Об одной системе дифференциальных уравнений и ее приложении в прикладной теории упругости Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.942: 539.3

Ю.Э. Сеницкий, А.Ю. Сеницкий

ОБ ОДНОЙ СИСТЕМЕ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИИ В ПРИКЛАДНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

Рассматривается система трех обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Существенным представляется то, что ее частные случаи совпадали с системами уравнений, которые получаются при интегрировании осесимметричных начально-краевых задач динамики оболочек в уточненной постановке методом разложения по собственным вектор-функциям. В процессе исследования использовалось преобразование зависимых переменных в сочетании с методом факторизации получающегося при этом дифференциального оператора. Подробно изучены системы уравнений, соответствующие ядровым краевым задачам непрерывно неоднородных по толщине и трехслойных сферических, а также круговых конических оболочек с конечной сдвиговой жесткостью.

Пусть задана однородная система дифференциальных уравнений

2 _________

£ а2-* (хРки (х) = 0, (1)

I(11, 12) - открытый интервал вещественной оси;

к =0

где U (х)е С/ - искомая вектор-функция; х е

dk

Dk = -

dxk

к = 0,2;

U (х) = ||Uj (х), U2 (х), U3 (х)||Т, а0 =

а11, а22, а33 ) ;

b11(х) b12 0 с11(х) 0 с13

а1 (х) = b21 b22 (х) b23 , а 2 (х) = с 21 (х ) с 22 с 23 (х)

0 b32 b33 (х) с 31 0 с 33 (х)

ац = а33 = к 2 а22, b11 (х) = b33 (х) = к 2 b22 (х), с11 (х) = с* (х)+d11, с33 (х) = с* (х)+d3 с21 (х) = d21b11 (х), с23 (х) = d23b11 (х), b21 = а^21 = const, b23 = а11d23 = const,

(2)

(3)

(4)

аи , dii, b12 , b32 , с13 , с31

,с22, к - вещественные константы; b11 (х), с* (х)е С1, Т - знак транспонирования.

Справедливо следующее утверждение.

Т е о р е м а 1. Если выполняется функциональное равенство

b1i (х) = с*1(х)> (bn(х) = Dbii) (5)

и константы bij, dij, с ■■ таковы, что

” ” У

b12 — с13 ^ 0, d23b12 —к с13 ^ 0, (d23b12 — к с13 )(d33b12 — с13Ь32 )+ b12с22с13 ^ 0, (6)

то система (1) - (4) эквивалентна разрешающему дифференциальному уравнению VI-го порядка относительно потенциала Ф(х):

III, (ф)+r20 ЬЬ(Ф)+r21 Ь(Ф)+ г22Ф = С = const, (7)

L = а11 D2 + b11 (х)D . (8)

Постоянные коэффициенты r20, r21, r22 уравнения (7) выражаются через btj, dtj, с^, к, а потенциал Ф(х)е СI связан с компонентой U1 (х) вектор-функции U (х) зависимостью:

U1 (х) = Ф '(х )= D Ф . (9)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Введем вторую потенциальную функцию V(х)е С\ по формуле

U3(х) = к~2V'(х)+Ф'(х)-U2(х) = к-2DV + DФ-DU2. (10)

В результате подстановки соотношений (9), (10) в систему уравнений (1), последняя преоб-

разуется к следующему виду:

Приводится к уравнению (7). 54

G^)+(d„ + с13)D(Ф) + к-2с13D(V) + (b12 -с13)DU2 = 0,

(d21 + d23 ЩФ) + к“2d23L(V)+ (к2 -d23 )l(U2) + с22U2 = 0, \ (11)

G(Ф) + к-2G(V)- G(U2 ) + (d33 + с13 )DФ + к-2d33DV + (b32 -d33 ))U2 = 0.

Здесь

G = a11 D3 + b11 (х)D2 + c*1 (х)D . (12)

Если потребовать выполнение условия (5), то справедливо операторное равенство

G(...) = DL (...). (13)

После интегрирования первого и третьего уравнений (11) с учетом (13) в результате имеем

такую систему уравнений:

L(ф) + (d11 + с13 )Ф + к с13 V + (b12 - с13 )U2 = С1 ,

(d 21 + d 23 )L(Ф) + к-2 d 23 L(V) + (к2 - d23 D (U2 )+ C22U2 = 0, > (14)

L(Ф) + к“2L(V)-L(U2) + (33 + с13 )Ф + к-2d33 V + (b32 -d33 )D2 = С*,

где С1 , С2 - произвольные постоянные интегрирования.

Исключая из (14) последовательно функции U2 и V, получаем следующее дифференциальное уравнение:

r19 LL^ D+(r6 r18 + r8 r16 - гю r15 )LL(ф)+(r8 r17 - r7 r18 - r10 r16 ШФ D +

+ (r9r18 - r10r17 )D = С* = const. (15)

Здесь rs - постоянные коэффициенты, причем

v — V • V v — V • V -L v • V v — V • V -I- V • V v — V • V V • V

19 S 15 1S S 14 10 12 17 S 13 9 12 16 S 11 7 12

rl5 = rl • r8 + r6 • rl2 , rl4 = k~2d33 - r3 • r5 , rl3 = C31 + d33 - r2 ' r5, rl2 = k- + r3,

-2

(16)

Г11 = 1 + Г2 - Г1 • r5, Г10 = С22 Г3, Г9 = С22 ^ Г8 = d 23 - Г3 ' ^ Г7 = d 21 + d 23 - С22 Г1 - Г2 ' ^

Г5 = Ь32 — d 33, Г4 = k — d 23, Г3 = k C13 ^ , Г2 = (11 + С13 )Г1, Г1 = (Ь12 — С13 ) •

Из (15) немедленно следует разрешающее уравнение (7), в котором

Г20 = Г1— (г6 Г18 + Г8 Г16 — Г10 Г15 ), Г21 = Г1— (Г Г17 — Г7 Г18 — Г10 Г16 I Г22 = Г1— (г9 Г18 — Г10 Г17 ) • (17)

В процессе приведения системы уравнений (14) к (15) использовались следующие выражения для функций и 2 и V :

Б2 (х) = г [с; — L (Ф)]—Г2 Ф — Гз V, (18)

У(х) = — г-1 [г15LL (Ф)+г^L (Ф) — гпФ]+с", (19)

где С - новая постоянная.

Соотношения (17) - (19) справедливы, если

г1 1 Ф 0, г18 Ф 0, г19' Ф 0. (20)

В раскрытом виде неравенства (20) и представляют условия (6).

Теорема доказана.

Т е о р е м а 2. Общее решение Ф * (х) соответствующего (7) однородного дифференциального уравнения определяется системой линейно-независимых частных решений Фт (х) порож-

дающих уравнений 11-го порядка

(£ — 1т )Фт (х)= 0, т = 13 (21)

и их модификаций, в которых параметры Я т являются корнями кубического уравнения

Я3 + г20 Я2 + г21Я + г22 = 0 (22)

т 20 т 21 т 22

Д о к а з ат е л ь с т в о. Рассмотрим соответствующее (7) однородное уравнение

£3 (ф*)+ Г20£2 (ф*)+ Г21 L(Ф*)+ Г22Ф* = 0, (23)

где введено обозначение для степеней дифференциального оператора Ь:

Г” = 11.3, £0 = 1. (23)

В результате факторизации левой части уравнения (23) имеем

m

Ь3(...)+ г20Ь2(...) + г21Ь(...) + г22(,..) = П(( -1т)(•••),• (24)

т—1

Если теперь приравнять в (24) коэффициенты при одинаковых степенях Ь, то получаем такую систему равенств:

1*1 + 12 + — Г20 , 1<112 + 1"11з + 121з — Г21 , 1*112— Г22 • (25)

В силу теоремы Виета из (25) следует, что 1т (т — 1,з) являются корнями кубического

уравнения (22).

Дифференциальное уравнение (23) с учетом (24) принимает следующий вид:

з

П( - 1т )Ф(х)— 0, (26)

т—1

откуда немедленно следуют (21) и их модификации в зависимости от вида корней (22). Действительно:

a) при 11 Ф12 Ф13 имеем непосредственно

(Ь -11 )Ф1 — 0, (Ь -12 )Ф2 — 0, (Ь -13 )Ф3 — 0; (27)

b) при 11 — 0, 12 Ф13 соответственно

ЬФ1 — 0, (Ь -12 )Ф2 — 0, (Ь -13 )Ф3 — 0; (28)

c) при 11 Ф12 —13 линейно независимые решения Фт (х) определяются из такой цепочки порождающих уравнений:

(Ь -1 )Ф1 — 0, (Ь -12 )Ф2 — 0, (Ь -13 )Ф3 — Ф2 ; (29)

d) если 11 — 12 — 13 — 1, то в этом случае

(Ь -1 )Ф1 — 0, (Ь -1 )Ф2 — Ф1, (Ь -1 )Ф3 — Ф2. (30)

На основании (28) - (30) могут быть рассмотрены и другие варианты корней 1 т и соответствующих им порождающих уравнений.

Если обозначить фундаментальную систему решений цепочек порождающих уравнений (27) - (30) соответственно:

a) /1 (1т , x), /2 (1т , х), т — 1,3; (31)

b) 91 (x), 92 (x), /1 (1 т , ХК /2 (1 т , Х), т — 2,3 (32)

С) /1 (1 т , x), /2 (1 т , x), 91 (12 , Х), 92 (12, Х), т — I2; (33)

d) /1 (1, x), /2(1,х), Ф1 (1,x), Ф2(1, x), у (1,x), У2 (1,x) , (34)

то общее решение однородного уравнения (23) может быть записано в виде:

a) Ф * (х)—£ Фт М—ХСт/(т , x)+ Вт/2 ( , х)] (35)

т—1 т—1

b) Ф * (х)—X Ф т (х)+ А^2 (х)+Х[Ст/1 (т , x)+ Бт/2 (т , x)]; (36)

т—1 т—2

c) Ф* (х) — X Фт (x) —X [Ст/1 (т , x)+ Вт/2 (т , Х)] + С391 (2 , х)+ Б3 92 ( , х) (37)

т—1 т—1

d) Ф* (х) — X Фт (х) —С/ (я, х)+Д /2 (Я, х)+С2 91 (Я, х)+Б2 (Я, х)+ С3^ 1 (Я, х)-

т=1 т=1

3

........... .................. ^ . )+

т=1

+ А у 2 (Я, х); (38)

Ст, Ет - произвольные постоянные.

Поскольку (31) - (34) представляют соответственно систему частных решений уравнений (27) - (30), то путем непосредственной их подстановки удовлетворяется (26), а, принимая во внимание (24), - и уравнение (23).

Если одновременно подставить (21) в (23), то в результате получаем кубическое уравнение (22). Теорема доказана.

Очевидно, справедливо более общее утверждение.

Т е о р е м а 3 (обобщение теоремы 2). Решение обыкновенного линейного дифференциального уравнения

£ rmLm (Ф ) = 0,

m=0

где Lm - степени оператора L, rm - постоянные коэффициенты, может быть представлено в виде суммы

Ф(х) = £ Фп (х)

m=1

частных решений 0m (х) цепочки порождающих уравнений

(L - Я m )Ф m (х )= 0

или ее модификаций (30) в зависимости от вида корней Яm соответствующего алгебраического уравнения

£ rm Яm = 0.

m=0

Доказательство теоремы аналогично приведенному выше.

Общее решение неоднородного уравнения (7) теперь записывается в виде:

3

Ф(х) = Ф* (х)+ А = £ Фт (х)+ A, (39)

m=1

где A = const, а Ф* (х) определяется равенствами (35) - (38).

Если принять во внимание порождающее уравнение (21), то используя соотношения (18), (19), (9), (10) сначала вычисляется функция V(х), а затем и искомые компоненты U2 (х),

U1 (х), U3 (х) вектор-функции U (х). Имеем

V (х ) = -r118 £ (r15 (m + r16 ^ + r17 )<&m (х)+ C ",

m =1

3

U2 (х) = £[r1-81 r3 (r15(m + r16^ + r17 )-(r1 (m + r2 )]Фm (х)+ D

m=1

U1 (х)=£ Ф«(х),

m =1

U 3 (х )= £ [(r1 Я m + r2 + !)-r1-81 r3 (r15 ^2m + r16 Яm + r17 )]фm (х ) (40)

Здесь Фm(х),Ф'т(х) - соответственно домноженная на произвольные постоянные фундаментальная система решений уравнений (27) - (30) и ее производные.

Из (31) следует, что только функция U 2 (х) определяется с точностью до несущественной константы D, появляющейся вследствие повышения порядка исходной системы уравнений (1) в процессе ее интегрирования. Таким образом, без ограничения общности ее можно принять равной нулю:

D = 0, (41)

и фактически рассматривать соответствующее (7) однородное уравнение, т.е. в выражении (30) считать

А = 0 . (42)

Наконец следует отметить, что возможность построения точного решения системы уравнений (1) - (4) сводится к интегрируемости порождающей цепочки линейных уравнений II-го порядка с переменными коэффициентами (27) - (30). Ниже рассматриваются некоторые частные случаи (1) - (4), встречающиеся в начально-краевых задачах теории оболочек.

1) После разделения переменных методом конечных интегральных преобразований (КИП) в математической модели нестационарной осесимметричной динамической задачи неоднородной или трехслойной непологой сферической оболочки формируется система уравнений (1) -(4) для определения ядровой вектор-функции (собственных форм колебаний) [1, 2], в которой соответственно

а11 = а33 = k-2а22 = 1, b11 (х) = b33 (х) = k~2Ь22 (х) = ctg х, с* (х) = — sin-2 х, d11 = 1 + X2m2 — (k2 +n), d33 = 1 + X2s2 — (k2a_2g12 +n), d21 =— b12 =—(+n + k2),

d23 = c13 = k2, b32 = -c31 = -k 2a2g12, c22 = X2 m2 - 2(1+v). (43)

Здесь v, k, g12, a, m, 5 - безразмерные константы, причем первые четыре зависят от физико-

механических и геометрических характеристик оболочек.

Замечаем, что для элементов (43) матриц (3), (4) выполняются условия (5), (6) теоремы 1 и, следовательно, система (1) эквивалентна разрешающему дифференциальному уравнению (7), причем

L = D2 + ctg D. (44)

Порождающее дифференциальное уравнение (21) в данном случае может быть представле-

но в виде

Фт (х) + ctg X Ф'т (х) + cm (cm + 1)Фт (х) = 0 (45)

где

1 m = Cm (c m + 1),

и заменой независимой переменной z = cos x приводится к уравнению Лежандра.

Общее решение (35) - (37) уравнения (7) с учетом (42) записывается следующим образом.

a) при 11 Ф12 Ф13 -

33

Ф(х) = Х фm (x)=Y)fmPCm (C0s X) + DmQCm (C0S X)] ; (46)

m=1 m=1

b) если 11 = 0, 12 Ф13 -

Ф(х ) = X Ф m (x )=£ C1 Wt+COSX + D1 +XlCmPCm (C0S X) + DmQCm (C0S X)] ; (47)

m=1 m=1 m=2

c) при 11 ф 12 = 13 -

Ф(х) = X Фm (X) = X CmPCm (C0S X) + DmQCm (C0S X)] + W] [C3PC2 (C0S t) +

m=1 m=1 0

+ D3 Qc2 (c0S t)]Qc2 ( C0S X )PC2 ( C0S t)-PCi (c0S X)QC2 (c0S t )]dt. (48)

Здесь W = (1 - X2 |pc2 (c0S x)QC2 ( C0S t)-QC2 (c0S X)p^2 (c0S t)] = const, PC (c0S X), Qc (c0S x) -

функции Лежандра степени Сm первого и второго рода.

Располагая равенствами (46) - (48), по формулам (40) могут быть определены искомые функции U1 (х), U 2 (х), U 3 (х).

2) В качестве второго примера рассматривается осесимметричная задача динамики для неоднородной конической оболочки конечной сдвиговой жесткости в предположении, что влиянием тангенциальных перемещений в выражении для поперечных сил и прогибов в формулах для нормальных усилий можно пренебречь. При решении ее методом КИП получаем систему уравнений (1) - (4) для ядра интегрального преобразования, в которой элементы матриц (4) определяются такими равенствами:

а11 = а33 = k -2 a22 = 1, b11 (х) = b33 (х) = k ~2b22 (х) = х_1, c* (х) = -х "2, d11 = с22 = X2m2, d33 = X2s2 -k2f, b12 = с31 = -d21k2(1+v) = k2(х0 tgв)-1,

d23 = k2, c31 = 0, b32 = -k2f, f = CR2D_1. (49)

Здесь k, v, f, m, s, в, х0 - постоянные величины, из которых только х0 имеет размерность.

Этот частный случай является особым, поскольку

b12 - с13 = 0. (50)

Учитывая (50), используем отличную от описанной выше при доказательстве теоремы 1 схему приведения системы (1) - (4), (49) к разрешающему дифференциальному уравнению (7). Следует при этом иметь в виду, что удовлетворяется основное условие (5) теоремы 1.

Вместо выражения (10) вводим функцию V по формуле

U3 (х) = k^V'^)-и2(х). (51)

Преобразованная с учетом (51) и (5), аналогичная (14) система уравнений с точностью до несущественных для дальнейшего решения (41), (42) констант принимает такой вид:

Ь(ф) + ё11Ф + к_2Ь12 V = 0,

ё21 Ь(ф) + Ь(у) + ё„и2 = 0, \ (52)

к~2Z(V) - ь(и2) + к~2ё33 V + (Ь32 - ё33)=2 = 0.

Здесь

Ь = Б2 + х _1 Б. (53)

Если исключить из (52) последовательно функции и2 и V, то в результате получаем подобное (15) разрешающее дифференциальное уравнение. Имеем

ЬЬЬ(Ф)+г10 ЬЬ(Ф)+ г11 Ь(Ф)+ г12Ф = 0, (54)

где

Г12 = ГТЧ ^, Г11 = Г9_1 (г4 Г7 + Г6 Г8 - Г5 ), Г10 = Г9~' (г1Г7 + Г4 Г9 - Г2 ),

Г9 = ^ Г8 = Г1Г7. Г7 = Г3-1. Г6 = к -2 ё 33. Г5 = Г2 (ё 33 - Ь32 I

г4 = к-2 + г1 (ё33 -Ь32), г3 = г1к-2Ь12, г2 = г1 ё21, г1 = ё1-11. (55)

В процессе приведения (52) к (54) использовались очевидно реализуемые условия

г1-1 = ё11 Ф 0, г3 Ф 0, г9 Ф 0. (56)

Порождающее дифференциальное уравнение (21), в данном случае (53), представляет уравнение Бесселя

СМ+ х''Ф1(х)+Vmф(х) = 0, К =-Цт, т = 1,3

а общее решение (54) для различных комбинаций корней соответствующего кубического уравнения

1/т + Г101'т + Г11^ т + Г12 = 0

записывается следующим образом:

a) если 11 Ф12 Ф Я3 (^1 Ф V2 Ф V3) -

Ф(х) = ХФт(х)=х[слШтх)+ ВД^^Л^х)] ; (57)

т=1 т=1

b) при 11 = 0, 12 Ф13 V = 0, V2 Ф V3)-

Ф(х) = Х Фт (х) = С11п х + Б1 +Х[ст70 (^1^т х)+ Бт¥0 (Л/Л7 х) ] ^ (58)

т=1 т= 2

c) при 11 ф 12 = 13 V ф V 2 = V3) -

Ф(х) = 2 Фт (х) = [Ст10 (( х)+ ВД ( х)] - [С3 /0 ( х) + ВД' ( х)]. (59)

т =1 т =1

Здесь 10 (...=, ¥0 (...) - функции Бесселя нулевого порядка 1-го и 11-го рода. Имея в виду (57) - (59)

и равенства (40), легко определяются функции и 1 (х = и 2 (х= и 3 (х).

3) Элементы матрицы коэффициентов (4) системы дифференциальных уравнений (1) - (3) ядровой краевой задачи при исследовании нестационарной осесимметричной деформации круговой в плане неоднородной пологой сферической оболочки имеют следующий вид:

°11 = а33 = к-2а22 = 1, Ь11 (х) = Ь33 (х) = к_2Ь22 (х) = х_1, с* (х) = х“2,

Ь12 =-ё21 = р(1+п), ё23 = к2, ё11 = X2т2, й33 = X252 + ё32, ё32 =-к2/12а“2,

С22 = ё11 - 2Р Ь12 , С13 = С31 = 0. (60)

Повторяя приведенную выше схему решения и используя представления (9), (51), приходим к следующему разрешающему уравнению

ЬЬЬ (Ф=+г13 ЬЬ(Ф)+ г14 Ь(Ф)+г15Ф = 0, (61)

а также соответствующему кубическому уравнению

1/т + Г131т + Г14^т ' '15

Здесь

= ё11 (Г7 Г12 )-1 , Г14 = (г7 Г10 + Г6 )(Г7 Г12 )-1 , Г13 = Г11 Г1- , Г12 = (г1 Г9 + Г2 = Г5~" ,

Г12 ~ V 1' 9 ' '^'5

Г11 =(Г1Г8 + Г3 Г9 + Г4 = Г5-1 , Г10 = Г3 Г8 Г5-1 , Г9 = Г6 Г7~\ Г8 = Г7 = rlЬ12, Г6 = 1 - Г2Ь^

г5 = к ё 33, Г4 = г2 (ё 33 - Ь32 ), Г3 = к + (ё33 - Ь32 )= Г2 = Г1 ё21 , Г1 =(ё11 - 2Р Ь12 = . (63)

59

При этом должны выполняться следующие условия:

r1 Ф 0, b12 Ф 0, r5 Ф 0, r12 Ф 0.

Дифференциальный оператор L определяется выражением (53), потенциал Ф(х) по формулам (57) - (59), а искомые функции U1 (х), U 2 (х), U 3 (х) из равенств (40).

В заключение следует отметить, что аналогичная (1) - (4) система уравнений с постоянными коэффициентами (аи = const, biJ = const, ciJ = const) формируется в процессе решения осесимметричной динамической задачи для неоднородной цилиндрической оболочки конечной сдвиговой жесткости.

Таким образом, в настоящей работе рассмотрена система трех обыкновенных линейных дифференциальных уравнений второго порядка с переменными коэффициентами. Существенным представляется то, что ее частные случаи совпадали с системами уравнений, которые получаются при интегрировании осесимметричных начально-краевых задач динамики оболочек в уточненной постановке методом разложения по собственным вектор-функциям [1-3]. В процессе исследования использовалось преобразование зависимых переменных в сочетании с методом факторизации [4-6] получающегося при этом дифференциального оператора. Подробно изучены системы уравнений, соответствующие ядровым краевым задачам непрерывно неоднородных по толщине и трехслойных сферических [2,3], а также круговых конических оболочек с конечной сдвиговой жесткостью.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Сеницкий Ю.Э. Многокомпонентное обобщенное конечное интегральное преобразование и его приложение к нестационарным задачам механики. // Известия вузов. Математика. 1991, №4. С. 57 - 63.

2. Сеницкий Ю.Э. Нестационарная задача динамики для трехслойной сферической оболочки. // Строительная механика и расчет сооружений. 1990, №6. С. 55 - 61.

3. Сеницкий Ю.Э. Осесимметричная динамическая задача для неоднородной пологой сферической оболочки с конечной сдвиговой жесткостью. // Прикладная механика. 1994, Т. 30, №9. С. 50 - 57.

4. Беркович Л.М. Факторизация и преобразования обыкновенных дифференциальных уравнений. Саратов. Изд-во Саратов. Ун-та. 1989, С. 192.

5. Berkovitch L.M., Netchaevsky M.L., Senitsky Y.E. The meth0d factorizati0n 0f differential 0peratorS and itS applica-ti0nS. // C0mplex. AnalySiS and applicati0nS. ProceedingS 0f the Internati0nal C0nference. Bulgar. Acad. 0f Schi. S0fia. 1984. P. 55 - 62.

6. Сеницкий Ю.Э., Сеницкий А.Ю. О решении одного дифференциального уравнения с переменными коэффициентами, имеющего приложение в динамической теории упругости. // Математическая физика и нелинейная механика. АН УССР, 1990, №13(47). С. 22-25.

Работа выполнена при финансовой поддержке Минобразования РФ в соответствии с конкурсом грантов по фундаментальным исследованиям в области технических наук, проект ТОО-12.1-2Ю9.