CC BY
14
УДК 532.5:621.694
Мустакимова С.А. - ведущий программист
E-mail: mustakim@kgasu. ru
Казанский государственный архитектурно-строительный университет
Адрес организации: 420043, Россия, г. Казань, ул. Зеленая, д. 1
Математическое моделирование гидродинамики и теплообмена закрученных течений в пружинно-витых каналах
Аннотация
Работа посвящена математическому моделированию турбулентного течения ньютоновской жидкости в пружинно-витых каналах. В основе модели лежат уравнения Навье-Стокса, осредненные по Рейнольдсу, энергии и уравнения теплопроводности стенок канала. Для замыкания системы уравнений выбрана двухпараметрическая к — w модель.
Система уравнений, путем ряда подстановок, преобразована в безразмерный вид, что облегчает процесс численной реализации.
Ключевые слова: моделирование, турбулентное движение, пружинно-витой канал.
Темпы развития современной промышленности диктуют необходимость дальнейшего совершенствования теплообменного оборудования, создание принципиально новых теплообменных аппаратов, сочетающих в себе высокие единичные мощности при малых габаритах. В связи с этим одним из перспективных направлений исследований является разработка теплообменного оборудования с теплообменными элементами в виде пружинно-витых каналов.
Пружинно-витые каналы представляют собой тугую пружину, витки которой жестко скреплены [1-3].
Данная статья посвящена математическому моделированию гидродинамических и тепловых процессов в пружинно-витых каналах.
Для описания турбулентного течения вязкой несжимаемой жидкости в пружинновитом канале вводится система координат хх Х3, начало которой находится на входе в канал, ось x3 направляется вдоль оси канала.
Запишем уравнения движения, неразрывности и энергии для описания процессов гидродинамики и теплообмена в рассматриваемом канале [7]:
(1)
(2)
(3)
Применяя осреднение по Рейнольдсу, запишем уравнения (1)-(3) в виде:
(4)
dxj
(5)
_ ЭГ Э
у,-----------= а------
Эх, Эх,
{ — \ —-Тл'
Эх, 3
(6)
Здесь у, - компоненты осредненного вектора скорости у; х,, х, - координаты (,, , = 1,2,3); р - плотность, р - давление, а - коэффициент температуропроводности.
Для замыкания системы уравнений (4)-(6) применим двухпараметрическую к — ю модель турбулентности.
В этом случае уравнения переноса турбулентной кинетической энергии к и удельной скорости диссипации ю [8] запишутся в виде:
Эу, Э
ру, -Э^ = — рР кю +
И 3 Эх, 4 Эх, Эх,
(7)
_ Эк ю Эу, п 2 Э
ру,-----= а—т„—- — ррю +
Эх, к 3 Эх, Эх,
, ч Эю (+°а<)
(8)
ю
(9)
% =— р Уу , = р^г
{ -ч— Л
Эу, Эу,
—- +—-Эх, Эх,
V У
-3р%,
(10)
где модельные константы имеют значения [9]:
* 9 3 5 * 9 1
р = —;р = —; а = -; р = —; о- = -
10^ 40 9 100 2
В целях уменьшения числа неизвестных функций, преобразуем уравнения:
__ 2__________________________
_ Эу, 1 Эр а Э у, Э
у —L =--------------^ + ^----------+—
Эх, р Эх, р Эх,-Эх,- Эх
,
_ Эк у,—
3 Эх,
Эу, Эу,
—- +—-Эх, Эх,
\ J у
-- к 3 3
Эу,
Эх,
= 0;
/ -ч— Л
Эу, Эу,-
—- +—-Эх , Эх,
V У
— 2 к53 3 3
Эу, о*, Э
—- — р кю +-------------
Эх, Эх,
*
а о к
— +----
р ю
Эк
Эх,-
_ Эю ю
у 3-----= а—
Эх, к
{ -ч— Л
Эу Эу,
—- +—-Эх , Эх,
V ' /
Эу, о 2 Э
—- — рю +--------------
Эх, Эх,
*
а о к
— +----
р ю
Эю
Эх,
Произведем суммирование уравнений по трем координатам, тогда уравнения движения запишутся в виде:
_ Эу1 _ Эу1 _ Эу1 1 Эр а
п1—1+п 2—1+п 3—1 =-------------^ + Г-
Эх1 Эх2 Эх3 р Эх1 р
Э 2п1 + ЭАп1 + ЭАп1
Л-г
Л-г
Эх1
Эх2
Эх2
2 Эк ----------+
“ 3 Эх1
+
2 д\ +Э>1 + Эу2 + Эу1 + Э^ у3
^2-
12-
12—
12гт
Эх2 Эх| Эх1Эх2 Эх3 Эх1Эх3
+
Эу1 + Эу2 Эх2 Эх1
Эх2
к
ю
+
Эу1 + Эу3 Эх3 Эх1
Эх3
к
ю
(11)
_ Эу2 _ Эу2 _ Эу2
V,------2 + У2-------2 + Уу
Эх
Эх2
Эх
1 эр + т
3
" 2 э 2у2 + э 2^2 + э VI + э 2У2 + э2уз
Р Эх2
^2-
э 2У 2 + э 2У 2 + Э2 V 2
Эх1
Эх22
Эхз2
2 Эк -----------+
“ 3 Эх2
эх2
Эх,2 ЭХ1ЭХ2
Эхз2
ЭХ2ЭХ3
Эуо Эу, э ( к
0 |^Х 1 ^ ь 1 ^ Эх, 1а)
"Эу2 +Эуз Л э " кЛ
Эхз Эх2 V ^ У Эхз V а 0
_ Эуз _ Эуз _ Эуз
V,------ +У 2------- +У 3-
Эх,
к
а
Эх2
Эх
1 Эр. + т
3
^ ^2- ^2- -12- -ч2- -12- Л
_ Э Уз Э Уз Э у, Э Уз Э у о
2--------+------------------------------------3 +-^ +-------------------3 + 2
Р Эхо
^2-
Э 2п3 + Э 2п з + Э2у з
12-
Эх
V
2-
эх2
Эхз2
2 Эк ----------+
“ 3 Эхз
Эхз2
Эх,2
'3 + Эу2 Эх2 Эхз
Эх2
Эх,Эхз
к
1ОЛ3 / Л
ЭХ22
ЭхоЭхз
^Эу
Эх, Эхз
Эх,
к + а
V
а
V У
(12)
(13)
Уравнение неразрывности:
Эу1 Эу2 Эуз _
—1 + —2 + —3 = 0 Эх, Эхо Эхз
(14)
Уравнение переноса для турбулентной кинетической энергии:
_ Эк _ Эк _ Эк 2
у1^- + у2^“ + у3^ = ~т к Эх, Эхо ЭХ3 3
"эу
1 Эу2
1 +—2 +
Эуз 4
Эх, Эх2 Эхз
к
+2—
а
^ Эу, л2
Эх,
V у
"ЭУо Л2
2
"ЭУ3 л2 Эхз
V /
к
+ 2— а
1
"Эу, л2 Эх,
V у
^Эу2 л2 Эх2 2
к
+—
а
Эх
Эу, Эуо + 2 Эу, Эуз + Эу, ЭУо + Эуо ЭУ3 + ЭУо Эу$
Эхо Эх, Эхз Эх, Эхо Эх, Эхз Эхо Эхз Эхо
\2
/ЭУз л2 Эхз
V 3У
Эх2
V ^ У
-Ь ка +
/ 7 \
т к
— + — Р а
/дУ2 Л2 Эх,
2
Эу2
Эхз
/Эу1 л2
Эхз
V V
"эуз л2
Эх,
V 1 У
"эуз42 Эх?
V ^ У
Э2к Л
Эх, Эх?
Эхз
го к го " к 4 Эк Э " к4 + Эк Э " к Л
Эх, Эх, а V / + Эх2 Эх2 а V / Эхз Эхз а \ /
(15)
Уравнение переноса для удельной скорости диссипации энергии а :
\
+
_ Эа _ Эа _ Эа „2 2,
у1 Э— + у2 Ч— + у3 = ~Ра - 3к
Эх, Эх? Эхз 3
"эу
1 Эу2
1 +—2 +
Эу л
Эх, Эхо
3 Эх3
+а
Эу, Эуо + 2 Эу, Эуз + Эу, Эуо + ^ Эуз Эуо + Эу, Эуз +
Эхо Эх, Эхз Эх, Эхо Эх, Эхо Эхз Эхз Эх,
+ 2а
+
+
"Эуз"2
Эх
+
"ЭУз л2
Эхо
V ^ У
Эу, л2
Эх
+
"Эуо"2
Э а + Э а + Э а
а 01 Эх,2 Эхо2 Эхз2
+
Эа Э " к л Эа э
Эх, Эх, V а0 + Эх2 Эх2
Эх2 к
+
Эуз ^ Эх3
+
а
+
Эхз Эх3
а
(16)
Для однозначной разрешимости системы уравнений (10)-(15) запишем граничные условия:
во входном сечении канала:
для давления: р = р0 ; для скорости: VI = 0 , V) = 0, у3 = и0; для температуры жидкости - ^ ; для температуры стенки - 1С ;
для кинетической энергии турбулентности и ее удельной скорости диссипации энергии к = *0, о = ®0;
в выходном сечении канала:
ЭУ]
Эу2
Эу3
ЭТ
Эр
Эк
«мягкие» граничные условия —1 = о, —2 = 0, —3 = 0, ------------= 0, —— = 0,-----= 0,
Эхз Эх3 Эхз Эхз Эхз Эхз
Эю = 0, что означает выравнивание гидродинамических характеристик потока на выходе;
Эхз
на границе жидкости и твердой стенки:
для скорости - условия прилипания у = 0, У? = 0, У3 = 0;
Ї = ^ , 1 Э7 —г = 1с Эс •—
с Эп с Эп
, где п - вектор нормали, (С - температура
стенки канала; Х, - соответственно теплопроводность жидкости и стенки;
для кинетической энергии турбулентности к = 0 , о = 0;
на границе внешней стенки и теплоносителя: 1
Эп
температура теплоносителя, а^ - коэффициент теплоотдачи теплоносителя.
х1 х2 Х3
Далее произведем замену переменных, где х = —, у = ^-, г = —, кроме того,
а а а
введем безразмерные функции вида:
Жх,у,г), ^(х,у,г), ^(х,у,г), К(х,у,г), П(х,у,г), Т(х,у,г), Т(х,у,г) и
критерии подобия Яе = И{0^Уё®
. и0
число Рейнольдса, ¥т =------ - число Фруда, где й
параметр винтовой линии.
Решение системы уравнений (11)-(16) будем искать в виде:
V] = и0^1(х, у, г), П2 = и0^(х, у, г), п 3 = и0^(х,у, 2), р - Р0 = и0РР(х,у, 2),
к = и?К (х, у, г), а = —П(х, у, г), и0
Т = ^Г)( х, у, г), Тп = ґСГя (х, у, г).
(17)
Используя подстановки (17) в уравнениях (11)-( 16), получим: уравнения движения:
^ М. + р3 М = -1 Эр+
Эх Эу Эг р Эх а Яе
Э2Я Э2Я Э2Я 1 + —^ ^
Эх2 Эу2
Эг
2 ЭК +
3 Эх
+¥г
К |2 +Э2?2 + Э^ , Э2*3
Эх2 Эу2 ЭхЭу Эг2 ЭхЭг
+
Э5_+Э^2 Эу Эх
эу
К
+
+(Э5_+Э^з I Эг Эх
Эг
ҐК?
(18)
Эх
+¥г
КЛ
а
Эх
^2,
р Эу а Яе
Э2¥2 Э2¥2 э2¥2
Л
Эх1
+
Эу у
+
Эг
_ 2 3 Эу
. Э 2 ¥2 Э 2 ¥2 Э 2 ¥т Э 2 ¥2 Э 2 ¥3
Эу2 Эх2 ЭхЭу Эг2 ЭуЭг
Э¥2 + Э¥- | Э Эх Эу 1Эх
/ + ё V
Э^2 + Э^з Эх Эу
К
Эх Э^з
а
V У
¥1 ^ + ¥2 ^ + ¥3 ^ = _—— +
Эх Эу Эг р Эх а Яе
*уёа
Э2¥3 Э2¥3 Э2¥3
+
+
Эх2 Эу
Эх 2
К
а
V у
2 ЭК +
3 Эх
+¥г
К
а
\ у
' Э 2 ¥3 Э 2 ¥3 Э 2 ¥х Э 2 ¥3 Э 2 ¥2
2—г3 + —^ - + —е3 + -
ё V
Эх 2
Эх2 ЭхЭх Эу2 ЭуЭг
_1_ (Э¥3 +Э¥- > Э ( К К
т Эх Эх Эх а
У Ч У Ч У
' Э¥3 Э¥2 л
+ -Эу Эх
эу
а
V у
(19)
(20)
неразрывности:
Э¥ Э¥2 Э¥3
—1 + —2 + —3 = 0; Эх Эу Эх
(21)
энергии:
¥ ЭТ ¥ ЭТ ¥ ЭТ 1
¥1 — + ¥2 — + ¥3 — =---------------------
Эх Эу Эх ОРе,
Э2Т Э2Т Э2Т Эх2 + Эу2 + Эх2
(22)
теплопроводности для стенок канала:
Э2ТЙ Э2ТЙ Э2ТЙ
Эх2 Эу2 Эх2
турбулентной кинетической энергии:
= 0;
¥ дк + ¥ дк + ¥ дк = 2 К
¥-----------г г о----------г .¥--------=---------К
1 Эх 2 Эу 3 Эх 3
/'Эу1 Эу2 Эу3 л
—1 + —2 + —3
Эх- Эх2 Эх3
¥ К
_ ¥г—
а
Э¥- Э¥2 + 2 Э¥- Э¥3 + Э¥- Э¥2 + Э¥2 Э¥3 + Э¥2 Э¥?
Эу Эх Эг Эх Эу Эх Эг Эу Эг Эу
+2 ¥гК
а
(Э- л2
чЭх у
2
Э¥2
х~Эу ,
Ч У
(ЭТ3 л2
Эг
V у
+¥гК
а
\2
Э¥1
Эу
ч у
ЭТ2
Эх
2
(ЭТ2 л2
. Эг
V у
(ЭТ-42
. Эг
V у
(Э^ л2
Эх
ч у
2
Э¥3 Эу
Ч У
_2+
¥г
К ЛТэ 2 К Э 2 К Э 2 КЛ
+----I----------1--------1-------
а Яе а л Эх2 Эу2 Эх 2
¥г
"ЭК Э (К 4 ЭК Э (К4 ЭК Э ' К Л"
Эх Эх а V / + Эу Эу а V / + Эх Эх а V /А
(23)
(24)
удельной скорости диссипации турбулентной энергии:
F ЭО F ЭО F ЭО b 2 K
Fl — +12 — + F3 — = —----------------------K
Эх Эу Эг Fr З
Э11 Э12 Э1з
—1 + —2 + —3 Эх1 Эх2 Эхз
+a Fr
Э11 Э1о , Э1] Э13 Э11 Э1о , Э13 Э1о Э11 Э13
—1—2 + 2—1—3 +-----------l—2 + 2—3—2 +------1—3 +
Эу Эх Эz Эх Эу Эх Эу Эz Эz Эх
+2a Fr
Э11
Эх
2
эу
2
Э1з
Эz
2
+ aFr
^ эц vaz,
2
^Э19
2
Эz
+|№ І Эх
2
"Э13 f
эУ
+
K ч Э2О Э2О Э2О Л
^+Fr— к „. „
a Re О Д Эх2 Эу2
+
+
+ Fr
ЭО Э IK л
Эх Эх
О
+
ЭО Э IK л
Эу Эу
О
ЭО Э IK л
+-------------
Эz Эz
О
(25)
Граничные условия
на входе: ^ = 0, ^ = 0, ^ = 1, Т = 1, Тс = 1, К = К0, ^ = П0;
Э^ 0 Э^2 0 ЭЯ, 0 ЭТ 0 эк 0 эо 0
на выходе: —к = 0, —— = 0, —- = 0, — = 0, -----------= 0, ----= 0;
Эх Эх Эх Эх Эх Эх
на границе жидкости и твердой стенки: /^ = 0, Я? = 0, ^3 = 0, Т = Тс, К = 0,
Эп 1 Эп ’
на границе внешней стенки и теплоносителя:
ЭТ
Эп
= Bi(Т0 -Тс).
Разработана математическая модель гидродинамических и теплообменных процессов закрученных турбулентных течений несжимаемой жидкости в пружинновитых каналах. Численная реализация предложенной модели позволит определить поле скоростей, давления и температур в проточной части пружинно-витых каналах и уточнить методику инженерных расчетов теплообменных аппаратов.
Список литературы
1. Патент РФ № 62694 на полезную модель.Теплообменный элемент / Золотоносов А.Я., Золотоносов Я.Д., Конахина И.А. № 2006143517/23, заявл. 07.19.06; Бюл. 12. - C. 7.
2. Патент РФ № 64750 на полезную модель.Теплообменный элемент / Золотоносов Я.Д, Осыка И.Н., Никулин В.А., Фомин Н.А. № 2011112666/06, заявл. 01.04.11; Бюл. - С. 11-28.
3. Патент РФ № 11382 на полезную модель.Теплообменный элемент / Золотоносов Я. Д., Мустакимова С.А., Осыка И.Н., Никулин В.А. № 2011127714/06, заявл. 06.07.11; Бюл. 6. - С. 5.
4. Багоутдинова А.Г., Золотоносов Я.Д., Мустакимова С.А. Геометрическое моделирование сложных поверхностей пружинно-витых каналов теплообменных устройств//Известия КГАСУ, 2011, № 4 (18). - C. 185-193.
5. Багоутдинова А.Г., Золотоносов Я.Д., Мустакимова С.А. Моделирование турбулентных течений в прямых пружинно-витых каналах // Известия КГАСУ, 2011, № 1 (19). - C. 81-88.
6. Багоутдинова А.Г., Золотоносов Я.Д., Мустакимова С.А. Математическое моделирование гидродинамики и теплообмена при турбулентном течении в пружинно-витых каналах // Проблемы энергосбережения и экологии в промышленном и жилищно-коммунальном комплексах. Сб. тр. - Пенза, 2012. - С. 21-25.
7. Лойцянский Л.И. Механика жидкости и газа. Изд. 6-е. - М.: Наука, 1987.
8. Q. Xiao, M. Tsai, F. Liu. Computation of transonic diffuser flows by a lagged k - w turbulence model // Journal of propulsion and power, vol.19, № 3, may-june 2003. - P. 473-483.
Mustakimova S.A. - the leading programmer
E-mail: [email protected]
Kazan State University of Architecture and Engineering
The organization address: 420043, Russia, Kazan, Zelenaya st., 1
Mathematical modeling of hydrodynamics and heat transfer of swirling currents in the spring-twisted channels
Resume
This article focuses on the mathematical modeling of turbulent flow of Newtonian fluid in a spring-twisted channels. The model equations are the Navier-Stokes equations, Reynolds averaged, energy and the heat conduction equation of the channel walls. To close the system of equations is chosen two-parameter model that allows to get an idea of the twist of the flow in the channels.
The system of equations by a series of substitutions, transformed into a dimensionless form, which facilitates the numerical implementation.
Numerical implementation of the developed mathematical model of hydrodynamic and heat transfer processes of turbulent swirling flow of an incompressible fluid in a spring-twisted channels will determine the velocity field, pressure and temperature in the flow of spring-twisted channels and to clarify the methods of engineering calculations of heat exchangers.
Keywords: mathematical modeling, turbulent movement, spring-twisted-channel.
References
1. Zolotonosov A.J., Zolotonosov Ja.D., Konahina I.A. Teploobmennyj an element: the patent 62694 Russian Federation. № 2006143517/23; it is published 10.07.07. The bulletin № 12. - P. 7.
2. Zolotonosov Ja.D., Osyka, I.N. Nikutin V.A., Fomin N.A. Teploobmennyj an element: the patent 64750 Russian Federation. № 2011112666/06; it is published 10.07.07. The bulletin № 28. - P. 11.
3. Zolotonosov Ja.D., Mustakimova S.A., Osyka I.N., Nikutin V.A. Teploobmennyj an element: the patent 11382 Russian Federation. № 2011127714/06; it is published 06.07.11. The bulletin № 6. - 5 p.
4. Bagoutdinova A.G., Zolotonosov Ya.D., Mustakimova S.A. Geometrical modelling of difficult surfaces of spring-twisted channels of heat-exchange devices // News of the KSUAE, 2011, № 4 (18). - P. 185-193.
5. Bagoutdinova A.G, Zolotonosov J.D., Mustakimova S.A Simulation of a turbulent flow in a direct spring-twisted channels Modelling of turbulent flow in straight line spring-twisted channels// News of the KSUAE. № 1 (19). - Kazan, 2012. - P. 81-88.
6. Bagoutdinova A.G., Zolotonosov Ya.D., Mustakimova S.A. Mathematical modeling of hydrodynamics and heat transfer in a turbulent flow in a spring-twisted channels // Problems of energy saving and ecology in industrial and housing-and-municipal complexes. - Penza, 2012. -P. 21-25.
7. Loicanskii L.I. Fluid mechanic. Izd. 6^, - М.: Nauka, 1987.
8. Q. Xiao, M. Tsai, F. Liu. Computation of transonic diffuser flows by a lagged k - w turbulence model // Journal of propulsion and power, vol. 19, № 3, may-june 2003. - P. 473-483.
