CC BY
19
УДК 539.3
А.В. Кириченко, В.А. Крысько
КОРРЕКТНОСТЬ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ В НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С НАЧАЛЬНЫМИ НЕПРАВИЛЬНОСТЯМИ И ЧАСТИЧНЫМ
УЧЕТОМ ИНЕРЦИОННЫХ СЛАГАЕМЫХ
Доказывается существование обобщенного решения первой краевой задачи для одного варианта нелинейных эволюционных уравнений в теории пологих оболочек с учетом сдвиговых напряжений.
Неклассическая теория пологих оболочек, уравнения математической физики, обобщенные решения нелинейных краевых задач
CORRECTNESS OF EVOLUTION EQUATIONS IN NONCLASSICAL SHALLOW SHELL THEORY WITH INITIAL IRREGULARITIES AND PARTIAL CONSIDERATION
OF INERTIA TERMS
This article provides proofs for the existence of generalized solution to the first boundary-value problem for a case of nonlinear evolution equations in shallow shell theory with shear stress consideration.
Nonclassical theory of shallow shells, equations of mathematical physics, generalized solutions of nonlinear boundary-value problems
Объектом исследования является следующая краевая задача «в перемещениях» для эволюционных уравнений в неклассической теории пологих оболочек (модель Пелеха-Шереметьева):
A.V. Kirichenko, V.A. Krysko
' “ ^ 3h 2) dx3_i dxi dxi [ 12 dx3-i ,
(7i3 dx3 = 0 ; i = 1,2;
(2)
(1)
(3)
(4)
где приняты такие обозначения: 60
(х^х2)є П ,
г = дПх[£0,^], п = пидП, ПсЛ2, 6 = Пх(£0,^), д = Пх-2,-21, всЛ,
, к>0; О - измеримая по Лебегу односвязная область в евклидовом про-
к к 2 ’ 2
странстве Я2 с границей дП ; в = П
X
Н к 2’2
- область, занимаемая оболочкой в недеформиро-
ванном состоянии; п - внешняя единичная нормаль к кривой дП; к>0 - постоянная толщина оболочки; р>0 - постоянная плотность материала оболочки; [¿0,^]- отрезок времени наблюдения за эволюцией оболочки, £ е [^0, tl ]; функция w0 (х1, х2), (х^ х2 )е П , определяет начальную неправильность оболочки; функция и30 (х1, х2, £) определяет дополнительный прогиб оболочки в момент времени £, а функция [ и30 (х1, х2, £) + w0 (х1, х2 ) ] - полный прогиб; кг (г = 1,2) - постоянные начальные кривизны оболочки; и^ = и^ (х1; х2, £), (г = 1,2, ] = 0,1), и30 = и30 (х1, х2, £) - искомые функции, определяющие коэффициенты в аппроксимации компонент иг = иг (хх, х2, х3, £), (г = 1,2),
и3 = и3 (хп х2, х3, £) - вектор перемещений точек оболочки; g (хх, х2, £) - интенсивность поперечной нагрузки; (р30 (х1, х2), у/30 (х1, х2) - известные функции, определяющие начальные условия; £3 >0 - постоянный коэффициент демпфирования; о, о12 , о;3 (г = 1,2) - компоненты тензора напряжений, при этом
Е і \ Е Е
=---------7 Є + Є І 3 і ) ’ °п =------------
1 -у2У іі 3-і3-і/ 12 1 + у
- Є12 ’ ^ІЗ
1 + У
Єз’
(6)
£и , £12 , £3 - компоненты тензора деформаций, имеющие вид
дж0 ди30
єіі = еа + - 0 - 30 +
(
дх,. дх,
4х3 ^ диі1 4хЗ д
3 32.
х.
і V
Зк2
3п
У дхі ЗН дхі
Є = е +-----------
12 е12 “ 2
х,
3к
- + -
є3 = —
і3 2
4 х^ 3Н
У дх2 дх1
3к2
2
ди
30
дх1дх
+ дж0 ди30 + дж0 ди30
2 У
2
ди.
и., + -
і1 дх,.
’ е.. = ■
диі0
дх,.
1
кіи 30 + 2
дх1 дх2 дх2 дх1
\2
ди3
V дхі У
ди10 + ди20 + ди30 ди30
дх2 дх1 дх1 дх
2
Е, V - упругие постоянные, Е>0, 0 < V < 1.
2
Далее используем обозначения функциональных пространств, норм и скалярного произведения из [1].
Теорема. Пусть дП имеет гладкость, достаточную для используемых теорем вложения, и выполняются такие условия:
g е ь2 (2), Р30 е Н02 (П), ^30 е н0 (П) , ^0 е С2 П ^„| дП = 0.
Тогда
1) существует хотя бы одно решение {мш, мп, и30} задачи (1)-(5), при этом
ди
и30 є
¿-(<0,Vн02(П)); В„,~ є ¿-(<0,Vн0(П)), ^є ¿-(<0,(,;Iі(П));
Л — <8) 2) приближенное решение задачи (1)-(5) может быть найдено методом Бубнова-Галеркина по схеме П.Ф. Папковича [2], при этом все множество приближенных решений слабо компактно в пространствах, соответствующих условиям (8), и его предельные точки определяют обобщенное решение задачи (1)-(5).
Опишем основные этапы доказательства теоремы.
2
1
е
1. Построение приближенного решения. Пусть последовательность функций {х 3} задает базис в пространстве Н 02 (П) и определяется функциями из класса С- (П).
Следуя методу Бубнова-Галеркина-Папковича, приближенное решение и 30 будем искать в виде следующего разложения по базису Хк 3}:
П
и30 = Е §к3 (< )Хк3 (х1, х2 ) , (9)
к 3=1
где коэффициенты gk 3 (<) являются решениями следующей задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений
ди
( л2
рк
V
( (
ап,
V V
~\2 п
д иу
Хр
+ РЄ3ЙІ
дг
, Хр
+
4 х. 3Н
дх.
+
дх
- к (аП , Хр3 )в
дх
+
^~п
а 12 ,
+
п Э [и30 + Ж0 ] дХР
V V
( (
3Н
д X
Р3
+
дх.
дх.
+
аi3’
4 х.
2
V V
ЭХр
Л
дх
= (g, Хр3 )п , Р3 = 1>'
у в
с начальными условиями
и30 (хп х2 , <0 ) ^30 , ^30 Е Йк3Хк3’ ^30 ^^30 в Нn(П)’
(10)
Эи30 (х1, х2 , <0 )
Эг
3;
: ¥30 , ¥30 = ЕЬк3Хк3 , ¥30 ^ ¥30 в Н02(П);
(11)
к 3=1
при этом «стрелки» в (11) указывают на сходимость по соответствующим нормам; функции оЦ , о”3 (г = 1,2), <02 определяются из соотношений (6), (7), если в (7) вместо функций и30, иг0,иг1 подста-
1 п п п 1 п п
вить функции и30, иг0, иг1, в свою очередь, функции иг0, иг1 определяются как решения следующих граничных задач:
ЕН Э
1 -V2 Эх
ди
і V
дх
Эи • п 1
і0 + V________3-0
дх3-і У
+
Ек
д ( ди10 ди Л
2(1 + у)дх3-і I дх2 дх1
- + -
Ек д
1 -V2 дхі
А
+ V
кіи30 +—
і 30 2
ди30
дх
+
дж0 Эи30 дх дх
+
Эип 12
*30
V
Эх V дх3-і У
+
Эж0 Эи30
Эх3-і дх3-і
V
Ек д
2(1 + V) дх3
Л Я Л Л«
ди30 ди30 + д^0 д^0 + дж ди30
дх1 дх2 дх1 дх2 дх2 дх1
Е
1 - V
+
Е
к/2 / Д
-к/2 V Е
4 х.
3
х3 -
3к2
Э
к/2
Эх1
4х
х3 -
4 х331 диі1
3к2
Эх,.
+ V
, і — 1, 2 ; иш| Г — 0 ;
31
х3 -
4 х3 1 ди3-і 1
3к2
3
2(1 + V).
х3 -
2(1 + v)
-к/2 V к'2 ( 4х21
/|1 4х3
-к/2 V
3к2
Эх.
У ил3-і
х3 -
4 х31( диі1 Эи21
3к2
У Эх3-1
^х3 +
- + -
V дх2 Эх1 у
йхъ -
к
2
илйхъ — —
Е
4 х.
3
1 -V2
3к2
дх
( 4х33 д 2и3п( 1
3к2 дх2 у
+
(12)
У П
П
2
в
1
2
к
п
к 3=1
э
д
-к/2
+ V
( 4х33 д2иП Л 3к2 дх32-г у
л Е П Г I
*3 - 2(1 + V)-L{
4х
3
3к2
дх
4х3 (_ д2-п Л
3к2
дх1дх
2
&х3 +
+ -
Е
Л1 -
4х.
2
(13)
дип
дх,
-йх3, г = 1,2, иг1 г = 0 .
2(1 + V)-к/2 {
Существование обобщенного решения в задаче (12) доказано в [3]; в общем, используя методику доказательства обобщенного решения в задаче Дирихле для уравнений равновесия в линейной теории упругости [4], легко убедиться, что задачам (12) и (13) соответствуют положительноопределенные операторы в пространстве Ь (П)х Ь (П) с соответствующими линейными, ограниченными и положительными обратными операторами. Таким образом, задачи (12), (13) имеют единственные обобщенные решения иП0 е Н0 (П), ип е н0(п), г = 1,2.
Разрешимость задачи Коши (10), (11) на некотором отрезке [£0, £п ] следует из теоремы Шаудера о неподвижной точке.
2. Априорные оценки. Умножим (10) на
рк
( д2и3п0 ди
п Л
30
д£2 ’ д£
йg Р3 (£ ) &
+ р£3к|
и просуммируем по индексу Р3. Получим
пп
ди ди
п
30
П
д£ ’ д£
+
+
ъ
( ( °и ,
4 х
3 Л_Э_(д2ип ЛЛ д£
(
+
о.
- к, \о1,
д[и3П0 + ^0 ] д
ди
дхг2 ,,
Ч г У У о
Л (
+
„-П
°гг ,
д[и3п0 + ^0 ] д (ди3п
дх, д£ { дх
д£
+
у о
о-
4х
3
3к2
2
2 п
д и30
\ дх3- дхг У у
+
(14)
дх.
д£
ди
дх
+
о.
4 х
2 Л
ди
дх
ди-
‘ УУо
Для дальнейших преобразований заметим, что при любом фиксированном £ е [£0, £п ] производная
ди-
д£ к 3=1 &
принадлежит классу С“(П) поэтому, выражая функции игл0, и- (г = 1,2) через линейные обратные операторы и дифференцируя их по параметру £ заключаем, что
ди0е н0(п), ^ е Н1 (п), г = 1,2.
д£
Таким образом, для обобщенных решений и>”0, и— справедливы интегральные равенства
°й , д£
о
4 х
л (
3к2
д£
дхг
ди!И1
+
уУ о Л (
д
ди п
Л
= 0 =
(15)
дх
{ дх у о
+
о
12 '
4х
Л Л (
+
°3 ,
4х
V
2 Л дип Л
3к2
д£
Л
дх \ дх3-г у у
+
к
2
г1
д£
= 0, г = 1,2.
(16)
у о
Суммируя равенства (14) и (16) и выражая компоненты тензора напряжений через деформации согласно (6), (7), получаем следующее «энергетическое» равенство:
, 1 й
рк---------
2 &
ди-0
д£
+ р£3 к
ди 3п0
д£
Е
+
Е й
■ £" <-'1'
1 - V 2 &
+ £22(2, + 2у(£п1,£21
■'11*'22! о
)о )+
+
Е й
, ■ Г +£п Г
1 + V 121 о 1 + V 13!о I 23!о
)=
( ди30 Л
g
” д£
(17)
у п
д
П
г=1
о
3
о
2
к
П
0
п
х
х
3
3
о
1
2
2
2
п
+
о
П
Проинтегрируем равенство (17) по отрезку [г0, г], г е [г0, гп ]:
ЭмзПо
дг
+
Е
2(1 -V2)
£П + е11 +
д^0 дизЛ0
дх1 дх1
+
вП + е22 ^
дЩ дизИ0
дх2 дх2
+
+ 2у
+ Э^о Эизп0 е11 +
дх1 дх1
еп + д™0 диП0 е22 +
2
дх2 Эх
+ IАГ (хз ) п +
У в
(18)
+ 1А2 (хз)2 + 2у(а; (хз), АП (хз ))в)+ Е
А
+ Вп (х.
1 + у
(хз IВ )+ ^^В +!£2Пз|В )}+Р^зЬ|
е12 +12 2
1 (Э^0 Эм^0 Э^0 ди^
+
Эх1 Эх2 Эх2 Эх1
ди^0
дг
, „ г ( ди
Лг = С + ]1 $,
л
дг
+
Лг,
П г0 V у а
где С - постоянная, определяемая выражением в фигурных скобках из левой части равенства (18) при г = г 0 (функции и"0 (х1, х 2, г0), и" (х1, х2, г0) в этом случае определяются как обобщенные решения
граничных задач (12), (1з), если вместо и ^ подставить функцию ^з”0);
АП (хз ) =
(
4х
з
зн2
з0
ди,”, 4хзз д 2из0 \ (
11 з з0 ; А2п (хз )= ;
2
дх1 зн2 дх12
4х.
3 Л
V
зн2
ди221
4хз д2ипз0
дх, зн2 дх,2
Вп (хз ) =1
((
4х
з
зн2
ди1Л1 + ^1
дх2 дх1
4х
з
зн2
д и
дх1 дх
2 У У
Из равенства (18) следует неравенство
2(
1
— pH 2
ди зп0
дг
+
Е
2(1 + у)
н
д 0 О дизИ0
дх1 дх1
+н
д^0 ди зп0
дх2 дх2
+
+ 1А (хз)2 +1 А2п (хз)2)+ —
I 14 з/| В I 2 4 з/1 В' 1 + у
^12 +----------
12 2
дж0 дизИ0 + дж0 ди^0
V дх1 дх2 дх2 дх1 у
Е
+-------|Вп (х
1+ У1
(хз IВ + 1ЕУ(е'з|В + 1е2з|в )< (С + 2II *1 -Л
( 1 г Л 1 г
1 2 1
+2!
ди^0
дг
+
Лг ■
Уа,Ье Я, |аЬ|< — + —; 0<у<-1.
(19)
при получении (19) использованы известные неравенства
-2 Ь2
-- ; 0 < У <
2 2 2
Из неравенства (19) на основании леммы Гронуолла заключаем, что каждое слагаемое в левой части этого неравенства ограничено некоторой постоянной, не зависящей от номера п, но зависящей от значения г1, при этом учитываем, что последовательности {^зл0}, |^гзи0} сходятся по нормам пространств Н 2 (а) и Н1 (а) соответственно и, следовательно, ограничены в этих нормах.
Рассмотрим подробнее оценки слагаемых с А'П (хз), I = 1,2, Вп (хз) на следующем примере (используем неравенство Коши с е):
Я
4 х:
з
зн2
ди”
4хзз д 2ип30
дх зн2 дх,2
252
68 дипз0 '
5 V дх1 у
16 ди1" д2изп, 5 дх1 дх12
+
( ~ч2 п \
ди
дх2 у
йх1йх2 >
(20)
252
68 -\6е 5 5
ди11
дх1
+
1 -16
5е
дх12
2
2
2
2
а
а
а
2
в
2
п
2
2
еП +
еП +
а
а
а
2
а
2
а
0
0
2
2
з
н
2
а
2
з
н
а
а
Если в (20) выбрать £ е I I6 1Z |, то справедливы неравенства
5’4 J
68 1б£ 16 -
----------> 0, 1-----> 0,
5 5 5£
и, следовательно, из (20) получаем оценки
Эк
Эх,
< C,
\ 2 n
’ U -¡г,
Эх ,2
< C.
(21)
Аналогично, в том числе используя неравенство Корна и результаты [з], устанавливается ограниченность норм
ЭиЦ
dt
< C, к" < C, и" < C , и
1 i1 1н0(п) 1 !01 H 1
30 Ih02 (п)
<C
(22)
и возможность продолжения решения задачи Коши (10), (11) на весь отрезок [г0, г1 ].
Из (22) вытекает, что множество приближенных решений {иП0} ограничено в L°°(t0, t1; H 02 (п)),
множества к" }, {ыП } - ограничены в L°°(t0, t1; H0 (п)), а множество
Эи
30
dt
- в L”(t0, ti; L“ (п)).
3. Предельный переход. Установленная ограниченность множеств приближенных решений
{ml J ml J ml
U30}, {Ui0}, {Uii }, что слабо в L“ (t0, t1; H02 (п)); слабо в L“ (t0, t1; H0 (п)); слабо в L“ (t 0, t1; H 0 (п));
U30 ^ U30 * 1
Um ^ Ui0 * - 1
Ui1 ^ Ui1 * - 1
duZ d~.
слабо в L“ (t 0, t1; L2 (п)).
. ............ (2з)
дг дг
По последовательностям из (2з), подобно [1-з] переходим к пределу в интегральных тождествах для уравнений (1)-(з), соответствующих определению обобщенных решений в пространствах из (8).
Теорема доказана.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лионс Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач / Ж.-Л. Лионс. М.: Мир, 1972. 587 с.
2. Ворович И.И. Математические проблемы нелинейной теории пологих оболочек / И.И. Ворович. М.: Наука, 1989. з76 с.
3. Ворович И.И. О некоторых прямых методах в нелинейной теории колебаний пологих оболочек / И.И. Ворович // Известия АН СССР. Серия математическая. 1957. Т. 2.6. С. 747-784.
4. Михлин С.Г. Проблема минимума квадратичного функционала / С.Г. Михлин. М.: Гостехиздат, 1952. 216 с.
2
2
п
п
2
п
n
Кириченко Анастасия Валерьевна -
ассистент кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Крысько Вадим Анатольевич -
доктор технических наук, профессор кафедры «Математика и моделирование»
Саратовского государственного технического университета имени Гагарина Ю.А.
Anastasiya V. Kirichenko -
Assistant Lecturer
Department of Mathematics and Modeling, Gagarin Saratov State Technical University
Vadim A. Krysko -
Dr. Sc., Professor
Department of Mathematics and Modeling, Gagarin Saratov State Technical University
Статья поступила в редакцию 01.11.11, принята к опубликованию 01.12.11
