О разрывности младших частот нулей и корней на множестве линейных однородных дифференциальных уравнений третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.926 ББК 22.161.61 С 78

Сташ А.Х.

Кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа и методики преподавания математики факультета математики и компьютерных наук Адыгейского государственного университета, Майкоп, тел. (8772) 593905, e-mail: [email protected]

О разрывности младших частот нулей и корней на множестве линейных однородных дифференциальных уравнений третьего порядка

(Рецензирована)

Аннотация. Изучается непрерывность в смысле равномерной топологии младших полных и векторных частот нулей и корней на множестве линейных однородных дифференциальных уравнений третьего порядка с ограниченными коэффициентами. Установлено существование точек, в которых каждый из этих функционалов не является инвариантным относительно бесконечно малых возмущений.

Ключевые слова: линейное дифференциальное уравнение, колеблемость решения, число нулей функции, полная частота, векторная частота.

Stash A.Kh.

Candidate of Physics and Mathematics, Associate Professor of Department of Mathematical Analysis and Methodology of Teaching Mathematics of Mathematics and Computer Science Faculty, Adyghe State University, Maikop, ph. (8772) 593905, e-mail: [email protected]

On discontinuity of lower zero and root frequencies on a set of third order linear homogeneous differential equations

Abstract. The continuity is studied in terms of uniform topology of lower full and vector zero and root frequencies on a set of third order linear homogeneous differential equations with the limited coefficients. Existence ofpoints is established in which each of these functionals is not invariant relatively infinitesimal disturbances.

Keywords: linear differential equation, solution variability, number of zero function, full frequency, vector frequency.

Введение и формулировка результата

Для заданного натурального n обозначим через En множество линейных однородных уравнений n - го порядка

y(n) + a, (t)y(n_1) +... + an_ (t)y + an (t)y = 0, t e R+ = [0; ю),

с непрерывными коэффициентами a,,...,an: R + ^R, образующими строку a = (a,,...,an) (каждую такую строку будем отождествлять с соответствующим уравнением). Пространство всех решений y : R + ^R уравнения a e En обозначим через S(a), а подмножество всех его ненулевых решений - через S*(a).

Определение 1 [1, 2]. Для заданных векторов щу = (y,y,...,y(n1)), m e Rn, и момента времени t > 0 введем обозначения: v0(y, m, t) - число нулей при re(0, t] скалярного произведения Щу(г), m ; v+ (y, m, t) - число корней при re(0, t] функции Щщу(г), m), то есть нулей с учетом их кратности.

Определение 2 [1, 2]. Каждому решению y e S*(a) уравнения a e En поставим в соответствие его нижнюю (верхнюю) полную и векторную частоты

аа(y) = inf lim-v"(y,m,t) (aa(y) = inf lim-va(y,m,t) |,

meRn tt ^ meRn tf J

C(y) = lim inf -va (y,m,t) ( C" (y) = lim inf -va(y,m,t))

tmeRn t ^ t^ meRn t J

нулей и корней при а = 0,+ соответственно. В случае совпадения какой-либо нижней частоты

решения y е S* (а) с верхней одноименной будем называть ее точной и обозначать соответственно С" (у), °а(.У).

К определениям 1 и 2 добавим обозначение v" (y, m, t, 5) = v" (y, m, t) -v" (y, m, 5).

Определение 3 [1, 2]. При любом a> =С°,С+,ö0,ö+ ,С°,С+,ö0,ö+ определим младшую частоту ®j(a) = inf а>(y) линейного уравнения а е En.

yeS,( а )

Каждую из младших частот линейного уравнения а е En рассмотрим как функционал на линейном топологическом пространстве En с естественными для функций линейными операциями и равномерной на R+ топологией.

Определение 4 [3]. Для уравнения а е En обозначим через В(а) множество уравнений b е En, удовлетворяющих условию limlb(t) - а^)| = 0, при котором возмущение b - а назовем

t ^ю1 1

бесконечно малым. Будем говорить, что функция а>: En ^R не инвариантна в точке а е En относительно бесконечно малых возмущений, если существует уравнение b е В(а), удовлетворяющее условию а>(а) Ф a>(b).

Определение 5 [3]. Для заданных множеств M и F = f : R+ ^ M } назовем функционал Я: F ^ R остаточным, если для любых функций f, g е F, удовлетворяющих хотя бы при одном t0 е R+ условию f (t) = g(t), t > t0, имеет место равенство Я^) = Я(g).

Младшие частоты в пространстве E2 непрерывны [4] и, будучи остаточными [3], инвариантны относительно бесконечно малых возмущений в каждой точке а е E2. Однако указанные их свойства не распространяются на пространство E3 . Теорема. Каждый из функционалов

С0,С+ ,ö0, ö+,С0,С+ ,ö0,ö+ : ЗД ^ R (1)

хотя бы в одной точке пространства E3 не является ни непрерывной, ни полунепрерывной сверху, ни полунепрерывной снизу, ни даже инвариантной относительно бесконечно малых возмущений.

Вспомогательные утверждения Лемма 1. Пусть последовательность положительных чисел t1 < t2 < ... удовлетворяет

условиям lim t =<х>, lim -p+1 = 1. Тогда для любого решения y е S*(a) любого уравнения

Р^Ю p ^Ю t

p

а е En при каждом а = 0,+ выполнены равенства:

ж

ö"( y) = inf lim - v"(y, m, tp ), (2)

mеR р^ю tp

~ Ж ~ - ж

Са (у) = lim rnf -v" (y, m, tp), С"(у) = lim inf, -v" (y, m, tp ), (3)

pmеRn t mеRn t

F p p

а при дополнительном условии lim(tp+1 - tp ) = ro верно еще и следующее: если для некоторого числа р > 0 в пределах (2), (3) каждое из чисел tp уменьшить на Tp < pT, а каждое из чисел v"(y, m, tp ) - на vp < pT, то значение предела от этого не изменится.

Доказательство этой леммы сводится к повторению рассуждений, проведенных при доказательстве леммы 7 [5].

Лемма 2 [3]. Если остаточный функционал, определенный на En, полунепрерывен во всех точках в одном и том же смысле, то в любой точке а е E n он инвариантен относительно

бесконечно малых возмущений.

Лемма 3 [6]. Для любого уравнения a е En функционалы (1) являются остаточными.

Лемма 4. При любом /0 > 0 найдется такое s > 0, что для множества M = \0 —s, /0 + s] некоторого числа T0 > 0 и любой последовательности к1,к2,...е N существует семейство уравнений a- е E , зависящее от последовательности параметров

/ = (//, /2,...) е M ш и обладающее свойствами:

1) для каждой последовательности /е Mш уравнение a-е E3 имеет набор решений

М

У1,У2,У3, удовлетворяющий при каждом p е N требованиям

(e—t, e—t cos t, e—t sin t) tp—i + T < t < rp, (e—t sin t, /pe—t, e—t cos t} Гр + T0 < t < Sp, (e—t cos t, e—t sin t, /ipe—t) sp + T < t <тр, (e—t (cos t +1), cos3t, sin3t), Tp + T0 < t < qp, (sin 3t, e—t (cos t +1), cos 3t), qp + T0 < t < hp, (cos3t, sin3t, e—t (cos t +1)), hp + T0 < t < tp, где t0 = 0 и при каждом p = 1,2,... последовательно обозначено

rp = tp—1 + T + 2nkp, Sp = rp + T + 2nkp, rp = Sp + T0 + 2nkp,

qp =Tp + T0+2^p, hp = qp + T0+2^kp, tp = hp + T0+2^kp;

" < d;

y 2, Уз ) =

aM

2) для некоторой константы d при любом ¿ug M ш выполнена оценка

3) функции a- дифференцируемы по í и непрерывны по каждому из параметров

и

Up g M равномерно по (p, í) g R+ x N.

Доказательство. При любом фиксированном p на каждом из промежутков

L + ^ rp\, [rp + ^ Sp \, \sp + ^ Гр J (4)

возьмем уравнение с фундаментальной системой решений e _, e_ cos í, e ~t sin í, а на каждом из промежутков

ГР + То, qp \, [qp + То, hp \, [hp + То, íp \ (5)

- уравнение с фундаментальной системой решений e_í(cosí +1), cos3í, sin3í.

Теорема 3 [7] позволяет строить уравнение a g En с гладкими коэффициентами, имеющее фундаментальную систему решений, совпадающую слева и справа от заданного отрезка с наперед заданными наборами решений с положительными определителями Вронского и гладко зависящую от самих этих наборов. В соответствии с указанной теоремой выберем достаточно малую замкнутую окрестность M с R+ значения и0 и при каждом фиксированном значении p строим уравнение следующим образом:

- на участке \р_1, íp_1 + Т0 \ найдем дифференцируемое по тройке (í, up_1, UP ) (после чего равномерная непрерывность семейства уравнений по каждому параметру ир становится следствием одной лишь компактности множества [íp_1, íp_1 + Т0 \х M2 ) уравнение, переводящее набор

(cos3í, sin 3í, e_í (cos í +1)) (6)

решений, заданных слева от точки íp _1, в набор

(upe_í, e_í cos í, e_í sin í) (7)

решений, заданных на ]tp _1 + T0, rp J (здесь первое решение начального набора переходит в

первое решение конечного набора, второе - во второе, и третье - в третье);

- на участке \rp, rp + To J найдем дифференцируемое по паре (t, лр) уравнение, переводящее набор (7) решений в набор

(esin t, /ipe, ecos t) (8)

решений, заданных на \rp + T0, sp J;

- на участке \sp, sp + T0 J найдем дифференцируемое по паре (t, /ир) уравнение, переводящее набор (8) решений в набор

(ecos t, e sin t, /ipe^ ) (9)

решений, заданных на \sp + T0,\p J;

- на участке \гр,\ + T0J найдем дифференцируемое по паре (t,лр) уравнение, переводящее набор (9) решений в набор

(e(cos t +1), cos3t, sin3t) (10)

решений, заданных на \р + T0, qp J;

- на участке \qp, qp + T0 J найдем дифференцируемое по паре (t, /ир ) уравнение, переводящее набор (10) решений в набор

(sin 3t, e(cos t +1), cos3t) (11)

решений, заданных на \qp + T0, hp J;

- на участке \hp, hp + T0 J найдем дифференцируемое по паре (t,цр) уравнение, переводящее набор (11) решений в набор (6) решений, заданных на \hp + T0, tp J.

Таким образом, построили семейство уравнений a- е E3, удовлетворяющее условиям 1)-3). Лемма 4 доказана.

Доказательство основного результата

1. При м0 =40,85 для последовательности k1 = 1, k2 = 2,. „ возьмем семейство уравнений а^е E3, существование которого утверждается в лемме 4. Внесем в это уравнение следующие

изменения. При любых фиксированных значениях р е N, /л е Mш для фундаментальной системы решений уравнения а- на каждом из промежутков

\tp-1, tp-1 + T0 J, \rp, Гр + T0 J, \sp, Sp + T0 J, \\р ,\р + T0 J, \qp, qp + T0 J, \hp, hp + T0 J (12)

построим интерполяционные многочлены Эрмита [8, c. 36-41]. На концах отрезков (12) задаем значения этих первоначальных решений вместе с их производными до третьего порядка включительно. За счет корректного выбора узлов интерполяции [8, c. 36-41] внутри каждого отрезка и дальнейшего неограниченного увеличения их числа последовательность интерполяционных многочленов Эрмита будет равномерно сходиться на заданном отрезке к соответствующей функции. Выбираем число узлов настолько большим, чтобы внутри отрезков (12) соответствующие определители Вронского систем многочленов Эрмита были положительны. Тогда в уравнении а/ на каждом из рассматриваемых промежутков фундаментальную

систему решений можно заменить соответствующей построенной системой многочленов

Эрмита. При этом новое уравнение b- е E3 будет обладать всеми условиями 1)-3) леммы 4.

л

2. Зафиксируем произвольное р е N и для заданного решения y е S*(b-), вектора

л

m е R3 при любом а = 0,+ обозначим

va( y, m, Ip ) = va( y, m, ^, tp_x + Г0) + va( y, m, ^, ^ + T0) + va( y, m,^, + T0) + + va(y, m, qp, ,Tp + To) + va(y, m, Лр, qp + T,) + va(y, m, tp, Лр + T,). Пусть задано отображение p:R*3 ^ ¿»(b-), переводящее каждую ненулевую точку c = (cj, c2, c3) e R*3 = R3 \ {0} в решение

p(c) = y = cjyj + C2y2 + c3y3 e S.*{b7¡), (13)

для которого обозначено

0 v0(y,m,I ) + v+ (y,m,I )

к (c, m) =-—, к (c, m) =-—.

12 p 12 p

Покажем, что любое решение (13) удовлетворяет равенствам С0(y) = <т0(y) = ^0(y) = â0(y) = K0(c), £ + (y) = <T+ (y) = r (y) = â+ (y) = к+ (c), (14)

где

к0 (c) = inf к0 (c, m), к+ (c) = inf к+ (c, m).

meR3 meR3

3. Последовательность

t0 - 0, tp = tp-1 + 6T0 + 12ж p е N, удовлетворяет условиям lim t = ю, lim(t_ - tp-1) = ю, а значит, обладает свойством

t . 6T0 + 12ж ,. p-1 , lim—^ = 1 + lim—0-+ 12tf-hm—— = 1.

pt p^ю t , pt , p-1 p-1 p-1

4. Известно, что число корней алгебраического многочлена не превосходит его степени. Поэтому найдется такое число T, что для любого решения y е S*(b-) функция (yy,m} при

любом m е R*3 имеет на любом промежутке вида (12) не более чем T корней. Следовательно, при использовании леммы 1 можно не брать в расчет как полуинтервал (0;T0 ], так и при каждом p е N полуинтервалы

(tp-1, tp-! + T0 ], (rp, rp + T0 ], (5p, 5p + T0 ], (Tp ,Tp + T0 ], (qp, qp + T0 ], (hp, hp + T0 ],

на которых оно имеет не более чем по T нулей.

Таким образом, для ненулевых решений построенного уравнения при каждом а = 0,+ имеют место следующие соотношения:

p

~ ж ^^

С" (У) = lim inf— v" (y, m, tp ) = lim inf -=

p^ю mеR t p^x mеR

P

i=1

¿12ж7

= lim inf (cm) + -y + P(cm)) = inf к* (c,m) = к*(c),

p^a.

meR 12ж(1 + 2 + y + p) meR3

Ж ж

ö" (y) = inf lim—v" (y, m, tp) < lim — v"(y, mc, tp ) = К" (с).

МеR tp tp

Аналогичные равенства и неравенства справедливы соответственно для верхних частот, поэтому с учетом соотношений

к"(с) = С"(У) <ö"(У) <к"(с) (первое неравенство вытекает непосредственно из определения точных векторной и полной частот), будем иметь

С" (У) = ö"( у) = к"(с), " = 0,+ . (16)

На основании этих равенств, с учетом изоморфизма (13), младшие частоты семейства

уравнений Ь- е Е3 можно вычислять по формулам ¿¿»"(Ь-) = тГ ка(е).

м м сеЯ,3

Найдем возможные значения величин к0 (с), к+ (с) при каком-либо фиксированном значении р , для других значений р эти величины не будут меняться. Для этого в зависимости от вектора с е Я,3 укажем такой вектор т е Я3, при котором функция (у/у, т} имеет наименьшее общее число нулей на промежутках

('р-1 + ТО, Гр\, (гр + Т0, ^^р \, + Т{), Тр\, (Тр + Т0, др\, (др + То, Ир\, (кр + Т0,1р\. (17)

Для любых векторов g, к е Я*3 через С(g, к) обозначим любую содержащую их двумерную плоскость, а через I - объедение осей Ос1, Ос2, Ос3 (ниже в доказательстве теоремы начало координат всюду игнорируется). Для векторов е1 = (1,0,0), е2 = (0,1,0), е3 = (0,0,1) введем обозначение Ь = С(е1, е2) и С(е2, е3) и С(е1, е3).

5.1) Минимум в к0(с), к+ (с), с е I реализуется на векторе т1 = (5,0,1), поскольку на Я+ функция уу/(е- (соб I +1)], т^ отделена от нуля. Следовательно, имеет место

4

к\с) = к+ (с) = 3, c е l. (18)

5.2) Для заданных функций f1, f2 введем обозначение

и ((1, /2 )={у/ + У2/2У1У2 е R \ {0}}. Заметим, для любого вектора m Ф m2 = (9,0,1) нули функции (y(cos3t),m} являются точками смены знака, а для каждого решения

y е U(cos 3t, e—' (cos t + 1))u U(sin 3t, e—t (cos t +1)) на соответствующем промежутке из (17) при достаточно большом p функция (y(e—t (cos t +1)),) не влияет на число нулей (yy, m).

Для m3 = (2 — у,2,1) при достаточно малом у > 0 функция (yy, m3} при любом

y е U(e—t, e—t cos t)uU(e—t, e—t sin t) не будет иметь нулей на R +, поэтому

к\с) = к+ (с) = 5, с е L \l. (19)

5.3) Минимум в определении величин

к0(с), к+ (с), с е R*3 \ L (20)

реализуется на векторе m = m2, поскольку на каждом из промежутков (5) функция (yy, m^ отделена от нуля, а при любом другом векторе m е R*3 функция (yy, m} на промежутках (5) будет иметь не менее 18p нулей (быть может, начиная с некоторого номера p ). Теперь для вычисления значений величин (20) остается посчитать число нулей функции (yy, m2} на каждом из промежутков

(tp—1 + T0, rp ], (rp + T0, Sp ], (sp + T0,Tp ]. (21)

5.4) На том из трех промежутков (21), на котором yi(t) = /upe—t, функция (yy,m2) пред-ставима в виде

(yy,m2) = e85(с,2, + сг2+1)sin(t + 0) + 10с,./ipe—,

e*

где 0 е R - вспомогательный угол. Умножив эту функцию на .— , будем иметь

V85

({w>, mi)

= V cf-1 + ch sin(t + 0) + c lPf

л/85 ^1 ' ^1 ^ ' Рр л/85 '

Пусть для вектора с е Е*3 и номера г е {1, 2, 3} выполнено условие

с-р] > сг2-1 + сг2+1 (22)

(здесь и всюду ниже индекс 0 отождествлен с индексом 3, а индекс 4 - с индексом 1). Тогда имеет место оценка ^с2_

/c2, + c2+1 < c

грр|, гарантирующая отсутствие корней функции {ц/у, т^

на рассматриваемом промежутке.

Аналогично, при условии с2 рр < сг2_ + с2+1 на упомянутом промежутке функция Цу, т

222.2

имеет 2р корней и нулей, а при условии с г рр = с г_1 + с г+1 - столько же корней и ровно вдвое меньше нулей.

5.5) Обозначим через Уг подмножество пространства Е3, состоящее из точек, удовлетворяющих неравенству (22), и представляющее собой в пространстве Е3 круглый конус

(точнее, его внутренность, каковую и будем подразумевать в дальнейшем под словом конус), ось которого совпадает с I -й осью координат.

5.6) Через иг^ Е*3 обозначим множество точек, принадлежащих ровно г из трех конусов У1, У2, У3 и при этом лежащих на границе ровно ] из оставшихся. Тогда для величин к0 и к+ при любом с е Е*3 \ Ь справедливы равенства:

K°(c)=

0, c ^

112, c ^2,1,

16, c ^2,0 U U1,2

14, c е U1,1 U U0,3,

13, c е U1,0 U U0,2

5/12, c е U0,1,

12, c е U0,0,

к+(c)=

0, 16, 13, 12,

c еа

3,0'

c еU2,1 U U2,0 , c еи12 U Uu U ^

c еи0,0 U U0,1 U U0,2 U U0,3,

причем здесь перечислены все возможные значения этих величин.

6. Проследим за изменением множеств значений величин к0 и к+ при изменении последовательности /и е Мш .

6.1) Если выполняется равенство /1р = ^0,85 (которое равносильно рр = 1) при любом р е N, то конусы У1, У2 и У3 только касаются друг друга, причем только попарно, и все точки касания лежат на шести конкретных прямых (см. п. Б. доказательства леммы 16 [5]). Следовательно, непустыми являются только множества ио 0, ио 1, и10 и ио 2, а значит, учитывая равенства (18)-(19), искомые множества значений оказываются следующими:

Е(к0) = {1/3, 5/12, 12, 4/3, 5/3}, К(к+) = {1/3, 12, 4/3, 5/3}.

6.2) Если же выполняется неравенство ир > ^0,85 (которое равносильно 1 < рр <42 ) при любом р е N, то конусы уже попарно пересекаются, но не имеют общих для них всех точек, даже граничных (см. п. Б. доказательства леммы 16 [4]). При этом граница любого конуса пересекается с любым другим конусом так же, как и с его границей.

Таким образом, к предыдущему списку непустых множеств добавляются еще два множества и2 0 и и11, поэтому

e

Е(к0) = {1/6, 1/4, 13, 5/12, 12, 4/3, 5/3}, Е(к+) = {1/6, 13, 12, 4/3, 5/3}.

7. Теперь укажем точки разрыва младших частот на множестве Е3. При любом а = 0,+ примером точки разрыва для функции ( служит уравнение Ьу^ из построенного в настоящем доказательстве семейства, взятое при постоянной последовательности / = /2 = .... = у]0,85 , то есть относящееся к пункту 6.1), в котором ((ь^!]= 1/3•

Действительно, это уравнение обладает тем свойством, что в любой его окрестности (в силу непрерывности семейства уравнений по / ) найдется возмущенное уравнение Ь/ из того же семейства, но попадающее под пункт 6.2) настоящей теоремы, а значит, удовлетворяющее равенству ( (ЬД) = 1/6.

Более того, если возмущенное уравнение Ьд подчинить дополнительному условию /р ^ д/0,85 при р ^ ю, то для него, помимо указанного равенства будет выполнено условие Ьд е В(Ь, из которого следует, что функционал ( не инвариантен в точке Ьотносительно бесконечно малых возмущений, а значит, в силу лемм 2 и 3 он не является полунепрерывной функцией - ни сверху, ни снизу.

Теорема полностью доказана.

Автор выражает глубокую благодарность профессору ИН^ Сергееву за постановку задачи и внимание к работе•

Примечания:

1. Сергеев И.Н. Определение полных частот решений линейного уравнения // Дифференциальные уравнения. 2008. Т. 44, № 11. С. 1577.

2. Сергеев И.Н. Замечательное совпадение характеристик колеблемости и блуждаемости решений дифференциальных систем // Математический сборник. 2013. Т. 204, № 1. С. 119-138.

3. Сергеев И.Н. К теории показателей Ляпунова линейных систем дифференциальных уравнений // Труды Семинара им. И.Г. Петровского. 1983. Вып. 9. С. 111-166.

4. Сергеев И.Н. Колеблемость и блуждаемость решений дифференциального уравнения второго порядка // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика и механика, 2011. № 6. С. 21-26.

5. Сергеев И.Н. Определения и свойства характеристических частот линейного уравнения // Труды Семинара им. И.Г. Петровского. 2006. Вып. 25. С. 249-294.

6. Сташ А.Х. О существовании линейного дифференциального уравнения третьего порядка с континуальными спектрами полной и векторной частот // Вестник Адыгейского государственного университета. Сер. Естественно-математические и технические науки. 2013. Вып. 3 (122). С. 9-17. URL: http://vestnik.adygnet.ru

7. Сергеев И.Н. Об управлении решениями линейного дифференциального уравнения // Вестник Московского университета. Сер. 1. Математика и механика. 2009. № 3. С. 25-33.

8. Калиткин Н.Н. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

References:

1. Sergeev I.N. Determination of full frequencies of solutions of the linear equation // Differential Equations. 2008. Vol. 44, No. 11. P. 1577.

2. Sergeev I.N. The remarkable agreement between the oscillation and wandering characteristics of solutions of differential systems // Sbornik: Mathematics. 2013. Vol. 204, No. 1. P. 119-138.

3. Sergeev I.N. On the theory of Lyapunov indices of linear systems of differential equations // Works of the Seminar of I.G. Petrovsky. 1983. Iss. 9. P. 111-166.

4. Sergeev I.N. Unsteadiness and roaming of solutions of the second order differential equation // Bulletin of Moscow University. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. 2011. No. 6. P. 21-26.

5. Sergeev I.N. Definition and properties of characteristic frequencies of the linear equation // Works of Seminar of I.G. Petrovsky. 2006. Iss. 25. P. 249-294.

6. Stash A.Kh. On existence of third-order linear differential equation with continuous ranges of complete and vector frequencies // The Bulletin of the Adyghe State University. Ser. Natural-Mathematical and Technical Sciences. 2013. Iss. 3 (122). P. 9-17. URL: http://vestnik.adygnet.ru

7. Sergeev I.N. On control of solutions of the linear differential equation. // Bulletin of the Moscow University. Ser. 1. Mathematics. Mechanics. 2009. No. 3. P. 25-33.

8. Kalitkin N.N. Numerical methods. M.: Nauka, 1978. 512 pp.