Решение линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами и сложными функциями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дифференциальные уравнения

УДК 517.925 Ю.В. Малышев

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ И СЛОЖНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

В данной работе символический метод распространяется на уравнения с переменными коэффициентами и сложными функциями в правых частях. Полученные формулы позволяют расширить классы уравнений, интегрируемых в квадратурах, и упростить отыскание частных интегралов.

Решение линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами

Рассмотрим уравнение

Ьф) у = / (и (Г)), (1)

п №к

где Ь(Б) °У ак ^)Бп-к - линейный оператор; Бк = -—- оператор к - кратного дифферен-

к=0 )

цирования. Все рассматриваемые функции предполагаются непрерывными или дифференцируемыми в некоторой области изменения независимой переменной (.

Имеют место формулы

Ґ duл

и =-----

dt

(2)

Dk (euv) = eu (D + a)kv, Dk (e~uv)= e~u (D — a)

обобщающие при u = at, a = const известные формулы [l — 3]:

Dk (eatv) = eat (D + a)k v, Dk (e"atv) = (D — a)kv .

Предположим, что оператор L(D) допускает факторизацию: L(D) = П( + t&k). Применим

к=1

U1 ^Ui U2

формулы (2) к уравнению Ь(Б) = / : е иОещ и2 • Оеи"у = /, откуда делением на еи с

последующим интегрированием получим общее решение уравнения (1) [4]:

у = е~и" {еип~и"-1 [[еип-1-ип-2 • ([еи1 fdt + С ^ + С2 • № + Сп}. (3)

Если же решается нулевая задача Коши

П( + Uk )y = f; Dky\t=s = 0, к = 0, n -1,

к=1

то решение получается в виде [4]

t

y = JF(t -1) f (u(t))dt, (4)

0

где

t t t

F(t -t) = Jdtn-1 J• dt2 Jeun(t)-un(tn-l)eun-1 (tn-i)—un-i(tn-2). eui(1 y-ui(t)dt1; (5)

T tn-1 t2

F(t) - функция Коши [5]..

Оператор L(D) = D2 + ajD + a2.

Рассмотрим уравнение второго порядка (d2 + alD + a2 )y = f. Интерес представляют следующие случаи факторизации оператора L(D):

1) D(D - u ) ° D2 - uD - u,

f 7 2 ^

d u

ft =

v

dt

2

у

2) (D - it )D ° D2 - uD;

3) (D - it )2 ° D2 - 2uD - ft + it2;

4) (D - it )(D -1?)° D2 - (г? + v)D -v + гл?;

5) (D - u)(D + и)° D2 + и - u2;

6) (D + u )(D - и)° D2 - и - u2;

7) (D + iu )(D - iu) ° D2 + u2 - iu;

8)

D - iu - u (D - iu ) D2 - u D + u2.

u I u

\ /

где i - мнимая единица. В частности,

(6)

9)

d+-^~ Id —-

л

t + a

t + a

D----1—Yd + —

D 2;

10) “ ' ' ' ' (t + af '

11) (D - atgat){D + atgatf °{D + actgat){D - actgatf ° D 2 + a 2 ,a = const.

Для каждого из этих случаев соответствующие дифференциальные уравнения интегриру-

ются в квадратурах. Пример 1,

21

D2 - tgtD-2-

cos t

= 0 или D(D - tgt )j = 0.

1

Положим u = tgt,u = -lncos t,e“ =-, e u = cos t. По формуле (3) получим общее реше-

cos t

ние: y

_C2 - C1 sin t cos t

y = 0.

Пример 2. (t2D2 - tD + l)y = 0 или D^D -1 Отсюда e“De~uy = C1, e~“y = C1J e~udt + C2, y = C1eu Je~“dt + C2 eu, y = t(C1 ln t + C2) - общее

решение

Частные решения линейных неоднородных уравнений

В символическом ( и операционном ) исчислении частное решение уравнения L(D) y = f ищется в виде

y=mr <7)

Рассмотрим некоторые случаи задания функции f (eu ,sin u,cos u, u = u(t) - произвольная функция).

а) Решим уравнение (D - u)2 y = eu. По формулам (2) с последующим интегрированием

имеем: euD e uy = eu; D e uy = 1; e uy = — + C1t + C2; y =

------+ C- t + C 2

2 1 2

- общее реше-

— t

ние; у = — ви — частное решение. Отсюда для нахождения частного решения получаем формулу

1 1 t

------гг- = eu—1 = eu — .

(D - г? )2 D2 2

Частным случаем формулы (8) при u = at (a = const) является известная формула (3):

2

2

u

1 -еа = — еа‘.

(2 2

(8')

б) (п — V)у = еи (и — V) ( и(1;); у(1;) - произвольные функции). Тогда еупе уу = еи (п — V);

пе уу = еи у (и — V); е уу = еи у + С ; у = еи + С1еу — общее решение; у = Отсюда

1

Б — V

е .

е - частное решение.

(9)

При и = Ы, V = получаем известную формулу [з]:

1

-еы = - е

пЬ ^

п — а Ь — а в) (п — и)(п — V)у = еи (и — т),еиПеу~иПе~уу = еи (и — г);

Пеу—иПе~уу = и — V, е^Пе^у = и — V + С, Пе^у = еи—у (я — V) + С1еи—у;

е~уу = еи~у + С11еп~уА + С2,у = еи + С1е |еп~уА + С2еу —общее решение; у = еи —частное решение. Отсюда

1

(П — V Хп — а)

'(( —V ) =

е .

(10)

г) (П— п )(П—V )у = еу (у —и),

■у—иПе-уу = еу (у —и ),1 = t + С11 еп—уЛ + С 2;

еиПеу—иПе-уу = еу (у — я ), Пеу—иПе~уу = еу—п (у — и ),еу—иПе~уу = еу—п + С1 ,Пе-уу = 1 + С1е“—у;

у = teу + С1еу |еи уЛ + С2еу — общее решение; у = teу — частное решение. Отсюда

1

Естественные обобщения:

(П — у)(П — и 1

(П—V)" (П — п) 1

-еу (у — и) = teу.

(11)

и ( у—и )) tИ .

ее =— е га!

( — уг )• (П—V! )(п — и)

/ / \

( ( <\

VI — я / уг —у„ 11 1

е 1 • Iе' '—1■

1 0

V У

= te

1

[П—у2 )(П—V,)

' [и+и2 — ( + у2 ) + у1у2 — у2 ] = еп.

При у1 = а^, у2 = а2t, и = Ы имеем

1

-е = -

( — а2 )(п —а1) (ь—а2)(— а1 Г

что совпадает с известной формулой [з]. д) (п2 + и2 — /п)у = еш (¡и).

Ищем решение в виде у = ешу :

еш [(п + ¡и)2 + и2 — тУшу = еш (¡и), (п + 2ли)пе-шу = ¡и, е~2шПе2шПе-шу = ¡и; Пе2шпе~шу = ¡ие2ш, е2шпе~шу = 2е2ш + С15 пе~шу = 1 + С1е~2ш,

е_ “у = 2 t + С11 е “2шЛ + С2,

у = 1 teгп + С1е1п | е ~ЪпЛ + С2еш — общее решение. Отсюда

/

1 iu ( ■ - \ t iu

------------Г7-------------ze (iU ) = — e .

(D - iu )(D + iu) 2

Здесь использована факторизация 6) из формулы (6). Вещественная и мнимая части соответственно дадут при и=а^

1 t

—2-----------------sin at =— cos at, —2-----2

D2 + a2 2 D2 + a2

1t

cos at = — sin at, 2

(12')

что совпадает с известными формулами [і — 3].

е) Найдем частное решение уравнения

(d2 + и2 — iff)y = 3e2ш (— 3а2 + iff),elu ( + 2iu)De~iuy = e~lu (e3iu) ,

e ~2iu De2iu De ~iu y = e ~2iu (e3iu) , De2iu De ~iu y = (e3iu) , e 2iuDe ~iu y = (e3,u) , De ~,u y = 3(eiu), e ~,u y = 3eiu, y = 3e2,u.

Отсюда y = —-—^--------------[3e2iu (— 3u2 + iu)] = 3e2iu. Здесь в операторе — „ „

D2 + u2 — iff D2 + a2 — iff

D2 на (— 4u2 + 2iu), так как D2 e2ш = e2ш (— 4u2 + 2iu), что соответствует известному правилу

для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами [3].

ж) (uD2 — uD + u3 )y = 0. (13)

Покажем, что данное уравнение имеет своими частными решениями sin u и cos u . Ищем

решение в виде y = sinu • v ° eUv ; eU = sinu ; U = Insinu ; U = ctgu • u ; e~U = —1

1

заменяется

ги [u( + ctgu • u)2 - w(p + ctgu • u) + u3 ]—1— j = 0,

sin u

u

D + 2ctgu • u-----

u

\2

sin u

1

D-------------у = 0.

sin u

■ 2 • 2

T& u T, ? sm u и sin u u

Обозначим иj = 2ctgu • u----; Uj = 2Insinu _lnu = ln------; e 1 =-----; e 1 =-------;

u u u sin u

e~UiDeUlD—y = 0; eUlD — y =Cj; D — y = Cj -u— ; — y = _CjCtgu + C2; sinu sinu sinu sin2 u sinu

y = _C1 cos u + C2 sin u _ общее решение уравнения (13), а sin u и cos u - частные решения.

з) Найдем частное решение уравнения

(uD2 _ uD + u3 )y = _3sin 2u • u3.

Делая замены, как в случае ж), получим

-UT^U^ 1 „ 3 u ^ sin2 u ^ 1 _ . 2

sinue 1 De 1D---------------------------------------------y = _3sin2u • u ; - — D-D-y = _3 • 2cosu • u ;

sinu sin u u sinu

D

sin2 u

D —1— у = -2 (sin3 u)

u sinu частное решение. Отсюда

sin2 u 1-3 1 - -

----------D----------у = -2 sin u ; D------------у = 2 cos u ; у = sin 2u -

u sin u sin u

iD2 - uD + u3

(- 3sin 2u • u3 )= sin 2u .

(14)

В последней формуле D2 заменяется на (- 4u2 + uD), так как (sin2u) =(- 4u2 + uD )sin2u.

и)

ґD2 -uD + u2 Л

iu _ 2

у = e • u .

Воспользуемся факторизацией 7) формулы (6).

D2 -uD + u2 =

u

D + iu — ID - iu I. u )

V

iu

Обозначим U2 = iu - u; U2 = iu - ln u ; eU2 = -—; e U2 = ue iu. Тогда u u

2iu

2iu

e-U2DeU2eiuDe-шу = eiuu2; ue'iuD—De-iuу = eiuu2; D — D^^ = Л ;

uu

1

е 2и е 2и и и С

Г^“2И,, \ Г' . I Г' . Л-Ш ,, 1 л-2/и I Г* .

-------Ве У = ^~ + С1; Ве У = —+ С1е и ; е У = —- — е + С2;

И 2/ 2/ 2/ 2/

и • • • — и •

у = — еш-1 е~’и + С2е/и - общее решение; у = — е/и - частное решение уравнения (15).

2/ 2/ 2/

Отсюда следует формула

1 /и т2 и /и /1

е и = — е . (16)

В2 - и + и2 2/

и

В частности, если и = а, то

----1----е/а = — еш . (17)

В2 + а2 2/а

Вещественные и мнимые части снова дают формулы (12').

Пример 3 (см [5] ). (D2 + i)y = 1 .

2 + 1/y = .

sin t

По формуле (10) из (6) данное уравнение можно представить в виде

1 2 1 1

-------D sin tD--------y =---------,

sin t sin t sin t

. 2 ^ 1 ^ ^1 t C1 1 г tdt

откуда sin tD----------------y = t + Q ; D---------------y =------— +-------—; ------y =1------------— - Cxctgt + C2;

sint sint sin2 t sin2 t sint sin2 t

1 y = -tctgt + Insint - C1ctgt + C 2; y = -t cos t + sin t • lnsin t - C1 cos t + C 2 sin t - общее реше-

sint

ние; y = -t cos t + sin t • ln sin t - частное решение.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. АйнсЕ.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков: Науч. техн. изд-во Украины, 1939. 719с.

2. Сансоне Д.Ж. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Т. 1. Т. 2. М.: ИЛ, 1953. 222 с.

3. ПиаджиоГ. Интегрирование дифференциальных уравнений. М.-Л.: ГТТИ, 1993. 347 с.

4. Малышев Ю.В. Линейные дифференциальные уравнения // Изв. РАЕН: Вып. 2. 1999. С. 59-66.

5. ФилипповА.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1961. 100с.