Использование разностных уравнений для решения задач финансовой математики Текст научной статьи по специальности «Математика»

20 (206) - 2014

Математические методы анализа

УДК 338.24.01

использование разностных уравнений

для решения задач

«-» __ _ ,

финансовой математики*

Ю.В. КИРИЛЛОВ,

кандидат технических наук, доцент кафедры экономической информатики Е-mail: [email protected] Новосибирский государственный технический университет

Е.Н. НАЗИМКО,

кандидат экономических наук, заведующая кафедрой финансов и кредита Е-mail: [email protected] Новосибирский гуманитарный институт

В статье рассматривается использование аппарата разностных уравнений для решения задач финансовой математики в сравнении с решениями, полученными на основе применения традиционных экономических методов. Показаны эквивалентность полученных результатов и преимущество использования разностных уравнений по сравнению с применением для этих же целей дифференциальных уравнений.

Ключевые слова: разностные уравнения, задача, финансовая математика, динамика, финансовый процесс

Предметом финансовой математики является количественный анализ результатов различных финансовых операций, в которых главным фактором является время. К результатам операций можно от-

* Работа поддержана грантом по проекту «Развитие интеллектуальных информационных технологий, математических моделей и алгоритмов оптимизации для повышения эффективности производства и управления предприятиями в инновационной экономике».

нести как относительно простые показатели, например, динамики капитала на депозите физического лица, так и показатели эффективности достаточно сложных финансовых процессов, например, связанных с реализацией капитальных инвестиционных проектов или динамикой капитала на расчетном счете целой организации [8].

Об актуальности постановок многочисленных задач финансовой математики сказано и написано уже достаточно много как в отечественных источниках [1, 4, 5, 8], так и в зарубежной экономической литературе [2, 7, 10]. Что же касается количественных методов решения таких задач, то этому вопросу уделено гораздо меньше внимания. Собственно говоря, эти методы сводятся к использованию здравого экономического смысла на основе двух основополагающих принципов: 1) принципа финансовой эквивалентности, который состоит в том, что сравнивать результаты различных финансовых операций можно только в том случае, если они приведены к одному и тому же моменту времени;

2) принципа финансовой суперпозиции (наложения), который заключается в том, что результат сложной финансовой операции можно получить как алгебраическую сумму результатов независимых простых операций, которые можно выделить, используя системные процедуры декомпозиции сложного процесса. Если первый принцип, так или иначе, упоминается и проходит красной нитью во всех вышеприведенных источниках, то второй принцип явно не формулируется, однако его неявное использование очевидно.

Использование этих двух принципов наряду с формальной логикой, определяемой условиями конкретных финансовых операций, уже не раз доказывало свои возможности, подтверждаемые практическими результатами. Тем не менее существование этих принципов, вводимых как постулаты только на основании здравого смысла, вызывает желание найти комплекс математических средств, на базе которого можно получать строгие математические доказательства получаемым решениям задач финансовой математики. Более того, хотелось бы, чтобы такой комплекс позволил не только объяснить уже полученные результаты, но и стать теоретической основой для решения будущих задач по управлению различными финансовыми процессами, которые, несомненно, поставит перед нами динамика современного рынка.

По мнению авторов, выбор такого комплекса математических средств следует начать с анализа особенностей современных финансовых операций, важнейшей из которых является использование дискретного времени в качестве главного экономического фактора, влияющего на конечный результат. Отдельные платежи, составляющие экономическое содержание любой финансовой операции как процесса, на практике поступают в строго опре-

деленные моменты времени, что объясняется насущными экономическими требованиями. Тогда любой финансовый процесс можно определить как определенную последовательность платежей, поступающих в дискретные моменты времени.

С общесистемных позиций дискретность времени финансовых операций является неизбежным следствием дискретности

Ро

51

множества объектов, используемых в качестве информационной базы для принятия управленческих решений. Например, анализ результатов финансово-хозяйственной деятельности организации в текущем периоде и построение прогнозов на будущее выполняются на основе соответствующих отчетов, «привязанных» к строго определенным моментам времени: ежемесячный отчет, ежеквартальный, полугодовой и т.д. Таким образом, дискретность времени является неотъемлемой особенностью различных финансовых операций, необходимость которой вытекает из того здравого экономического смысла, о котором говорилось выше.

Из всего сказанного становится понятно, что важнейшей особенностью комплекса математических средств, который будет использоваться для анализа финансовых процессов, должно быть «умение» выполнять различные математические операции с дискретным временем. Очевидно, что таким комплексом должен стать аппарат разностных уравнений, который достаточно хорошо разработан и широко используется на практике для решения подобных задач [3, 6, 9].

Рассмотрим применение этого аппарата для вывода уравнения динамики капитала на банковском депозите в качестве примера одной из основных финансовых операций. Процесс роста начального вклада Р0 с ежегодной капитализацией сложных процентов по ставке 1 графически представлен на рис. 1.

Динамика капитала по сложным процентам, очевидно, выражается следующими уравнениями:

51 = 5о(1 + 0, 52 = 51(1 + 0,..., 5Я_1 = 5п (1 + 0, что в общем случае, для любого момента времени (, соответствует линейному однородному стационарному разностному уравнению первого порядка 5, = 5{-1 (1 + /), или

5, - 5,-1 (1 + 0 = 0. (1)

5п.

52

5п

t

12 п - 1 п

Рис. 1. Динамика капитализации вклада по сложным процентам

7х"

59

о

Тогда динамика капитализации вклада Р0 по сложной ставке 7 определяется как решение задачи Коши [3, 6, 9] для уравнения (1) при начальном условии Я0 = Р0 .

Общее решение уравнения (1), как известно [3, 6, 9], ищется в виде

Я, = СУ!,

где А ф 0 - некоторое число;

С - произвольная постоянная.

Тогда при подстановке в уравнение (1) получим СХ -СА/-1 (1 + 7) = 0, что после очевид-ных преобразований дает СА,-1[А-(1 + 7)] = = 0 ^А-(1 + 7) = 0 ^А = 1 + 7.

Отсюда следует, что общее решение уравнения (1) есть Я. = С(1 + ¡), а используя начальные условия для определения произвольной постоянной С = Я0 = Р0, получим решение задачи Коши для динамики капитала Р0 на депозите по сложной ставке ¡: Я, = Р0(1 + ¡). (2)

Очевидно, что решение (2) задачи Коши для разностного уравнения (1) полностью соответствует формуле для расчета наращенной суммы капитала на депозите (при 7 = п), которая выводится во всех источниках по финансовой математике на основании экономического смысла финансовой операции капитализации по сложным процентам [1, 2, 4, 5, 7, 8, 10].

Аналогично, используя разностные уравнения и методы их решения, можно построить динамическую модель капитализации вклада Р0 на депозите по номинальной ставке ] и га-разовом начислении процентов в год, т.е.

Я, = Р,|1 + 1т

(3)

суммы по простым процентам по сравнению со сложными при & < Т [1-7], получим, что

А,

Я (г + А) = Я (г) + .

Тогда приращение суммы Я(,) за малый промежуток времени А7 определится как

АЯ (() = Я((+ А) - Я(() =

= Я (Г) + Т i Я (Г) = Я (Г) Т ¡.

Определим теперь скорость изменения суммы Я(,) за бесконечно малый промежуток времени А,, т.е. предел отношения

АЯ (7) я т 7 Нт-= lim-т— = lim

Аt Агч-0 А7 А,

Я «) Т

= я «) т ,

что, как известно, есть производная функции Я(,) по ,, или частное двух дифференциалов. Тогда выражение

СЯ(7) 7 ,

—— = — Л

Я(0 т

сЯ () = Я (7) /

Л ^'Т

есть дифференциальное уравнение относительно Я(,) с разделяющимися переменными. Находя его общее решение интегрированием обеих частей, получим

г =г ^ 1П Я (,)=и+С,

•> Я (7) ->Т Т

где С - произвольная постоянная.

Преобразуя это выражение по известным правилам потенцирования, получаем общее решение дифференциального уравнения «движения» капитала на депозите:

что также соответствует известной формуле, полученной из экономических соображений (при 7 = п) [1, 4, 5, 8].

Следует отметить, что классическим математическим средством для построения динамической модели любого процесса всегда считался аппарат дифференциальных уравнений. Рассмотрим, к каким результатам приведет решение той же задачи динамики капитала в этом случае. Тогда, считая время процесса непрерывным и что наращенная сумма капитала в момент , есть Я(7), найдем ее изменение за малый промежуток времени А,.

Если наращение ведется по годовой ставке 7 при длительности года Т, то, используя здесь известное свойство более быстрого роста наращенной

Я ^) = ^Т >= еТеС = СеТ = Сеы, (4) где 5 = 7 - годовая ставка процента, если , измеряется в годах (тогда Т = 1), и называется силой роста [1-4].

Решение задачи Коши для уравнения (4), очевидно, дает уравнение

Я (7) = Р(/', (5)

что соответствует известной формуле для наращенной суммы капитала на депозите при непрерывном начислении процентов по ставке 5 = 7 [1, 4, 5, 8].

Дифференциальная динамическая модель процесса капитализации вклада по сложным процентам (5) может быть получена из «разностной» модели этого же процесса (3) при бесконечном увеличении параметра т, использовании предельного перехода и формулы второго замечательного предела [1, 4, 5, 8]:

Ро |1 + 1-

I т

Ро/

5

При этом размер ставки одинаков / = ] = 5 .

Таким образом, использование аппарата дифференциальных уравнений для решения задач финансовой математики дает предельные результаты по сравнению с результатами, полученными на основе 5 аппарата разностных уравнений. Причем «дифференциальное» решение может быть получено из «разностного» с помощью бесконечно большого увеличения соответствующего параметра начисления процентов, т.е. фактически при переходе от дискретного времени к непрерывному. Таким образом, именно разностные уравнения, а о 1 не дифференциальные, как нельзя лучше подходят для анализа результатов различных финансовых операций, так как значительно точнее отражают их экономический смысл.

Рассмотрим использование разностных уравнений для решения более общей задачи: определение наращенной суммы регулярного потока платежей общего вида, финансовая схема реализации которого приведена на рис. 2.

Потоки такого вида обычно используются для создания различных фондов, когда к текущей сумме платежей в некоторый момент времени к ^ = о, .. п) добавляется не только очередной платеж Rk, но и сложные проценты по ставке /. В этом случае рост наращенной суммы потока отражается графиком, представленном на рис. 3.

Динамическая модель наращенной суммы такого потока платежей в момент времени ^ = k представляется разностным уравнением

5к = 5к-1 (1 + 0 + Rк. (6)

Уравнение (6) есть неоднородное стационарное разностное уравнение первого порядка. Как известно [3, 6, 9], его общее решение 5к представляет собой сумму

5к = 5 к + 5к, где 5к - общее решение однородного уравнения

5 = 5к-1 (1 + 0;

2 3 п

Рис. 3. Наращенная сумма регулярного потока

5к - частное решение неоднородного уравнения

5к = 5к-1 (1+0 + Rk.

Однородное уравнение решается аналогично тому, как это было сделано при выводе уравнения (2). Тогда его общее решение будет 5к = С (1 + ¡)к.

Однако решение задачи Коши с начальными условиями 5о = о (см. рис. 2) дает нулевое решение, т.е. 5к = о.

Неоднородное уравнение решается методом вариации произвольной постоянной, т.е. решение ищется в виде 5к = Ск (1 + /)к, где Ск - разностная функция [3, 6, 9]. При подстановке решения в неоднородное уравнение получим

Ёк = 5к-1 (1+о + Rk ^ Ск (1+0к -

- Ск-1 (1 + 0к-1 (1 + 0 = Rk, откуда после очевидных преобразований имеем

С - С =-

к к-1

Яг

(1 + ок'

Разность Ск - Ск-1 = Ск - это изменение разностной функции Ск в течение одного периода поступления платежей. Очевидно, что значение функции Ск к моменту ^ = п можно найти как сумму ее изменений в течение п смежных периодов, т.е.

Сп =1 Ск =Х

(1+0к

7х"

61

к =1

к=1

Тогда решение неоднородного уравнения для t = п будет выражено формулой

= (1+0я I

R

= 0 + I Rk (1 + i)-" =I Rk (1 + i)n

(7)

определяет часть года, в течение

S

R?

R„

Ri

R3

Уравнение (8) решается способом, аналогичным тому, который использовался при решении уравнения (6). Тогда общее решение однородного

к=1 (1+ок

что после соответствующих преобразований дает результат:

^п =1 Як (1+0п-к. к =1

Таким образом, общее решение неоднородного разностного уравнения (6) (для t = п) запишется как сумма обоих решений, т.е. в виде сум мы ряда

5. = 5 + <1 =

d" -d"_

разностного уравнения Sk = Sk-1 (1 + i)

дает

результат Sk = С(1 + /) т , а решение задачи Коши с начальными условиями 5о = о - нулевой результат 5к = о.

Совершенно аналогичное решение задачи (7) получено в источниках [1, 4, 5, 8], используя только экономические соображения, основанные на принципах финансовой эквивалентности и суперпозиции, о которых говорилось в начале статьи:

Sn = R (1+0я-1 + R2 (1+i)n-2 +... + Rn-1 (1 + i) + R.

Использование разностных уравнений и рассмотренной методики их решения позволяет также решить задачу определения наращенной суммы нерегулярного потока платежей общего вида, финансовая схема реализации которого приведена на рис. 4.

В этом случае моменты поступления отдельных платежей Rk (k = 0, ...n) задаются не целым числом периодов (как в предыдущем потоке), а датами dk, причем dk - dk-1 Ф const. Динамическая модель наращенной суммы такого потока платежей в момент времени t = k представляется неоднородным разностным уравнением

dk -dk-1

Sk = Sk-1 (1 + i) T + R, (8)

где Т - длительность календарного года;

~ ~ ^ к ^ к 1

Неоднородное уравнение 5к = 5к -1 (1 + г) т + + Як решается методом вариации произвольной постоянной с поиском решения в форме

^ ^к ^ к |

£>к = С(1 + /) т . Разностную функцию Ск находим последовательными подстановками решения в неоднородное уравнение при k = о, 1, 2, ... В этом

п 1 ^к

случае для k = п получаем Ск = ^ Як (1 + г) т , а

к=1

решение неоднородного уравнения при k = п есть

S„ = (1 + i)

I Rk (1+i)

. Тогда общее ре-

шение уравнения (8) найдем как сумму Sn и Sn:

Sn = 0 + S„ = (1 + i)

T

I Rk (1+i)

которая после необходимых преобразований принимает вид:

Sn =I Rk (1 + i)

(9)

k =1

Решение задачи, идентичное уравнению (9), получено в источниках [1, 4, 5, 8], используя только экономические соображения, основанные на принципах финансовой эквивалентности и суперпозиции, о которых говорилось в начале статьи:

^ - d

к к-1

т

которого предыдущая сумма 5к-1 растет за счет процентов по годовой ставке г.

Sn = Ri (1+i)

+

dn d2

T

dn -dn-

T

R

do di

d2

d3

dn

d,

Рис. 4. Финансовая схема нерегулярного потока

+ Я(1 + 0 т +... + Яп-1 (1 + 0 т + Яп.

Приведенные примеры использования разностных уравнений показывают их эффективность при решении задач финансовой математики, так как доказывают правильность решения, полученного на основе п экономического подхода.

Это обстоятельство, с одной стороны, говорит в пользу экономических методов решения, однако, с другой стороны, использование строгого аппарата разностных уравнений дает возможность применить мощный комплекс

t

T

(т-1

k=1

d- -d

n-1

n-1

T

k=1

n-1

k=1

T

математических средств для анализа динамики различных финансовых операций. Например, для задач анализа устойчивости финансовых процессов, которые приобретают все большую актуальность в сложных условиях современного рынка, можно с успехом применять модели на основе разностных уравнений, поскольку математический анализ устойчивости в них является одной из ключевых тем. Так как современный анализ устойчивости проводят экономическими методами, которые используют статические показатели, не учитывающие динамики соответствующих процессов, применение разностных уравнений становится наиболее актуальным.

К сожалению, ограниченный объем настоящей статьи не позволяет здесь рассмотреть и эти вопросы. По той же причине в данной работе авторы ограничились вычислением только наращенных сумм различных финансовых операций, а определение не менее важного показателя - дисконтированной стоимости -осталось без внимания. Авторы имеют твердое намерение продолжать тему, начатую в данной статье, и надеются в следующих публикациях рассмотреть поставленные вопросы более подробно.

Список литературы

1. Бочаров П.П., Касимов Ю.Ф. Финансовая математика. М.: Гардарики, 2002. 624 с.

2. БрейлиР., Майерс С. Принципы корпоративных финансов. М.: Олимп-бизнес, 2008. 1008 с.

3. ГельфондА.О. Исчисление конечных разностей. М.: Физматлит, 1959. 401 с.

4. Малыхин В.И. Финансовая математика. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. 237 с.

5. Мицкевич А.А. Финансовая математика. М.: ОЛМА-ПРЕСС Инвест, 2003. 128 с.

6. Романко В.К. Разностные уравнения. М.: Бином. Лаборатория знаний, 2006. 112 с.

7. Уотшем Т., Паррамоу К. Количественные методы в финансах. М.: Финансы ЮНИТИ, 1999. 527 с.

8. ЧетыркинЕ.М. Финансовая математика: учеб. для вузов. 9-е изд. М.: Дело АНХ, 2010. 400 с.

9. Шарковский А.Н. [и др.] Разностные уравнения и их приложения. Киев: Наукова Думка, 1986. 280 с.

10. Шарп У., АлександерГ., Бейли Дж. Инвестиции. М.: ИНФРА-М, 2001. 1028 с.

Mathematical methods of analysis

using of differential equations for the financial mathematics problems solution

Iurii v. KIRILLov, Elena N. NAZIMKo

Abstract

The article discusses how to use the differential equations apparatus for the solution of financial mathematics problems in comparison with the decisions received on the basis of application of traditional economic methods. The authors also demonstrate equivalence of the obtained results and an advantage of using the differential equations in comparison with the differential equations application for the same purposes.

Keywords: differential equations, task, financial mathematics, dynamics, financial process

References

1. Bocharov P.P., Kasimov Iu.F. Finansovaia matematika [Financial mathematics]. Moscow, Garda-riki Publ., 2002, 624 p.

2. Breili R., Maiers S. Printsipy korporativnykh finansov [Principles of corporate finance]. Moscow, Olimp-biznes Publ., 2008, 1008 p.

3. Gel'fond A.O. Ischislenie konechnykh raznostei [Calculus of finite differences]. Moscow, Fizmatlit Publ., 1959, 401 p.

4. Malykhin V.I. Finansovaia matematika [Financial mathematics]. Moscow, UNITI-DANA Publ., 2003,237 p.

5. Mitskevich A.A. Finansovaia matematika [Financial mathematics]. Moscow, OLMA-PRESS Invest Publ., 2003, 128 p.

6. Romanko V.K. Raznostnye uravneniia [Difference equations]. Moscow, Binom. Laboratoriia znanii Publ., 2006, 112 p.

7. Uotshem T., Parramou K. Kolichestvennye metody v finansakh [Quantitative methods in finance]. Moscow, Finance UNITI Publ., 1999, 527p.

8. Chetyrkin E.M. Finansovaia matematika [Financial mathematics]. Moscow, Delo ANKh Publ., 2010, 400 p.

9. Sharkovskii A.N. i dr. Raznostnye uravneniia i ikh prilozheniia [Finite-difference equations and their applications]. Kiev, Naukova Dumka Publ., 1986, 280 p.

10. Sharp U., Aleksander G., Beili Dzh. Investitsii [Investments]. Moscow, INFRA-M Publ., 2001, 1028 p.

Iurii v. KIRILLov

Novosibirsk State Technical University, Novosibirsk,

Russian Federation

[email protected]

Elena N. NAZIMKo

Novosibirsk Humanitarian Institute, Novosibirsk,

Russian Federation

[email protected]