Решение линейного уравнения Россби в ограниченной области Текст научной статьи по специальности «Математика»

____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 155, кн. 3 Физико-математические науки

2013

УДК 519.63

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ РОССБИ В ОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ

А.А. Свидлов

Аннотация

В работе даны обобщенные постановки первой и второй начально-краевых задач для уравнения Россби, доказана однозначная разрешимость этих задач. Для первой начальнокраевой задачи построено приближенное решение, исследована его сходимость к обобщенному, приведены результаты численного эксперимента.

Ключевые слова: уравнение Россби, уравнение соболевского типа, уравнение планетарных волн.

Введение

В геофизической гидродинамике изучаются планетарные волны, возникновение и распространение которых обусловливается вращением Земли. Эволюция этих волн описывается уравнением Россби [1, § 43]

Д ut + uXl = f.

Решение u уравнения Россби является функцией тока течения, то есть физическую скорость v = (vi,v2) можно определить следующим образом: vi = uX2, V2 = uXl. Кроме того, можно рассматривать и нелинейные варианты уравнения Россби, включив нелинейность в правую часть f подобно тому, как это сделано в работе [2].

Впервые планетарные волны были рассмотрены в работе К.-Г. Россби [3] в 1949 г. Этой тематике посвящен ряд работ (см. [4-8] и приведенную в них библиографию), в которых рассмотрены постановки некоторых задач для уравнения Россби.

В настоящей работе сформулирована обобщенная постановка первой начальнокраевой задачи для уравнения Россби, построено приближенное решение, исследована его сходимость, приведены результаты численного эксперимента. Приведены также обобщенная постановка и теорема о разрешимости второй начально-краевой задачи.

1. Обобщенная постановка первой начально-краевой задачи

Будем считать, что область течения Q С К” ограничена, dQ - кусочно-гладкая поверхность, uo е Hq(Q) , T е (0, +го], f е С([0, T); L2(Q)).

Определение 1. Классическим решением первой начально-краевой задачи для уравнения Россби будем называть функцию u е C * 1([0, +то); C2(Q)), удовлетворяющую уравнению

Дut + uXl = f при 0 < t < T, x е Q, (1)

142

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ РОССБИ

143

начальному условию

u( 0) = п0 (2)

и граничному

u\dQ = °' (3)

Определение 2. Функцию u G Cg([0, T); Hg(Q)) будем называть обобщенным решением первой начально-краевой задачи для уравнения Россби, если она удовлетворяет равенству (2) и при любом t G (0, T) интегральному тождеству

j (Vut(x, t)Vh(x) — uxi (x,t)h(x)) dx = — J f (x, t)h(x) dx (4)

QQ

для любой функции h G Hg(Q).

Возможны варианты обобщенных постановок первой начально-кравой задачи для уравнения Россби с более слабыми требованиями на гладкость [9].

Связь между обобщенным и классическим решениями устанавливается следующей леммой.

Лемма 1. Пусть и о G C2(Q). Функция u G C1 ([°, T); C2(Q)) является классическим решением тогда и только тогда, когда является обобщенным решением.

Доказательство. Для и G C1 ([0,T); C2(Q)) при любых h G Hg(Q), t G (°,T) имеют место равенства

/ (Aut(x, t)h(x) + Vut(x, t)Vh(x)) dx

Q

= div(h(x)Vut(x, t)) dx =

Q

i

dQ

h(x) —ut(x, t) dx

0.

Вычтем из равенства

/ (Aut(x, t)h(x) + Vut(x, t)Vh(x)) dx = 0

Q

интегральное тождество (4), получим равенство

J(Au,t,M)hM + 0М)ВД) dx

Q

f(x, t)h(x) dx,

Q

(5)

эквивалентное интегральному тождеству (4). С другой стороны, в силу произвольности h G Hg(Q) и t G (0,T) равенство (5) эквивалентно уравнению (1).

Заметим, что для функции u принадлежность пространству C1 ([0,T); Hg(Q)) и выполнение условия (3) равносильны; это завершает доказательство леммы. □

Докажем эквивалентность обобщенной постановки первой начально-краевой задачи для уравнения Россби задаче Коши (6) для обыкновенного дифференциального уравнения в банаховом пространстве Hg(Q).

144

А.А. СВИДЛОВ

Лемма 2. Функция u G Cq([0,T); H0(Q)) удовлетворяет равенствам

ut(t) = Д-1 f (t) - d~u(t)

u(0) = uo

тогда и только тогда, когда является обобщенным решением задачи (1)—(3).

Здесь Д-1 : L2(Q) ^ Hq(Q) - оператор, который ставит в соответствие правой части ф обобщенное решение р задачи Дирихле для уравнения Пуассона

при всех t G [0, T),

(6)

Др = ф в Q, ^\sq = 0,

(7)

то есть Д Qp = ф тогда и только тогда, когда для любого h G Hq (Q) выполняется интегральное тождество

/ Vp(x)Vh(x) dx = — ф^^^) dx.

Q

Q

(8)

Известно, что оператор Д-1 является непрерывным [10].

Доказательство леммы 2 основывается на сопоставлении тождеств (8) и (4).

Из леммы 2 следует

Теорема 1. Для любых uo G Hq (Q) и f G C([0,T); L2 (Q)) обобщенное решение задачи (1)-(3) существует и единственно. При этом оно имеет вид

u(t) = exp

-tA

д

1

dxi

t

uo + exp

0

т Д

d

1

dxi

Д Qf (т) dT

(9)

Доказательство. Задача Коши (6) имеет единственное решение для любых u0 G Hq(Q) и f G C([0, T); L2(Q)), это решение имеет вид (9) [11, гл. VII, § 31]. Следовательно, по лемме 2 существует единственное обобщенное решение задачи (1)-(3), при этом оно имеет вид (9). Доказательство теоремы завершено. □

2. Приближенное решение

Для простоты изложения далее будем полагать f = 0, T < . Рассмотрим

д

оператор A : Hq(Q) ^ Hq(Q) , определенный равенством A = — Д-1——. Этот

dxi

оператор является непрерывным. Заметим, что при f = 0 из равенства (9) следует равенство

u(t) = exp(tA) u . (10)

Определение 3. Пусть p, N G N, т = T/N, е > 0. Назовем (—, т, е)-приближенным решением первой начально-краевой задачи последовательность функций {ui}N= 0, u* G H1 (Q), определенную следующим образом:

u

о

u ,

где v* = венству

. . . т2 • тр •

u* = v. + т«1 + — v2 + ••• + — vp, 2- —

.-1

, функции v* G Hq(Q) для всех k

u

i = 1,2,...,N,

1, 2,... ,p удовлетворяют нера-

К

Av

.

k

hkq)

< е.

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ РОССБИ

145

Сходимость приближенного решения к обобщенному решению задачи (1)—(3) устанавливается в следующей теореме.

Теорема 2. Пусть и - обобщенное решение первой начально-краевой задачи для уравнения Россби, а |ui}N=1 - ее (p, т, е) -приближенное решение. Тогда для всех i = 1, 2,. .., N имеют место неравенства

Ik -u(iT)||hi(q) < (£S(т)+KrP) ((1+tp(t))*-1) , (11)

где константа K и полиномы P(т), S(t) определены следующим образом:

K = НАГ1 sup ||u(t)||H 1(q) exp (HAH T), (12)

te[0,T)

p-1

P(t) = E HAH

k=0

k т

k

k! 5

p-1

S(t ) = E

k=0

k

EHAHj

j=о

т k

(k + 1)!'

Прежде чем приступить к доказательству теоремы, докажем следующую лемму.

Лемма 3. Пусть b > 0, m > 0, {«А|= о - множество неотрицательных действительных чисел, удовлетворяющих следующим условиям:

«о = °

«i < (1 + b)«i-1 + m, i = 1, 2,..., N.

Тогда для i = 0, 1, . . . , N имеет место неравенство

m ( )

«i < "b ((1 + b)i — ^ • (13)

Доказательство. Доказательство будем вести по индукции. Очевидно, что для i = 0 неравенство (13) выполняется. Предположим, что оно выполняется для некоторого i — 1. Тогда

m ( ) m ( )

«i < (1 + b)b ((1 + b)i 1 — ^ + m = b ((1 + b)i — ^ ,

то есть неравенство (13) имеет место и для i. Лемма доказана. □

Доказательство теоремы 2. Используя формулу (10) и определение (p, т, е)-приближенного решения, представим разность ui — u(iT) в виде

ui — u(iT) = Ё t- (vfc — Aku((i — 1)т^ —

k=0

^ T k

E t! Au((* — 1)T)•

k=p+1

Теперь, пользуясь неравенством треугольника, получим неравенство

|u u(iT )|h1(Q) <

<

p T k

£ k

k=0

— Ak u((i — 1)t )|h1(q) +

T k

£ k

k=p+1

■Ak u((i — 1)t )

h1(Q)

(14)

146

А.А. СВИДЛОВ

Последнее слагаемое в правой части неравенства (14) оценим следующим образом:

^к

Е и Ак“«* - 1)т)

k=p+1

< Ктp+1,

H1(Q)

где К определено формулой (12). Для оценки остальных слагаемых в правой части неравенства (14) докажем справедливость неравенства

к-1

К -Aku((i -1)т)1я1(о) < £^2 iiAiij+kiiAiik ||U 1 -u((i - 1)т)IIHi(Q) (15)

j=0

для всех k = 1, 2,... ,p. При k =1 имеем

И - Au((i - 1)т)L0i(Q) <

< ||vi - Аиг ||H0(Q) + ||AU - Au((i - 1)т)|H0(Q) <

H1(Q)

< £ + llA|l ||U - u((i - 1)т)|Ho(Q) ,

то есть неравенство (15) выполняется. Предположим, что для некоторого k < p неравенство (15) выполнено, тогда оно выполнено и для k + 1, так как

vk +1

- Ak+1u((i - 1)т)|„1(0) <

< ||vk + 1

H1(Q)

- Avfc I|H1(Q) + llAvk - Ak + 1u" 1|H0(Q) +

MIh0(q)

+ ||Ak+1ui-1 - Ak+1u((i - 1)т)|| H 1(Q) <

I H0(Q)

< £ + ||A|| ||vk - AU-iH0(O) + l|A|k+1 ||ui-1 - u((i - 1)т)|h0(q) <

k ^ “ ИH0(Q)

к-1

< £ + ||A| £^ ||A||j + k ||A|k ||ui-1 - u((i - 1)т)||яоЮ)] +

\ j=0

+ ||A||k+1 ||ui-1 - u((i - 1)т)|н1(

lH0(Q)

I k+1 IL ,i-1

= ££ ||A|j + (k + 1) ||A||k+1 ||ui-1 - u((i - 1)т)|яо j=0

H1(Q) •

Следовательно, неравенство (15) имеет место для всех k = 1, 2,... ,p.

С помощью неравенства (15) преобразуем неравенство (14) к виду

||ui - u(ir)|h1(q) < (1 + тР(т)) Hui-1 - u((i - 1)т)^Ho(q) + £тР(т) + Ктр+1. (16)

Применяя лемму 3, из неравенства (16) получим оценку (11). Доказательство теоремы завершено. □

Следствие из теоремы 2. Обозначим

sup S(т)

_ т£\°Т]____ К

1 inf Р(т), 2

т е\о,т ] т е\о,т ]

• , р/ v сз = suP р(т).

Р(т) те\0,т]

Тогда из неравенства (11) следует выполнение неравенства

|ui - u(iт)|Hi(Q) < (C1£ + С2тр)ехр(СзТ)

(17)

для всех i = 1, 2,. .., N.

i

к

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ РОССБИ

147

3. Результаты численного эксперимента

Наибольшую сложность при построении приближенного решения, особенно в областях сложной конфигурации, представляет нахождение функций vlk, которое сводится к численному решению задачи Дирихле для уравнения Пуассона (7). Для этого использовался метод точечных потенциалов [12, 13].

Опишем результаты двух численных экспериментов. В первом (тестовом) случае задача решалась в квадрате Q = {(xi, Х2) : 0 < xi < 1, 0 < x < 1},

u0(x) = sin(nxi) sin(nx2) cos(x1 m/l),

u(x, t)

sin(nxi) sin(nx2) cos

xinV2+El).

Сравнение аналитического решения с численным решением подтвердило теоретические результаты о сходимости, изложенные в п. 3.

Во втором случае задача решалась в Г-образной области,

uo(x) = x2(x2 — 1)(x2 — 2) sin(nxi).

На рис. 1-4 приведены результаты расчетов (линии уровня функции u) при t = = 0, 6, 12 и 18 соответственно. Наблюдалось смещение вихревых пятен в западном направлении, а также образование и исчезновение вихревых пятен на восточной и западной границах соответственно. 4

4. Вторая начально-краевая задача

Обозначим L2(Q) = {v е L2(Q) : (v, 1)l2(q) = 0}, H1(Q) = L2(Q) П H 1(Q). Определение 4. Обобщенным решением второй начально-краевой задачи

Aut + иХ1 =0, T > t > 0, (18)

(19)

u(0) = uo,

148

А.А. СВИДЛОВ

dv

(20)

dQ

будем называть функцию u G C^[0, T); H^Q)), удовлетворяющую равенству (19) и для любого t G (0, T) интегральному тождеству

/ (Vut(x, t)Vh(x) — uxi (x, t)h(x) dx = 0

при любой функции h G H 1(Q).

Разрешимость обобщенной постановки второй начально-краевой задачи для уравнения Россби устанавливается следующей теоремой (см. [15]).

Теорема 3. Пусть в области Q выполняется неравенство Пуанкаре [14, гл. 3, § 6]. Обобщенное решение задачи (18)—(20) существует тогда и только тогда,

когда uo G H)(Q) такова, что (——uo, h ) = 0 для любой h G L2(Q), зави-

\dxi Jb2(Q)

сящей только от переменной xi. Причем решение единственно и имеет вид

д

u(t) = exp ( — tД2^ ) uo-

(21)

Здесь Д2 : L2(Q) ^ H^(Q) - оператор, который ставит в соответствие правой части ф обобщенное решение ip задачи Неймана для уравнения Пуассона:

Др = ф в Q, др

dv dQ

0.

Автор выражает глубокую признательность А.Э. Бирюку, М.И. Дроботенко и В.В. Кожевникову за плодотворные обсуждения результатов работы.

д

0

Summary

A.A. Svidlov. Solving the Linear Rossby Equation in a Finite Domain.

We state a generalized formulation for the first and the second initial-boundary value problems for the Rossby equation and prove the unique solvability of these problems. For the first initial-boundary value problem, the approximate solution is constructed. The convergence rate to the generalized solution is studied. The results of the numerical experiments are discussed.

Keywords: Rossby equation, Sobolev-type equations, planetary wave equation.

Литература

1. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред. - М.: Наука, 1982. - 335 c.

2. Biryuk A. Lower bounds for derivatives of solutions for nonlinear Schrodinger equations // Proc. R. Soc. Edinb., Sect. A, Math. - 2009. - V. 139, No 2. - P. 237-251.

3. Rossby C.-G. On the dispersion of planetary waves in a barotropic atmosphere // Tellus. -1949. - V. 1, No 1. - P. 54-58.

РЕШЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ РОССБИ

149

4. Успенский С.В., Демиденко Г.В. О поведении при t ^ то решений некоторых задач гидродинамики // Докл. РАН. - 1985. - Т. 280, № 5. - С. 1072-1075.

5. Тикиляйнен А.А. Об одной задаче, связанной с теорией планетарных волн // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. - 1988. - Т. 28, № 4. - С. 534-548.

6. Огородников И.Е. Стабилизация решения уравнения планетарных волн в неограниченных по пространственным переменным областях: Дис. . .. канд. физ.-матем. наук. - М., 2000. - 101 с.

7. Ильин А.М. О поведении решения одной краевой задачи при t ^ то // Матем. сборник. - 1972. - Т. 87, № 4. - С. 529-553.

8. Лежнёв В.Г. Асимптотические задачи линейной гидродинамики. - Краснодар: Изд-во КубГУ, 1993. - 92 с.

9. Свидлов А.А., Бирюк А.Э., Дроботенко М.И. Негладкое решение уравнения Рос-сби // Экол. вестн. науч. центров ЧЭС. - 2013. - № 2. - C. 89-94.

10. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. - М.: Наука, 1983. - 401 с.

11. Треногин В.А. Функциональный анализ. - М.: Физматлит, 2002. - 488 с.

12. Купрадзе В. Д. О приближенном решении задач математической физики // Усп. матем. наук. - 1967. - Т. XXII, № 2. - С. 59-107.

13. Дроботенко М.И., Игнатьев Д.В. Метод точечных потенциалов для уравнения Лапласа // Экол. вестн. науч. центров ЧЭС. - 2007. - № 1. - C. 5-9.

14. Михлин С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в частных производных. - М.: Высш. шк., 1977. - 432 с.

15. Свидлов А.А. О второй начально-краевой задаче для уравнения Россби в ограниченной области // Экол. вестн. науч. центров ЧЭС. - 2009. - № 3. - C. 80-84.

Поступила в редакцию 08.04.13

Свидлов Александр Анатольевич - преподаватель кафедры теории функций, Кубанский государственный университет, г. Краснодар, Россия.

E-mail: svidlov@mail.ru