Специфика обучения студентов экономических специальностей университетов дифференциальным уравнениям Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 372.8

СПЕЦИФИКА ОБУЧЕНИЯ СТУДЕНТОВ ЭКОНОМИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ УНИВЕРСИТЕТОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ

УРАВНЕНИЯМ

© 2016 И.В. Детушев1, Л. В. Детушева2, В.П. Добрица3

1канд. пед. наук, преподаватель математики Центра довузовской подготовки

e-mail: [email protected] 2аспирант каф. алгебры, геометрии и теории обучения математике

e-mail: [email protected] 3доктор физ.-мат. наук, профессор каф. программного обеспечения и администрирования информационных систем e-mail: dobritsa@,mail. ru

Курский государственный университет

В статье рассматривается применение аппарата дифференциальных уравнений в экономике. Использование задач с экономическим содержанием в процессе изучения дифференциальных уравнений на экономических факультетах показывается как важный фактор активизации познавательной активности студентов-экономистов по математике. Приводится алгоритм решения задач с прикладным экономическим содержанием по теме «Дифференциальные уравнения» на лекционных и практических занятиях по высшей математике, а также примеры таких задач.

Ключевые слова: дифференциальные уравнения, студенты экономического профиля, методика обучения математике, применение математики в экономике, задачи с экономическим содержанием.

Дифференциальные уравнения - это широко применяемый аппарат для исследования различных процессов в экономике. В экономике дифференциальные уравнения применяются для описания динамики численности населения, при моделировании проблем инфляции, государственного долга, экономического роста, безработицы, взаимосвязей денежного и реального рынков. Студенты экономических специальностей университетов, изучая на лекциях и практических занятиях различные закономерности развития общества, приходят к необходимости построения математических моделей, основным инструментом решения которых являются дифференциальные уравнения. Поэтому студентам-экономистам на занятиях по математике нужно показать важность изучения раздела «Дифференциальные уравнения» для их успешного овладения специальной экономической литературой, а также для развития умения анализировать экономические процессы, которые описываются дифференциальными уравнениями. Этого можно добиться с помощью решения математических задач с экономическим содержанием.

Использование задач с экономическим содержанием в процессе изучения дифференциальных уравнений на экономических факультетах позволит:

- показать важность дифференциальных уравнений для экономики и бизнеса, что приведет к повышению внимания студентов к данной теме;

- пояснить смысл фундаментальных понятий из раздела «Дифференциальные уравнения» примерами из экономики;

- помочь лучше освоить экономические понятия, встречающиеся в условиях данных задач;

- побудить студентов к дальнейшему изучению дифференциальных уравнений с целью применения данного математического аппарата в исследовательских задачах, характерных для сферы экономики.

По мнению Ж.С. Сулейменова, «прикладная направленность дифференциальных уравнений отводит задачам ключевое место. Любой теоретический материал можно предварять задачами прикладного характера, приводящими к тем дифференциальным уравнениям, которые предстоит изучить в данном разделе, то есть обосновать мотивацию изучения этого раздела. Поэтому задачный материал используется не только как цель реализации теории на практике, но и как средство обучения » [Сулейманов 2003: 61-62].

Первое занятие по дифференциальным уравнениям на экономических факультетах целесообразно начать с прикладной задачи с экономическим содержанием, приводящей к понятию дифференциального уравнения, разрешенного относительно производной.

Рассмотрим один из возможных примеров таких задач.

Пример № 1

Функция зависимости выработки некоторого сырья от времени (в часах) имеет вид: q(t) = 2 - 3e_3t. Найти зависимость количества произведенной продукции Q(t) от времени, если известно, что Q(5) = 30.

Решение

Пусть Q(t) - количество сырья, выработанного к моменту времени t, тогда q(t) = Q (t) - скорость выработки сырья. Данные рассуждения приводят к следующему

dQ(t) .. уравнению: = q(t).

dt

Это уравнение является дифференциальным уравнением первого порядка. Общим решением данного уравнения является функция Q = y(t, c), удовлетворяющая нашему уравнению при любом значении константы C. Помножим обе части данного уравнения на dt и произведем его интегрирование:

= q(t) | •dt, при dt * 0

dt

d (Q(t)) = q(t) ■ dt

f d (Q(t)) = fq(t )dt Q(t) = J q(t )dt, то есть

Q(t) = J (2 - 3e~3t )dt = 2t - 3

I 1 \

1 e~3t + C

3/

Q(t) = 2t + в~33 + С, где С - произвольная константа.

Частным решением данного дифференциального уравнения будет являться функция Q = ,С0), где С = С0. В нашем случае 0(5) = 30. Пользуясь этим утверждением, то есть, по сути, решая задачу Коши, найдем значение С .

30 = 2 ■ 5 + в~3'5 + С ^ С = 20 - в~15.

Таким образом, получаем зависимость количества произведенной продукции ) от времени г: ) = 2t + в'33 + 20 - в'15.

Для выбора задач с прикладным экономическим содержанием по теме «Дифференциальные уравнения» на лекционных и практических занятиях по высшей математике можно рекомендовать следующий алгоритм, приведенный в диссертационном исследовании И.В. Детушева [Детушев 2015: 106-107]:

1) произвести отбор задачи с прикладным экономическим содержанием, решение которой производится посредством составления, анализа и исследования дифференциальных уравнений определенного (изучаемого) вида, таких, например, как обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка, линейные дифференциальные уравнения высших порядков, системы линейных дифференциальных уравнений;

2) описать с помощью дифференциального уравнения (или системы дифференциальных уравнений) математическую модель выбранной задачи;

3) дать определение полученного дифференциального уравнения (или системы), а также показать его особенности и основные свойства;

4) решить полученное дифференциальное уравнение или систему дифференциальных уравнений в общем виде;

5) решить дифференциальное уравнение, полученное при анализе исходной задачи с прикладным экономическим содержанием, а также произвести экономическую интерпретацию полученного результата.

Теперь приведем примеры применения задач с прикладным экономическим содержанием при разборе различных типов дифференциальных уравнений на практических занятиях по высшей математике.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными Пример № 2

Найдите функцию спроса y = y(p) относительно цены p, если известна эластичность Ep ( y) = 2 p + 3. Решение

По определению эластичности: E (y) = — y = — • — ; подставляя Ep (y) = 2p + 3,

p У У dp

получим дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными:

i 2 p + 3 \

-= 2 p + 3 ; разделяя переменные, получим:-=

y dp

y(p) = 2 p + 3ln| p\ + C.

Линейные дифференциальные уравнения Пример № 3

Модель взаимодействия реального и уравнением

p + kp = m(t), p(0) = po, k > 0 где p(t ) - уровень логцен; m(t ) - избыточное предложение денег, отражающее, например, неслучайные колебания экономической конъюнктуры. Найти решение задачи Коши.

Решение

Уравнение (1) является линейным неоднородным уравнением первого порядка. Решим его методом вариации произвольной постоянной. Соответствующее однородное уравнение для (1) запишется в виде

p + kp = 0. (2) Решая уравнение (2) как уравнение с разделяющимися переменными, будем

иметь: — = -kp, — = -kdt, ln Ip\ = -kt + ln |C| или p(t) = Ce~h. dt p

Согласно указанному методу, решение уравнения (1) будем искать в виде

dy

получим: — y

p

dp,

тогда

финансового рынков представлена

(1)

p(t ) = С (t )e~h. (3)

Продифференцируем функцию (3): p = C'(t )e~kt - C (t )ke~kt и подставим в уравнение (1), получим: C (t )e~kt - C (t )ke~kt + kC(t )e~kt = m(t ).

Отсюда, с учетом начального условия p(0) = p0 получим: C(t) = J*m(r)e Tdr + p0.

0

Таким образом, решение уравнения (1) окончательно примет следующий вид:

t

p(t) = pQe~kt + Jm(r)ek (т-1) dr. 0

Пример № 4

Простейшая модель воспроизводства национального дохода, которая допускает, что производственное накопление пропорционально приросту национального дохода в тот же момент времени, в который динамика потребления независима, имеет

dY

следующий вид: Y(t) = B — + c(t), где B - коэффициент капиталоемкости, то есть

dt

отношение производственного накопления к приросту национального дохода; c(t) -функция потребления. Найти функцию, характеризующую изменение национального дохода Y(t), если известно, что величина потребления задается функцией c(t) = 2t,

коэффициент капиталоемкости прироста дохода B = 1, Y(0) = 2.

Решение

Согласно условию задачи получаем уравнение Y(t) = 1Y'(t) + 2t, которое

является линейным неоднородным уравнением первого порядка. Для его решения воспользуемся методом подстановки.

Положим, что Y(t) = u(t)v(t), тогда Y' (t) = u v + v u. Подставив функцию Y(t) и

её производную в исходное уравнение, получим: uv = 1 (uv + vu) + 2t или

/

u

1 л

v — v

2

- uv - 2t = 0. 2

Выберем v так, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль. Тогда

1 dv п dv . i , _ 2t v---= 0, — = 2 v , ln v = 2t, v = e2t.

2 dt dt

T-T - 1 n du „

Подставив наиденное значение v в уравнение, будем иметь: — e — + 2t = 0,

2 dt

откуда u = J-Ate'2 fdt = 2te~2t + e~2t + C, тогда Y (t) = 2t +1 + Ce2t.

Значение постоянной C находим из начального условия Y(0) = 2. Будем иметь: C = 1. Окончательно получаем: Y (t) = 2t +1 + e2t.

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Пример № 5

Пусть функция спроса D(t) и предложения S (t) имеют следующие зависимости от цены p и ее производных:

D(t) = p - p - 2p +13, S (t) = 2 p + 3 p + 3 p + 3.

Найти динамику цены p на товар, а также решить задачу Коши: p(0) = 3, p'(00) = 1. Решение

Равновесное состояние рынка характеризуется равенством D(t) = S (t). Приравняем правые части функций D(t) и S (t). Получим, что p - p - 2 p +13 = 2 p" + 3 p + 3 p + 3. После упрощения этого равенства будем иметь:

p + 4 p + 5 p = 10. (4)

Уравнение (4) является линейным неоднородным уравнением второго порядка относительно функции p(t). Общее решение такого уравнения состоит из суммы какого-либо его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения:

p + 4 p + 5 p = 0. (5)

Составляем для уравнения (5) характеристическое уравнение: X2 + 4Á + 5 = 0. Его корни - комплексно-сопряженные числа: \2 = -2 ± i, следовательно, общее решение уравнения (5), согласно правилу, задается формулой p0(t) = e~2t (Q cost + C2 sint), где Q,C2 - произвольные постоянные.

Частное решение уравнения (4) будем искать в виде p* = A - постоянной величины и рассматривать его как установившуюся цену. Подставляя это решение в уравнение (4), получаем: p* = 2. Таким образом, общее решение уравнения (4) имеет вид

p(t) = 2 + e~2t (Cj cos t + C2 sin t). (6)

Теперь решим задачу Коши. Подставляя условие p(0) = 3 в формулу (6), получаем: p(0) = Q + 2 = 3, откуда C1 = 1, то есть

p(t) = 2 + e~2t (cos t + C2 sint). (7)

Теперь используем второе условие задачи Коши: p'(0) = 1. Продифференцируем функцию (7), получим:

p(t) = -2e~21 (cos t + C2 sin t) + e~22 (- sin t + C2 cos t). Тогда p'(0) = -2 + C2 =1. Отсюда C2 = 3. Окончательно получаем, что решение задачи Коши имеет вид p(t) = 2 + e~2t (cos t + 3 sin t). Пример № 6

Для процесса инфляции, не переходящей границу гиперинфляции, денежный спрос угасает по мере роста инфляции и инфляционных ожиданий, но не очень быстро. Эта модель может быть представлена в виде неоднородного дифференциального уравнения второго порядка:

p - ap + p = m, 0 < a < 1, (8)

где p(t) - уровень логцен, p(t) - фактическая инфляция, a - полуэластичность

денежного спроса: a = —Р, п - инфляционные ожидания, m - предложение денег.

dn

Уравнение (8) - это уравнение гармонического осциллятора, то есть системы, совершающей колебания, которые можно описать с помощью элементарных тригонометрических функций. Найдите решение уравнения (8). Решение

Характеристическое уравнение для соответствующего однородного уравнения запишем так: X2 - ak + \ = 0. Найдем корни этого уравнения:

Х,2 = — ±А— -1, 0 < а < 1. 12 2 14

Эти корни являются комплексно-сопряженными с положительной действительной частью. Тогда

Po(t) = е

a ( -t

2

V

C cos Jl - — t + C2 sin Jl - — t 1 V 4 2 V 4

/

(9)

Будем искать частное решение уравнения (8) в виде p = A, где А найдем при непосредственной подстановке этого решения в уравнение. Имеем: p* = m. Приведя функцию (9) к более удобной форме записи и введя соответствующие обозначения, получим общее решение уравнения (8): p(t) = R-exp(0,5at)cos(a0t-s) + m, где R -

амплитуда колебаний; сд0 - частота колебаний; е - начальная фаза.

Структура решения показывает, что со временем амплитуда колебаний вокруг частного решения p* = m увеличивается.

Системы дифференциальных уравнений Пример № 7

Динамическая межотраслевая модель замкнутой производственной системы описывается системой линейных однородных уравнений.

dx(t)

dt

(E - A)B-x(t),

где

(х(/) / dx dx dx \

-= —1; —2;...; —- I - вектор-столбец абсолютных приростов объема

производства; х(Г)

- вектор-столбец объемов производства, Е -

единичная матрица;

материальных затрат; B =

' a, j = i, n

i = 1, n

\ '

' bj, J = 1n

i = 1, n

- матрица коэффициентов прямых

- матрица коэффициентов капиталоемкости

приростов производства (затраты производственного накопления на единицу прироста продукции соответствующего вида).

Пусть задана двухотраслевая модель замкнутой производственной системы с

( 0,21 0,32 \

матрицей прямых материальных затрат: A ■■

0,32 0,45

и матрицей коэффициентов

капиталоемкости приростов производства: B

10,52 0,52 \ 1,00 0,83

. Найти решение этой

модели при начальных условиях x0

160 \ v60 /

Решение

Для составления системы однородных дифференциальных уравнений вычислим матрицы (Е - А), В-1 и их произведение (Е - А)В'1:

E - A =

i 0,79 -0,32\

\

-0,32 0,55

B-1 =

/-9,39 5,88 \

\

11,31 -5,88

, (E - A)B- =

/

/-11,04 6,53 \ 9,23 -5,12

Тогда система будет иметь следующий вид:

^ = -ц,04 X + 6,53х2, Ж

^ = 9,23х - 5,12х2.

Ж 1 2

Найдем решение этой системы методом сведения к однородному уравнению. Продифференцировав первое уравнение системы и подставив в полученное

соотношение выражения для —1 и —2 из исходной системы,

Ш Ж

Л2 х Лх Лх

получим: —^ —11,04—1 + 6,53= -11,04 (-11,04х1 +6,53х2) + 6,53 (9,23х1 - 5,12х2)

= 182,15хх -105,52х2. ^ Л

Из первого уравнения системы имеем: 1 dx1 11,04

X 9 — + Хл,

2 6,53 dt 6,53 1

тогда ^ = 182,15х -105,52 Ж2

( 1 11,04 \

__1 + __х

6,53 Ж 6,53 1

3,75х -16,16

1 Ж

^ Хл , ^ , ЛХл

или

1 +16,16—1 - 3,75 Х = 0.

<И2 ' Л

Характеристическое уравнение имеет вид А2 +16,16 А — 3,75 = 0, откуда

(х

\= 0,23,Л2 = -16,39. Тогда х = С/>23' + С2е~16'39'. Найдем ^:

(

^ = 0,23С1е<023 - 16,39С2е"16'39'. Л 1 2

Тогда х2--— (о,23С,е0'23-16,39С2е"16'39) + 1104 (С,е0'23 + С2е"16'39 )=

2 6,53 1 2 ' 6,5^ 1 2 '

= 1,73Се0'23' - 0,82С2е~16'39'.

Следовательно, общее решение системы определяется формулами

х1 = С.е0'23' + С2е~16'39', х2 = 1,73С/'23' - 0,82С2в~16'39'.

Найдем частное решение, удовлетворяющее заданным условиям. Полагая ^ = 0, будем иметь: х1 (0) = С + С2 = 60, х2(0) = 1,73СХ - 0,82С2 = 60, откуда С = 42,82, С2 = 17,18.

Таким образом, частное решение заданной модели имеет следующий вид:

X = 42,82в0231 + 17,18е"16'39', х2 = 74,08е0'23 -14,09е"16'39'.

Второе слагаемое в этом решении очень быстро стремится к нулю, откуда следует, что технологический темп прироста национального дохода равен 0,23.

Решение исследуемой системы характеризует предельные технологические возможности развития производства при заданных матрицах А и В, когда все ресурсы национального дохода направляются на расширенное воспроизводство. Отметим, что все вычисления производились с точностью до 10-2.

Таким образом, использование задач с прикладным экономическим содержанием при обучении студентов-экономистов дифференциальным уравнениям позволяет студентам лучше осознать и усвоить данный учебный материал.

Библиографический список

Детушев И.В. Фундаментализация математической подготовки студентов экономических специальностей вузов на основе профессиональной направленности обучения: дис. ... канд. пед. наук. Курск, 2015. 186 с.

Минюк С.А. Дифференциальные уравнения и экономические модели. Мн.: «Вышэйшая школа», 2007. 142 с.

Сулейменов Ж.С. Методическая система обучения дифференциальным уравнениям студентов физико-математических факультетов университета: дис. ... докт. пед. наук. Алматы, 2003. 257 с.