CC BY
24
ЮБЫ 2074-1065 Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 3 (122) 2013
МАТЕМАТИКА
MATHEMATICS
УДК 517.21.3 ББК 22.161.1 С 78
Сташ А.Х.
Ассистент кафедры математического анализа и .методики преподавания .математики факультета .математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 59-39-05, e-mail: [email protected]
О существовании линейного дифференциального уравнения третьего порядка с континуальными спектрами полной и векторной частот
(Рецензирована)
Аннотация
Построено линейное однородное дифференциальное уравнение третьего порядка с непрерывными
,
тот же отрезок значений.
Ключевые слова: линейное дифференциальное уравнение, колеблемость решений, число нулей функции, полная (векторная) частота решения.
Stash A.Kh.
Assistant Lecturer of Department of Mathematical Analysis and Methodology of Teaching Mathematics, Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 59-39-05, email: [email protected]
On existence of third-order linear differential equation with continuous ranges of complete and vector frequencies
Abstract
The third-order linear uniform differential equation with continuous unlimited coefficients is constructed. Its ranges of complete and vector frequencies contain the same segment of values.
Keywords: linear differential equation, variability of solutions, number of zeros of function, complete (vector) frequency of solutions.
Введение
Для заданного n e N обозначим через £n множество линейных однородных уравнений n -го порядка
yn + a()yn-1 +...+an-i)y+an)y = 0, te R + = [0;~),
с непрерывными коэффициентами, образующими строку
a = ((, ..., an):R + ^Rn
(каждую такую строку будем отождествлять с соответствующим уравнением). Множество всех ненулевых решений уравнения ae £n обозначим через S* (a).
Определение 1 [1, 2]. Нижней (верхней) частотой нулей решения y e S* (a) будем называть величину
7Г ( --- 7Г \
Ну) = lim тНу, t) [ Ну) = ,lim тНу, f) ,
t—у ос t V t^oo г /
где v(y, t) — число нулей функции у на промежутке (0; t\. В случае совпадения нижней частоты решения у с верхней будем называть ее точной и обозначать просто v(y).
Определение 2 [3]. Каждому решению у Е S*(a) поставим в соответствие его нижнюю (верхнюю) полную частоту и нижнюю (верхнюю) векторную частоту
7Г
а (у) = inf lim —v{y, т, t)
t—Уоо t TT
C(y)= lim inf ~Hy,m,t)
t—)■ oo ^
где z/(y,m, i) — число нулей при г Е (0; t] скалярного произведения (^(т^т),
ijjy = (у, у,... В случае совпадения нижней полной (векторной) частоты решения у с
верхней будем называть ее точной и обозначать просто а(у) (соответственно, С(?/))-
Определение 3 [4]. Множество всех значений показателя к\ S*(а) —>* М назовем спектром этого показателя уравнения а Е £п.
Спектры полных и векторных частот решений автономных систем полностью исследованы. В [5] И.Н. Сергеевым было доказано совпадение множества всех различных значений полных частот ненулевых решений любой автономной системы с множеством модулей мнимых частей собственных значений задающего ее оператора А. Далее, в [6] было установлено совпадение полных и векторных частот любых решений любой автономной системы. Первые результаты исследований спектров полных и векторных частот линейных дифференциальных уравнений третьего порядка приведены в работах [7], [8], в частности, доказано существование линейного дифференциального уравнения третьего порядка с периодическими коэффициентами, спектры полных и векторных частот которого содержат не менее чем любое наперед заданное число значений, а также существование линейного дифференциального уравнения третьего порядка с непрерывными ограниченными коэффициентами со счетными спектрами полных и векторных частот. Последнее утверждение было усиленно в работе [9], а именно, доказано существование линейного дифференциального уравнения третьего порядка с непрерывными ограниченными коэффициентами со счетными спектрами полных и векторных частот, причем все значения из этих спектров являются существенными и метрически, и топологически. В [10] М.В. Смоленцо-вым было доказано существование линейного дифференциального уравнения третьего порядка с периодическими коэффициентами с континуальным спектром частот нулей. В связи с этим возникал вопрос о существовании линейного дифференциального уравнения третьего порядка с непрерывными коэффициентами с континуальным спектром полных или векторных частот. Этому вопросу посвящена настоящая работа.
Вспомогательный результат
Определение 4[11]. Для заданных множеств М и F = {/: М+ —>* М} назовем функционал Л: F —)► R остаточным, если для любых функций /,§ Е F, удовлетворяющих хотя бы при одном i0 G условию f(t)=g(t),t^to, имеет место равенство Л(/) = Л(д).
Лемма. Для любого уравнения а Е £п функционалы <т, <т: S*(a) —)► R являются остаточными.
Доказательство. Зафиксируем произвольное решение у Е S*(a). Для функции £ (и, аналогично, для функции £, <j, а) выполнены
( а (у) ЕЕ inf lim ^-и{у, m,t)) ,
V meRn ^ /
(C(y)=lim inf jiy(y,m,t)) ,
\ t—>oo mGMn ^ /
<(у) = ШН inf т^’т'*Кш inf (™(У<тЛ) о) , г
t->ОС т^п t t->OO т^п \ t *
> ¡to (inf + inf
t—)■ OO t mGMn ^
r . , nv(y,m,tQ) — Tvis(y,m,t,t0)
= Iim mi----------------------h Iim mi ---------------------
t->OO m^n t t->OO m^n t
= ПЫ inf = ЙЫ inf ^ nu(y,m,to)
OO í Í^OO \ t t
= Пm (= ^ nv(y,mi,t) _ 7Гv(y, mut0)
t—^oo \ ~t t j t—^oo t—^oo
= _^(i,,mi,t)^_ inf ^(y,m,t)=^
Í—>00 ~t t—>00 t
Следовательно, установлена формула
сы = ш inf
i_>0° meE" t
на основании которой для функций y,z € §*(о), удовлетворяющих при t ^ to условию y(t) = z(t), выполнено равенство ((у) = С(^)-Лемма доказана.
Основной результат
Теорема. Существует уравнение а € £3, спектры частот нулей, полных и векторных частот которого содержат один и тот же отрезок числовой оси.
Доказательство.
1. Для произвольных чисел б,ш > 0 рассмотрим на R+ тройку функций
2/1 (í) = eí2(cos t + б), у2(t) = et2 cos Uit, yz(t) = é2 sino;í.
Вычислим их производные до третьего порядка включительно
Ух (t) = é2 (21 cos t + 2te — sin t),
г/i (t) = é2 (A12 cos t + At2e — At sin t + cos t + 2e), y\(t) = ef2(6tcost — 1212 sint + 8t3 cost — 5 sint + 8et3 + cost + 12et),
У2 (t) = e*2 (2t cos cot — to sinwt),
Ш (t) = et2 (At2 cos uit — Acot sin cot + (2 — ш2) cos cot), y2(t) = ei2((121 — 6u)2t) cos cot — 12 ut2 sinwi + 8t3 cos cot + (и)3 — 6 со) sinwi),
Ш (t) = e*2 (21 sin cot + to cos cot),
2/3(i) = e*2 (At2 sinwi + Acotcoscjt + (2 — a;2) sinwi), y3(t) = e*2 ((121 — 6oj2t) sinwi + 12o;t2 cos cot + 813 sinwi — (a;3 — 6a;) cosa;i) и обозначим
7 У\ У2 Уз
Тогда имеем
е-3*2 • det X (t) = (cos t + e) (8t3 sin cot cos cot + 8cot2 cos2 iot+
+2t(2 — со2) cos Lot sin cot — 4tot2 sin2 Lot — 4co2t cos cot sin Lot—
—со (2 — со2) sin2 cot — 8t3 cos cot sin Lot — 4cot2 cos2 cot + 8uit2 sin2 cot+
+4co2t sin cot cos cot — 2t(2 — lo2) sin cot cos cot — co(2 — со2) cos2 cot) —
— (21 cos t + 2te — sin t) (412 sin cot cos cot + 4cot cos2 cot+
+(2 — lo2) sinwt cos cot — 412 sincotcoscot + 4cot sin2 cot — (2 — со2) cos Lot sina;i) +
+(4i2 cos t + 4et2 — 41 sin t + cos t + 2e) (21 sin Lot cos Lot + со cos2 cot—
—21 sin Lot cos cot + CO sin2 cot) = (cos t + e) (4cot2 — 2co + CO3) —
— (21 cos t + 2te — sin t) 4cot + (4i2 cos t + 4et2 — 41 sin t + cos t + 2e)co =
= 4cot2 cos t — 2u cos t + со3 cos t + 4ecot2 — 2eco + eco3 —
—8cot2 cos t — 8ecot2 + 4cot sin t + 4uit2 cos t + 4eu)t2—
—4cotsint + со cost + 2eco = co((co2 — 1) cos t + eco2).
Покажем, что при любом е € (0,1) существует целый промежуток значений lo, для которых определитель det X(t) положителен. В самом деле, пусть этот промежуток задается двойным неравенством
1<и< /г“"? т
тогда выполняется неравенство
О < со2 - 1 < eco2,
обеспечивающее требуемую оценку
det X(t) — e3t2u((u2 — 1) cos t + ей2) >
> e3t2üü((üü2 — 1) COS t + (<'JÜ2 — 1)) =
= e3t2üü(üü2 — l)(cost + 1) ^ O, í G M+.
2. По данной системе из трех функций г/i, 2/2 5 2/з £ Сгоо(М+) с положительным определителем Вронского A(t) = detX(í) восстановим линейное однородное уравнение а Е £3, решениями которого они являются (см. [12]):
У1 У2 Уз У
т 2/2 Уз У
Уг У2 Уз У
у\ ¡¡2 Уз У
Раскладывая в последнем равенстве определитель по элементам последнего столбца, получим
где
Уг У2 Уз
^1^)= Уг Ш Уз
Уг У2 Уз
= е1*2 (у1(24ш^ — 2 ¿(а;3 — 6а>) — о>(12£ — 6о>2£) — 8 соЬ3) — у1(12а;£2 — а>3 + 6а>) + +у\со) = е3*2((со8^ + б)(16а>£3 + 4о>3£) — (2£со8£ + 2е£ — 8т£)(12а;£2 — о;3 + 6а>) + + (6£ соэ£ — 12£2 эт £ + 8£3 соэ£ — 5 + 12е£ + 8е^)со) =
= е3*2 (16а>£3 сое £ + 4 а;3£ соэ £ + 16ба>£3 + 4ео;3£ — 24а>£3 сое Ь + 2о>3£ соэ
— 12со1 соэ £ — 24еа;£3 + 2есЛ — 12еа;£ + 12а;£2 вт £ — а;3 эт £ + 6а; эт ¿+
+6а;£ соэ £ — 12а;£2 эт £ + 8а;£3 соэ £ — 5а; эт £ + 12еаЛ + 8еа;£3) =
= е3*2 (6о>3£ сое £ + 6ео;3£ — 6а>£ соэ £ + (а> — а>3) вт £),
Дг(£) -
2/1
2/1
У1
У2 У2 У 2
Уз
Уз
Уз
лг2
(ух{А&ш^ — 4£2(а;3 — 6 со) — Acot(12t — 6а;2£) — 32а;£4 + 12а;£2(2 — со2) —
(2 — а>2)(о;3 — 6а>)) — у\(12со^ — со3 + 6а>) + 4ш1у\) = = ем2 ((cost + е)(16а;£4 + 8 а;3£2 — 8а;3 + а;5 + 12а;) —
— (4£2 + 4е£2 — 4£ вт£ + + 2б)(12а>£2 — а;3 + 6а;)) + 4е2*
иЩ 1 =
.4
е3*2 (16а;£4 сое £ + 8а;3£2 соэ £ — 8со3 сов t + со5 соэ £ + 12а; сое t + 16еа;£4+ +8еа;3£2 — 8есо3 + ей;5 + 12еа; — 48а;£4 сое t + 4а;3£2 сое t — 24а;£2 сое t—
—48еа;£4 + 4ба>3^2 — 24ба>£2 + 48а>£3 — 4а>3£ этй-
+24а;£ эт t — 12а;£2 соэ t + со3 соэ £ — 6а; соэ £ — 24еа;£2 + 2еа;3 —
— 12ба> + 24а>£2 — 48а>£3 + 32а>£4 соэ^—
—20а;£ эт t + 48еаЛ2 + 32еаЛ4) = е3*2 (12а;3^2 сое t — 7со3 соэ t + со5 сое t+ +6а; соэ I + 12еа;3£2 — беа;3 + ею5 — 12а>£2 соэ I + 4а;£ эт I — 4а;3£ вт £),
У1 2/2 2/з
Дз(*) = 2/1 2/2 2/з
У-1 Уъ Уз
= е2*2 (^1 (16а;^4 + 8а;3^2 — 8со3 + со5 + 12а;) — у1(16со^ + 4а;3^) + +у1(4а;^2 — 2а> + со3)) = е3*2 ((^.ЬсозЬ + 2еЬ — 8т£)(16а;£4 + 8а;3£2 —
—8а;3 + со5 + 12а;) — (4^2 сое t + 4е£2 — 4Л + сое £ + 2е)(16а;^3 + 4а;3£) + +(Ш cost — 12^2 вт £ + 8^3 сов^ — 5 + 12е^ + 8е£3)(4а;£2 — 2а; + а;3)) =
= е3*2 (32а>^5 сое I + 16а>3£3 сое I — 16а;3^ соэ ^ + 2соьЬ сое I + 24а;£ соэ I + 32еа;£5+ +16еа;3^3 — 16ба>3^ + 2есоьЬ + 24еа;^ — 16а;£4 эт Ь — 8со3Ь2 вт I + 8а>3 эт —а;5 вт I — 12а; эт ^ — 64а;^5 сое ^ — 64еа;^5 + 64а;£4 эт ^ — 16а;^3 сое —32еаЛ3 — 16аЛ3 сое ^ — 16еа;3^3 + 16а;3^2 эт t — 4а;3^ соэ ^ — 8eco3t + 24аЛ3 соэ t-— 12cotcost + 6аJ3t соэ^ — 48а;^4 + 24а;£2 — 12а;3^2 + 32аЛь соэ^—
— 16а>^3 сое ^ + 8а;3^3 соэ £ — 20а>£2 вт ^ + 10а; вт ^ — 5а>3 эт ^ + 48бо>^3 —
—24ба>£ + 12еа;3^ + 32еаЛъ — 16еа;^3 + 8бо>3^3) = еы2(8со3Ь3 соъЬ — 14а>3£соэЛ-+2а;5^ сое ^ + 12а;£ соэ ^ — 12еа;3£ + 2еа;5^ — 4аЛ2 эт ^ + За;3 вт ^ — а;5 эт t—
—2со з1п t — 8аЛ3 соэ t + 4а;^2 вт t + 8есо3^3).
3. Зафиксируем ненулевой набор с\, с2, сз так, чтобы решение
У = СгУг + с2у2 + с3у3 е §*(о)
- 13 -
или функция
f(t) = e_í y(t) = Cl (cos t + б) + c2 cos ut + c3 sin ut
не имела кратных нулей.
Докажем, что число нулей функции f(t) на любом интервале (to, Т) при достаточно большом to совпадает с числом нулей функции
(ipy(t), m) = mi(ciet2 (cost + e) + С2в*2 cos ut + c%et2 sina;i)+
+1112(016* (2t cost + 2te — sin t) + C2e* (2t cos ut — и sin ut) +
+с3е* (2t sin ut + и cosut)) +
+Ш3 (de*2 (At2 cos t + At2e — At sin t + cos t + 2e)+
+с2е* (At2 cos ut — Aut sin cot + (2 — со2) cos ut) +
+сзе*2 (At2 sin ut + Aut cos cot + (2 — u2) sinoЛ))
на этом же интервале при любом векторе m 6 R*.
Если 777-1 = W72 = 0, то функция (ipy(t), m) принимает вид
(tpy(t), 777) = m3(ciet2(At2 cost + At2e — Atsint + cost + 2e) +
+C2e*2(4i2 cosuit — Aut sin ut + (2 — u2) cosa;i) +
+c3eí2(4í2 sinwi + Aut cos ut + (2 — u2) sin ut)),
нули которой совпадают с нулями функции
(éy(t),m) í sint cosí + 2e
= Ci I cos t + б — '
477731'2 et2 \ t At2
usinut (2 — u2)cosut\ +c2 ( cos ut------------------1-------—--------- ) +
и cos ut (2 — u2) sin ut
+c3 I sinwi +
t At2
Если 777-2 = 777-3 = 0, TO (ifjy(t), w) = 7Tliy(t).
Если т/71 = ?77з = 0, то функция (ipy(t), m) принимает вид
(ipy(t), m) = 7772 (cie^2 (2t cos t + 2te — sin t)-\-+c2et (2t cos ut — и sin ut) + с3е* (2t sin ut + и cos ut)),
нули которой совпадают с нулями функции
(фу^),т) ( siní
= Cl COS t + б —
2?772Íeí2 \ 21
. o) sin o) A í . и cos ut
+C2 cos ut----------------------+ Сз sin ut +
2t ) V 2Í
Если 777-1 = 0, 7772,7773 ф О, ТО фуНКЦИЯ (lpy(t), Üb) Принимает ВИД
(фу({), т) = т2(с\е1 (2í eosí + 2íe — siní) + С2в* (2t cosut — и sina;í) +
+с3е* (2t sin ut + и cosut)) +
+7773 (cie*2 (4í2 eos t + At2e — At sin t + eos t + 2e) +
+C2et2 (At2 cosut — Aut sin ut + (2 — u2) cosa;í) +
+c3eí2(4í2 sinwí + Aut cosut + (2 — u2) sin ut)),
- 14 -
нули которой совпадают с нулями функции
(íby(t), т) /cosí + е sint
= т2с1
Ат^2е12 \ 2m3í Am^t2
/eos Ut íjsin Ut\ /sin Ut UCOSUt'
+“2Сг V J + т2Сз (2Wt + 1 +
/ siní cosí + 2e'
+Ci ^cos t + 6 — + ——
( usinut (2 — u2) coscút\
+c2 j^cos ut - I —2 ) +
/. LOCOS Lüt (2 — LO2) sinwí
+C3 I sin Lüt 1
t At2
Если m2 = 0, ШьШз ф 0, то функция (ipy(t), m) принимает вид
(ipy(t), т) = rrii(ciet2 (eos t + e) + c2eí2 eos ut + c3eí2 sina>í) + +m3 (cie*2 (4í2 eos t + At2e — At sin t + eos t + 2e)+
+С2е* (4í2 eos Lüt — Aiüt sin Lüt + (2 — LÜ2) eos Ut) +
+с3е*2(4í2 sinwt + 4a;í cosut + (2 — a;2) sinwt)),
нули которой совпадают с нулями функции
{éy(t), т) тг . . . .
4m3¿2^ = 4^2 (°1 (C0S * + е) + С2 C0S Ut + Сз Sin Wí) +
/ siní cosí + 2e\
+Ci ^cos t + 6 — + ——--J +
/ WSinüJÍ (2 — u2) cosut\
+c2 (eos caí — + —2 J +
/. и cosut (2 — a;2) sin ut
+c3 I sin ut 1
t At2
Если ítt-3 = 0, mi,m,2 ф 0, то функция (ipy(t), m) принимает вид
(tpy(t), m) = т\(с\ег (eost + б) + c2el cosut + с3е* sina>í) + +m2(c:Leí (2t cosí + 2íe — sin t) + c2el (2tcosut — и sinut) + +с3е* (2tsinut + и cosut)),
нули которой совпадают с нулями функции
(фуН), т) mi , . . .
----------5— =----------(ci (eos t + б) + c2 eos ut + c3 sin ut)
2rri‘)tet 2m2t
siní\ / a>sina>íN
+Ci ( eos t + e--------J + c2 ^cos ut---------------------—— ] +
. . и eos ut
+c3 ( sin ut H--------------——
Если тп\, Ш2,гпз ф 0, то нули функции (ipy(t), m) совпадают с нулями функции
(ífjyít), m) mi ( . . t2 t2 . \
------ , = ------ Cl (cos t + e) + c2e cos Lût + c3e sin Lût +
Arrive1 Am^t¿ V /
/ cos t + e sin t \ / COS WÍ U! sin cot
+m2Cl (^¡T “ 4^?J + “2C2 ( 2^¡T “
/sinwi UJ COS U)t\
+m2C3l.2^ + l^j +
( sini cosi + 2e'
+Ci ^cos t + 6 — + —
/ wsinwi (2 — Ld2) COS U)t\
+c2 (rosu-i — + —2 J +
( . cocoscot (2 — cv2) sinwi'
+c3 (smut + —— + w
Таким образом, в каждом из рассмотренных случаев число нулей функции (ipy{t), m) на
интервале (¿о, Т) не зависит от вектора m G R* и совпадает на указанном интервале с числом
нулей функции f(t).
4. Зафиксируем числа ср G M, e G (0, 1) и выберем число о; ^ Q из интервала (1). В работе [10] доказано, что для каждого значения A G [0, 1] :
- множество всех значений </?, в которых функция
/a(í) = (1 — A)(cosí + e) — Acos((p + Güí), Í G M+,
имеет кратные нули не более чем счетно;
- найдется такое значение (р = (р(А), при котором ни в одном из нулей функции /а(^) не обнуляется ее производная;
- частота нулей функции /а(^) не зависит от (р и является точной.
Следовательно, на основании п.З настоящего доказательства, с учетом остаточности функционалов (см. лемму)
z>, z>, (, (, <т, а : S* (a) —» M при любом фиксированном значении A G [0, 1] имеют место равенства
С (у а) = ¿(y а) = Ну а) = С {у а) = à (у А) = Ну а) = Н/а),
где
у a (t) = ( 1 — A) e*2 (cos t + e) — Aef2 cos (fi + ut) G S* (a).
Так как частоты нулей однопараметрического семейства /а при изменении параметра А от 0 до 1 принимают все значения из отрезка [1, oj\ (см. [10]), то частоты нулей, полные и векторные частоты однопараметрического семейства у а также будут принимать все значения из отрезка [1, и].
Теорема доказана.
Автор выражает глубокую благодарность профессору И.Н. Сергееву за постановку задачи и внимание к работе.
ЮБЫ 2074-1065 Рецензируемый, реферируемый научный журнал «Вестник АГУ». Выпуск 3 (122) 2013
Примечания:
1. Сергеев ИЛ. Определение и свойства характеристических частот линейного уравнения // Труды Семинара им. ИТ. Петровского. 2006. Вып. 25. С. 249-294.
2. . . -
тот линейных уравнений произвольного порядка // Труды Семинара им. ИТ. Петровского. 2013. Вып. 29. С. 414-442.
3. . . -
// -
альные уравнения. 2008. Т. 44, № 11. С. 1577.
4. . . -
венные значения показателей линейных систем // Дифференциальные уравнения. 2011. Т. 47, № 11. С. 1661-1662.
5. . . -
зателей блуждаемости решений линейной сис-// . 2010. Т. 46, № 11. С. 1667-1668.
6. . ., . .
векторной частот решений линейной автоном-// .
2011. Т. 47, № 11. С. 1662-1663.
7. . . -
// -
ренциальные уравнения. 2011. Т. 47, № 11. С. 1665.
8. . . -
тот линейных дифференциальных уравнений // -
нения. 2012. Т. 48, № 6. С. 908.
9. . . -
ристик колеблемостей решений линейных дифференциальных уравнений третьего поряд//
университета. Сер. Естественно-
математические и технические науки. 2013. Вып. 2 (119). С. 9-23.
URL: http://vestnik.adygnet.ru
10. . .
линейных систем дифференциальных уравне-// . . . . 1983. Вып. 9. С. 111-166.
11. . .
решений дифференциального уравнения вто// -ситета. Сер. 1. Математика. Механика. 2011. № 6. С. 21-26.
12. . . -
. .:
, 2004. 240 .
References:
1. Sergeev I.N. Definition and properties of characteristic frequencies of the linear equation // Works of Seminar of I.G. Petrovsky. 2006. Iss. 25. P. 249294.
2. Sergeev I.N. Properties of characteristic frequencies of the linear equations of random order // Works of Seminar of I.G. Petrovsky. 2013. Iss. 29. P. 414-442.
3. Sergeev I.N. Determination of full frequencies of solutions of the linear equation // Differential equations. 2008. Vol. 44, No. 11. P. 1577.
4. Sergeev I.N. Metricaally typical and essential values of indices of linear systems // Differential equations. 2011. Vol. 47, No. 11. P. 1661-1662.
5. Sergeev I.N. Comparison of full frequencies and indices of roaming of solutions of a linear system // Differential equations. 2010. Vol. 46, No. 11. P. 1667-1668.
6. Burlakov D.S., Tsoy S.V. Equality of full and vector frequencies of solutions of linear autonomous system // Differential equations. 2011. Vol. 47, No. 11. P. 1662-1663.
7. Stash A.Kh. On set of values of full frequencies of solutions of the linear equation // Differential equations. 2011. Vol. 47, No. 11. P. 1665.
8. Stash A.Kh. Spectra of full and vector frequencies of the linear differential tertiary equations // Differential equations. 2012. Vol. 48, No. 6. P. 908.
9. Stash A.Kh. On essential values of variability characteristics for the solutions of third order linear differential equations // The Bulletin of the Adyghe State University. Series Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2013. Iss. 2 (119). P. 9-23. URL:http://vestnik.adygnet.ru
10. Sergeev I.N. On the theory of Lyapunov indices of linear systems of differential equations // Works of the Seminar of I.G. Petrovsky. 1983. Iss. 9. P. 111-166.
11. Sergeev I.N. Unsteadiness and roaming of solutions of the second order differential equation // Bulletin of Moscow University. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. 2011. No. 6. P. 21-26.
12. Filippov A.F. Introduction in the theory of differential equations. M.: Editorial URSS, 2004. 240 pp.
