Альтернативный метод отыскания частного решения неоднородных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами Текст научной статьи по специальности «Математика»

В ПОМОЩЬ ПРЕПОДАВАТЕЛЯМ ВЫСШЕЙ ШКОЛЫ

УДК 517.9

АЛЬТЕРНАТИВНЫЙ МЕТОД ОТЫСКАНИЯ ЧАСТНОГО РЕШЕНИЯ НЕОДНОРОДНЫХ ОБЫКНОВЕННЫХ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

© 2005 г. В.Г. Цирулик, Д.В. Цирулик

There proposed a new method of finding of partial solutions of inhomogeneous ordinary differential equations with constant coefficients and with right-hand member of special form. The problem is reduced to determination of solution of triangular system of linear algebraic equations with regard to unknown function and its derivative.

Многие практически важные задачи приводят к необходимости интегрирования обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами (ОЛДУ) с правой частью специального вида. Известны следующие методы интегрирования таких уравнений, восходящие к работам Л. Эйлера, Ж. Лагранжа и О. Коши: метод неопределенных коэффициентов и метод вариации произвольных постоянных [1-10], метод функции отклика [7, 9], операционный метод [5]. В прикладных дисциплинах применяется еще метод комплексных амплитуд [3] и операторный [10]. Характерной особенностью всех этих методов является резкое увеличение объема вычислений в резонансном случае и с ростом степени многочленов в правой части уравнения.

Предлагаемый нами простой метод отыскания частных решений свободен от указанного недостатка, поскольку его применение сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений с треугольной матрицей относительно искомого решения и его производных. Отметим, что применение предлагаемого метода не только существенно упрощает процесс отыскания частных решений, но и позволяет значительно сэкономить аудиторное время, отводимое на изучение соответствующего раздела высшей математики.

n

Обозначим через Ln = £ ai (x)Si обыкновенный линейный дифферен-

i=0

циальный оператор с переменными коэффициентами, где n - порядок

оператора; S = d - оператор дифференцирования по переменной x.

dx

В основе предлагаемого метода лежит следующее утверждение [11]. Теорема 1. Пусть правая часть уравнения

Ln (У) = f ( x ) (1)

представлена в виде /(х) = 2 сгиг (х), где не все числа сг = 0, а функции

1=1

иг (х), (г = 1, г), образуют фундаментальную систему решений ОЛДУ Хг (у) = 0. Тогда, если оператор ХгЬп допускает факторизацию

ХгЬп = Мп+Г-ЧУЧ , (2)

в которой операторы Ьп и Уд (0 < д) взаимно просты справа, то при д = г частное решение уравнения (1) является линейной комбинацией ФСР уравнения Уд(у) = 0. Если же д < г, то возможно, что частное решение имеет указанный вид.

В общем случае получение факторизации (2) является сложной задачей. Применим теорему 1 в том случае, когда правая часть уравнения (1) является многочленом степени д, а коэффициенты оператора

п 1

Ьп = 2 а& - постоянные. Тогда можно положить Хд+1 = 5д+ и тождест-

1=0

во (2) превратится в условие коммутирования операторов.

Аналогичные следующему утверждению теоремы имеются в [1-9], но доказательство их проводится методом неопределенных коэффициентов. Дадим доказательство, приводящее к иному методу отыскания частного решения.

Теорема 2. Дифференциальное уравнение

Ъ (У) =2.агу(г) = (х),

1=0

где аг е С, г = 0, п, а0 Ф 0 и ап Ф 0, а Sq(x) - многочлен степени д, вообще говоря, с комплексными коэффициентами, имеет частным решением многочлен ид(х) степени д, удовлетворяющий треугольной системе уравнений

(^(у))« = (Sд(х))х?, г = 0^, (3)

рассматриваемой как алгебраическая относительно переменных

У, у', у",..., У(д).

Доказательство. Проведем доказательство индукцией по степени многочлена Sq(x). При д = 0 утверждение очевидно. При д = 1 искомое частное решение можно определить из алгебраической относительно переменных у, у' системы: а1 у' + а0у = S1(х), а0у' = (51(х))х.

Допустим, что утверждение справедливо при д = к, т.е. система

Ъ(ух}) = ((х))% г = 0к, (4)

как алгебраическая относительно переменных у, у', у",..., у(к^ определяет многочлен у = ук(х) степени к и его производные до к порядка включительно.

Положим д = к + 1 и рассмотрим уравнение

Ln(y) = Sm(x)- (5)

Продифференцировав его, получим

Ln(y') = (SM(x))'x. (6)

Согласно предположению индукции, (6) имеет частным решением

многочлен y' = y£(x) степени £, удовлетворяющий вместе со своими произ-

, „ , (к+1) (к) водными системе (5), причем y = ук, y" = y£,..., y = ук .

Положим y = —(S£+1( x) - a1 y'-... - any(n)) и заменим в этом выражено

('') ('-1) ■ 1--Л/Г

нии производную y на yk , i = 1, n. Многочлен y =

= —(Sk+1 (x) - a1 yk -... - any£n-^) степени к + 1 удовлетворяет уравнению

ао

(5) по построению, причем многочлен y' = — ((S£+1(x))'-

ао

- a1yk...-any<¡n^) совпадает с многочленом y£, удовлетворяющим вместе со своими производными алгебраической системе (6). Таким образом,

многочлен у£+1 = —( S£+1(x) - a1yk -... - any<£n^1^) удовлетворяет алгеб-

ao

раической системе (Ln (y))' = ( S£+1 (x))^, i = 0, к +1.

Замечание. Теорема 2 дает следующий способ отыскания полиномиального частного решения в рассматриваемом случае: дифференцируя исходное уравнение с учетом тождества y() = 0, j > q, составим и решим систему линейных уравнений (3) как алгебраическую относительно переменных y, y', y", ..., y(q). Эта неоднородная система всегда является треугольной с отличными от нуля элементами на диагонали. Следствие. Уравнение с постоянными коэффициентами

Ln (y) = ÍaiyV = Ps (x),

i=r

где 0 < r < n и ar Ф 0, Ps(x) - многочлен степени s, имеет частным решением многочлен y = xr Qs (x) степени s + r, где Qs (x) - многочлен степени s.

Рассмотрим уравнение с вещественными коэффициентами и правой частью специального вида

Ln (y) = £ a-y(° = eax (Pm (x)cos bx + Qk (x) sin bx), (7)

i=0

где aiy a и b - вещественные числа; Pm(x), Q£(x) - многочлены с вещественными коэффициентами степеней m и к соответственно; an Ф 0.

Для отыскания частного решения уравнения (7) заменим его комплек-сифицированным уравнением. Введем для этого новую неизвестную ком-

плекснозначную функцию вещественного аргумента z(x) = y(x) + i v(x), где y(x), v(x) - вещественные функции вещественного аргумента, i2 = -1. Уравнение

Ln(z) = £ atz(i) = e^0x(Pm(x) - iQk(x)), (8)

i=0

где Ä0 = a + i b, называется комплексификацией уравнения (7).

Отделяя в уравнении (8) вещественную и мнимую части, легко убедиться в том, что оно равносильно двум вещественным уравнениям:

Ln (У) = £ аУ° = (Pm (x)cos bx + Qk (x) sin bx),

i=0

Ln(v) = £ a/'> = em(Pm(x)sin bx -Qk(x) cos bx).

i=0

В следующей теореме используется известное [7, с. 83] тождество

Ln (ueÄx) = elx (£1 Г(0(Л)и(0), (9)

i=o i!

где Г(Л) - характеристический многочлен оператора Ln. Приведем алгоритм предлагаемого метода в форме следующей теоремы. Теорема 3. Уравнение

Ln (У) = £ а-У(° = еж (Pm (x) cos bx + Qk (x) sin bx), (10)

i=0

где aj, a и b e R; Pm(x), Qk(x) - многочлены степени m и k, соответственно, с вещественными коэффициентами, имеет частное решение вида

y = xr exp(a x) (Re(Us (x)) cos bx - Im(Us (x)) sin bx), (11)

где r - кратность числа Ä0 как корня характеристического многочлена оператора Ln; Us(x) - многочлен степени s = max(m, k) с комплексными коэффициентами, который при r = 0 находится из системы (3), а при r > 0 совпадает с многочленом Qs (x) из следствия; Re(Us(x)), Im(Us(x)) - вещественная и мнимая части многочлена соответственно.

Доказательство. Сначала комплексифицируем уравнение, положив z(x) = y(x) + i v(x) и f(x) = e^ x (Pm(x) - iQk(x)), где X0 = a + i b. Получим

Ln(z) = e^0 x (Pm(x) - iQk(x)). Воспользовавшись тождеством (9), выполним в этом уравнении замену переменной

z = u ехр(Л0 x), (12)

~ n (■) приведя его к виду Ln (u) = £ ai (A0 )u{V = Ts (x), где коэффициенты ai(Ä0),

i=r

вообще говоря, комплексные числа, Ts(x) = Pm(x) - iQk(x).

Если в последнем уравнении r Ф 0, то сделав ещё одну замену и(г) = w,

_ n-r „ ... _

приведём его к виду Ln-r(u) = 2 b(Л0)и[г> = Ts(x), где Ь0(Л0) Ф 0.

i=0

По теореме 2 это уравнение имеет частным решением многочлен

w = Ws(x).

Интегрируя при r > 0 дифференциальное уравнение u(r) = Ws(x) при нулевых произвольных постоянных, получим и = xr Qs (x), если r = 0, то и = Ws(x). В силу подстановки (12) получим комплексное решение z = xrUs(x) ехр(Лз x). Вещественное частное решение (11) исходного уравнения находится по формуле y = -2( z + z).

Приведем пример, иллюстрирующий обсуждаемый метод. Пример. Найти частное решение уравнения y" + 2 y' + 2 y =

= e~x ((x2 +1)cos x + (x - 2) sin x).

Решение. Комплексифицировав данное уравнение, получим z" + 2z' + 2z = e~A°x ((x2 +1) - г (x - 2)), где z(x) = y(x) + г v(x), Л) = -1 + г и Щ) = 12 + 21 + 2 - характеристический многочлен. Выполнив замену переменной z = и exp(^o x), найдем и " + Гл(А0)и' + Г(Л0)и = = x2 - i x + (1 + 2i). Таким образом, сначала необходимо решить уравнение и" + 2i и' = x2 -ix + (1 + 2i). Положив в последнем уравнении и' = w, получим w' + 2i w = x2 - ix + (1 + 2i). Частное решение этого уравнения является многочленом второй степени. Поэтому, дифференцируя с учетом условия w(jj = 0 при j > 2 уравнение для w, составим систему

w' + 2iw = x2 - ix + (1 + 2i),

w" + 2iw' = 2x - i, 2iw" = 2.

-ix2 i , T-T из которой найдем w =—---j +1. Проин-

тегрировав уравнение для u при нулевых произвольных постоянных, по-

лучим u = x

2

-ix i

---+1

v 6 2 ,

V У

В данном случае многочлен

-ix2 i

U2( x) =----+1. Поэтому по формуле (11) вещественное частное ре-

6 2

шение исходного уравнения имеет вид y = x exp(- x) x

x cos x +

f í 2 \ > ' xL 1 ^ + 2.

V V J У

sin x

Нетрудно убедиться, что применение ранее упомянутых методов к

отысканию частного решения даже уравнения, рассмотренного в примере,

приводит к существенно большему объему вычислений.

Литература

1. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М., 1950.

2. Матвеев Н.С. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1963.

3. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1965.

4. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., 1976.

5. ФедорюкМ. В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., 1980.

6. Лизоркин П.И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. М., 1981.

7. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М., 1985.

8. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1991.

9. Боярчук А.К., Головач Г.П. Справочное пособие по высшей математике: Дифференциальные уравнения в примерах и задачах. Ч. 5. М., 2001.

10. Эльсгольц Л.Э. Обыкновенные дифференциальные уравнения. СПб., 2002.

11. ЦируликВ.Г. // Дифференциальные уравнения. 2003. Т. 39. № 11. С. 1571-1573.

Таганрогский радиотехнический университет 6 апреля 2005 г.