуз - дуз

V, ■

дх,

- + у2 -

дх2

- + уз ■

дх3

__ 1 Эр + „

р дх3 р

- + -

дх, дх2

- + -

дх3

2 дк -------------+

3 дх3

+С„

к2 Гэ2 Уз Э2 VI д2 уз Э2 V2

+

л /эУз эV2 Л

дх2 Эх3

дх,2 дх,дх3 дх22 дх2дх3

Уравнение неразрывности:

Эу1 Эу2 Эуз ----+------+------_ 0 .

дх, Эх2 Эх3

1д ' к2 Л 1 "ду3 дVI' д

дх9 2 Є V / дх, дх3 Vі ) дх, Є \ /

(12)

(13)

Уравнение для турбулентной кинетической энергии:

- Эк - Эк - Эк

VI--------+ V 2-------+ Уз-

дх,

Эх2

Г ду2 42

дх,

Эх3

ГэУз 42

дх,

2к_

3

ґ дуі ду 2 ду 3 ) 2С„ к2 д уі д V 2 дуі д уз ду 2 Эуз

дх, V 1 дх2 дх3 3 У Є дх2 дх, дх3 дх, дх3 дх2

ГЭу1 42 Эх2

ГЭуз 42 Эх2

Гдуі 42 Эх3

ГЭу2 42

Эх3

_ Є +

(14)

„і + С„к-'

р Є

V. /V

Э 2к + Э 2к + Э 2к Эх,2 Эх22 Эх32

\ + С„ У дк д + дк д ' к2 Л + дк д ' к^Л

дх, дх, Є V / дх2 дх2 Є V / дх3 дх3 Є V /

Уравнение скорости диссипации турбулентной кинетической энергии:

- дЄ - дЄ - дє Є2 2є

VI -— + у 2 ----+ уз -— _ _єЄ 2 -— є,

дх,

+Єє 1С„ к

ґ-Г \2

дх.

дх3

к

/д уі ду 2 ду з 4

------1------1----

дх, дх2 дх3

Vі 2 3 /

_2

д уі ду 2 + д уі Эуз + д V 2 д уз дх2 дх, дх3 дх, дх3 дх2

ду 2 дх,

/-Ч- \2

д уз дх,

Гду, 42

дх2

Эуз

дх2

2

Гду, 42

дх3

ґду2 ^ дх3

V / V / V ~ / V ~ \ \ /

2„ Л2

к

Є д2Є д2Є

+ —;г + -

дх22 дх32

^ С +С- го Є го і ' к1' э э ' к1' д го э ' к2 ^

Оє / дх, дх, Є \ У дх2 дх2 Є \ У дх3 дх3 Є V У

(15)

В качестве условий однозначности для системы уравнений (10)-(15) зададим профили скорости, давления во входном сечении канала, на выходе из канала и граничные условия на стенках:

на входе: все переменные имеют постоянные значения; на стенках: условия прилипания; на выходе: «мягкие» условия Неймана.

Решение системы (10)-( 15) будем искать в виде:

VI = ЫоК-( х, у, г), V2 = ЫоК (х, у, г),

Vз = ЫоК (х, у, г), р - Ро = Ыо2рР (х, у, I), (16)

к = Ыо2К (х, у, г), е = ЫоgE (х, у, г),

где х = х1, у = —, г = — - безразмерные переменные, К-(х, у, г), К2 (х, у, г), а а I

К3 (х,у, г), Р(х,у, г), К(х, у,г), Е(х, у, г) - безразмерные функции, g - ускорение свободного падения, Ыо - начальная скорость, а - коэффициент винтовой линии, I -

длина канала, ^ечУ- эквивалентный диаметр канала, яе = и°^е<г* - число Рейнольдса,

Кг = -

- число Фруда.

Подставляя формулы (16) в уравнения (1о)-(15), получим безразмерные уравнения. Уравнения движения:

2 ^ З2 Г З2 !

Г дЛ+Г2 ^+к3 ^ = -др+

Эх Эу Эг дх а Яе

VК Э2К Э2К;Л

---- +------1 +-----

Эх2 Эу2 Эг2

- 2 ЭК

3 Эх

+С Гг

К

Е

2 ^Э2 Г Э2 К2 +Э2 Г Э2 К3 Л /

Эу ЭхЭу Эг ЭхЭг

ЭК- ЭК2 Эу Эх

эу

г К2 Л

Е

ЭК эг3

Эг Эх

Эг

( К_2 л

Е

Ч Л-1

К ЭГ1 + К э^ + К э^=-Эр +

1 Эх 2 Эу 3 Эг Эу а Яе

+С Гг

Эх2 Эу2 эг2

- 2 ЭК 3 Эу

' К2 Г Э2 К2 Э2 К + Э2 К2 Э2 К3 ^ Э 2 Э 1 Э Г К2 ] (ЭКо ЭК3 ^ Э Г К211

Е Эх2 ЭхЭу Эг2 ЭуЭг Эх Эу V • V Эх Е \ / Эг Эу V • Эг Е \ /-1

г; ^+к2 ^+к3 ^ = -—+

Эх Эу Эг Эг а Яе

(Э2 К3 Э2 К3 Э2 К3 Л Эх2 Эу2 Эг2

- 2 ЭК

3 Эг

+Ст Гг

К2

2

Е

2

Э2 К3 Э2 К; + Э 2К3 Э2 К2

Эх ЭхЭг Эу ЭуЭг

ЭК3 ЭК2 Эу Эг

эу

(К2 Л

Е

ЭК3 -ЭГ-Эх Эг

Эх

( К2 Л

Е \ /-1

Уравнение неразрывности:

ЭК- ЭКо ЭК3

—1 + —2 + —3 = о

Эх Эу Эг

Уравнение для турбулентной кинетической энергии:

(17)

(18)

(19)

(2о)

Эк + Го Эк + Эк =-2К

Эг

ЭК ЭК2 ЭК3

—I+—2+—3

Эх ду Эг

Л (^+СКгК2 ЛГ Э2К+Э2к+ЭКЛ

а Яе т Е I Эх2 Эу2 Эг2

эк; эк2 +эк- эк+ эк2 эк3

Эу Эх Эг Эх Эг Эу

+

+С К к2

+С„ Кг — т Е

л2

уЭх /

(ЭК, л2

чЭх/

2

дК-

дУ

+Ст Гг

эк _э( к2 Л+эк _э_

Эх Эх Е Эу Эу

V /

2

(Э^ Л2

ЭУ

V

2

эк;

УЭг/

^экЛ2

УЭг /

Е

-------+

Гг

К_

Е

Эк э Г к 2 л

+------------

Эг Эг

(21)

2

Ы

о

Уравнение скорости диссипации турбулентной кинетической энергии:

„ ЭЕ ЭЕ ЭЕ 1 Е2 2 Е

Е — + Е — + Е — = -с----------------------------------------------с„, —

1 Эх 2 Эу

Эг

Ег К

+се Ст Ег • К

-2

'эе эе2 + эе Эе + эе2 эе3 л

ЭЕ1 ЭЕ2 ЭЕ3

—1 + —2 + —3 Эх Эу Эг

+

Эу Эх Эг Эх Эг Эу

+

ЭЕ2

Эх

\2

+

эе3

Эх

ч2

+

ЭЕ1

ЭУ

ч2 /

+

эе3

ЭУ

2

+

ЭЕ1

Эг

2

+

Ег^-

К2 |[ЭЕ+ЭЕ+ЭЕ

а Яе Е )| Эх2 Эу2 Эг2

/ V

эе2

Эг

2

+

"ЭЕ Э ' К2' ЭЕ Э ' К2' ЭЕ Э [ К21"

Эх Эх Е \ / + Эу Эу Е \ / Эг Эг Е \ /-І

(22)

Таким образом, система уравнений (17)-(22) с соответствующими граничными условиями представляет собой полную математическую формулировку задачи турбулентного течения вязкой несжимаемой жидкости в прямом пружинно-витом канале.

Заключение

Разработанная математическая модель турбулентного течения вязкой несжимаемой жидкости в пружинно-витом канале позволит установить основные гидродинамические закономерности течения в канале и послужит базой для последующих исследований, а также разработки надежных методов инженерного расчета современной теплообменной аппаратуры с теплообменными элементами в виде пружинно-витых каналов.

Список литературы

1. Золотоносов А.Я., Золотоносов Я. Д. Теплообменный элемент: пат. 64750 на пол. мод. Рос. Федерация. № 2007107173; заявл. 26.02.07; опубл. 10.07.07, Бюл. № 19. - 3 с.

2. Евсеев Е.С., Золотоносов А.Я., Золотоносов Я.Д. Высокоэффективные теплообменные аппараты на базе теплообменных элементов в виде пружинновитых труб // Тр. Академэнерго, 2008, № 4. - С. 18-33.

3. Антонов С.Ю., Антонова А.В., Золотоносов Я.Д. Определение коэффициента теплопередачи эллиптических пружинно-витых каналов в теплообменных аппаратах // Сб. трудов XVII шк.-семинара молодых ученых и специалистов «Проблемы газодинамики и тепломассообмена в аэрокосмических технологиях». -Жуковский: ЦАГИ, 2009, Т. 1. - С. 280-283.

4. Антонов С.Ю., Антонова А.В., Золотоносов Я.Д. Математическая модель конфигурации эллиптических пружинно-витых каналов теплообменных устройств // Известия КГАСУ, 2009, № 2 (12). - С. 173-178.

5. Багоутдинова А.Г., Золотоносов Я. Д., Мустакимова С. А. Геометрическое моделирование сложных поверхностей пружинно-витых каналов теплообменных устройств // Известия КГАСУ, 2011, № 4 (18). - С. 185-193.

6. Примеры и задачи по курсу процессов и аппаратов химической технологии. Учеб. пособие для вузов / Павлов К.Ф., Романков П.Г., Носков А. А. - Л.: Химия, 1987. - 576 с.

7. Юн А. А. Теория и практика моделирования турбулентных течений. - М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009.

8. Лойцянский Л.И. Механика жидкости и газа. Изд. 6-е. - М: Наука, 1987.

9. Юн А.А., Крылов Б.А. Расчет и моделирование турбулентных течений с теплообменом, смешением, химическими реакциями и двухфазных течений в программном комплексе Райе81-3Б: Учебное пособие. - М.: Изд-во МАИ, 2007. - 116 с.

Bagoutdinova A.G. - candidate of technical sciences, associate professor

E-mail: bagoutdinova@rambler.ru

Nizhnekamsk Chemical-Technological Institute

The organization address: 423570, Russia, Nizhnekamsk, Builders st., 47

Zolotonosov Ya.D. - doctor of technical sciences, professor

E-mail: zolotonosov@mail. ru

Mustakimova S.A. - the leading programmer

E-mail: mustakim@kgasu.ru

Kazan State University of Architecture and Engineering The organization address: 420043, Russia, Kazan, Zelenaya st., 1

Modelling of turbulent flow in straight line spring-twisted channels

Resume

The article deals with a steady turbulent flow of a viscous incompressible fluid in a twisted spring channel. The surface of this tube is a channel that is used as a taut spring coils is rigidly fastened. The surface of the channel under consideration is described vector-parametric equations derived on the basis of fundamental principles of analysis and differential geometry.

The mathematical model of a viscous incompressible fluid is constructed in the Cartesian coordinate system based on the Reynolds equations, closed by the turbulence model, taking into account the characteristics of the channel geometry. The solution of the resulting system of equations with the boundary conditions will determine the parameters of velocity and pressure in the flow part of the channel and can be used to optimize the technological characteristics and geometric parameters of the existing heat exchangers, as well as creating new and promising designs of heat exchange equipment.

Keywords: turbulent flow, modeling, the spring-twisted channel.

References

1. Zolotonosov A.J., Zolotonosov Ja.D. Heat exchange element: patent 64750 Russian Federation. № 2007107173; It is declared 26.02.07; it is published 10.07.07. The bulletin № 19. - 3 p.

2. Evseev E.S., Zolotonosov A.J., Zolotonosov Ja.D. High-performance heat exchangers based on heat transfer elements in the form of a spring-twisted tubes // Tr. Academenergo, 2008, № 4. - P. 18-33.

3. Antonov S.Ju., Antonova A.V., Zolotonosov Ja.D. Determination of the heat transfer coefficient elliptic spring-twisted channels of heat exchangers. CAGI, Proceedings of the XVII sch.-seminar of Young Scientists and Specialists Problems of Gas Dynamics and Heat and Mass Transfer in aerospace technology. - Zhukovsky: 2009, T. 1. - P. 280-283.

4. Antonov S.Ju., Antonova A.V., Zolotonosov Ja.D. A mathematical model of the configuration of elliptic spring-stranded channel heat exchangers. // News of the. KSUAE, 2009, № 2 (12). - P. 173-178.

5. Bagoutdinova A.G., Zolotonosov Ya.D., Mustakimova S.A. Geometrical modelling of complex surfaces of spring-twisted channels of heat exchangers// News of the KSUAE, 2011, № 4 (18). - P. 185-193.

6. Examples and problems on rate of processes and devices of applied chemistry. Manual for high schools / Pavlov K.F., Romankov P.G., Noskov A.A. - L.: Himija, 1987. - 576 p.

7. Jun A.A. Theory and practice of modelling of turbulent flows. - M.: Knignii dom «Librokom», 2009.

8. Loicanskii L.I. Fluid mechanic. Izd. 6. - M.: Nauka, 1987.

9. Jun A. A., Krilov B.A. Calculation and modelling of turbulent flows with heat exchange, mixture, chemical reactions and two-phase flows in program package Fastest-3D: Manual. - M.: Izd. MAI, 2007. - 116 p.