CC BY
225
1. Bolotov A. A., Gashkov S. B., Frolov A. B. Elementamoe vvedenie v jellipticheskuju kriptografiju: Protokoly kriptografii na jellipticheskih krivyh. M.: KomKniga, 2006. S. 76-81.
2. Glusko K. L., Titov S. S. Normal'nye bazisy i derevo kvadratichnyh rasshirenij binarnyh polej // Ne-kotorye aktual'nye problemy sovremennoj matematiki i matematicheskogo obrazovanija: Materialy nauchnoj konferencii «Gercenovskie chtenija — 2012». SPb.: BAN, 2012. S. 221-226.
3. Glusko K. L., Titov S. S. Reshenie kvadratnyh uravnenij v konechnyh poljah harakteristiki dva // Problemy teoreticheskoi i prikladnoi matematiki: Trudy 43-i Vserossiiskoi molodezhnoi konferencii. Ekaterinburg: UrO RAN, 2012. S. 23-25.
4. Glusko K. L., Titov S. S. Specifika problem svjazi i upravlenija na transporte // Innovacionnyj transport. Ekaterinburg: Izd-vo UrGUPS. 2012. № 2 (3). S. 44-50.
5. Demkina O. E., Titov S. S., Torgashova A. V. Rekurrentnoe vychislenie neprivodimyh mnogochlenov v zadachah dvoichnogo kodirovanija // Molodye uchenye — transportu: Trudy IV nauchno-tehnicheskoj konferencii. Ekaterinburg: Izd-vo UrGUPS, 2003. S. 391-404.
6. Logachev O. A., Sal'nikov A. A., Jawenko V. V. Bulevy funkcii v teorii kodirovanija i kriptologii. M.: MCNMO, 2004. S. 41-53.
7. Parshin A. V. Klassicheskij protokol paketnoj kommutacii: Monografija. Ekaterinburg: Izd-vo UrGUPS, 2007. 242 s.
8. Rozhnev A. Ju. Teorija zapretov mnogobitovyh funkcij i ee primenimost' v sistemah svjazi na zhelez-nodorozhnom transporte // Sovremennye problemy nauki i obrazovanija. 2012. № 2; URL: www.science-education.ru/102-5 849.
9. Sergeev I. S. O realizacii nekotoryh operacij v konechnyh poljah shemami logarifmicheskoj glubiny: Avtoref. dis. ... kand. fiz.-mat. nauk. M., 2007. 96 s.
10. Titov S. S., Torgashova A. V. Generacija neprivodimyh mnogochlenov, svjazannyh stepennoj zavi-simost'ju kornej // Doklady Tomskogo gosudarstvennogo universiteta sistem upravlenija i radiojelektroniki. 2010. N 2 (22). Ch. 1. S. 310-318.
11. Biryukov A., Shamir A., Wagner A. Real Time Cryptanalysis of A5/1 on a PC. Fast Software Encryption Workshop. 2000. April 10-12. P. 1-18.
12. Koblitz N. Hyperelliptic cryptosystems // Journal of cryptology. 1989. N 1. P. 139-150.
13. Koblitz N. Algebraic aspects of Cryptography: Springer. 2004. 109 p.
14. Menezes A. J., Vanstone S. Elliptic Curve Cryptosystems and their implementation // Journal of Cryptology. 1993. N 6. P. 209-224.
15. Rosing M. Implementing Elliptic Curve Cryptography. Greenwich: Manning Publication, 1998.
338 p.
А. В. Коптев
МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ — СТОКСА
Рассматриваются уравнения Навье — Стокса для движения вязкой несжимаемой жидкости. Предлагается процедура аналитического построения решений на основе первого интеграла уравнений и уравнения Риккати в частных производных. Построены некоторые новые решения, представляющие практический интерес.
Ключевые слова: частная производная, дифференциальное уравнение, движение, жидкость, интеграл, вязкость, вихрь.
METHOD OF SOLUTION CONSTRUCTION FOR NAVIER — STOKES EQUATIONS
Navier — Stokes equations for viscose incompressible fluid flow are under the consideration. Analytical solution method is suggested. The method is based on the first integral of Navier-Stokes equations and Riccati partial differential equations. New solutions of Navier — Stokes equations have been constructed.
Keywords: partial derivative, differential equation, motion, fluid, integral, viscosity, vortex.
Введение
Уравнения Навье — Стокса — это известный тип нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, которые описывают движение жидких и газообразных сред при наличии вязкости. Они представляют и чисто математический интерес, и имеют многочисленные приложения к практическим задачам.
Для простейшего случая 2D установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости безразмерный вариант уравнений Навье — Стокса может быть представлен в следующем виде:
ди ди д( p + Ф) 1
U ~дх + V ду _ дх + Re
dv dv _ д(p + Ф) 1
U дх +V ду ду + Re
+
ду2 )
^ô2v ô2vл дх2 ду2 )
(1)
(2)
_ ». (3)
дх ду
Здесь u, v, p — основные неизвестные, скорости и давление; Ф — потенциал внешних сил, заданная функция; Re — число Рейнольдса, положительный параметр.
Отличительной особенностью уравнений Навье — Стокса является наличие нелинейных членов, что значительно усложняет исследование и решение.
Сегодня многие вопросы изучены недостаточно и требуют дополнительного исследования. Нет общего метода решения и нет общего подхода к решению как самих уравнений Навье — Стокса, так и граничных и начальных задач для них. Нет окончательного решения проблемы существования [6, 7]. Недостаточно изучены свойства гладкости решения, нет четкого представления об асимптотике решения при Re ^ +œ .
Нерешенных математических проблем, связанных с уравнениями Навье — Стокса, множество. Их сложность оценена по достоинству. Математический институт Клэя (Clay Mathematical Institute, USA) определил изучение уравнений Навье — Стокса как одну из семи основных проблем третьего тысячелетия [8].
Несмотря на все сложности уравнения Навье — Стокса интенсивно изучаются. И попытки общего исследования уравнений имели место.
В частности, в работах [3, 4] показано, что для случая несжимаемой жидкости уравнения Навье — Стокса допускают интеграл. Этот результат имеет место в общем случае, без каких-либо дополнительных допущений о граничных и начальных условиях, характере области, значении числа Рейнольдса и других предположениях частного характера.
Дальнейшее интегрирование
Для некоторых случаев соотношения, представляющие первый интеграл, допускают повторное интегрирование. В частности, это справедливо применительно к случаю 2D установившегося движения вязкой несжимаемой жидкости.
Попытаемся проанализировать пути дальнейшего интегрирования и построения решений для этого случая.
Первый интеграл уравнений (1)-(2), соответствующих указанному случаю, представляет три соотношения. Они связывают основные неизвестные и, V, р, ассоциированное неизвестное ^ 2 и произвольные аддитивные функции одного переменного [3].
В безразмерных переменных эти соотношения можно представить в виде
р = -ф -
1
+ — 2
2
д2¥2 д 2¥
Л
дх2
+
ду 2
+ а( у ) + в(х ) =
2 2 и - V
( ди
Re
дх
дv ^ ду
д2¥2 д2¥2
ду2
Яе
ди дv
---------1-------
ду дх
Л
дх2
д2^ 2 дхду
■ + .
2 (а( У )-в( х ))
(4)
(5)
(6)
где ¥ 2 — ассоциированное неизвестное; а(у), Р(х) — произвольные функции одного переменного, у или х соответственно.
К этим соотношениям следует добавить уравнение неразрывности (3) и произвести интегрирование, рассматривая (3)-(6) как систему дифференциальных уравнений относительно и, V, р, ¥ 2.
Анализ уравнений (3)-(6) приводит к выводу, что определяющую систему фактически образуют только три уравнения, а именно уравнения (3) и (5)-(6). Эти три уравнения определяют функции и, V, ¥2. Неизвестное р фигурирует в соотношении (4) аддитивно, и оно легко находится из (4), если найдены и, V, ¥ 2.
Рассмотрим определяющую систему (3), (5)-(6). Обращает на себя внимание следующее обстоятельство. В уравнениях (5)-(6) присутствуют квадратически нелинейные чле-
2 2
ны и , V , и • V вместе с первыми производными скоростей по координатам и некоторыми другими величинами, не зависящими от и и V.
Можно констатировать, что относительно и и V уравнения (5)-(6) представляют аналоги уравнения Риккати в частных производных.
Уравнения Риккати — это хорошо изученный тип обыкновенных дифференциальных уравнений [1]:
/' + г1( х)■ / + г2 (х)-/2 + г3 (х) = 0,
(7)
где / (х) — неизвестное, г (х) — заданные коэффициенты.
Для (5)-(6) также имеем уравнения типа (7), но с частными производными, и неизвестные представляют уже функции двух переменных.
Уравнение Риккати (7) обладает многими примечательными свойствами. В частности, эти уравнения допускают решение в квадратурах при некоторых определенных значениях коэффициентов [2].
2
2
1
Логично предположить, что аналогичное свойство, пусть и в модернизированном варианте, также имеет место и для аналога уравнения Риккати в частных производных. Примем эту гипотезу за основу и попытаемся исходя из этого проинтегрировать систему (3),
(5)-(6) и построить некоторые новые решения уравнений Навье — Стокса.
Уравнения (5)-(6) удобно рассматривать совместно, если ввести комплексную скорость и = и - ¡V, как функцию комплексного переменного 2 = х + ¡у [5].
При таком подходе для неизвестных и и V должны выполняться условия Коши — Ри-
мана:
ди дv . ди & ~
дХ + ду = °- дУ-5 = °' (8)
Первое из этих условий совпадает с уравнением неразрывности (3), и это уравнение в дальнейшем будет выполнено автоматически.
Преобразуем уравнения (5)-(6) в комплексных переменных. Для удобства дальнейшего исследования умножим уравнение (6) на -2/. Это уравнение примет вид
2/
-2/ • ^ +----------
Re
ди дv
- + -
д2 ¥
= 2/д—2. (9)
ду дх ) дхду
Положим также в (4)-(5) для простоты а (у) = р° и р(х) = 42°°, где р° — аддитивная постоянная давления.
Обратим внимание на следующую закономерность. Все члены уравнений (5) и (9), рассмотренные попарно, по одному из каждого уравнения, представляют вещественную и мнимую части некоторой функции комплексного переменного.
Рассмотрим нелинейные члены уравнений (5) и (9). Они представляют соответственно вещественную и мнимую части функции и2 (г). Это справедливо на основании равенства
и2 = и2 - V2 - 2/ • т. (1°)
Рассмотрим далее члены уравнений (5), (9), содержащие первые производные и и V.
Предварительно найдем как функции комплексного переменного. Справедливы ра-
аг
венства
аи = 1 (ди дv ^ / (дм ди Л = ди / (ди дv ^ (11)
ёг 2 ду) 2 + ду) дх 2 ^5у + дх ) . ( )
Отсюда ясно, что члены с производными скоростей в уравнениях (5), (9) есть веще-
4 аи
ственная и мнимая части величины ----------—.
ке аг
Перейдем теперь к рассмотрению правых частей уравнений (5), (9).
Введем функцию
тт ( ) ■ д^2 2 (12)
и*( г) = и*- ы*=^т-А - ¡^т-2. (12)
дх ду
Пусть ¥2 (2) есть некоторая функция комплексного переменного. Тогда справедливо
д2У 2 д2У 2 дх2 ду2
и.(г). Производная и*(г) может быть преобразована как
2 2 2
равенство ^ 22 +-------2^ = °. Выполнены также условия Коши — Римана для функции
ёи* 1 ( ди* дуЛ і (ду* ди* і 1
• +
д2х¥2 д2х¥2 і .д2х¥2
- і . (13)
dz 2 ^ дх ду) 2 ^дх ду) 2 ^ дх2 дУ2 ) дхду
Из уравнения (13) следует, что правые части уравнений (5) и (9) есть соответственно
« ёи *
вещественная и мнимая части величины -2—-—.
ёг
В результате два уравнения, (5) и (9), равносильны одному комплексному уравнению. Оно имеет вид
4 аи + и2 = -2^. (14)
Яе ёг ёг
Имеем обыкновенное дифференциальное уравнение известного типа. Уравнение (14) есть специальное уравнение Риккати [1] с правой частью F(г) = -2 (~и •
Оно допускает аналитическое решение при многих известных вариантах правой части F(г) . Некоторые из них приведены в работе [2]. Создается благоприятная ситуация для построения новых решений.
Построение решений
Применим описанный выше подход и построим некоторые решения уравнений Навье — Стокса, представляющие практический интерес. Для этого достаточно разрешить уравнение (14).
Самое простое решение получается, если в правой части уравнения (14) положить нуль. Тогда приходим к уравнению
4 ёи- + и2 = °. (15)
Re ёг
Его решением является
41
и = Я- •—!-, (16)
Яе ¿1 - г
где г1 = А + ¡В — некоторая фиксированная точка комплексной плоскости. В этой точке имеем простой полюс.
Данное решение допускает простую гидромеханическую трактовку. Точку г1 можно рассматривать как точку расположения стока жидкости с обильностью
2
т1=пке. (17)
Данное решение может представлять интерес для гидрологии и для теории нефтедобычи.
Найдем скорости, соответствующие этому решению. Достаточно отделить вещественную и мнимую части.
В результате получаем выражения
и = А_______А- х______ у = _4_______В1 - У_____ (18)
“ке‘ (А - х)2 +(В1 - у)2, _ке' (А - X)2 +(В1 - У)2' ( }
С учетом уравнения (4) находим давление
р - Ро = -ф-•( а - X)2 + (В, - У )2 • (19)
где ро — аддитивная постоянная давления, Ф — потенциал внешних сил.
С практической точки зрения может быть интересно решение в виде суммы нескольких простых полюсов. В простейшем случае — двух. Пусть, например, в каждой из точек г1 = А1 + ¡В1 и г2 = А2 + В имеем простой полюс. Следуя гидромеханической трактовке, можно считать, что в этих точках расположены стоки с одинаковой обильностью (17). Решение уравнения (14) ищем в виде
^ке-Ьг-г+ггг). (20)
Подстановка уравнения (20) в (14) приводит к соотношению
16 1 ( 1 1 і ёи*
-------- —
Яе2 г2 - г1 ^ г1 - г г2 - г) ёг
Это уравнение допускает интегрирование. В результате получаем
(21)
и* = -^--------- • 1п . (22)
Яе (г2 - г1) г2 - г
На основании уравнения (12) выражение (22) определяет частные производные функции ¥ 2. Возможно и последующее интегрирование (22). В результате может быть найдена функция ¥ 2. Однако эта функция не представляет особого интереса. В выражении (4) для давления фигурирует лишь лапласиан ¥2, а последнее заведомо равно нулю.
Таким образом, для рассматриваемого случая определяющая система разрешена. Отделяем в уравнении (20) вещественную и мнимую части и находим решение уравнений Навье — Стокса, соответствующее двум изолированным стокам:
4 ( А\ — х А2 — х
и = —• --------^----------;т + - 2
Яе ^(4 - х)2+(В - у)2 (А - х)2+(В - у)2)'
у=ЯЧ------------------2 +-------Вг-у-----------------------зі (23)
Яе I (А - х)2+(В - у)2 (А - х)2+(В - у)2)
Используя выражение (4), находим давление:
- = _________• (__________1_________ __________1_________
Р Ро Ке2 ((А - х)2+(В - у)2)2 + ((А2 - х)2 + (В2 - у)2)2 +
+2 (А1 - х) •(А2 - х) + (В1 - У) • (В2 - у) ) ( )
((А1 - х) + (В1 - у) ) •((А2 - х)2 + (В2 - у)2 )
Представляется возможным путем некоторой вариации коэффициентов получить решение и для другого важного случая.
Это случай двух изолированных и различно ориентированных вихрей с одинаковыми по модулю интенсивностями. Такая схема может быть интересна для метеорологии, так как дает простейшую модель движения двух различно ориентированных атмосферных вихрей — циклона и антициклона.
Для этого случая комплексная скорость получается из уравнения (20) умножением правой части на i. Для этой величины имеем выражение:
-г+ф;) • (25)
Отделяя вещественную и мнимую части, находим скорости
и = 4 /---------В1-У----, +--------В2-У
Яе ^ (А1 - х)2 + (В - У)2 (А2 - х)2 + (В - У)2 )’
= 4 Г А1 - х А2 - х ^ (26)
I (А - х)2 + (В - У)2 (А2 - х)2 + (В2 - У)2)' ( ’
Выражение для давления совпадает с уравнением (24).
Таким образом, решения уравнений Навье — Стокса для рассмотренных случаев построены.
Выводы
Предложен новый метод построения решений 2D уравнений Навье — Стокса. Метод основан на первом интеграле уравнений Навье — Стокса и на свойствах (возможностях) уравнения Риккати в частных производных.
Каждый известный случай интегрируемого в квадратурах уравнения Риккати генерирует новые решения уравнений Навье — Стокса.
Поскольку известных случаев интегрируемости уравнения Риккати множество, то появляется возможность значительно пополнить перечень известных решений уравнений Навье — Стокса и более успешно изучать общие вопросы, связанные с этими уравнениями.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Егоров А. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Изд-во физ.-мат. лит-ры, 2007. 448 с.
2. Зайцев В. Ф., Полянин А. Д. Обыкновенные дифференциальные уравнения: Справочник. М.: Физматлит, 2001. 576 с.
3. Коптев А. В. Интегралы уравнений Навье — Стокса. Саранск: Труды Средне-волжского математического общества. 2004. № 1. Т. 6. С. 215-225.
4. Коптев А. В. Общий интеграл уравнений Навье — Стокса // Математическая физика и ее приложения: Материалы второй международной конференции. Самара: МИАН им. В. А. Стеклова, СамГУ, 2010. С.179-180.
5. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функции комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.
6. Ладыженская О. А. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука, 1970. 288 с.
7. Темам Р. Уравнения Навье — Стокса. Теория и численный анализ. М.: Мир, 1981. 408 с.
8. Charles L. Fefferman. Existence and Smoothness of the Navier — Stokes equation. Preprint, Princeton Univ., Math. Dept. Princeton, NJ, 2000. Р. 1-5.
REFERENCES
1. Egorov A. I. Obyknovennye differencial'nye uravnenija. M.: Izd-vo fiz.-mat. lit-ry, 2007. 448 s.
2. Zajcev V. F., Poljanin A. D. Obyknovennye differencial'nye uravnenija. Spravochnik. M.: Fizmatlit, 2001. 576 s.
3. Koptev A. V. Integraly uravnenij Nav'e — Stoksa. Saransk: Trudy Sredne-volzhskogo matemati-cheskogo obwestva. 2004. № 1. T. 6. S. 215-225.
4. Koptev A. V. Obwij integral uravnenij Nav'e — Stoksa // Matematicheskaja fizika i ee prilozhenija: Materialy vtoroj mezhdunarodnoj konferencii. Samara: MIAN im. V. A. Steklova, SamGU, 2010. S. 179-180.
5. Lavrent'evM. A., Shabat B. V. Metody teorii funkcii kompleksnogo peremennogo. M.: Nauka, 1987.
688 s.
6. Ladyzhenskaja O. A. Matematicheskie voprosy dinamiki vjazkoj neszhimaemoj zhidkosti. - M.: Nauka, 1970. 288 s.
7. Temam R. Uravnenija Nav'e — Stoksa. Teorija i chislennyj analiz. M.: Mir, 1981. 408 s.
8. Charles L. Fefferman. Existence and Smoothness of the Navier — Stokes equation. Preprint, Princeton Univ., Math. Dept. Princeton, NJ, 2000. Р. 1-5.
Ю. Н. Ловягин
О ПРОБЛЕМЕ НОРМИРУЕМОСТИ БУЛЕВЫХ АЛГЕБР
Рассматриваются вопросы, связанные с существованием меры на полной булевой алгебре. Доказано, что на регулярные булевы алгебры допускают полумеру. Приведен пример, показывающий, что не всякая регулярная булева алгебра является нормируемой.
Ключевые слова: булева алгебра, регулярная булева алгебра, мера, нормируемость, полунормируемость.
Yu. Lovyagin
ON THE PROBLEM OF MEASURABLIZABILITY OF BOOLEAN ALGEBRAS
This paper discusses the issues related to the existence of measures on a complete Boolean algebra. It is argued that for regular Boolean algebras half-measures are possible. An example is given showing that not every regular Boolean algebra is measurable.
Keywords: Boolean algebra, regular Boolean algebra, the measure, measurable Boolean algebra, seminormativity.
