CC BY
71
УДК 519.85 : 681.324
ВX. Цирулик, АХ. Цирулик
О НЕКОТОРЫХ АЛГОРИТМАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ И ИХ ПРИМЕНЕНИИ В СИСТЕМАХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Предлагаемая статья посвящена сравнительно новой, быстро развивающейся, области информатики, ориентированной на применение ЭВМ для выполнения аналитических (нечисленных) преобразований математических выражений, которая ещё не получила устоявшегося наименования. Для её обозначения в некоторых работах применяется термин «компьютерная алгебра», в других - «анадитические преобразования», в третьих - «анадитические вычисления». Мы пользуемся термином «анадити-» ( ), , -, ,
«системы аналитических вычислений» (САВ) [1]. К числу таких систем, например, относятся MATHEMATICA, REDUCE, АНАЛИТИК и др. [2]. Нашей целью является с одной стороны обсуждение возможностей применения таких систем в научных ис, - .
Первой работой по аналитическим вычислениям считается работа [3], в которой рассмотрена возможность использования цифровой ЭВМ для формального .
публикациях, из которых укажем только на [4-5]. К настоящему времени создано и функционирует более шестидесяти САВ.
В своё время, в связи с вопросами развития пакетов прикладных программ в математической физике, А.А.Самарский сформулировал последовательность эта, -та [6]. Практика численных расчётов показала, что при решении сколько-нибудь сложных задач при наличии каких-либо особенностей, «прямой» способ решения даёт малонадёжные численные результаты и, кроме того, расчет трёхмерных моделей требует колоссальных ресурсов ЭВМ. Например, расчёт турбулентных потоков жидкостей и газов в рамках математических моделей, описываемых уравнениями Навье-Стокса, требует по оценкам некоторых учёных [7] быстродействия ЭВМ примерно в 1013 флопс и оперативной памяти в 108 слов.
, -пользования САВ на каждом из его этапов. Например, символьные вычисления дают возможность автоматизировать вывод уравнений движения, позволяют провести их линеаризацию, замкнуть систему уравнений. Теперь ряд программ, решающих подобные задачи, входит в состав комплексов численных программ и
( ).
САВ привлекают всё большее внимание как пользователей так и разработчиков интеллектуальных САПР. Поскольку традиционно под системой искусственного интеллекта подразумевается система, заменяющая естественный интел,
- ( ), -ность системы состоит в наличии собственной модели внешнего мира - модели ( ). -сторонней интерпретации запроса пользователя с целью выработки ответа, авто-
( ), , -торые в явном виде не содержатся в самой системе. Модель предметной области
часто является математической, то есть состоящей из системы математических объектов и отношений между ними.
Типичной является ситуация, когда математическое описание процессов в проектируемом объекте задаётся моделью в форме системы уравнений, в которой фигурирует вектор фазовых переменных V:
ЬУ(1) = р(2), (1)
где Ь - некоторый оператор, 1 - вектор независимых переменных, в общем случае включающий время и пространственные координаты, ср(1) - заданная
функция независимых переменных. Фазовые переменные характеризуют физическое или информационное состояние объекта, а их изменения во времени выражают переходные процессы в объекте [8].
, -сать с помощью функционально-дифференциальных, интегро-дифференциальных и конечных уравнений. Такие системы уравнений представляют собой весьма сложный для исследования математический объект, тем более, если они являются нелинейными. Зачастую, именно учет нелинейных членов в уравнениях является решающим для описания очень многих важных эффектов. Эти обстоятельства определяют необходимость предварительной проработки вариантов для оптимального выбора методов решения задачи, т.е. исследование задачи аналитическими методами с помощью САВ.
Аналитические методы условно делятся на две группы: методы из первой группы позволяют строить множества точных в известном смысле решений или понижать размерность задачи [9], методы, отнесённые ко второй группе, связаны в первую очередь с представлением решений различного типа рядами [10,11]. Ценность классов точных решений определяется многими причинами. Прежде всего, важна физическая содержательность таких решений и возможность их подробного , , , - . Если решения содержат различные особенности, то их естественно использовать в качестве тестов при исследовании точности приближенных численных методов. Имеются и другие возможности использования точных решений.
Несмотря на очевидный прогресс в области создания и применения САВ, существует несколько причин сдерживающих этот процесс. Одной из них является проблема экспоненциального роста времени решения сложных задач. Поэтому остаётся актуальной задача создания экономичных алгоритмов.
Остановимся вкратце на некоторых важных задачах, в которых возникает необходимость факторизации линейных и нелинейных дифференциальных операторов, необходимость исследования совместности переопределённых систем обыкновенных линейных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, необходимость отыскания некоторых классов решений. Решение этих задач связано, , , применяемых алгоритмов остаётся весьма проблематичной. Представляется весьма перспективным в указанных случаях применять метод дифференциального результанта, разработанный в [12]. Этот метод может быть применен к уравнениям различного типа: разностным, в частных производных и т.п.
Практически все САВ «решают» обыкновенные линейные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами. В частности, во многих пакетах САВ имеются возможности для отыскания общих решений однородных дифференциальных уравнений второго порядка с рациональными коэффициентами. Общее решение уравнения вида
y" + p(x)y + q(x) y = 0 (2)
строится методом степенных рядов, в зависимости от характера особенности в точке x = 0. Более эффективным с нашей точки зрения является метод отыскания рациональных решений обыкновенных однородных линейных дифференциальных уравнений произвольного порядка с полиномиальными коэффициентами, рассмотренный в [13].
Хорошо известно насколько важна и вместе с тем трудоёмка задача отыскания частных решений неоднородных обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами
y(n + an-j(x)y(n-j +... + a0(x) у = f(x). (3)
В [14] фактически предложен алгоритм отыскания таких решений, который весьма просто может быть реализован с помощью САВ особенно в случае постоянных или полиномиальных коэффициентов уравнения.
В настоящее время для классификации и получения широких классов точных решений дифференциальных уравнений широко применяется теоретикогрупповой подход [15]. Знание допустимых групп преобразований независимых и , -зия исходной системы, позволяет построить широкие классы точных инвариант, . весьма трудоёмкого и громоздкого анализа совместности переопределённых систем дифференциальных уравнений, возникающих при вычислении Ли-симметрий. Существуют пакеты такие, например, как REDUCE [1-2], которые выдают систему определяющих уравнений Ли-симметрий. Общее решение этой системы определяет группы симметрий исследуемых уравнений. В тоже время известно, что вычисление групп преобразований дифференциальных уравнений первого порядка является, вообще говоря, задачей не менее сложной, чем исходная. Поэтому представляет большой интерес отыскание иных методов, позволяющих установить наличие решений таких уравнений в замкнутой форме. В [16] предложено алгоритмическое решение этой задачи для широкого класса уравнений вида
y' + fr (x)yr + fr-1 (x)yr- +.... + f0(x) = 0 (r > 2) (4)
и найдены условия существования алгебраических решений. Этот результат получен методом факторизации нелинейного дифференциального уравнения и сопряжён с достаточно громоздкими аналитическими выкладками. Дальнейшее продвижение в этом направлении очевидно связано с применением САВ.
Ещё одна область исследования дифференциальных уравнений, в которой применение САВ вполне необходимо, это исследование операторных уравнений вида
XL = LY, XL = YM, f,XkLk = 0, (5)
k=J
где L, M, Lk заданные дифференциальные операторы, а X, Y, Xk - диффе-
, .
Как показано в [17] уравнения (5) связаны со всеми рассмотренными выше .
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Пакеты прикладных программ. Аналитические преобразования. - М.: Наука, 1988. - 155с.
2. Компьютерная алгебра. Символьные и алгебраические преобразования/ Под ред. Б. Бух-бергера. - М.: Мир, 1986. - 391с.
3. Kahrimanian H.G. Analytic Differential by a Digital Computer. MA Thesis, Temple Univ. Phil., PA., 1953.
4. Вычислительная математика и вычислительная техника. - Харьков: ФТИНТ АН УССР, 1972. Вып. 3. - 151с.
5. Бежанова М.В., Катков В.А., Поттосин Н.В. Работа по аналитическим преобразованиям в ВЦ СО АН СССР. - Харьков: ФТИНТ АН УССР, 1972. Вып. 3. - С.18-20.
6. Карпов В.Я., Карягин ДН., Самарский АЛ. Принципы разработки пакетов прикладных программ для задач математической физики// ЖВМ и МФ. 1978. Т. 18. Вып. 2. - С. 458-467.
7. Чепмен Д.Р. Вычислительная аэродинамика и перспективы её развития. Драйденовская лекция (обзор). - Ракетная техника и космонавтика. - 1980, т. 18, № 2, - С.3-32.
8. Норенков ИТ. Системы автоматизированного проектирования. - М.: Высш. школа, 1986.
- 127с.
9. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. - М.: ГИТТЛ, 1957. - 375с.
10. Моисеев Н. Н. Асимптотические методы нелинейной механики. - М.: Наука, 1981. - 400с.
11. Ван-Дайк М. Методы возмущений в механике жидкостей. - М.: Мир, 1967. - 310с.
12. Беркович Л.М., Цирулик ВТ. Дифференциальный результант и некоторые его применения// Дифференц. уравнения. 1986. Т. 22. № 5. - С.750-757.
13. Цирулик ВТ. Об определении размерности подпространства рациональных решений
. . 2229 - 89. -
15с.
14. Цирулик ВТ. Операторный метод отыскания частных решений обыкновенных линейных дифференциальных уравнений// Труды Российской ассоциации «Женщины математики». Математика. Экономика. Образование. Ряды Фурье и их приложения. 2002. Т. 10. Вып. 2.
- С.116-118.
15. ОвсянниковЛ.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1978.
- 399 .
16. Цирулик ВТ. Об условиях существования алгебраических решений для нелинейного дифференциального уравнения первого порядка// Дифференц. уравнения. 1993. Т. 29. № 6.
- С.976-981.
17. Цирулик ВТ. Некоторые применения факторизации дифференциальных операторов// Тезисы докладов. X Международная конференция. Математика. Экономика. Образование. II
. . - - - , 2002.
- С.86-87.
УДК 681.3.069
В.Х. Пшихопов, М.Ю. Сиротенко
СТРУКТУРНО-АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ АВТОНОМНЫМ МОБИЛЬНЫМ РОБОТОМ С НЕЙРОСЕТЕВЫМ ПЛАНИРОВЩИКОМ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ*
1. Введение. Проблемам управления автономными мобильными роботами сегодня уделяется значительное внимание в мировой литературе по робототехнике. Интересные результаты были достигнуты в работах [1-4]. Так, в работе [1] ав-
* Работа выполнена при поддержке Мин. образования, грант № 03.01.062, грант № А03-3.16-87
