Математическое моделирование движения зерна проса в сушильном аппарате со взвешенно-закрученным слоем Текст научной статьи по специальности «Физика»

ПРОДОВОЛЬСТВЕННОЕ МАШИНОСТРОЕНИЕ

УДК 51-74:664.723

Профессор С.Т. Антипов, доцент A.B. Журавлев, аспирант Д.А. Нестеров,

(Воронеж, гос. ун-т инж. технол.) кафедра машин и аппаратов

пищевых производств, тел. 8 (908) 130-80-68

Е -mail: nestor 13_lord@mail. ru

директор B.B. Посмерьев

(ООО «Доступная робототехника», г. Воронеж)

тел. 8 (910) 345-90-75

E-mail: [email protected]

Professor S.T. Antipov, Associate Professor A.V. Zhuravlev, Graduate D.A. Nesterov,

(Voronezh State University of Engineering Technologies) chair of cars and devices of food productions, tel. 8 (908) 130-80-68 E-mail: [email protected] Director V.V. Posmetyev

(«Available robotics», Voronezh) tel. 8 (910) 345-90-75 E-mail: [email protected]

Математическое моделирование движения зерна проса в сушильном аппарате со взвешенно-закрученным слоем

Mathematical motion simulation of millet grains in the drying device with weighed-twisted layer

Реферат. В основу создания новых конструкций сушильных установок закладывается математическое описание исследуемого процесса с учетом способа загрузки и перемещения продукта в аппарате, способа подвода теплоносителя или иного вида энергоподвода, теоретическая производительность, а также конструктивная (геометрическая) составляющая аппарата. Для моделирования процесса был рассмотрен цилиндроконический сушильный аппарат с активным гидродинамическим режимом и СВЧ-энергоподводом, одной из особенностей которого является загрузка продукта в потоке тангенциального теплоносителя. Объектом исследования было выбрано зерно проса по причине высокой биологической ценности и высокого распространения в южных регионах Российской Федерации. На основе проведенного теоретического анализа было принято решение о разделении математической модели на две условные составляющие: изучение тепло- и массообмена и аэродинамической составляющей процесса сушки. Была

(Q Антипов С.Т., Журавлев A.B., Нестеров Д.А., Посмерьев В.В.,2015

подробно раскрыта именно вторая составляющая процесса. Базисом данной модели послужили уравнения движения зерен проса на основе второго закона Ньютона. Теплоноситель в рамках предлагаемой модели считается сплошной средой, сильно сжимаемой и обладающей внутренней вязкостью, описываемой уравнением Навье-Стокса. Начальными условиями данной математической модели послужили следующие допущения: скорости механического движения элементов равны нулю, начальная плотность воздушной среды во всех узлах равна равновесной плотности воздуха, начальная скорость движения воздушной среды во всех узлах равна нулю. Граничные условия можно охарактеризовать как постоянство влажности и температуры теплоносителя, а его перемещение напрямую ограничено конструкцией сушильной камеры. Данная модель будет полезна специалистам, занимающимся проблемами расчетов и проектирования сушильного оборудования.

Summary. The basis for the creation of new designs dryers laid the mathematical description of the test process, taking into account the method of loading and handling of the product in the machine, how to supply coolant or other type of energy supply, the theoretical performance, and structural (geometric) component of the apparatus. To simulate the process of our work was considered of cylindrical dryers with active hydrodynamic regime and microwave energy supply, one feature of which is the loading of the product in a stream tangential coolant flow. The object of the study was chosen millet grain, because of the high biological value and high prevalence in the southern regions of the Russian Federation. On the basis of theoretical analysis, it was decided to divide the mathematical model into two conditional components: the study of heat and mass transfer study of aerodynamic component of the drying process. In this paper, we have been disclosed in detail is the second part of the process. The basis of this model were the equations of motion of millet grains by Newton's second law. The coolant in the framework of the proposed model is considered to be a continuous medium, highly compressible and has an internal viscosity, described by the Navier-Stokes equations. The initial conditions of the mathematical model were the following assumptions: the speed of the mechanical motion elements are equal to zero, the initial density of the air environment in all nodes is the equilibrium density of the air, the initial velocity of the air quality in all nodes is zero. The boundary conditions can be described as the constancy of the flow temperature and humidity, and its displacement is directly design constraints of the drying chamber. This model will be useful for professionals engaged in the problems of calculation and design of drying equipment.

Ключевые слова: просо, зерно, сушка, аппарат, математическая модель, аэродинамический режим, тепло- и массообмен.

Key words: millet, grain dryers, machine, mathematical model, aerodynamic mode, heat and mass transfer.

Изучение аэродинамики движения, тепло- и массообмена частиц при сушке зерновых культур является важной составляющей при определении как режимов процесса, так и непосредственно геометрии сушильных аппаратов. В качестве объекта исследования было выбрано зерно проса вследствие широкого распространения данной культуры на территории стран Евразийского экономического союза. Данная культура обладает высокими биологическими и химическими свойствами, но имеет низкую стойкость при хранении, чем обусловливаются повышенные требования при технологической переработке. Вследствие этого нами был предложен ряд сушильных установок с активным гидродинамическим режимом и закрученными потоками теплоносителя с применением различных способов энергоподвода к продукту [1, 2]. Для определения оптимальной конструкции установок необходимо

производить инженерные расчеты, которые не могут быть адекватно рассмотрены без составления математических моделей.

Процесс СВЧ-сушки зерна проса во взвешенно-закрученном слое является чрезвычайно сложным с точки зрения физико-математического описания. В основу модели данного процесса закладываются две составляющие: движение двух различных сред (газообразная среда - теплоноситель и сыпучая среда - зерно проса), взаимодействующих друг с другом и с рабочими поверхностями сушильной камеры, и тепло- и массообменные процессы в зернах проса. Нами подробно рассмотрена первая составляющая данной проблемы.

Во многих известных моделях аналогичных процессов сушки используют существенные упрощения (сферическая или цилиндрическая симметрия, сведение к процессам только в одном плоде) [3-7]. Однако опираясь на возможности современной вычислительной техники, можно создать комплексную высокоадеватную модель процесса.

В настоящей работе поставлена задача определения основных уравнений, начальных и граничных условий математической модели процесса движения зерна проса во взвешенно-закрученном слое, обладающей высокой детализацией и высокой адекватностью, базирующейся на общепринятых методах моделирования и физико-математического описания, но использующей в полной мере вычислительные возможности современных компьютеров.

Для начала моделирования определяем количество одновременно находящихся в сушильной камере зерен проса - порядка 104. Для моделирования механического поведения системы зерен проса как сыпучей среды используется метод динамики частиц. Метод заключается в решении уравнений движения множества отдельных сферически-симметричных частиц (зерен проса), которые испытывают силовое воздействие со стороны соседних частиц, потока теплоносителя, стенок сушильной камеры (рис. 1).

Уравнения движения зерен проса составляют на основе второго закона Ньютона:

Рис. 1. Силы, действующие на зерно проса в сушильной камере

d2x

т„

L = km(vrm(x,>y,>z,)-vr,)+

,d ч (х. - х „) , , d ч d

о

+

АЛ

\

О, г, >£/..;

^ГГ = km [Vym , ) ■" V v, ) +

2

<L 2

2

+

Or > —

Г,~п ~ 2 '

N.

+ Z

./=1

(v,.-v )

6« - rv) ——— + (r„ - dc )(v„ - Vv;), rv < dc;

¿/2z

от

0- r,

L=km(v-Ax,>y,>z)-v J+

,d ч (z -z „) , , d ч d

cn~ri-n) ——^

+

./=1

0. r^rf-

- w.

(1)

где i - номер зерна; ШсИ dc - масса и диаметр i-го зерна; хи yi, Zi - декартовы координаты зерна; t - время; кТ - коэффициент линейного вязкого трения при движении зерен в потоке теплоносителя; vxm, vym, vzm - компоненты вектора скорости тел-поносителя в месте нахождения i-го зерна; с и к.„ - коэффициенты жесткости и вязкости взаимодействия зерен с поверхностью сушильной камеры; Nc - количество зерен; j- номер зерна, возможно контактирующего с г-м зерном; си кв - коэффициенты жесткости и вязкости взаимодействия зерен между собой; г,_п - расстояние от центра i-го зерна до поверхности сушильной камеры; уш, z,-n - декартовы координаты точки касания зерна поверхности сушильной камеры; ц - расстояние между центрами зерен i и j; vxl, v!lh vyj - декартовы составляющие скорости i-го зерна; g - ускорение свободного падения.

Расстояние г,, между центрами семян рассчитывали на каждом шаге интегрирования через координаты центров по теореме Пифагора:

Уравнения (1) представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка и решаются в процессе моделирования численным методом Рунге-Кутта второго порядка:

г

\

хГ = х: + VI ■ м + а\ ■ (АО2 /2; уТ = у], + а\ • Л/;

уГ* = у: + VI ■ А/ + а\ ■ (А,)2 / 2; г^1 = < + • А Г; (2)

= г; + V;, • А/ + а;,. • (А/)2 / 2; V-1 = у\ + а), • А/, где г - номер семени проса; г и г+1 - индексы текущего и следующего временного шага; At - шаг интегрирования по времени; (х,, у,, г,), (гл,, у,,,, у21) и (а.,, а,,,, а2,)- положение, скорость, ускорение семени.

Теплоноситель в рамках предлагаемой модели считается сплошной средой, сильно сжимаемой и обладающей внутренней вязкостью. В этом случае базовыми уравнениями, описывающими механическое поведение среды, являются уравнения Навье-Стокса, которые в трехмерном случае можно записать следующим образом:

= -V,

<к

а я

ч— Р

— а- V

ду ду ду

-2--V ----V -:

& - *

ду

- + -

- + -

дх' дхду дхдг

а я

ч— Р

ду_ &

Л ч—

Р

с5У¥ ¿V

Л

ду

(д2у 8\ д'у

дг + ц

ду

1 &

а др . _1.р---— +

р дх

дх2 ду

д2у д2у +—т-+- '

дг-

V , • « др

Р Ф

- + -

дхду дуг ду_

- + -

= -V

дудг ду_ ду

—'--V ---V

52,, „2.. А

+ ц

ду. дг

Г д\.

"дх2

- + -

8\, д2у - + -

ду'

дг~

' д2у 8\. д2у

дхдг

г

- + -

дудг

- +

др

дг2 /

¿V

а др ч- ^---— +

р дг

д2у д'У д2у

дх'

- + ■

| суу ^ дх ду дг

ду2 др

ч-

др

- V ,.--Уу —— V.

дх л ду

дг2 др

дг

(3)

где ух, иу, иУ, - компоненты вектора скорости среды в выбранной точке; t- время; К, К,, К; - компоненты вектора массовой плотности объемных сил, действующих на сплошную среду (сила в расчете на единицу массы); а - коэффициент пропорциональности плотности теплоносителя и давления (в приближении линейной их связи); р - плотность теплоносителя в выбранной точке; А - коэффициент сжимаемости среды; ¡г - коэффициент внутреннего трения.

Уравнения Навье-Стокса для сложных случаев не имеют аналитического решения, поэтому сразу будем ориентироваться на численное их решение с использованием метода дискретизации пространства и конечно-разностных схем [6]. Задачу будем решать в трехмерном пространстве Для численного решения уравнений Навье-Стокса область моделирования, охватывающую сушильную камеру, дискре-тизируем кубической сеткой. Область моделирования содержит 20 х 20 х 20 ячеек с размером ячейки й (рис. 2).

Г

т.

I Н

ш

щ

XXV

1 А А ,1 I 1. /. /. /

1111111

♦ 'I ч ч \

1! тжг> уш

т

777

гг

ЬШ

А' О

б

А

Рис. 2. Поля скоростей движения теплоносителя в сушильной камере в вертикальном, осевом срезе (а) и в поперечном срезе на середине высоты камеры (б). Черными точками представлена внутренне область сушильной камеры, серыми точками - область вне сушильной камеры

г

о

а

< М, к* 1

л7-1. к-1

Рис. 3. Индексация узлов, окружающих базовый узел (г, ], к), используемых для численного определения первых и вторых производных при сеточном решении уравнений Навъе-Стокса

В процессе численного решения уравнений Навье-Стокса на квадратной сетке необходимо для каждого узла (г, к) вычислять первые и вторые частные производные по каждой из координат х, у, г. Для расчета производных необходимо использовать значения функций гл(г, /с), к), у2(г, /с) и р(г, /с) в шестнадцати узлах, окружающих узел (г, /с) (рис. 3).

Не расписывая всю систему (1) в конечно-разностной форме, покажем на отдельных примерах, как вычисляются первые и вторые производные:

Ф Рг+' -Р1

д1 ~ А?

>

Ф „ Р,+1„,д- II- • ;

6Л"2

ск V

2 <Л

д _ Л'.х,1+1,/-1,к Л'.х,1-1,/+1,к + Л'.х,1-1,/-1,к

дхду 4ё2

где знак я означает замену производной в уравнениях Навье-Стокса численной оценкой производной; г и г+1 - текущий и последующий шаги интегрирования по времени; At - величина шага интегрирования по времени; й - размер ячейки сетки дискретизации пространства.

Для определения начальных условий принимаем следующие допущения. В начальный момент времени семена проса располагаются в нижней части сушильной камеры на удерживающей сетке (г0, = 0). Координаты лР, и гу°, задаются случайным образом (с помощью генератора случайных чисел) в пределах круговой области удерживающей сетки. Начальные скорости механического движения элементов равны нулю:

V0 = V0 = V0 = О

хг уг гг

Начальная плотность воздушной среды во всех узлах равна равновесной плотности воздуха:

о

Рил = Ро _

Начальная скорость движения воздушной среды во всех узлах равна нулю:

у° -у° -V0. , = 0

х,г,],к у,г,],к к,

Граничные условия:

- механическое движение семян проса ограничено рабочими поверхностями сушильной камеры. Если в процессе движения семена внедряются в рабочую поверхность, в модели возникает возвращающая сила, пропорциональная величине внедрения, и под ее действием семена возвращаются внутрь сушильной камеры;

- при решении задач тепло- и влагопереноса граничными условиями считаются условия взаимодействия семян и окружающего их теплоносителя. В модели считается, что теплоноситель имеет постоянные в пространстве и во времени значения температуры 7т и влажности Щ ;

- для уравнений движения сплошной среды граничные условия задаются в узлах, расположенных на границе сушильной камеры и теплоносителя. Для определения этих узлов среди 20x20x20 узлов модельного пространства используются следующие неравенства:

V

xlj,k + Уш -

( - ^ А' (А'- А'Г ;

<d, при zj]k <zx\

+ vr., -Rn

У

<d, при zx <z, k <z2;

; при zi]k >z2,

где Xijk, yij,k, Zijk - координаты узла пространства (i, j, /с); Ri и R? - радиусы горловины и основной части сушильной камеры; zi - высота перехода конической части сушильной камеры в цилиндрическую; za - высота сушильной камеры; d - размер ячейки пространства. В граничных узлах плотность среды считается равновесной ßi,j,k= Po, а скорость среды равна проекции на касательную плоскость к рабочей поверхности в данном граничном узле усредненного вектора скорости в соседних узлах (из внутренней области сушильной камеры).

В модели принимаем следующие допущения:

- в пределах одного семени проса вещество считается сплошной средой;

- семена проса движутся по законам классической динамики, механически взаимодействуя между собой и с рабочими поверхностями сушильной камеры;

- механическое взаимодействие между семенами проса и с поверхностями сушильной камеры носит линейный вязкоупругий характер;

- тепло- и влагоперенос между семенами проса и теплоносителем описывается соответствующими уравнениями в общепринятой форме;

- температура и влажность теплоносителя постоянны в пространстве и во времени;

- теплоноситель является сплошной средой и подчиняется уравнениям Навье-Стокса;

- выполняется линейная связь между плотностью и давлением теплоносителя в локальном объеме.

Предлагаемая математическая модель при помощи уравнений (1)-(3) позволяет производить расчеты аэродинамической составляющей процесса сушки зерна проса в аппаратах со взвешенно-закрученным слоем.

ЛИТЕРАТУРА

1. Антипов, С.Т. Комбинированные аппараты с закрученным потоком теплоносителя для сушки дисперсных материалов [Текст] / С.Т. Антипов, A.B. Журавлев, Д.А. Казарцев, A.B. Бородкина, Д.А. Нестеров // Технологии пищевой и перерабатывающей промышленности АПК - продукты здорового питания.- 2014.- № 2. - С. 52-59.

2. Марухин, A.C. Анализ физико-химических параметров проса [Текст] / A.C. Марухин, A.B. Журавлев, Д.А. Нестеров // Сборник статей Международной

научно-практической конференции «Инновационное развитие современной науки».- 2014. - С. 105-107.

3. Миронов, М.А. Математическое моделирование процесса сушки движущегося слоя зерна в режиме инвертирования [Текст]: дис. ... канд. тех. наук / Миронов М.А. - Краснодар, 2010. - С. 164.

4. Афанасьев, A.M. Математическое моделирование процессов тепло- и массо-переноса при сушке электромагнитным излучением [Текст]: дис. ... док. тех. наук /Афанасьев A.M.- Волгоград, 2010. - С. 300.

5. Остриков, А.Н. Математическое моделирование процесса сушки пищевого растительного сырья перегретым паром [Текст] / А.Н. Остриков, С.А. Шевцов / / Известия высших учебных заведений. Пищевая технология.- 2013.- № 1 (331).

- С. 83-87.

6. Васенин, И.М. Математическое моделирование сушки угольных частиц в потоке газа [Текст] / И.М. Васенин, А.Ю. Крайнов, А.Б. Исайченков // Компьютерные исследования и моделирование.- 2012.- Т. 4.- № 2. - С. 357-367.

7. Северинов, О.В. Моделирование управления активным вентилированием зерна [Текст] / О.В. Северинов, А.С. Галов, А.Н. Васильев // Инновации в сельском хозяйстве.- 2014.- № 2 (7). - С. 59-64.

REFERENCE

1. Antipov, S.T. Combined devices with twisted coolant flow drying dispersed materials [Text] / S.T. Antipov, A.V. Zhuravlev, D.A. Kazartsev, A.V. Borodkina, D.A. Nesterov // Technology of food processing industry AIC - healthy food.- 2014.-№ 2. - P. 52-59.

2. Marukhin, A.S. An analysis of physical-chemical parameters of millet [Text] / A.S. Marukhin, A.V. Zhuravlev, D.A. Nesterov // Collection of articles of the International scientific and practical conference «Innovative development of modern science», 2014. - P. 105-107.

3. Mironov, M.A. Mathematical modeling of drying grain moving bed mode inversion [Text]: dis. cand. those. Science / Mironov M.A.- Krasnodar, 2010. - P. 164.

4. Afanasiev, A.M. Mathematical modeling of heat and mass transfer in drying electromagnetic radiation [Text]: dis. Doc. those. Science / Afanasiev A.M.- Volgograd, 2010. - P. 300.

5. Ostrikov, A.N. Mathematical modeling of drying edible feedstock with superheated steam [Text] / A.N. Ostrikov, S.A. Shevtsov // News of higher educational institutions. Food technology.- 2013.- № 1 (331). - P. 83-87.

6. Vasenin, I.M. Mathematical modeling of drying coal particles in the gas stream [Text] / I.M. Vasenin, A.Y. Kraynov, A.B. Isaychenko // Computer Research and Modeling.- 2012.- T. 4,- № 2. - P. 357-367.

7. Severin, O.V. Management Simulation active ventilation of grain [Text] / O.V. Severin, A.S. Halovit, A.N. Vasiliev // Innovations in agriculture.- 2014.- № 2 (7).

- P. 59-64.