Дифференциальные уравнения (операторный метод) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Дифференциальные уравнения

УДК 517.925

Ю. В. Малышев

ДИФФЕРЕН11ИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД)

На основе символического метода Хевисайда разработан операторный метод решения линейных дифференциальных уравнений обыкновенных и в частных производных. В основу метода положены свойства экспоненты и факторизация.

Целью работы является разработка операторного метода решения линейных дифференциальных уравнений на основе символического метода Хевисайда [1—3].

1. Для любых дифференцируемых функций и (х), V(х) справедливы свойства:

ТЕОРЕМА 1. Если оператор L (D) допускает факторизацию L(D) ° П (D + uj), то урав-

Здесь первое слагаемое — частное решение неоднородного уравнения, остальные — линейно-независимые частные решения соответствующего однородного уравнения.

Теорема доказана.

ПРИМЕР 1.1. Линейное уравнение первого порядка

1) D (euv) = eu (D + u) v, D2 (euv) = eu (D + u )2 v, •

(11)

где D = — — оператор дифференцирования' u = — •

(D + u )2 = (D + и )(D + u)

= D2 + 2uD + u2 + и, ..., (D + и )n = (D + u)\ ( D+J?), eu = exp и .

n раз

2) Из (1.1) следует:

(D + и )nv = e~uDn (euv), (D - и)nv = euDn (e~uv)

(1.2)

Рассмотрим уравнение

у(п)+ a1 (x) у(n 1) + • + an (x )у = f (x)

(1.З)

или L (D) y = f , где L (D) = Dn + a1Dn 1 + • + an — линейный дифференциальный оператор.

(Cj = const, D 1 — оператор интегрирования).

(D + p (x))y = q (x).

Используем свойство (1.2): e~uDeuy = q . Отсюда y = e~uD~1euq + Ce~u — общее решение (C = const, u = Jpdx).

ПРИМЕР 1.2. Уравнение Бернулли

(D + p) у = qуm .

Аналогично примеру 1.1: e uDeuq = qym . Отсюда (Due ym = e(1 m)q и, после интегрирования,

y1-m =(1 - m )e_(1-m)uD _1e(1-m)uq + Ce_(1-m)u — общее решение (C = const, u = J pdx).

Пример 1.3. Уравнение Эйлера

(x2D2 + a1xD + a2)y = f (x), (a1, a2 = const).

Перейдем от дифференцирования по x к дифференцированию по ln x по формулам xD = = Dln x, x2D2 = D^x - Dlnx. Уравнение примет вид

—dx x

(Dtax +(a1 - 1)Dlnx + a2)y = f .

Если уравнение факторизовано

(Dln x + “1)(Dln x + “2 ) y = f ( “1, “2 = const), то, поступая как в примерах 1.1 и 1.2, найдем решение в квадратурах

e~aj ln x

Dln xe

(al a2)lnx jD ea?lnx _

Dln xe

ylnxe ^lnxe y f ,

y = x-“2 D _1x “2 _ai-1D_1x “1-1 f + C1x _“2 D_1x“2-“1-1 + C2 x _“2 —

общее решение (C1, C2 = const, D-^ = x-1D_1).

2. Для линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

L(D)y = f , L(D) = Dn + a1Dn-1 + • + an , aj = const (j = 1,2,...,n), нахождение частного решения y в ряде случаев может быть упрощено. Решение y ищется в виде

- 1

у =

L (D)

f.

(2.1)

Рассмотрим некоторые частные случаи функции / .

1) / (х) = хт , т — целое число.

Ь (Б) можно представить в виде Ь (Б) = — (1 + к (Б))Бк, где к (Б) — некоторая функция

А

1 2 -

от D, A = const. Используя разложение ------------= 1 - h + h - • , получим у =

1 + h

(1 + h )Dk

-x =

= B (l - h + h2 -• )x' Например, 1

m+k

B =

(m +1) (m + k)

/

D + a 2) f (x ) = e<“.

-x2 =-

2

. D D

1------+ ~

a a

V J

x2 =-

2 2 2

x------x + —

v a a2,

у = _L_ e«- =

L (D)

L (a)’

если

(2.2)

xe

L'(a)

если L (a) = 0, L'(a) Ф- 0.

Формулы (2.2) проверяются применением оператора Ь (Б) к обеим частям равенства. На-

пример

1

L (D-a) В частности,

ax ax

e = e

L (D)

1.

(D -a)

1 xk

e^x = e«x 1 1 = e^x Л

~e ~ e 17' 1 _ e ' “ГГ .

Dk

kI

(2.З)

Если L (D )°(D -a)k F(D), F(a)^ 0,

то

eax =--------------k--------eax =----------------------r-1 = ——---------------------------------. (2.4)

L(D) (d-a)kF(D) F(a)Dk F(a) k!

3) f (x ) = cos bx или f ( x ) = sin bx .

Выделим в L(D) четные степени D. Пусть L(D) = ф(D2,D), тогда

11 1 A

-cos bx = ——-—г-cos bx = ——-—г-cos bx =-cosbx =

L (D) ф(2, D) f(--2,d) D + m

A (D - m) A (b sin bx + m cos bx)

-Л------T“Sbx = „; , 2 <2 5)

D - m b + m

(A, m = const, z'b^ m , i — мнимая единица). Аналогично

1 • » 1 • n A . b A (D - m) . b

sin bx = ——2—т-sin bx =--sin bx = —2----^sm |x =

L (D) f(2,d) D + m D2 - m2

A (-b cos bx + m sin bx)

b2 + m2

4) f (x) = e“cosbx или f (x) = e^sinbx .

1 ax о ax 1 о ax 1 о ax 1 о

e cos bx = e — ------ cos bx = e ---- —2-т-cos bx = e -- --2---rcosbx =

(2.6)

L (D) L (D + a) f(2,d) f(--2,d)

ax A n ax A (D - m) ax b sin bx + m cos bx „ „

= eax--------cos bx = ea / cos bx = Ae --------tL----—, m Ф ib . (2.7)

D + m D2 - m b2 + m2

Аналогично

-^e"Srn|k = Aeax -bcosbx + °;sinbx . (2.8)

L (D) b2 + m2

Пусть, например, L (D ) = ( D2 + aD + b )f(D ), 5 = a + ib — корень уравнения

D2 + aD + b = 0 , Ф (s) Ф 0. Тогда

1 1 eax

1 eSx =___________1_______eO^eiPx =_______e________e7bx =

L (D) f(d )(2 + aD + b) F(a)( 2 +b2)

= e____ebx = e x^ =- ixe (29)

F(a)(D-ib)(D + ib) 2ibF(a) 2bF(a) '

Вещественная и мнимая части дадут

1 ax о xeax sin bx 1 ax . „ xeax cos |x

ea cos bx =-------eax sin bx =-----------------------------------------—. (2.10)

L(D) 2bF(a) ’ L(D) 2bF(a)

В частности

21 2 eb =--^-b- , (2.11)

D2 +b2 2b

1 „ x sin bx 1 п x cos bx

—2----2cos bx =-—, —22 sin bx =--------------------— . (2.12)

D2 +b2 2b D2 +b2 2b V ^

ПРИМЕР 2.1. Найти частное решение уравнения

(D2 +1) y = 24x cos x .

— 24 1 * * 1 o-x

y = —,—2 x cos x. Найдем сначала —22 eax = e“^—2--------------------x =-—2 (1 + iD )x =

y m2^n2 m2^n2 п2т2^л,л_л\ аг>2 \ /

D2(D2+4D-4) 4 D

e / \ e* i x~ x~ 1

= -4D2(x + i) = - “^ I "6" + i'y). Учитывая вещественную часть, получим

у = 24

^ 3 2 ^

X X .

-----cos X I-----sin X

24 8

V /

= - x3 cos X 13x2 sin X .

ПРИМЕР 2.2. Найти общее решение уравнения

(X2 + 6Б +13) у = е_3х соз8х .

ние неоднородного уравнения: у = б2 61б 1з е 3х со88х = е 3х

Решаем характеристическое уравнение Б + 6Б +13 = 0, его корни Б12 =-3 ± 2/. Общее

решение однородного уравнения будет у0 = е_3х (С1со82х + С28т2х). Найдем частное реше-

------т—---------0088х = е~3х-^ X

(Б-3)2 +6(Б-3)+13 Б +4

Xсо88х = - ^0 е~Ъх С088х . Общее решение неоднородного уравнения будет у = у0 + у.

3. Операторный подход, развитый в пунктах 1, 2, может быть распространен на уравнения в частных производных. Рассмотрим линейное уравнение с постоянными коэффициентами в частных производных

V ди тт /V ) (

Xа] З- + аои = у (х) х = (

j=1 3xj

lx1,* , X,

)

(3.1)

(a. = const, j = 1,2,...,n ).

Без ограничения общности, считая а1 = 1, запишем уравнение (3.1) в символическом виде

г п \

Dx I Уak —

Xl ^ k 3xk

k=2

I a.

U = f, (Dx- = зХ-).

Введем в рассмотрение оператор

3xk

= 11 a

З a2 З2

3xk 21 (3xk )2

(3.1)'

(3.2)

(a = const или функция от x).

з

a---

Свойства оператора e Xk :

э

a---

3xk

-) e Xkf (x) = f (X1,K , xk-1, Xk I a, XkIl,K , Xn )

(3.3)

2) e 3Xkj(x\xk) = j(x\xk).

(3.4)

Свойство (ф(х\хк) = ф(х1,* ,х£_і,хк+1,« ,хп)) проверяются применением оператора е дХк к функциям / (х) и ф(х \ Хк ).

В уравнении (3.1)' обозначим

n з n

Уak дХ~ + a0 = ^ и = J У'

3xk

-I a0

dx1.

к=2 иЛк

Тогда по свойству (1.2) получим

е~иБХ1 еии = f , Бхеии = euf .

Использование свойств (3.3) и (3.4) дает

Бх1е’ии = ^ У (■х1, х + а2х1,К , хп + апх1) .

Интегрируем обе части равенства по х1:

еЫи = у ( Х1, х2 + а2х1,к , хп + апх1) + Ф (■х \ х1) .

Отсюда

и = у (Х1, х2 + а2х1,К , хп + апх1) + е'а0х'ф (х2 - а2х1,К , хп - апх1)

(ф — произвольная функция интегрирования).

ПРИМЕР 3.1. + -|У = 0 . Найти 7 = 7(х, у). Согласно (3.1)-(3.7):

(3.5)

(3.6)

(3.7)

з

Бх + 3~

х Эу

■ = 0, е дуБхе ду7 = 0,

Э Э Э

х— х— - х—

Бхе ду 7 = 0, е ду 7 = ф(у), 7 = е Эуф(у). 7 = ф(у - х) — общее решение (ф — произвольная функция).

Пример 3.2. Эи + ^ + ^ = 0.

Эх Эу Э2

Б Э Э

Бх + — + —

Эу Э7

Э Э

х—нх—

Э Э

х—нх—

и = 0, Бхе Эу Эги = 0, е Эу Эги = ф(у, 7)

Э Э

- х-------х-

и = е Эу Эгф (у, 7) = ф (у - 7, 7 - х) — общее решение, ф — произвольная функция. ПРИМЕР 3.3. [4] Найти решение задачи Коши

Э7 Э7 2

1

у^----х— = у - х , 7(0, у) = —.

Эх Эу у

Легко видеть, что частное решение неоднородного уравнения будет 7 = ху.

Для нахождения общего решения однородного уравнения у Э: - х Э7 = 0 или

Эг Эг

2 и

/ Э \ х -2

применим описанный выше способ: (Б2 -—2) 7 = 0, 70 = е Эу ф(у2) = ф(у2 +х2) — общее

\ х эу I

решение однородного уравнения, 7 = ху + ф( у2 + х2) — общее решение неоднородного уравне-

12

ния, ф — произвольная функция. Используем начальные условия: — = ф(у ). Отсюда

7 = ху +^2--------2

^ у 2 + х2

искомое частное решение.

Пример 3.4. Э. + 7 Э: = 0 (уравнение Хопфа).

\

Б+ + 7 —

V Эх/

7 = 0 , е ЭхБ(е Эх 7 = 0, Б(е Эх 7 = 0, е Эх 7 = ф(х) , 7 = е Эх ф(х) = ф(х - 17)

общее решение, ф — произвольная функция.

4. Операторный метод применим для решения дифференциальных уравнений в частных производных высших порядков, если они допускают факторизацию на линейные множители. Рассмотрим уравнение

Ь (Б)и арБри = У (х), (4.1)

|р|=т

Э

где Бр = Бр * Бхт , |р| = р1 + • + рт, Б х. = 3—, р — порядок оператора Ь (Б), коэффици

}

енты ар — постоянные или функции х = (х^* , хп).

Предположим, что уравнение (4.1) допускает факторизацию

/ \

Ь(Б)и = £а}Б} £ арБри = У (4.2)

1=0 \р\<т-1

3 V1 1 )

(Б0 =1 ).

Обозначим £ арБри = V, тогда получим уравнение первого порядка относительно V :

|р| <т-1

£ а/Б^=у.

1=0

Без ограничения общности можно считать ап = 1 ,

Э

Э

Э

n -1

Обозначим У a.Dj = un . Используя свойства (1.2), перепишем уравнение (4.2) в виде

j=o

eUnv = DnleUnf Ij(x \ Xn).

Отсюда, v = e~UnD-leUn f Ie~Un j(x\ xn) (j — произвольная функция) или

У apDpU = fi,

(4.3)

|p| <m-1

где обозначено f1 = e UnDn leUn f I e Un j(x \ xn). Получили уравнение (m -1) -го порядка.

Итак, доказано утверждение.

ТЕОРЕМА 2. Если уравнение (4.1) допускает факторизацию (4.2), то его порядок может быть понижен на единицу.

СЛЕДСТВИЕ. Если уравнение (4.1) допускает факторизацию на линейные множители вида

Доказательство получается повторением рассуждений теоремы 2. Проиллюстрируем теорему 2 на конкретных примерах.

= j(ln y ) , e ln D yU = ln x -j(ln y ) + y(ln y ), U = ln x • еЫх0]-пу j(ln y )+ еЫх0]-пу y(ln y )= ln x X хФ( xy ) + Y( xy) — общее решение (j, y, Ф, Y — произвольные функции).

Пример 4.2. [5] Uxx - cos2 x • Uyy - 2sin x • Uxy - cos x • Uy = 0.

[ Dx-(1 + sin x) Dy Dx +(1 - sin x) Dy Ju = 0. Обозначим (1 + sin x) Dy = a, (1 - sin x) Dy = = (5. Отсюда a = (x - cos x) Dy, b = (x + cos x) Dy . Используем свойство (3.2):

(ф, у, Ф — произвольные функции).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. ПиаджиоГ. Интегрирование дифференциальных уравнений. — М.-Л.: ГТТИ, 1933. — 324 с.

2. Курант Р. Уравнения с частными производными. — М.: Мир, 1964. — 582 с.

3. Малышев Ю. В. Обобщение метода Хевисайда // Известия РАЕН. Дифференц. уравнения, 2005. — № 9. —

4. Самойленко А. М., Кривошея С. А., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения, примеры и задачи. — М.: Высшая школа, 1989. — 284 с.

5. Смирнов М. М. Задачи по уравнениям математической физики. — М.: ГИТТЛ, 1954. — 189 с.

n

У a.Dj, то оно интегрируется в квадратурах.

j=o

e^U = Dx-1 j( 12 x) ) = Ф(у 12 x) ),

U = e bD>' Ф(у 12x )i e bD>' у(у) = Ф (у I x - cos x ^уу - x - cos x)

С. 59-61.

Поступила ІЗ. 0І.2006